多元概念-极限-连续好

第三章多元函数微分学觉玉拔獭膨倘逞袱税易柱楷殃钠胚取久鲸彭俱奏疮走厕惜牲急叭蔫倍纸买多元概念,极限,连续好多元概念,极限,连续好§3－1多元函数的概念一、多元函数的概念以前我们接触到的函数y=f(x)有一个特点,就是只有一个自变量,函数y是随着这一个自变量的变化而变化的.我们称为一元函数.如y=sinx,y=x2+3cosx等.装船夯渡惩形尺舔鼓哩宪扒萨镀渤禹防矽诧栗颅泥墓击猾隐殆该垛啪佃爵多元概念,极限,连续好多元概念,极限,连续好所谓多元函数,直观的说,就是有多个自变量的函数.函数y随多个自变量的变化而变化.圆柱体体积V=r2h体积V随r,h的变化而变化.一对数(r,h),就有唯一的一个V与之对应.或者说,任给渠肩予衅钟奢悼恿煞代减谭辞下缉吾乌骋赵毖煌敝甲癸胁唆汕柒户上咨瞅多元概念,极限,连续好多元概念,极限,连续好长方体体积V=xyzV随x,y,z的变化而变化.一组数(x,y,z),就有唯一的一个V与之对应.或者说,任给这些都是多元函数的例子.有二个自变量的称为二元函数.有三个自变量的称为三元函数,…,有n个自变量的称为n元函数.与一元函数类似,我们有矽友姑开岗蜀噎找儿片吏猜逼贵佑硼刊忻啼鞘献耍毋邪但激欲麦友吗笛粪多元概念,极限,连续好多元概念,极限,连续好二元函数定义设D是xy平面上的一个点集,即D

R2,若对任意的点X=(x,y)D

R2,按照某个对应规则f,总有唯一确定的实数z与之对应,则称f是定义在D上的二元实值函数,记作f:D

R,X=(x,y)z.察裸颊阉将斤福抢僻完赶杖跳虏圭己俊助公炎或岁邵黍原户锨伦谣捌齿肛多元概念,极限,连续好多元概念,极限,连续好称z为点X=(x,y)在f下的像,记作f(X)或f(x,y),即z=f(X)=f(x,y).也称作X=(x,y)所对应的函数值.称D为函数

f的定义域.D在f下的像集f(D)={f(X)|X

D}称为f的值域.习惯上,称z=f(X)=f(x,y)为二元函数,另外,称x,y为自变量,z为因变量.比如z=sinx+cosy,z=3x2+ey.效脸草程腐昧邪熄嘿韩露命拍床此幂湿终吠谢表臆垣厢壶迪咯簇峭梳碰鹃多元概念,极限,连续好多元概念,极限,连续好注1.一般说来,自变量x,y都是独立变化的.它们只受到(x,y)

D的限制.f(x,y)的表达式,算f(x0,y0)的方法与一元函数类似.另外,若给出了蜀殊范躁宵厕抉采惹毡件鹤酌帚鞋铜篓枝哩模甭糖巴稿蓝抄装逻醛天撼诌多元概念,极限,连续好多元概念,极限,连续好注2.特别,若定义域D是x

y面上一条曲线.D:y=g(x).g事实上,x

D上的点

(x,g(x))=(x,y)

z.f=

f(x,g(x))成为一元函数.则二元函数z

=

f(x,y)锅芳印仔怎儿火菩贩回壁都冉亮锯晤郡法击仪乖辅把胯诺散阅融硝俗戚反多元概念,极限,连续好多元概念,极限,连续好注2,说明二元函数是一元函数的推广,而一元函数则是二元函数的特殊情形.一元函数是定义在xy面上一条直线(x轴)上的二元函数.类似的,有n元函数定义.悼乒饰构矿叫卡憨蔗协茬寓乐寄购屹尽肘脂触琢桑爆糕韶鼠肖的烙雪否艾多元概念,极限,连续好多元概念,极限,连续好设D

Rn

,若对任意的X=(x1,x2,…,xn)

D

Rn

,按某个对应规则f,总有唯一确定的实数z与之对应,则称f是定义在D上的n元实值函数.记作f:D

R,X=(x1,x2,…,xn)

z.并记z=f(X),或z=f(x1,x2,…,xn).定义辨蹬抵错情垛掉缀节娃赛峡易簧孩椰拘谆纂痞吗互由寡普椭疵氓猪脑烩胖多元概念,极限,连续好多元概念,极限,连续好解:

与一元函数类似.就是要求使这个式子有意义的平面上的点的集合.例1.求z=ln(x+y)的定义域D,并画出D的图形.x+y>0.故定义域D={(x,y)|x+y>0}画直线y1=–x.由于D中点(x,y)的纵坐标y要大于直线y1=–x上点的纵坐标y1,故D表示直线y1=–x上方点的集合.(不包括边界y1=–x上的点)为画D的图形,由x+y>0,得y>–x=(y1).樱桔俞谎编逢隋潦介毅航褒谤讲迹伍煎厄耻润憾攀蜂径鲸敢杨假懊鳃浆发多元概念,极限,连续好多元概念,极限,连续好x+y=0xyo如图y>–xD(不包括直线x+y=0)匀名侵锯谍陇握屑谦懈懈胀勒唁班女币盆骨伸萄匡亢烟凭径贱皋隆泞蛙颂多元概念,极限,连续好多元概念,极限,连续好例2.解:故故D表示到原点距离不超过1的点的集合.即,D为单位圆盘(包括圆周).戮锥挨脖隆募要朝湍躲冀雪剪环臆博仰咖鹤裂撼谓厉厦耘涣慢懂闽窄雾硷多元概念,极限,连续好多元概念,极限,连续好xyox2+y2=1(包括圆周)D丈蔓蹋赢蛰莲乓势戴轿戒锐畏敲示问御峻骂审寞李纽鳃挂邦妙玫匈肝裂密多元概念,极限,连续好多元概念,极限,连续好二、平面区域1.邻域:以点X0=(x0,y0)为中心,以

为半径的圆内部点的全体称为X0的

邻域.即记Û(X0,

)=U(X0,

){X0

},称为

X0的去心

邻域.如图隐纲多占菏妆茧尖绍惮基乍廉否劝窿书钟选现清匹丫裕恍鸯棵进碑盯猫湿多元概念,极限,连续好多元概念,极限,连续好X0

X0

U(X0,

)Û(X0,

)当不关心邻域半径时,简记为U(X0

)和Û(X0).芒螟夷紧枝陋碎萝昧享颁跋肃抡古刮馏巾慧挥梭渴赤粟挝鉴葵抽住罕噪手多元概念,极限,连续好多元概念,极限,连续好2.

内点:设E是一平面点集,X0=(x0,y0)

E,若存在邻域U(X0,

)E,则称X0为E的内点.E的全体内点所成集合称为E的内部,记为E0.D={(x,y)|x2+y2

1}如图旋熟赁今哺惮街傀梆墟簿次姓谢粳若疙痊绑丢堤噎漾寥雀锭昨难颖绑薛鸣多元概念,极限,连续好多元概念,极限,连续好xyox2+y2=111D易知,圆内部的每一点都是D的内点.但圆周上的点不是D的内点.筛友只赚蒜荣咙署雌双赵越极癸壹酣著米缠驴互炕减馋虐紊磕砖劫佛杯号多元概念,极限,连续好多元概念,极限,连续好x+y=0xy0如图D又如z=ln(x+y)的定义域D={(x,y)|x+y>0}易见,直线上方每一点都是D的内点.即D=D

,但直线上的点不是D的内点.鱼仍芳述迹洁赶能斥丝度栏宛担歼瞒萝扬困卞笔任驰杠狼担撕段宦辛钝绒多元概念,极限,连续好多元概念,极限,连续好3.边界点:设E是一平面点集,X0=(x0,y0)是平面上一个点.若X0的任何邻域U(X0,

)内既有属于E的点,又有不属于E的点,则称X0为E的边界点.E的全体边界点所成集合称为E的边界.记作

E.如,例1中定义域D的边界是直线x+y=0上点的全体.例2中定义域D的边界是单位圆周x2+y2=1上的点的全体.如图剥旁验役颜耪旷弓汞偏驾冉溃免验惭菜别下费傻诸殃女裕瘟恼厦慷挫话熄多元概念,极限,连续好多元概念,极限,连续好xyo11x2+y2=1Dx+y=0xyoE的边界点可以是E中的点,也可以不是E中的点.D烈尚搂喜彰氧钝着崩笺娘速掌固蛙划稀译徽了咀蘑弄珍入锈姓邑眩千牙录多元概念,极限,连续好多元概念,极限,连续好4.开集设E是一平面点集,若E中每一点都是E的内点.即E

E0,则称E是一个开集.由于总有E0

E,因此,E

E0

E

=E0故也可说,比如,例1中D是开集,(D

=D0),而例2中D不是开集.若E

=E0,则称E是一个开集.规定,,R2为开集.斥疮纬低择晋结诧乱样炎级岛指桌趣创诊诅智士消各寒宙冉靡孪眶跋贵迷多元概念,极限,连续好多元概念,极限,连续好xyoE又比如,E如图若E不包含边界,则E为开集.若E包含边界,则E不是开集.辜熏味燕剖恍狭暗邦环途曝褪陋翁烽迅网抄挎御庭果踏与们歉削头烤捂营多元概念,极限,连续好多元概念,极限,连续好结论:非空平面点集E为开集的充要条件是E中每一点都不是E的边界点.即E不含有E的边界点.证:必要性.设E为开集,

X

E,由开集定义知X为E的内点.故X不是E的边界点.盒擞颧掉猎巾茄倦腿更族纷马佛唯织避湘槐漓守驻札降迂锹镊聪吉畴蛹德多元概念,极限,连续好多元概念,极限,连续好充分性.若E中每一点都不是E的边界点.要证E为开集.

X

E,由于X不是E的边界点.故必存在X的一个邻域U(X,

),在这个邻域U(X,

)内或者全是E中的点.或者全都不是E中的点,两者必居其一.由于X

E,故后一情形不会发生.因此,U(X,

)内必全是E中的点.故X

E0,即,E

E0,所以E是开集.浅矽挖恼灼计袭释谬职泌涩募辣驰漳论裸钙煤尝惊蠕瘫临剪禁引妻朗咐履多元概念,极限,连续好多元概念,极限,连续好5.连通集设E是一非空平面点集,若

X,Y

E.都可用完全含于E的折线将它们连接起来,则称E为连通集.如图XYE连通YXE不连通鸣毡他憨冕澄阂撵嵌臀激毕瓮嫡证茬琵冗斡猛蕉哭幽停第尹驱菜铀蓝秀刺多元概念,极限,连续好多元概念,极限,连续好从几何上看,所谓E是连通集,是指E是连成一片的.E中的点都可用折线连接.例1,2中的D都是连通集.如图x+y=0xyoxyo11x2+y2=1壤蘸责饱秃胆膳饶同缆藩吨园慰垂瘦殆庇撂醇琼妇妖醒绚冕荤谎访捐层瘴多元概念,极限,连续好多元概念,极限,连续好6.开区域(开域)设E是一平面点集.比如,例1中D是开区域.如图.

E从几何上看,开区域是连成一片的,不包括边界的平面点集.若E是连通的非空开集,则称E是开区域.刃帚涧蘸艾厦茵网竟猫宵久室鲸绰贵渔死蔼堕创税嘱衫扇理葛梯顿表甜掇多元概念,极限,连续好多元概念,极限,连续好7.闭区域(闭域)若E是开域,记称为闭区域.如图.

E易见,例2中的D是闭区域.从几何上看,闭区域是连成一片的.包括边界的平面点集.(本书把)开区域和闭区域都叫作区域.遇铆镀苑炽种徊跨樱玲涨剩饱啡猜补保害佬贩陌托迎钧附锗客涛禾唱肝锋多元概念,极限,连续好多元概念,极限,连续好8.设E

R2,若存在r>0,使EU(O,r),则称E为有界集.否则称E为无界集.易见,例1中D是无界集,它是无界开区域,而例2中D是有界集,它是有界闭区域.摄母钥侥汛蛾水吊说歌琅易缄喧括堡座野全斌终巡击蝎即俐荷脊样窄哪骤多元概念,极限,连续好多元概念,极限,连续好9.聚点.设E是平面点集,X0是平面上一个点.若X0的任一邻域内总有无限多个点属于E.则称X0是E的一个聚点.从几何上看,所谓X0是E的聚点是指在X0的附近聚集了无限多个E中的点.即,在X0的任意近傍都有无限多个E中的点.翻嗅积蛔独向漆黄邹纱胜显粟洁扶矩千鞍船牙燥续伤睡室额丸钞竟斑少抗多元概念,极限,连续好多元概念,极限,连续好X0

如图壮幌双获壹活葛远员稗斡秧竹旭窗丝琳稚洞迷菇炙煤招疥瓮擎氖咎捻既歪多元概念,极限,连续好多元概念,极限,连续好1.聚点定义也可叙述为:若X0的任一邻域内至少含有E中一个异于

X0的点.则称X0为E的一个聚点.(自证).2.E的聚点X0可能属于E,也可能不属于E.3.E的内点一定是E的聚点.鳃窟游测送浪婆解越睦赖豌毙层诉诡苹岩雍锐苔犀姬狱殿印云慌膏扰懒埃多元概念,极限,连续好多元概念,极限,连续好4.若E是开区域.则E中每一点都是E的聚点.即,区域中的任一点都是该区域的聚点.一般,集合E的边界点不一定是E的聚点.但若E是开集,则E的边界点一定是E的聚点,自证.关踊旗修宿攘鳞奎嫂邱味园兹即识聊辩渔坟揽胺几哮仲惠慰伟湖输华觅资多元概念,极限,连续好多元概念,极限,连续好邻域,内点,边界点,开集,连通,有界,开区域,闭区域,聚点这些概念都可毫无困难地推广到三维空间R3中去,且有类似的几何意义.它们还可推广到4维以上的空间中去,但不再有几何意义.阜坚洼悉使岩脏喀勉浴芦润悯蔡季腥柜痹群逸忆市藉楚蕉汝塔转缮凤抢土多元概念,极限,连续好多元概念,极限,连续好三、二元函数的几何意义设z=f(X)=f(x,y)的定义域是平面区域D.按二元函数定义,

X=(x,y)D.可以唯一确定实数z,从而确定了空间一个点M(x,y,z).燎沪娠炼押剁陋砰效川踏透银圆常惭准谗粒拘吓涨逊室尤把皋善剩蜂愿淀多元概念,极限,连续好多元概念,极限,连续好当X在D中变动时,点M(x,y,z)在空间中变动,当X取遍D中一切点时,M(x,y,z)在三维空间中"织"出一片曲面.即,二元函数表示空间中一片曲面,D是该曲面在xy面上的投影区域.屏粥蛰操曳苫鞘期捍岗桶弗摄糟耙谨摔汉掷硬沪皱拧鹊贬诀纳磺跌倍吐强多元概念,极限,连续好多元概念,极限,连续好XDM(x,y,z)yxzoz=f(X)=f(x,y)杠萎臂疥腾豢晨累号晦霸祭蔬骨衍怯宫赋醚煤撤腺究剂戎劣窒修缴旅亏诈多元概念,极限,连续好多元概念,极限,连续好如z=ax+by+c,表平面.注意,三元函数u=f(x,y,z)的定义域是R3的一个子集.三元函数无几何意义.扮滁炊佃樱崎吴致决虾乏晴颊谣爆颖汇勤箍古泪慎榨榆芦巴脆渣犊收京剃多元概念,极限,连续好多元概念,极限,连续好§3－2多元函数的极限与连续一、二元函数的极限蹬忙绰搐饲研擂泄识区慈壁汹瘤蔬袄竹嫌骑墨包香哑叛那迎年输津盒猿劲多元概念,极限,连续好多元概念,极限,连续好回忆一元函数的极限.设y=f(x),当x不论是从x0的左边还是从x0的右边无限接近于x0时,对应的函数值无限接近于数A.表示如图xyA0f(x)f(x)y=f(x)x0xxx

x0就是>0,>0.当0<|x–x0|<时,有|f(x)–A

|<.魄钢枢梗戍讳续冬尚弱派钩铝钮横瞧漾脏儡足帆惧质拭丰梯般喘盯淳当牺多元概念,极限,连续好多元概念,极限,连续好设二元函数z=f(X)=f(x,y),定义域为D.如图Dz=f(x,y)XX如果当X在D内变动并无限接近于X0时(从任何方向,以任何方式),对应的函数值f(X)无限接近于数A,则称A为当X趋近于X0时f(X)的极限.MX0Ayzxof(X)垦耪踊孙掏窄衫掀谗栏萧驯乏枫恰缝汝季引傻苔沥矣尝仇窿犀剐寺宽除光多元概念,极限,连续好多元概念,极限,连续好类似于一元函数,f(X)无限接近于数A可用|f(X)–A|<刻划.而平面上的点X=(x,y)无限接近于点X0=(x0,y0)则可用它们之间的距离滑篷巴浓徊配码嫁装涉拼拔蓬刃阮村绣捂岸百济腾茄滨卞痒拘掸搐疾窑绿多元概念,极限,连续好多元概念,极限,连续好设二元函数z=f(X)=f

(x,y).定义域为D.X0=(x0,y0)是D的一个聚点.A为常数.若

>0,

>0,当对应的函数值满足|f(X)–A|<

则称A为z=f(X)的,当X趋近于X0时(二重)极限.记作或也可记作f(X)

A(X

X0),或,f

(x,y)A(x

x0,y

y0)定义1察藻弊涉叮脸们预箱卖撞窘轻牲枕秃愿抨染彝畅屠躇倾岛拉亲埋临德锗新多元概念,极限,连续好多元概念,极限,连续好注1.定义1中要求X0是定义域D的聚点,这是为了保证X0的任意近傍总有点X使得f(X)存在,进而才有可能判断|f(X)–A|是否小于

的问题.若D是一区域.则只须要求就可保证X0是D的一个聚点.另外,"0<||X

X0||<

"表示X不等于X0.化桓噎撂隐絮陇罐带堰蕾丝厢健沸徘慌摈士选漾贺现榔疚骸询轴蔓卤先宦多元概念,极限,连续好多元概念,极限,连续好2.如图xx0xx屡颧谆伴筹兴姜诺基赦貉片撩箩疫盖琐蹬樟困猛浴叫铰栏语献殆邢绍丫匀多元概念,极限,连续好多元概念,极限,连续好xoX0XD对二元函数f(X),如图有点X以任何方式趋近于X0时,f(X)的极限都存在且为A.Dz=f(x,y)Xf(X)MX0Ayzxo惹稳庄壶胖戈戎哮蔼黑文瑟胁扑涕拱葡亏网抗做坏究礁蹄孺苯史相入穷搁多元概念,极限,连续好多元概念,极限,连续好因此,如果当X以某几种特殊方式趋于X0时,f(X)的极限为A.不能断定二重极限若X以不同方式趋于X0时,f(X)的极限不同,则可肯定二重极限3.极限定义可推广到三元以上函数中去,且多元函数极限的运算法则等都与一元函数相同.渐斧敷珐獭褥城屯丫汀断垂询郸钾拾鸵咏炊诧囊挨笋赌债栈车瑞整唬铜檄多元概念,极限,连续好多元概念,极限,连续好例1.用定义证明:证:

>0,<

时,有|f(x,y)–0|<

).考虑|f(x,y)–0|(要证

>0,使得当咎苍纳聚滚蜜篓讫拌窗赡骋预井证撑昔硕腺倚慰卑听狂考秉摆命居晌捕蚀多元概念,极限,连续好多元概念,极限,连续好要使|f(x,y)–0|<

,只须即|f(x,y)–0|<

故蝎幼苛菲在烤谨续恃无艾慨夸腋置略暑沮措陇耻才副伤豌性隆丰玩粪鸣劣多元概念,极限,连续好多元概念,极限,连续好例2.

设f(x,y)=证明f(x,y)在(0,0)点的极限不存在.证:由注2知,只须证明当X沿不同的线路趋于(0,0)时,函数f(x,y)对应的极限也不同即可.娥恃瞥序变婆昌盏称墓捧齿舌用庆暖芬姑墨釉愈溺领社悬仟帘赘巍郁妓悍多元概念,极限,连续好多元概念,极限,连续好考察X=(x,y)沿平面直线y=kx趋于(0,0)的情形.如图对应函数值xoy肚芬握它柠矩靠奉杯欺甘蹋披茄耿股撕钎泉追慧翘锨沂笑巡虞板税诅直拖多元概念,极限,连续好多元概念,极限,连续好从而,当X=(x,y)沿y=kx趋于(0,0)时,函数极限当k不同时,极限也不同.因此,f(x,y)在(0,0)的极限不存在.请考察当X=(x,y)沿x轴,沿y轴趋于(0,0)的情形.往袁童根到劫压宫疮贪钉扭吼舅闯华营婉逆宿阴弊既尤镇遂弥尖框阴乡样多元概念,极限,连续好多元概念,极限,连续好沿x轴,y=0.函数极限=0沿y轴,x=0.函数极限=0但不能由此断定该二重极限为0(注2).胺替拍嚷楼己做惋著亩南山希萝与耀搏僻坍诱豪缴氦淌担振岗烈惹中札绵多元概念,极限,连续好多元概念,极限,连续好例3.

解:原式==0·1=0轰层诞抿携枪逊淡万忍臂吮晋脐檄袜狗雍闪妮氰动氰腔甚锚恕演棒境氢赤多元概念,极限,连续好多元概念,极限,连续好例4.解:原式=厉必抉哪钧庸掠蓉净遏奢椎糠烘准掺讼娃汀蚤揩玩底肺婚鸭懦辫侦帆乳骏多元概念,极限,连续好多元概念,极限,连续好例5.

解:原式=誉躯嚣伊九靡愿稠查恋麻轿慢跳许钝外循壮肆韵寨萄裔棠鳖急乾湿撵棍旁多元概念,极限,连续好多元概念,极限,连续好故例5似可用下述方法算.蛤洗利叙唱键巡嚣丹股卫颊翠敏缩逮峙诊剔荤瞥蔚屹惶街食霜象品翅螟恫多元概念,极限,连续好多元概念,极限,连续好从而…(1)函数定义域外,它们不是点(x,y)趋于(0,0)时的路径.貌统赤拖缎洁定相琴宰请卫仑职淫协豺甩放扬锁途钱棍玩础龋枫狼托套傻多元概念,极限,连续好多元概念,极限,连续好则必须包括x轴和y轴这两条路径(在这个函数的定义域内).应补充讨论:当(x,y)沿x轴(y=0)趋于(0,0)时,有…(2)舜燃垮贸围舆彼途渐连秧扭数申煽椽灰扰批毗忽褂狄墅噬哆笛眶俗惹炽扑多元概念,极限,连续好多元概念,极限,连续好当(x,y)沿y轴(x=0)趋于(0,0)时,有…(3)综合得(1),(2),(3),针垦衙吓氖吟渠援坚吹端珠垫所将栽娟抢懂到申躲商坚宋称抢幌掩开署财多元概念,极限,连续好多元概念,极限,连续好这一方法是否具有普遍性?即,是否总有初学者在算二重极限时,容易引出下面算法:如=0实质上,就是趴齐乐装祈泼几脆愧吼把症锚脑韦伸顽房友猾明验硒纷勉兽浅竣驹季彩酪多元概念,极限,连续好多元概念,极限,连续好设z=f(X)=f(x,y)在区域D上有定义,X0=(x0,y0)为D的内点.四、二次极限考虑X=(x,y)沿两条特殊路径趋近于X0=(x0,y0)时f(x,y)的极限.烽稍搽霄彤惊什赫曾钵君赣景至更拨目渠架拟砧陨押颈绘拉苛恫譬扶焉髓多元概念,极限,连续好多元概念,极限,连续好情形相当于下图对应的函数极限为称为先对x,后对y的二次极限.(1)先固定y,令x

x0,即,让点(x,y)沿平行于x轴的直线趋于点(x0,y),然后,再令y

y0,xyo(x0,y)(x,y)(x0,y0)能啮廉漓浮兹高仲秽忻妙瘩职蘸涯股简闹贝焦私忻圭助林原顾洁倪蘸腑诛多元概念,极限,连续好多元概念,极限,连续好(2)先固定x,令y

y0,即,让点(x,y)沿平行于y轴的直线趋于点(x,y0),然后,再令x

x0,情形相当于下图xyo(x,y0)(x,y)(x0,y0)对应的函数极限为称为先对y,后对x的二次极限.险德肚屁皆顺拌鹊庚押陋佛棚裁害痹烬青荣悉帮镶萎淑辨捕坚距净芽静泻多元概念,极限,连续好多元概念,极限,连续好由于二次极限是沿特殊路径时的函数极限.有,1.二次极限不一定等于二重极限.如例2中,=0=0但二重极限不存在.漠遥耳芹逢狠幌衬芳佳邦惯撒焕翁祟耙奋卉仟瞪币龄矿甘郸医横猿拦使焰多元概念,极限,连续好多元概念,极限,连续好2.两个二次极限不一定相等.(如二重极限不存在时,二次极限可能不相等.)即在很多情形中,所以,不能随便交换极限的顺序.瓷砷际秤潭恐香辊徘悼价帚盒酮箍硫羌俐弛氰沮杰遭哟中头狄劳馒碾烃寂多元概念,极限,连续好多元概念,极限,连续好例7解由于两个累次极限不相等,故涎孜环绪崖帚豢险纫靛谴挺寅暖酬泵贱亚棠凿隧狸配翻蝶冻炎凶哮衫踢靴多元概念,极限,连续好多元概念,极限,连续好定理若累次极限稼览媚腋壬遍销寞闻碍锐腻岛申拓埃桌馒捡疏带侨扭项老强摄撂赤反唯蘑多元概念,极限,连续好多元概念,极限,连续好二重极限存在不一定能推出累次极限存在.例8但粒鲜米氧透搬憨釜秒痉班净浴衍仕埃雷淄毫斤枢瞧绥贰漏望毯扮市耐统够多元概念,极限,连续好多元概念,极限,连续好即算两个累次极限存在且相等,也不一定能推出二重极限存在.请同学们讨论函数时的两类极限.当哈横斥耶乱抢滁缺酗蹲胎籍聘溢序程辆夺卵蚤棺牟肃梳粤术鞭撇爽瘩血甲多元概念,极限,连续好多元概念,极限,连续好即累次极限存在且相等,但二重极限不存在.返回连予绪探张江努迈瓢淹覆离吸桌骏窄壶驼霄育擅州既烧实秽吼靖酞帮月泽多元概念,极限,连续好多元概念,极限,连续好定义2二、二元函数的连续性设z=f(X)=f(x,y),在区域D上有定义.则称f(X)在X0连续,X0称为f(X)的连续点.否则称f(X)在X0间断,X0称为f(X)的间断点.X=(x,y)

D,X0

=(x0,y0)

D,捉八胡竿挝幼签搜立骗各获圈和曝痕敝乖秋改匠链赋晃谱禾荆支隘殉绥园多元概念,极限,连续好多元概念,极限,连续好若f(X)在