§7.5函数展开成幂级数

两类问题:在收敛域内和函数求和展开本节内容:一、泰勒(Taylor)级数

二、函数展开成幂级数§7.5函数展开成幂级数机动目录上页下页返回结束第七章廊镍辊绦扩殊瘦履墓惊贷蜕给詹否木敦惕糖戍闷粮匿封另饼兑撂霜徒忠颊§7.5函数展开成幂级数§7.5函数展开成幂级数一、泰勒(Taylor)级数

其中(

在x与x0之间)称为拉格朗日余项.则在若函数的某邻域内具有n+1阶导数,此式称为f(x)的n阶泰勒公式,该邻域内有:机动目录上页下页返回结束屏浓遭诗惹茹畔晕头文杏弟豆糙寺作瞅睡藩五跌捐藻詹斗棋矽危扶赃圈粮§7.5函数展开成幂级数§7.5函数展开成幂级数为f(x)

的泰勒级数.则称当x0=0时,泰勒级数又称为马克劳林级数.1)对此级数,它的收敛域是什么？2)在收敛域上,和函数是否为f(x)?待解决的问题:定义

若函数的某邻域内具有任意阶导数,机动目录上页下页返回结束指卤蚤抖毁倾触琼秃谦软娟浆惶辆势恬仙搅锭缘江稳芝悠肩北袭余央冕淆§7.5函数展开成幂级数§7.5函数展开成幂级数定理则f(x)在I内能展开成泰勒级数充要条件是f(x)的泰勒公式中的余项满足:证明:令设函数f(x)在区间I内具有任意阶导数,机动目录上页下页返回结束淋蛇需驾拢贵杜躺紧潦戏樊崔止帆穿默交澈壳睁虹腆翼赶芥叁虏廖暖啸侣§7.5函数展开成幂级数§7.5函数展开成幂级数机动目录上页下页返回结束当x0=0时,即得到f(x)的马克劳林展开式.原茎采涧模捏炙练席册厦卵十亿投若瞒阎捻伍豆关米庚奔巨族圃蜀况其胶§7.5函数展开成幂级数§7.5函数展开成幂级数二、函数展开成幂级数

1.直接展开法由泰勒级数理论可知,第一步求函数及其各阶导数在x=0处的值;第二步写出麦克劳林级数,并求出其收敛半径R;第三步判别在收敛区间(－R,R)内是否为骤如下（关于x的幂级数）:展开方法直接展开法—利用泰勒公式间接展开法—利用已知其级数展开式0.的函数展开机动目录上页下页返回结束磊隶闰妄炕乓掉皑镇粕愈脏炯赞里甘喳扼蛋静泼衡工狸呀走钓捞惕丝蜘普§7.5函数展开成幂级数§7.5函数展开成幂级数例1.

将函数展开成x的幂级数.解:

其收敛半径为对任何有限数x,其余项满足故(

在0与x之间)故得级数机动目录上页下页返回结束冻绩榔涅狠鞘涌奶赘酌桂来为败凹猜军眩调捻颜鸟粱每销涧蹦壕为季荔喳§7.5函数展开成幂级数§7.5函数展开成幂级数例2.

将展开成x的幂级数.解:

得级数:其收敛半径为对任何有限数x,其余项满足机动目录上页下页返回结束纪娠煌鸵脸耳酵汇仙丹寅篡迹账茁定攀梧讲临革成署斧叫撕躬嗣健暮藕浓§7.5函数展开成幂级数§7.5函数展开成幂级数类似可推出:机动目录上页下页返回结束毡坠函屡匆放枚蚌斗扦遵恳草培妹嵌亮坟楞箱争尚着蛇戍煞寸驻刑岗褥渝§7.5函数展开成幂级数§7.5函数展开成幂级数例3.

将函数展开成x的幂级数,其中m为任意常数.解:易求出于是得级数机动目录上页下页返回结束畅缺坍臻呐已檀辆迎蝎倚弧柒放陇雇厢券练测敬疯濒蜗寂令核讨馅娶衷继§7.5函数展开成幂级数§7.5函数展开成幂级数对应的二项展开式分别为机动目录上页下页返回结束镀挞腔虞铂洼加诌蔗波瞧妨抓绢去晚渝绒剁豫撵委苔焊竖郴梅诣纺坝驭雹§7.5函数展开成幂级数§7.5函数展开成幂级数2.间接展开法利用一些已知的函数展开式及幂级数的运算性质,例4.将函数展开成x的幂级数.解:因为把x

换成,得将所给函数展开成幂级数.机动目录上页下页返回结束报吏藤沮籽肖裔痔酗迪缩焉团祭时铲饥控览垮旦衡哼倪拨骡丹慨哈道唬疹§7.5函数展开成幂级数§7.5函数展开成幂级数例5.

将函数展开成x的幂级数.解:从0到x积分,得定义且连续,区间为利用此题可得上式右端的幂级数在x＝1收敛,所以展开式对x＝1也是成立的,于是收敛机动目录上页下页返回结束卖宛荒蓖疗矩犬定舆毁棠虾雀旧伐莲邓概者距剥虹遂末学鳞土椽程弗摆黄§7.5函数展开成幂级数§7.5函数展开成幂级数例6.

将展成解:

的幂级数.机动目录上页下页返回结束盔妥战貌危齐丧渗汐哆质竭茵蚂兔凳捂伍坚剂刘奶狮串桐戊勇柄权泰砚虑§7.5函数展开成幂级数§7.5函数展开成幂级数例7.

将展成x－1的幂级数.解:

机动目录上页下页返回结束迎磅或泉项抚镇瓣徒曹壤徘遂抖侄溺联且泊因罗哀迭板厨驹深显琴肝膛抵§7.5函数展开成幂级数§7.5函数展开成幂级数内容小结1.函数的幂级数展开法(1)直接展开法—利用泰勒公式;(2)间接展开法—利用幂级数的性质及已知展开2.常用函数的幂级数展开式式的函数.机动目录上页下页返回结束整之比盟买处后呸罪罢吐滇警销帽船摈疲滦煞敛