2024高考数学讲义-平面向量与复数

2024高考数学讲义一平面向量与复数

目录

1.第1讲平面向量的概念及线性运算..........................................2

1.1.基础知识整理...........................................................2

1.2.核心考向突破...........................................................6

1.2.1.考向一平面向量的概念..............................................6

1.2.2.考向二平面向量的线性运算..........................................7

1.2.3.考向三共线向量定理的应用.........................................12

1.3.课时作业..............................................................14

2.第2讲平面向量的基本定理及坐标表示.......................................20

2.1.基础知识整理..........................................................20

2.1.1.核心考向突破.......................................................23

2.1.2.考向一平面向量基本定理的应用....................................23

2.1.3.考向二平面向量的坐标运算.......................................26

2.1.4.考向三平面向量共线的坐标表示...................................28

2.1.5.课时作业..........................................................30

3.第3讲平面向量的数量积及应用.............................................38

3.1.基础知识整理..........................................................38

3.2.核心考向突破..........................................................42

3.2.1.考向一平面向量数量积的运算42

3.2.2.考向二平面向量数量积的性质.....................................44

3.2.3.考向三向量运算的最值或范围问题.................................48

3.3.课时作业..............................................................53

4.第4讲数系的扩充与复数的引入.............................................60

4.1.基础知识整理..........................................................60

4.2.核心考向突破..........................................................62

4.2.1.考向一复数的有关概念...........................................63

4.2.2.考向二复数的几何意义...........................................64

4.2.3.考向三复数的代数运算...........................................66

4.3.课时作业..............................................................69

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1.第1讲平面向量的概念及线性运算

1.1.基础知识整理

1.向量的有关概念

名称定义备注

既有画大小又有画方向的

向量量；向量的大小叫做向量的长度平面向量是自由向量

（或称模）

零向记作0,其方向是任意

长度为画。的向量

量的

与非零向量。平行的单

单位

长度等于画L±单位的向量

向量位向量为端

平行方向相同或厨相反的非零向o与任一向量平行或共

向量量（又叫做共线向量）线

相等长度相等且方向国相同的向两向量只有相等或不相

向量量等，不能比较大小

相反长度相等且方向国相反的向

0的相反向量为0

向量量

2.向量的线性运算

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向量运法则（或几何意

定义运算律

算义）

交换律：

a+b=

[W+a；

求两个向量和

加法

的运算结合律：

(a+〃)+c=

|09|a+(〃+c)

续表

向量运法则（或几何意

、—krZzfa.

定义运算律

算义）

求。与。的相反

减法a-b=a+(—b)

向量-6的和的运算

|z.a|=fwllzllal.

2(/⑷=(2〃)a;

当2>0时，而与a

(A+〃)a=

的方向旧1相同;当

求实数2与向量

数乘114%+

a的积的运算Av0时，痴与a的

2(a+b)=

方向园1相反;当2

115以〃+21

=0时，羽=回。

3.共线向量定理

向量a（aWO）与万共线，当且仅当有唯一一个实数九使8=〃.

1.一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后

一个向量终点的向量，即启2+启3+危4+…+4/A"=R".特另IJ地，一个封

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闭图形首尾连接而成的向量和为零向量.

2.在△回＜?中，CF分别为三角形三边上的中线，它们交于点G（如

图所示），易知G为△ABC的重心，则有如下结论：

（l）G4+GB+GC=0；⑵后=/丽+病；⑶⑶=/良+南=1港+疣）.

3.dA=A（9B+//dca,〃为实数），若点A,B,。共线（。不在直线上），

则2+〃=1.

应双基自测

1.已知是两个非零向量，且I。+b\=\a\+网，则下列说法正确的是（）

A.a+b=0B.a—b

c.。与8共线反向D.存在正实数膜使。=劝

答案D

解析因为。，）是两个非零向量，且|a+"=|a|+向，则。与力共线同向，

故D正确.

2.设平行四边形ABCD的对角线交于点P,则下列命题中正确的个数是

（）

®AC=AB+AD-,②协=；潘+俞）；③访=筋-屐）；@PD=PB.

A.1B.2

C.3D.4

答案C

解析由向量加法的平行四边形法则，知①危=法+屐），②办=；（卷+

盘））是正确的；由向量减法的三角形法则，知③访=牯-疝是正确的；因为疝，

丽的长度相等，方向相反，所以④用=而是错误的.故选C.

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3.如图所示，向量苏=%OB=b,OC=c,A,B,C三点在一条直线上,

且危=-3为，贝女)

A.c=一呼+也

-31,

B.c=呼一]力

C.c=—a+2方

D.c=a+2b

答案A

解析：AC=-?>CB,：.AC=^AB,：.OC-OA=^OB-OA）,：.OC=^OB

[r[3

-c=~2a+•故选A.

4.已知线段上A,B,。三点满足反7=2筋，则这三点在线段上的位置关系

是（）

答案A

解析根据题意得到心和油是共线同向的，且BC=2AB,故选A.

5.(202。安徽芜湖模拟汜知。ABC。的对角线AC,B。相交于点。，且为

=a,OB=b,贝l]OC=,BC=(用a,8表示).

答案b-a

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解析如图，比=屈=为一倒=力一"，比=比一为=一倒一为

-b.

6.在四边形ABC。中，对角线AC与8。交于点0,若2醇+加=2历+

0B,则四边形A3C。的形状为.

答案梯形

解析-：2dA+dC=2db+OB,：.2(OA-db)=OB-OC,即2DA=CB,

：.DAIICB,且|丽=两四边形ABC。是梯形.

1.2.核心考向突破

1.2.1.考向一平面向量的概念

例1给出下列命题：

①若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；

②若。与方共线，)与c共线，则。与c也共线；

③若A,B,C,。是不共线的四点，S.AB=DC,则四边形ABC。为平行四

边形；

@a=b的充要条件是同=血且alib；

⑤已知九〃为实数，若初=血则。与方共线.

其中真命题的序号是________.

答案③

解析①错误，两个向量起点相同，终点相同，则两个向量相等；但两个向

量相等，不一定有相同的起点和终点.②错误，若8=0,贝1Ja与c不一定共线.③

正确，因为筋=病，所以|曲|=|比|且筋//比；又A,B,C,。是不共线的四

点，所以四边形ABC。为平行四边形.④错误，当a//)且方向相反时，即使㈤

=网，也不能得到。=仇所以⑷=制且。//万不是。=分的充要条件，而是必要

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不充分条件.⑤错误，当％=〃=0时，。与8可以为任意向量，满足瓦但

a与b不一定共线.

平面向量有关概念的四个关注点

（1）相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性.

（2）共线向量即为平行向量，它们均与起点无关.

（3）向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量，解题时，不要把它

与函数图象的移动混淆.

（4）非零向量。与合的关系：合是与。同方向的单位向量.

1.设如为单位向量，有下列命题:①若。为平面内的某个向量，

贝a=|a|a（）；②若a与a（）平行，贝【Ja=|a|a（）；③若a与a（）平行1且|a|=1,贝【Ja=a（）.

其中假命题的个数是（）

A.0B.1

C.2D.3

答案D

解析向量是既有大小又有方向的量，。与⑷。。的模相同，但方向不一定相

同，故①是假命题；若。与如平行，则。与ao的方向有两种情况：一是同向，

二是反向，反向时。=-1。血，故②③也是假命题.综上所述，假命题的个数是

3.故选D.

多角度探究突破

1.2.2.考向二平面向量的线性运算

角度1平面向量线性运算的几何意义

例2（1）已知点O,A,B不在同一条直线上，点尸为该平面上一点，且2罚

=20A+BA.,贝女）

A.点P在线段A8上

B.点P在线段A8的反向延长线上

C.点P在线段AB的延长线上

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D.点户不在直线AB上

答案B

解析因为2罚=2次1+丽，所以2国＞=或，所以点尸在线段AB的反向

延长线上.

（2）（2017•全国卷II）设非零向量％b^^\a+b\=\a-b\,则（）

A.aA_bB.\a\=\b\

C.allbD.

答案A

解析解法一：（利用向量加法的平行四边形法则）在DABCO中，设防=%

AD=b,由|。+"=|。一"知四|=|彷从而DABCO为矩形，gpABLAD,故al

b.故选A.

解法二：\a+b\=\a-b\,|a+6|2=\a-6|2.a1+b2+lab=（r+b2-lab.

：.ab=0....a_L5.故选A.

角度2平面向量线性运算

例3⑴（2021.安徽芜湖质量检测）如图所示，下列结论正确的是（）

—33—►33—31—3

®PQ=^a+^b；（2）PT=-彳a-1b；③由=\a-R；@PR=^a+b.

A.①②B.③④

C.①③D.②④

答案C

解析由a+万=|苑，知的=|a+|。，①正确；由”一8=|丙，知丙=|a

33131

-16,②错误；PS=PT+b,故河=呼一］仇③正确；PR=PT+2b=^a+^b,

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④错误.故正确的为①③，故选C.

(2)(2020.淄博二模)在平行四边形ABC。中，DE=3EC,若AE交8。于点

M,则由/=()

B.+yAD

D.辆+淡

答案B

解析•.•西=3反「.E为线段。。上靠近点C的四等分点.显然AABM

sAEDM,艮喘=第4••.加=辆=胧＞+函=瓶＞+淘=涧+T

AD故选B.

角度3利用线性运算求参数

例4(1)(2020.石家庄质检)在△ABC中，0为AABC的重心，若前＞=屈

+).IAC,贝"-2〃=()

1

A.-2B,-1

-44

C.wD.-

答案D

解析设AC的中点为。，因为。为△ABC的重心，所以的=|沆)=|(或

+AD)=-|A6+|X^AC=-|A6+|AC,所以A=〃=g,所以2-2"=-

4

3,故选D.

(2)如图所示，矩形A5CO的对角线相交于点。，£为4。的中点，若建=

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14B+MD(2,〃为实数)，则乃+〃2=()

A.fB.

o

C.1D-

答案A

11111

应-

解析--

DE=2+22-+42-+1(DA+AB)=-^AD,所

35

-2-

48

触类旁通向量线性运算的解题策略

(1)向量加减的常用法则是平行四边形法则和三角形法则，一般共起点的向

量求和用平行四边形法则，求差用三角形法则，求首尾相连向量的和用三角形法

则.

⑵找出图形中的相等向量、共线向量，将所求向量与已知向量转化到同一

个平行四边形或三角形中求解.

(3)利用向量的线性运算求参数的步骤：先通过向量的线性运算用两个不共

线的向量表示有关向量，然后对比向量等式求出参数或建立方程(组)求解.

即时训练2.已知四边形A3CO是平行四边形，0为平面上任意一点，设

0A=a,OB=b,OC=c,OD=d,贝lj()

A.〃+8+c+d=0B.a—力+c—d=0

C.。+力一c—d=0D.a~~b—c+d=O

答案B

解析如图所示，a-b=BA,

c-d=DC,

.•・四边形ABCD是平行四边形，且就与及;反向，即成+次;

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=0,也就是a-b+c-d=0.

3.（2020.湖南师范大学附中模拟）如图所示，在正方形A3CQ中，E为A5的

中点，尸为CE的中点，则能=（）

1-3f

B.^AB+~^AD

C^AB+AD

D.^AB+^AD

答案D

解析根据题意得力=；乘+翁），又因为病=卷+在，所以

办=/鑫+病+3时=汕+；检故选D.

4.（2020•洛阳尖子生第二次联考）在△A8C中，点。在线段3c上，且防=

2反，点O在线段C。上（与点C,。不重合）.^AO=xAB+（l-x）AC,贝1J九的

取值范围是_______.

答案（。,|）

解析解法一：AO=xAB+（l-x）AC=x{AB-AC）+AC,即而―公=x（部

-AC）,^mCO=xCB,所以四=x.因为防=2成,所以反?=3反,贝lj0<x<—

I函比I

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I，所以X的取值范围是（01}

解法二：设底限2痣1）,则劭=油+电油+4=（1“麻+

14C=XAB+(1-X)AC,贝九=l_26(0,

1.2.3.考向三共线向量定理的应用

例5⑴设均与62是两个不共线向量，油=3ei+2e2,CB=ke\+ez,CD=

3幻-2版2,若A,B,。三点共线，则々的值为（）

94

A.-4B.-g

C.D.不存在

答案A

解析由题意，A,B,。三点共线，故必存在一个实数九使得卷=2防.

又因为AB=3ei+2e2,CB=ke\+d,CD=3ei-2ke2,所以8。=CD-CB=3ei-

2氏2-(故+C2)=(3-Z)ei-(2Z+I)%所以3ei+2e2=〃3-Z)ei-42女+l)e2,所

,3=2(3-2),

以＜

2=-422+1),

9

-故选A

4-

（2）（2020.滨州二模）已知。，A,B,C为平面a内的四点，其中A,B,C三

I2

点共线，点O在直线A5外，且满足为=;丽+：沆.其中x>0,y>0,则x+8y

xy

的最小值为（）

A.21B.25

C.27D.34

答案B

[2

解析根据题意，A,B,。三点共线，点。在直线AB外，OA=-xOB+y-OC.

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设放=2比QWO,2W1),则丽=为+威=浦+2求=为+〃反-加)=2反

消去见得:+：=1,•.•x+8y=(x+8y)g+：)=1+

+(1-X)OB,

§+,+1627+2'层*=25(当且仅当x=5,y=|时等式成立).故选B.

y人\y乙

触类旁通⑴三点共线问题可转化为向量共线问题来解决，但应注意向

量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共

线.根据A,B,。三点共线求参数问题，只需将问题转化为危=2油，再利用

对应系数相等列出方程组，进而解出系数.

(2)三点共线的一个常用结论：A,B,。三点共线台存在实数乙〃对平面内

任意一点。(。不在直线BC上)满足宓=%为+〃及设+〃=1).

即时训练5.已知向量a,方不共线，且c=〃+＞,d=a+(2X-i)b,若c

与d共线反向，则实数％的值为()

A.1B.-g

1

C.2D.—2

答案B

解析由于c与d共线反向，则存在实数左使c="(攵＜0),于是痴+b=Ha

+(22-l)b],整理得〃+8=履+(2爪-幻尻由于a,8不共线，所以有

入=k,1

，整理得2万一%一1=0,解得2=1或2=—5.又因为人＜0,所以丸＜0,

2AK-K=1,z

故".故选B.

6.(2020.江苏高考)在△ABC中，AB=4,AC=3,ABAC=90°,。在边BC

上，延长A。到P,使得AP=9,若成=〃?而+(|-〃?)后(加为常数)，则CQ的

长度是.

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,]8

答案。或5

解析VA,D,P三点共线，.••可设戌=4力。＞0）.•.•成=〃?而+（|-加）

PC,：.XPD=mPB+（|-rn^PC,即用=号而+丸'危.若〃讳0且加力|,则

m住-加）3

B,D,C三点共线，..1+―j—=1,即2=1：AP=9,：.PD=6,：.AD=3.

I9AC3

■：AB=4,AC=3,ZBAC=90°,：.BC=\lAB2+AC2=5,：.cos^ACB=-^=^.

AC2+CD1-AD2xAC3

设CD=x,根据余弦定理可得cos/AC。=---2AC-CD-----=6=fiC=5,贝=

1Q1Q§

不的长度为了当初=0时，成=5无，c,。重合，此时co的长度为

0,当加=|时，PA=^PB,B,。重合，此时必=12,不符合题意，舍去.故CQ

1Q

的长度为0或亏.

1.3.课时作业

一、单项选择题

1.如图，。是平行四边形A8CO的两条对角线的交点，则下列等式正确的

是（）

\.DA-DC=AC

^.DA+DC=DO

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C.OA-ois+AD=DB

D.AO+OB+BC=AC

答案D

解析对于A,DA-DC=CA,错误；对于B,DA+DC=2D0,错误；对

于C,OA-OB+AD=BA+Ab=BD,错误；对于D,AO+OB+BC=AB+BC

=AC,正确.故选D.

2.已知向量i与/不共线，且拔=，+〃?/,AD=ni+j,若A,B,。三点共

线，则实数〃?，〃应该满足的条件是（）

A.m+n=IB.m+n=-1

C.mn=1D.mn=-1

答案C

解析由A,B,。共线可设筋=%屐），于是有i+4=2（〃i+y）=2〃i+方.又

Aw=1,

i,/不共线，因此।即有〃z〃=l.

/.=m,

3.已知。是△ABC所在平面内一点，。为边的中点，且2宓+为+

oc=o,那么（）

X.AO=0DB.A0=2OD

C.Ab=DOD.AO=IDO

答案A

解析由。是BC边的中点，可得/+说=2历，故2/+2历=0,所

以劭=沆）.故选A.

4.（2020.西北师大附中模拟）设a,8都是非零向量，下列四个条件中，使力।

=看成立的充分条件是（）

A.a=-bB.a\_b

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C.a=2bD.a_L力且|a|二|〃|

答案C

解析由于a,方都是非零向量，若全自成立，则a与方需要满足共线同

向.

5.（2020.山东威海月考）设P是△ABC所在平面内的一点，且丽=2或，则

△孙3与△PBC的面积之比是（）

A.1B.g

c2-3

C-3D,4

答案B

解析..•丽=2成，:.P为边AC靠近A点的三等分点，二△%8与△PBC

的面积比为1：2.

6.设。，E,尸分别为△ABC的三边BC,CA,A3的中点，则或+龟=

（）

一1一

AADB.^AD

C.BCD.

答案A

解析设施=a,AC=b,^EB=-^b+a,FC=-^a+b,从而前十的=

（一％+a[+（一/+。=g（a+b）=Ab.故选A.

7.如图所示，已知AB是圆。的直径，点C,。是半圆弧的两个三等分点，

AB=a,AC=b,jUljAD=()

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A.ci—~^bB.—b

C.a+/D,ga+b

答案D

1

解析连接8,由点C,。是半圆弧的三等分点，得CDIIAB,且诙-2-

AB=ya,=AC+CD=b+^a.

8.设M为平行四边形ABC。对角线的交点，。为平行四边形ABC。所在

平面内任意一点，则为+为+浣+历等于（）

A.OMB.20M

C.3OMD.\OM

答案D

解析OA+OB+OC+db=（OA+OC）+（OB+db）=2OM+2OM=4OM.

故选D.

9.（2020.山东济宁月考）如图,在△ABC中，点。在BC边上，且CD=2。8,

点E在AO边上，B.AD=3AE,则用向量霜，病表示走为（）

答案B

解析由平面向量的三角形法则及向量共线的性质可得无=翁-/=（

AZ)-AC=KAB+|BC)-AC=|[AB+|(AC-AB)]-AC=|AB-|AC.

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10.（2020.河北衡水调研）一直线/与平行四边形ABC。中的两边AB,AD分

别交于点E,F,且交其对角线AC于点M,若筋=2油，AD=3AF,AM=AAB

一,5

〃€R）,则吸一2=（）

A.-gB.1

3

C.2D.-3

答案A

解析AM=/.AB-^AC=kAB-n（,AB+Ab）=^-n）AB-nAb=2^-^AE-

3//AF,因为E,M,F三点共线，所以2（"〃）+（-3〃）=1,即2"5"=1,所以

—A=—].故选A.

二、多项选择题

11.设a,方是不共线的两个平面向量，已知用=。+sina•瓦其中a€（0,2兀），

QR=2a-b.^P,Q,H三点共线，则角a的值可以为（）

,兀e5兀

A.TOB17O-

一7兀—11兀

~7~~7~

C.OD.O

答案CD

解析因为。，方是不共线的两个平面向量，所以2a-〃#0.即摩W0,因为

P,Q,R三点共线，所以加与建共线，所以存在实数L彳吏苑=%建，所以a

1=2A,[

+sin以力=2/a-2仇所以J.解得sina=■.又a€（0,2兀），故。可为

sina=-Z,乙

7兀-11兀

不或飞"•

12.（2021.福建福清高三模拟）设点M是△ABC所在平面内一点，则下列说

法正确的是（）

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A.若能•筋+；则点〃是边的中点

B.若而=2福-沅，则点M在边BC的延长线上

C.^AM=-BM-CM,则点M是△ABC的重心

D.^AM=xAB+yAC,且x+y=g,则△MBC的面积是△ABC的面积的g

答案ACD

解析A中，=+^AC^^AM-^AB=^AC-^AM,^BM=MC,则

点M是边8C的中点；B中，AM=2AB-AC^AM-AB=AB-AC,所以丽f=

CB,则点M在边CB的延长线上，所以B错误；C中，设8C中点为。，则而

=-BM-CM=MB+MC=2MD,由重心性质可知C正确；D中，AM=xAB+

yAC,且光+y=92而=2xAB+2yAC,2x+2y=l.^AD=2AM,所以屐）=2xAB

+2yAC,2x+2y=\,可知8,C,。三点共线，所以aMBC的面积是△ABC面

积的;•故选ACD.

三、填空题

13.若办=g油，Afi=(/l+l)BP,贝lj%=.

答案-1

解析如图，由加［丽，可知点P是线段A3上靠近点A的三等分点，则

AB=-|B>,结合题意可得丸+1=-|,所以a=-|.

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14.向量a,b,c在正方形网格中的位置如图所示.若向量痴+8与c共

线，则实数％=.

答案2

解析由题中所给图象可得，2a+b=c,又c=〃Qi+6）,所以2=2.

15.若点。是△ABC所在平面内的一点，且满足|濡-OC\=\OB+OC-2OA

I,则△ABC的形状为.

答案直角三角形

解析因为为+浣-2宓=为一/+反_为=油+庆，OB-OC=CB

=AB-AC,所以防+病|=|曲一危1,即海•危=0,故卷1加，所以△ABC为

直角三角形.

16.在直角梯形ABC。中，NA=90。，ZB=30°,AB=2®BC=2,点E

在线段CD上（点E不与点C,。重合），若施=屈）+〃屈，则〃的取值范围是

答案0<〃耳

解析由题意可求得4。=1,。=小，.,・筋=2比•点E在线段CD上

（点E不与点C,。重合），

.,.DE=ADC（O<2<1）.-：AE=Ab+DE,^AE=AD+fiAB=AD+2^DC=AD

2/Z-►2/Zon1

+十DE,1,即〃=0<2<l,「♦0<〃vg.

2.第2讲平面向量的基本定理及坐标表示

2.1.基础知识整理

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I。知识梳理

1.平面向量的基本定理

如果g，e2是同一平面内的两个回1不共线向量,那么对这一平面内的任一

向量有且只有一对实数加，勿使。=画&自吐&经.

2.平面向量的坐标表示

在直角坐标系内，分别取与两x轴、y轴正方向相同的两个单位向量i,j作

为基底，对任一向量。，有唯---对实数x,y,使得4=3+切，画(x,y)叫做

向量a的直角坐标，记作a=(x,y),显然i=国心①，/=国包D,0=画

(0,0).

3.平面向量的坐标运算

⑴设Q=(XI,yi),b=(X2,”)，

贝|Ja+力二|。8|但+X2,yi+丫2),

a-b=[^](加一22,yi-y2),

Xa=|10|(Zxi,加).

(2)设A(xi,yi),8(X2,yi),

则曲=HT](X2-xi,丫2-.yi),

\AB\=1^1-xi)2+(V2-yiE

4.平面向量共线的坐标表示

设a=(xi,yi),b=(xi,yi),其中DWO,贝UaIIb0a=€R)台同为w二

X2V1=0.

知识拓展

1.平面向量一组基底是两个不共线向量，平面向量基底可以有无穷多组.

2.当且仅当了2L70时，a//8与三=£等价，即两个不平行于坐标轴的共线

向量的对应坐标成比例.

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3.若a与。不共线，且痴+〃b=0,贝|J2=〃=O.

4.已知P为线段AB的中点，若A3,y),B(X2,yi),则P点坐标为

(即+X2yi+>2)

I212\

5.已知△ABC的顶点AS,yi),B(X2,")，C(x3,y3),则aABC的重心G

的坐标为产产,空严.

6.A(xi,yi),8(X2,yi),C(xs,")三点共线的充要条件为⑴-汨)。3-yi)-

(X3-修)("-J1)=O,或(X2-汨)(丁3->2)=(招-X2)(y2->1),或。3—为)。3—>2)=(%3

-X2)(”-yi).

|@双基自测

1.已知向量a=(2,4),6=(-1,1),则2@+b等于()

A.(5,7)B.(5,9)

C.(3,7)D.(3,9)

答案D

解析2a+6=2(2,4)+(-l,l)=(3,9),故选D.

2.设向量a=(x,l),b=(4,x),若a,8方向相反，则实数x的值是()

A.0B.±2

C.2D.-2

答案D

解析由题意可得。//瓦所以£=4,解得x=-2或2,又因为a,8方向

相反，所以x=-2.故选D.

3.下列各组向量中，可以作为基底的是()

A.e,=(0,0),e2=(l,-2)

B.ei=(-l,2),e2=(5,7)

C.e\=(3,5),ei=(6,10)

D.ei=(2,-3),e2=&一,

答案B

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解析两个不共线的非零向量构成一个基底，A中向量均为零向量，C,D

中两向量共线，B中eiWO,e2#0,且均与e?不共线.故选B.

4.设向量。=(-1,2),向量8是与a方向相同的单位向量，贝6=()

近

」

A(-5

11,2)

-

5B,

D.传

c-

--,

答案B

解析因为向量分是与a方向相同的单位向量，所以8=*=e言不

(一1,2)=坐(一1,2)=(一坐,明故选B.

5.已知%8co的顶点A(-l,-2),B(3,-1),C(5,6),则顶点。的坐标

为•

答案(L5)

~―[4=5-%,

解析设。(x,y),则由AB=OC,得(4』)=(5—x,6—y),即，/解

U=6-

x=1,

得

y=5.

ITJ

6.已知向量a-(2,3)，万=(-1,2),若ma+nb与a-2b共线,则刀=.

1

案

答2-

解析由向量a=(2,3),b=(-1,2),得ma+nb=(2m-+2n),a-2b=

2m-n3m+2nm1

(4,-1).由〃?a+汕与a-2方共线，得一—=———,所以三=-,

2.1.1.核心考向突破

2.1.2.考向一平面向量基本定理的应用

第23页共75页

例1⑴如图，点A,B,C,P均在正方形网格的格点上.若国＞=2屈+〃而

(尤〃CR),贝以+2〃=()

3

A.1B.

4

C.QD.2

答案B

解析设在正方形网格上方向为水平向右，长度为一格的向量为i,方向为

竖直向上，长度为一格的向量为了,..・磊=-万+讥AC=4i,AP=i+j,-：AP

=XAB+//AC(A,//€R),即i+/=/l(-2i+4)+〃X4i,i+j=(4/Z-2A)i+2/7，/.

4，一2%=I,r=2'

Ui,解得i.■/+2〃=1•.故选B.

仅=5，

(2)如图，以向量宓=a,彷=8为邻边作平行四边形OA。5BM=\BC,

C7V=|cb,用a,8表示说/,

ON,MN.

解-：BA=OA-OB=a--b,BM=^BA=^a-^b,

：.0M=OB+BM=6H

[r[r]r2—22

OD=a+b,ON=0(7+~^CD=-jOD+-^OD=~^0D=铲+葩，

r22,1511

.\MN=ON-OM=^a+^b-6a-6b=2a-6b

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综上，OM=,ON=,MN=^b-

触类旁通应用平面向量基本定理表示向量的