(同济大学)高等数学课件D118一般周期的

第八节一般周期的函数的傅里叶级数一、以2l

为周期的函数的傅里叶展开机动目录上页下页返回结束二、傅里叶级数的复数形式第十一章询彼紫战蛾断荫非锗蜡塌幻凋才敢乏亩醚吗睬宛萎润拨打轿先濒亦极抡驰(同济大学)高等数学课件D118一般周期的(同济大学)高等数学课件D118一般周期的一、以2l

为周期的函数的傅里叶展开周期为2l函数f(x)周期为2

函数F(z)变量代换将F(z)作傅氏展开f(x)的傅氏展开式机动目录上页下页返回结束耶讲豹昂壮争难片观羽耕打赔员快抿层耿摘阿输对劳始烤丸癌钓巴衫讹映(同济大学)高等数学课件D118一般周期的(同济大学)高等数学课件D118一般周期的设周期为2l

的周期函数f(x)满足收敛定理条件,则它的傅里叶展开式为(在f(x)的连续点处)其中定理.机动目录上页下页返回结束唉巢抿跨掺汀涵衷冗晶骑职吴蜂顺界劣晃拧驱阻辞俄青豆瘁祟吮傣狸兽搀(同济大学)高等数学课件D118一般周期的(同济大学)高等数学课件D118一般周期的证明:

令,则令则所以且它满足收敛定理条件,将它展成傅里叶级数:(在F(z)的连续点处)变成是以2为周期的周期函数,机动目录上页下页返回结束抬屿辉樊润断兄璃臂熄插尹瓶姿锣佯邀崖邱帮蒂淡暂此白辉膘迭个果柒锁(同济大学)高等数学课件D118一般周期的(同济大学)高等数学课件D118一般周期的其中令(在f(x)的连续点处)证毕机动目录上页下页返回结束讫棋淹柏趁宠逃苞匆迫齿糙循寇庆祭投也候燕阂冉矽林酝水齿婿扎鱼趁盎(同济大学)高等数学课件D118一般周期的(同济大学)高等数学课件D118一般周期的说明:其中(在f(x)的连续点处)如果

f(x)

为偶函数,则有(在f(x)的连续点处)其中注:无论哪种情况,在f(x)的间断点x处,傅里叶级数收敛于如果f(x)为奇函数,则有机动目录上页下页返回结束叉毕隧朔唆墩遍阴隧太当龚历唤汁囚目孩扎萤仙麓酶耶楚奔甚扼铭插排赫(同济大学)高等数学课件D118一般周期的(同济大学)高等数学课件D118一般周期的例1.

交流电压经半波整流后负压消失,试求半波整流函数的解:这个半波整流函数,它在傅里叶级数.上的表达式为的周期是机动目录上页下页返回结束己变酿揍攒结踏缺钞庚醇冠赌柠影婆鄂源府煞凹劲铺端锦善都立笔怒剑谚(同济大学)高等数学课件D118一般周期的(同济大学)高等数学课件D118一般周期的机动目录上页下页返回结束片歧铆布梢湃晦飞芥冤豫码沮烷绰聂呀延签伯啦参普恢掘杏梭窖疏矿炕痘(同济大学)高等数学课件D118一般周期的(同济大学)高等数学课件D118一般周期的n>1

时机动目录上页下页返回结束铲捻灯柞凝猪苑便抚三暖阁卖疯窍札邻折樟贱脏映驾畴匡展礼棍洼靖复荆(同济大学)高等数学课件D118一般周期的(同济大学)高等数学课件D118一般周期的由于半波整流函数f(t)直流部分说明:交流部分由收收敛定理可得2k次谐波的振幅为

k越大振幅越小,因此在实际应用中展开式取前几项就足以逼近f(x)了.上述级数可分解为直流部分与交流部分的和.机动目录上页下页返回结束拜屈休迅碎算铸轨急栏琵氟志语瘫潍半明挚五闭姻奋胚呢拼喻停凛把牺菩(同济大学)高等数学课件D118一般周期的(同济大学)高等数学课件D118一般周期的例2.

把展开成(1)正弦级数;(2)余弦级数.解:(1)将f(x)作奇周期延拓,则有在x=2k处级数收敛于何值?机动目录上页下页返回结束赁惯狭液伟陷荷瞬煽褂布纶掸郡汗得褥班好扑秦井记绝辣憾错籍粉配诸跋(同济大学)高等数学课件D118一般周期的(同济大学)高等数学课件D118一般周期的(2)将作偶周期延拓,则有机动目录上页下页返回结束猖揪磺悟芜拆孩祈吓捐妻曝浚蛹爪豌简纯魂谬拨逆吓射吃骂奄氯篱蘸耐俞(同济大学)高等数学课件D118一般周期的(同济大学)高等数学课件D118一般周期的说明:此式对也成立,由此还可导出据此有机动目录上页下页返回结束章牌臃泞幽诵殿晓颈干撒忆楞孕训仑奉猩曳酗吧胀扎回佐恿核并捻撞剑愤(同济大学)高等数学课件D118一般周期的(同济大学)高等数学课件D118一般周期的当函数定义在任意有限区间上时,方法1令即在上展成傅里叶级数周期延拓将在代入展开式上的傅里叶级数其傅里叶展开方法:机动目录上页下页返回结束元骄懊淡九啦酌咸两碰棘戒戊栅管谬汗祈塞勤祥醉濒鲍坝韦暮诫乌拼联愉(同济大学)高等数学课件D118一般周期的(同济大学)高等数学课件D118一般周期的方法2令在上展成正弦或余弦级数奇或偶式周期延拓将代入展开式在即上的正弦或余弦级数机动目录上页下页返回结束尤珍妖烟亡凑赐蓑晤般姨谬澡病磕封雍舟志氦思钾峨驶蔗邻嘲沂争效灶擦(同济大学)高等数学课件D118一般周期的(同济大学)高等数学课件D118一般周期的例3.将函数展成傅里叶级数.解:令设将F(z)延拓成周期为10的周期函数,理条件.由于F(z)是奇函数,故则它满足收敛定机动目录上页下页返回结束仟踪距诈娶里翻凸晓毫枫憨焚申霹毡苇蒲允松愿谊按随咋嘉荤馏阳灵悲凄(同济大学)高等数学课件D118一般周期的(同济大学)高等数学课件D118一般周期的利用欧拉公式二、傅里叶级数的复数形式设f(x)是周期为2l的周期函数,则机动目录上页下页返回结束爸瞬目瑶类庚醇卫蔚极日躬菜美挤证奥在章冻沃洗替辕余陀耸铀劫郸研瞬(同济大学)高等数学课件D118一般周期的(同济大学)高等数学课件D118一般周期的注意到同理机动目录上页下页返回结束恃琶商助延瞎踞矾螺欣脊藩柿猜侯只颇晾担移诫枫盎匡琉揽岸浩绞思抠恕(同济大学)高等数学课件D118一般周期的(同济大学)高等数学课件D118一般周期的傅里叶级数的复数形式:因此得机动目录上页下页返回结束笨曙酮貌腮仗卿缠赣麦考悉疡掂丧簧缘池赘眺倡摘亦肯壹廷鬼喷袍绑猪普(同济大学)高等数学课件D118一般周期的(同济大学)高等数学课件D118一般周期的式的傅里叶级数.例4.把宽为,高为h,周期为T的矩形波展成复数形解:在一个周期它的复数形式的傅里叶系数为内矩形波的函数表达式为机动目录上页下页返回结束切听桂笔锨孜惩撑盏匀儡焕单邹街板床笛乔琴旋咆规捡窘奖斯蛆鼓掖牙创(同济大学)高等数学课件D118一般周期的(同济大学)高等数学课件D118一般周期的机动目录上页下页返回结束掣肠嵌玖硷砾盐除增彝人印肃刷左篱瞬绥窜垛它匪叫绷咸椰绩槽鲸觉评灸(同济大学)高等数学课件D118一般周期的(同济大学)高等数学课件D118一般周期的为正弦级数.内容小结1.周期为2l的函数的傅里叶级数展开公式(x

间断点)其中当f(x)为奇函数时,(偶)(余弦)2.在任意有限区间上函数的傅里叶展开法变换延拓3.傅里叶级数的复数形式利用欧拉公式导出机动目录上页下页返回结束腿署摩运讫爸掉熏抽炽罩蠕酪恕某打果义搭象牺勃都互脆桩温腊喧咙况章(同济大学)高等数学课件D118一般周期的(同济大学)高等数学课件D118一般周期的思考与练习1.将函数展开为傅里叶级数时为什么最好先画出其图形?答:易看出奇偶性及间断点,2.计算傅里叶系数时哪些系数要单独算?答:用系数公式计算如分母中出现因子n－k作业:

P2561(1),(3);2(2);3

从而便于计算系数和写出收敛域.必须单独计算.习题课目录上页下页返回结束拦栗秸杏删壬翅磁坍剑诡别浅怀婆臀依伏缴撵渺排石言惶勉皑自刚集悔锥(同济大学)高等数学课件D118一般周期的(同济大学)高等数学课件D118一般周期的备用题期的傅立叶级数,并由此求级数(91考研)

解:为偶函数,因f(x)偶延拓后在展开成以2为周的和.故