2021年全国高等学校招生考试数学试题（全国I卷）（理）-《2021年全国普通高等学校统一招生考试数学（冲刺）试卷》（解析版）

绝密☆启用前

2。21年全国普通高等学校统一招生（全国I卷）（理）

数学（冲刺）试题

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改

动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在

本试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

第I卷选择题部分（共60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的.

1.（2021•湖南高三一模）若复数z满足（l+2>z=2+i,其中i为虚数单位，则忖=（）

34

A.-B.一C.1D.2

55

【答案】C

【解析】

分析：由题意结合复数的运算法则整理计算即可求得最终结果.

详解：由题意可得：z=——,

W-^-1

则忖=2+1

1+2/|l+2z|卡）

本题选择c选项.

2.（2021.江西高三其他模拟（理））满足aeA且4-aeA,aeN且4—aeN的有且只有2个元素的集

合A的个数是（）.

A.0B.1C.2D.3

【答案】C

【解析】

先由题意，得到。的可能取值为：0，1,2,3,4；根据题意，分别讨论。=0,1,2,3,4四种情

况，即可求出结果.

【详解】

因为aeN且4—awN,所以a的可能取值为：0,1,2,3,4；

若。=0,则4—a=4eN,故4={0,4},符合题意;

若。=1,则4—a=3wN,故人={1,3},符合题意;

若。=2,则4—a=2eN,故4={2},不符合题意;

若a=3,则4—a=leN,故4={3,1},符合题意；

若a=4,则4一a=0eN,故人={4,0},符合题意;

当。＞4且aeN时，均不符合题意.

综上，集合A的个数是2.

故选C

3.（2021•甘肃高三一模（文））玉琮是一种内圆外方的筒型玉器，它与玉璧、玉圭、玉璋、玉璜、玉城被称

为“六器”，是古人用于祭祀神祇的一种礼器.《周礼》中载有“以玉作六器，以礼天地四方，以苍璧礼天，以

黄琮礼地”等文.如图为齐家文化玉琮，该玉琮中方内空，形状对称，圆筒内径2.0cm,外径2.4cm,筒

高■6.0cm,方高4.0cm,则其体积约为（单位：cm3）（）

—2.4

A.23.04-3.92万B.34.56-3.92万C.34.56-3.12万D.23.04-3.12^

【I答案】D

【解析】

由所给几何体为圆柱与长方体的组合体，利用体积公式计算即可.

【详解】

由图可知，组合体由圆柱、长方体构成，

24

组合体的体积为V=2X乃X(―)2X1+4x2.4X2.4-万XFX6=23.04—3.12万，

2

故选：D

4.(202。•赣榆智贤中学)某工厂的每月各项开支工与毛利润y(单位：万元)之间有如下关系，与x的

线性回归方程y=6.5x+a，则。=()

X24568

y3040605070

A.17.5B.17C.15D.15.5

【答案】A

【解析】

根据表中的数据，求得样本中心为(5,50),代入回归方程为＞=6.5%+。，即可求解.

【详解】

由题意，根据表中的数据，可得［——_=5,心30+40+60+50+70=5°,

5

即样本中心为(5,50),代入，与％的线性回归方程为｝；=6.5彳+4,解得a=17.5.

故选：A.

5.(2021・上海高一专题练习)下列命题中正确的是()

A.y=cosx在第二象限是减函数B.y=tanx在定义域内是增函数

兀71

C.y=|cos(2x+g)|的周期是5D.y=sin|x|是周期为2%的偶函数

【答案】C

【解析】

根据函数的图象与图象变换进行判断.

【详解】

解：由余弦函数图象可知y=cosx在［2七r,〃+2左司(ZeZ)上单调递减，故在+2E,兀+2E(%?Z)

上单调递减，但是在第二象限内不具有单调性，故A错误;

由正切函数的图象可知y=tanx在每一个周期内都是增函数，故y=tanx在定义域内不是增函数，故B

错误.

TTTT77

y=cos(2x+§)的周期为〃，则y=|cos(2x+可)|的图象是由y=cos(2x+石)的图象将“轴下方的部分

翻折到工轴上方得到的，故周期减半，

jr71

.•.)，=|COS(2X+Q)|的周期是不，故C正确.

y=sin|x|是偶函数，其图象是将y=sinx在y轴右侧的函数图象翻折到y轴左侧，所以函数y=sin|x|不

是周期函数，故D错误.

故选：C.

6.(2021•安徽高三二模(文))设抛物线。：丁=4彳的焦点为F,点A是抛物线C的准线与x轴的交点，

若抛物线C上的点M满足=则|MF|=()

A.V2B.2C.2逝D.4

【答案】B

【解析】

设M点坐标，利用焦半径公式求得加点横坐标，得结论.

【详解】

由已知抛物线的焦点为尸(1,0),准线方程是x=7,4—1,0),

设〃(x,y),则由|M4|=血根目，得J(x+l)2+y2=圆+1),又丁二以，

所以(X+1)2+4X=2(X+1)2,解得尤=1.|MF|=1+1=2,

故选:B.

7.(2020•江苏苏州市•常熟中学高二月考)曲线/(x)=d—x+3在点p处的切线平行于直线y=2x—1,

则点P坐标为()

A.(1,3)B.(—1,3)和(1,3)

C.(一1,一3)和(1,1)D.(-1,3)

【答案】B

【解析】

设切点尸(后,%)，求得r(x)=3d-1,得到3片—1=2,求得/=±1，进而求得切点坐标.

【详解】

设切点P®,%),

由函数/(九)=炉一x+3,可得/'(此=3/一1，

可得切线的斜率为k=r(x0)=3片一1,

因为曲线/(x)=丁—x+3在点P处的切线平行于直线y=2x-l,

所以3片一1=2,解得/=±1,

当天=1时，可得/(1)=3,此时P(l,3)；

当x0=T时，可得/(T)=3,此时P(—l,3).

故选：B.

8.(2021•全国高三专题练习(理))若(1+62).(2一月4的展开式中/的系数为8,则实数。的值()

1

A.一

2

1

B.—

2

C.1

D.2

【答案】A

【解析】

根据二项式定理展开式，即可得出答案.

【详解】

(2-X)4的展开式的通项公式为(+1=q-24-r-(-l)r-Z,

则1X(2-X)4的展开式中含有V的项为C.星•(―1)3.d=-8x3,

iz?x(2-x)4的展开式中含有d的项为办"xC"]—1)|母=一32加，

则一8-32。=8,解得。=一,，

2

故选：A.

9.(2021•全国高三专题练习(理))已知5sin2a+6cos(万—a)=0,ae]。,]],则G-f—+—=()

【答案】B

【解析】

本题首先可通过二倍角公式以及诱导公式得出10sinacosa=6cosa,然后根据得出

3

sincr=-,最后通过半角公式即可得出结果.

【详解】

5sin2a+6cos(7r-a)=0,即lOsin^cosfZ=6cosa,

因为二£

所以cosawO,sina=一,cosa=VI高忍=土

/71、A

cos(a+—)+1-

\2_-sina+1

~^L―T~2~~5

故选：B.

10.（2021・射阳县第二中学高二开学考试）已知球。是三棱锥尸-ABC的外接球，AB=BC=CA=l,

PA=2,则当点P到平面ABC的距离取最大值时，球。的表面积是（）

A1632万门16G

A.TCB.167rC.-------7tD.-------兀

3273

【答案】A

【解析】

底面口A5C为等边三角形，当点P到平面ABC的距离取最大值时，此时PAL平面ABC,

上棱锥尸-ABC的外接球即为正三棱柱P4G-A5C的外接球，根据正三棱柱的特征结合球的表面积公式

即可求解.

【详解】

由题意可知，当点P到平面4BC的距离取最大值时，

则PA_L平面ABC,由A8=8C=C4=1,

则□ABC为等边三角形，过点P作与平面ABC平行的平面上4G，

三棱锥尸-ABC的外接球即为正三棱柱尸4G-ABC的外接球，如图:

1323

设外接球半径为R，

2

4

则R2=AO2=+12-=一

3

,16

所以球。的表面积S=4万K=一1

3

故选：A

11.（2021•内蒙古高三月考（文））在平面直角坐标系xOy中，直线/过点P（l,2）,且被圆。：f+y2=9

截得的弦长为4正，则直线/的方程为（）

A.3x-4y+5=0B.3x+4y-l1=0

C.x=1或3x-4y+5=0D.x=l或3x+4y-ll=0

【答案】C

【解析】

由已知得到圆心。到直线/的距离为1,设出直线方程，利用点到直线的距离公式计算即可.

【详解】

由已知，圆心。到直线/的距离“=#3（2^9=乒i=i，当直线/的斜率不存在时,

此时直线/的方程为X=l,满足题意；当直线/的斜率存在时，设直线/的方程为

」|2—周,

y=Z（x-l）+2,即依一y+2—左=。，由点到直线的距离公式得>=/,=1,解得

yjk+\

335

k=：,此时方程为）^=—x+—.

4-44

故选：C.

（1Y"门丫1

12.（2021♦四川「同三月考（理））已知一|=log,m>-=log,n,p=cosa+----,ae

⑶3⑶5cosa

则根的大小关系为（）

An<p<mB.n<m<p

Cm<n<p0m<p<n

【答案】B

【解析】

将机，〃转化为y=-I与y=|log3x|的两个交点的横坐标，结合图象可得"CAM；由，”>1可得log3m<],

进而求得加〈为，利用基本不等式可求得pN2,由此可确定大小关系.

【详解】

门丫门丫

:⑴=logj"=-log3〃〉0，⑴

•••加，〃为丁=±与y=|log3x|的两个交点的横坐标且0<〃<1，m>\,:.n<m,

\3>

如下图所示：

门、111-

由机>1得：-log3m<-=log3V3,解得：m〈跖,

<3/33

当ae0,1）时，0<cosa<1,

p=cosan——>2./cos«——-—=2（当且仅当cosa=1时取等号），

cosaYcosa

:.n<m<p

故选：B.

第II卷非选择题部分（共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分.

‘3%+”18

2

13.（2021•四川高三月考（理））已知满足不等式组,则z=5x+y的最大值为

x>0

【答案】26

【解析】

由约束条件确定可行域，将问题转化为y=-5x+z与行域有交点时，截距最大，即可求z=5x+y的最

大值.

【详解】

由约束条件，可得如下可行域：

由z=5x+y,得y=-5x+z,

...由图知：当2=5%+、过（4,6）时，z有最大值为26.

故答案为：26.

14.（2021•漠河市高级中学高三月考（文））设平面向量：=（一2』），加=0"）,若£与坂的夹角为钝角，

则力的取值范围______.

【答案】（―，-加卜”

【解析】

判断出向量的夹角为钝角的充要条件是数量积为负且不反向，利用向量的数量积公式及向量共线的充耍条

件求出4的范围.

【详解】

因为£与区的夹角为钝角，

且不反向，a-b=—2+A.,

即一2+义＜0解得/1＜2

当两向量反向时，存在;“＜0使£=加石

即（-2,1）=（孙冠）,

解得2=-1

2

所以4的取值范围（-00，—/1］一2）.

故答案为：（-00，—/1u［一.

22

15.（2021•全国高三专题练习（文））双曲线^一#=1（。＞°力＞°）的右焦点为尸，过尸作与双曲线的

两条渐近线平行的直线且与渐近线分别交于A,B两点，若四边形OAbB（。为坐标原点）存在外接圆，则双

曲线的离心率为.

【答案】0

【解析】

bb

设OA:y=-x,OB-.y=一一x,可得直线EB,E4方程，构造方程组可求得A,5坐标，由此可确定AB与

aa

OF互相垂直平分，结合四边形。4F8存在外接圆可知|的=|。耳，由此得到a,。关系，结合双曲线a/,c

关系可得离心率.

【详解】

/?h

由题意得：F(c,0),不妨设直线0A的方程为丁二一工，直线08的方程为：y=一一x,

aa

b

则过点尸平行于0A的直线尸8的方程为：y=—(x-c),

a

b

平行于0B的直线心的方程为：y=--(x-c),

h

y=­x

(cbe

由，a得：A,同理可得：B\

2a

y^--(x-c)12

•••自:线AB与OF互相垂直平分，则四边形OAFB为菱形,

•.•四边形OAFB存在外接圆，.•.|4国=|0月，即一=,，=

故答案为：V2.

16.(2021・广东汕头市•高三一模)在三棱锥S-A8C中，口A3C是边长为2的等边三角形，口$46是以AB

为斜边的直角三角形，二面角S-AB-C的大小为60。，则该三棱锥外接球的表面积为.

52

【答案】不兀

y

【解析】

设三棱锥S-ABC的外接球为球。，过点。作平面S4B,垂足为点“，则“为A8的中点，设

OH=d,球。的半径为R,根据已知条件可得出关于d、R的方程组，解出这两个量的值，由此可求得

球。的表面积.

【详解】

设三棱锥S-ABC的外接球为球0,过点。作。”J.平面S4B，垂足为点“，则”为A3的中点，

设0”=d,SH为RGABS的外接圆半径，

O”_L平面SAB,5"匚平面丛8,;.0”_15”，

由勾股定理得，OH2+SH2=OS2>

设外接球。的半径为R,则/+1=尺2,①

♦.•□ABC是等边三角形，且”为的中点，所以，CHLAB,

由球的几何性质可得0”J■平面SAB.•.♦ABu平面SAB,.•.OHLAB,

所以，NCH。为二面角S—AB—C的余角，

乂因为二面角S—A3-C的大小为60°，.♦.NC〃O=30°，

在口CH。中，由余弦定理得屋+。〃2一2".0"以*30°=/?2,②

因为C”为等边口A8C的高，则CH=，§,

由①®得，d=-,R2=d2+l=—,因此，球。的表面积为S=4万R2=上.

399

52

故答案为：飞'兀.

【点睛】

方法点睛：解决与球相关的切、接问题，其通法是作出截面，将空间几何问题转化为平面几何问题求解，

其解题思维流程如下：

(I)定球心：如果是内切球，球心到切点的距离相等且为球的半径；如果是外接球，球心到接点的距离相

等且为半径；

(2)作截面：选准最佳角度做出截面(要使这个截面尽可能多的包含球、几何体的各种元素以及体现这些

元素的关系)，达到空间问题平面化的目的；

(3)求半径下结论：根据作出截面中的几何元素，建立关于球的半径的方程，并求解.

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17—21题为必考题，每个

考生都必须作答.22、23题为选考题，考生根据要求作答.

（一）必考题：共60分

17.（2021・天津高三一模）在等比数列｛/｝中，公比°工1,等差数列｛%｝满足q=乙=3,4=&,%=%.

（1）求数列｛4｝的｛〃｝通项公式；

⑵记c,=anbn,求数列匕｝的前〃项和S..

【答案】⑴MN（2电=〃3用

【解析】

【解析】

（1）根据题意分别求出等差数列的公差和等比数列的公比，然后根据通项公式求解即可.（2）由题意可得

c,=（2〃+1>3",故采用错位相减的方法求数列的和.

【详解】

（1）设等差数列｛2｝的公差为d，

则4=3(7，/=3/,d=3+3d,%=3+12d.

”2="

Hn3g=3+3d

山题意得,，即《

4=43d=3+12/

\d2d=o

解得《或<（舍去）,

43q=i

?.a,,=3x3"T=3",4=3+2(〃-1)=2〃+1.

(2)由(1)可得%=(2〃+1>3".

S,,=3-3'+5-32+...+(2n+l)-3n,①

35„=3.32+5-33+…+(2〃+1>3"，②

①-②得

-2S,,=9+2(3?+33+...+3")-(2n+l)-3n+,

=9+2/2。一尸)_(2〃+1)-3'田

1-3

-2n-3n+'.

【点睛】

用错位相减法求和的注意事项

(1)要善于识别题H类型，特别是等比数列公比为负数的情形；

⑵在写出“SJ与"qSJ的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“SLW的表达式；

(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解.

(4)这种方法运算过程复杂，运算量大，应加强对解题过程的训练，重视运算能力的培养.

18.(2021•广东汕头市•高三一模)如图，在圆柱0a中，四边形ABC。是其轴截面，EF为。01的直径,

且EFJ.CO,AB=2,BC=a(a〉O).

(1)求证：BE=BF；

(2)若直线AE与平面BEF所成角的正弦值为直，求二面角A-BE-/平面角的余弦值.

3

【答案】(1)证明见解析；(2)

【解析】

(1)连接5Q,证明出EF1平面ABCD,可得出M利用等腰三角形三线合一可证得结论成立；

(2)以点。为坐标原点，。6、OQ所在直线分别为y、z轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法结合

百线AE与平面BEF所成角的正弦值为立求出a的值，再利用空间向量法可求得二面角A—BE—F平

3

面角的余弦值.

【详解】

(1)证明：连接BO{,在圆柱中OQ中，BC平面CEDF,

EFu平面CEDF,：.EFIBC,

•：EFLCD,BCCD=C,EF1ABCD,

又BO,u平面ABCD,EF±BO「

•.•在口台石口中，。为EF的中点，:.BE=BF；

（2）连接oq,则。。i与该圆柱的底面垂直,

以点。为坐标原点，OB、OQ所在直线分别为y、Z轴建立如下图所示的空间直角坐标系。一移Z,

则A（0,-1,0）、8（0,1,0）、£（-1,0,a）,尸（1,0M）,

设平面BEF的法向量分别是1=（玉,加zj,

n,-BE=0~x,—y,+ciz,=0-、/、

由,2_，得《'c，取Z]=l,得々=（0,a』），

〃1•BF=0X1—X+az1=0

设直线AE与平面BEF所成角为。,

2a

由sin0=|cos<AE,n>|=V6,化简得（"一2）（/-1）=（）,

da2+2・J"+13

Qa>1,解得4=及，；.勺=（。,血,1）,

设平面ABE的法向量分别是1,M，Z2），血=（0,2,0）,

%-AB=02y2=oUn,.

由2一，得L,取Z2=l,得%=（夜,0』，

%•AE-0

-x2+y2+V2Z2=0

----n,1

・・・C0S<5%>=|二||J二z，

\nm3

由图象可知，二面角A-8E—尸为锐角，因此，二面角A—BE—尸的余弦值为;.

【点睛】

思路点睛：利用空间向量法求解二面角的步骤如下：

（1）建立合适的空间直角坐标系，写出二面角对应的两个半平面中对应的点的坐标；

（2）设出法向量，根据法向量垂直于平面内两条直线的方向向量，求解出平面的法向量（注：若半平面为

坐标平面，直接取法向量即可）；

（3）计算（2）中两个法向量的余弦值，结合立体图形中二面角的实际情况，判断二面角是锐角还是钝角，

从而得到二面角的余弦值.

19.（2021•浙江高一单元测试）进行垃圾分类收集可以减少垃圾处理量和处理设备，降低处理成本，减少土

地资源的消耗，具有社会、经济、生态等多方面的效益，是关乎生态文明建设全局的大事.为了普及垃圾分类

知识，某学校举行了垃圾分类知识考试，试卷中只有两道题目，已知甲同学答对每题的概率都为，，乙同

学答对每题的概率都为破〃>。，且在考试中每人各题答题结果互不影响.已知每题甲，乙同时答对的概率

为《，恰有一人答对的概率为三■.

（1）求。和4的值；

（2）试求两人共答对3道题的概率.

325

【答案】（1）p=],q=~x（2）—.

【解析】

（1）由互斥事件和对立事件的概率公式列方程组可解得P，4；

（2）分别求出两人答对1道的概率，答对两道题的概率，两人共答对3道题，则是一人答对2道题另一人

答对1道题，由互斥事件和独立事件概率公式可得结论.

【详解】

解：（1）设4=｛甲同学答对第一题｝,3=｛乙同学答对第一题｝,则P（A）=p,P（B）=q.

设C=｛甲、乙二人均答对第一题｝,。=｛甲、乙二人中恰有一人答对第一题｝,

则C=45,D=AB+AB

由于二人答题互不影响，且每人各题答题结果互不影响，所以A与8相互独立，A5与独相互互斥，所以

P（C）=P（AB）=P（A）P（3）,P（£＞）=尸（A5+M）

=P（AB）+P（AB）=P（A）P（B）+P（A）P（B）=P（A）（1-P（B））+（1-P（A））P（B）.

I

pq=&.

由题意可得《

5

p(l-<7)+(/(l-p)

125

43

（2）设4=｛甲同学答对了i道题｝,4=｛乙同学答对了i道题｝,z=0,1,2.

1441a4aq

由题意得，m)=4X4+r4=8,P(A)=4X4=T6,

p(s)=-x-+-x-=-,p(a)=2x2」.

,"33339,“339

设七=（甲乙二人共答对3道题｝,则七=4为+44.

由于A和耳相互独立，弓身与44相互互斥，

34945

所以P（E）=P（AB2）+P（42A）=P（A）P（82）+P（4）P（8J=WXG+正、3=不.

o9lo912

所以，甲乙二人共答对3道题的概率为

【点睛】

关键点点睛：本题考查互斥事件与独立事件的概率公式，解题关键是把所求概率事件用互斥事件表示，然

后求概率，如设A=｛甲同学答对第一题｝,B=｛乙同学答对第一题｝,设。=｛甲、乙二人均答对第一题｝,

。=｛甲、乙二人中恰有一人答对第一题｝,则C=AB,D=AB+AB-同样两人共答对3题分拆成甲答

对2题乙答对1题与甲答对1题乙答对2题两个互斥事件.

20.（2021•全国高三专题练习（理））已知椭圆C：=+与=1（。＞6＞0）的右焦点与抛物线V=48的

a~b~

焦点重合，以椭圆C的短轴为直径的圆过椭圆的焦点.

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）过点尸（0,1）的直线/交椭圆。于A、8两点，直线厂：x—2y=0与椭圆C在第一象限的交点为点。，

SAQR=tanZAQB,求直线/的方程.

尤2

【答案】（1）—2+^v-=1；（2）x=0或x-4y+4=0.

63

【解析】

（1）先求出抛物线的焦点为（6,0）,根据条件可得c=6,乂椭圆。的短轴为直径的圆过圆的焦点，所以

b=C=5结合42=从+。2可得答案

（2）先求出点。的坐标，由条件5怂8=tanNAQB可得@鼠诙=2,先验证/垂直x轴时情况，当/不垂

直x轴时，设4（%,%）、3（工2,%），直线/的方程为丁=丘+1，与椭圆方程联立，将韦达定理代入向量

条件中可得答案.

【详解】

（1）：抛物线的焦点为（6,0）,c=G，

山椭圆C的短轴为直径的圆过圆的焦点，则人=c=6，

乂a2=b2+c2>得a?=6，=3,

22

•••椭圆c的标准方程为土+X=1；

63

"22

土+匕=1

⑵由，63（x>0、y>0）,得Q（2,l）,

x-2y=Q

由S.QB=tanZAQB得-\QB\-sinZAQB=tanZAQB,

即|Q4|。耳cosNAQB=2,可得诬.9=2，

当/垂直1轴时，宓•⑪=（—2,百一1>（—2,—6一1）=4+1—3=2,此时满足题意，

所以此时直线/的方程为：x=0，

②当/不垂直x轴时，设4石，乂）、8（々，必），立线/的方程为丁=去+1，

-4--=1

联立，63消去）'得：（1+2公）尤2+4履—4=0，

y=kx+l

-Ak-4

则…

代入。8=2可得：（%一2,y—1＞（々-2,%-1）=2,

代入X=例+1和y2-kx2+1得：a-2＞（〜-2）+左2=2,

-4（/+1）8k

化简得+2=。，解得V

1+2炉1+2F

经检验满足题意，则直线/的方程为“一4丁+4=0,

综上所述，直线/的方程为x=0或x-4y+4=0.

【点睛】

关键点睛：本题考查求椭圆方程和根据条件求直线方程，解答本题的关键是由条件件S.QB=tanNAQ6可

得宓•诙=2，以及直线的斜率存在与不存在的讨论，当直线斜率存在时方程联立韦达定理的应用，属于

中档题.

21.(2021•全国高三专题练习(理))已知函数/(x)=ln(x+a)+x(a>0).

(1)求函数/(x)的单调性；

(2)设函数g(x)满足/(x-a)=ln[g(x)+d],若函数g(x)有两个不同的零点Xj、々且用<々.

①求实数。的取值范围；

②证明：%,+x2<2a.

【答案】(1)/*)在(一。，+8)上单调递增；(2)①(1,+s)；②证明见解析.

【解析】

(1)求导后分析导函数的正负即可.

(2)

①求出g(x)=x-ex-a-^=x\ex-a-x),再令/z(x)=/一"一x,问题转化为寻求a使得〃(x)的极小值小

于0即可

②极值点偏移问题，构造对称函数即可证明.

【详解】

(1)由已知得函数/(X)的定义域为(一"+8),贝|J/'(X)=」一+1,

x+a

'：xG(-a,+8)时f'(x)>。恒成立，，f(x)在(-a,+oo)上单调递增，

(2)Vf(x—a)=ln[g(x)+x2]=\nx+x—a,

g(x)="e*F*=x-(ex-0-x),其定义域为(0,+⑼,

①设h(x)=—x(x20),二〃(x)=e""-1,

令〃'(x)<0,则0«x<a,令〃(x)>0,则x>a,

.•.当xw[0,a)时〃(无)单调递减，

当xe(a,+QO)时〃(x)单调递增，；./i(x)的极小值为力(a)，

•.•函数g(x)有两个不同的零点，即用(%)有两个不同的零点，

二需/?(%)的极小值力(。)=1一。<0,即a>l,

♦.•当a>1时班0)="">0,h(2d)=e"—2a，

令H(x)=ex-2x(x>\),贝ijH\x)=ex-2,

当xNl时”'(x)Ne-2>0,”(x)在[l,+a>)上单调递增，

〃(2a)=H(a)>mi)=e—2>0,

/.h(x)在(0,a)和(a,+°°)上分别有1个零点，

.•.当a>1时h(x)在(0,+oo)上有两个不等零点，

即g(x)有两个不同的零点，实数a的取值范围为(1，+8),

②由①知0<%1<。<龙2，；•2。一%〉。，要证X1+/<2a,即证％<2。一玉，

Vxe(a,+oo)时h(x)单调递增，故而即证〃(&)<〃(2a—西),

又/z(x()=力(X2),即证力(王)</z(2a—xj,

设函数。(x)=〃(2a-x)-/z(x),其中x>0,

由于次x)=jx—(2a-x)-炉刀+x=2x+/--e"。-2a,

故“(x)=2-(ea-x+ex~a)<2-2^ea~x-ex~a=0，当且仅当％时等号成立，

，0(x)在(0，+8)上单调递减,由于石＜a,因而在%)＞。(。)=〃(a)-/z(a)=O,

即fl5)<h(2a一演)，故而飞+马<2a得证.

【点睛】

方法点睛：极值点偏移问题常用两种方法，一是构造对称函数，运用函数单调性证明，二是利用“对数平均

不等式”证明.

a-b,

,---------,a^b,

两个正数。和b的对数平均数定义：L(a,b)=hna-\nb

a,a=b,

对数平均数与算术平均数、几何平均数的大小关系是：y^b<L(a,h)<—

2

(二)选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.

22.(2021•全国高三专题练习(理))在直角坐标系中，直线/的参数方程为《二’.«为参

y=-2+/-sina

71

数，a不7).以原点。为极点，为轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线。的极坐标方程为

2

/?=8cos。-6sin。.

(1)求直线/的普通方程与曲线。的直角坐标方程；

(2)若直线/与曲线。交于A、B两点，且|AB|=50，求直线/的方程.

【答案】(1)Ax-y-2=0(A=tana),x2+y2-8x+6y=0；(2)x-y-2=0或23x+7y+14=0.

【解析】

(1)根据同角三角函数商关系，结合极坐标与直角坐标互化公式进行求解即可；

(2)利用直线参数方程的参数的意义，结合一元二次方程根与系数的关系进行求解即可.

【详解】

x=r-cosay+2九sine

(1)<.n-------=-----------=tana,

y=-2+，・sinaxt-cosa

所以直线/的普通方程为质-y—2=0(&=tana),

/?=8cos^-6sin0=>/?2=Spcos0-6psin0=>jr+y2=Sx-6y,

所以曲线C的宜角坐标方程x2+/-8x+6y=0；

x=t•cosa

(2)将〈c,,代入曲线C：(x—4)2+(y+3)2=25中整理得，

y=-2+/・sina

产一(8cosa-2sina»-8=0,/.=8cosa-2sina,%4=-8,

即《一，2)2=&+，2)2—4巾2斗至产，

化简得23cos2a-16sin。•cosa-7sin?c=0,即7tan2cr4-16tana—23=0，

23

解得tana=1或tana=-----,

7

二直线/的方程为无-y—2=0或23x+7y+14=0.

23.(2021•内蒙古包头市•高三一模(文))已知函数〃耳=上一1|+3k+1|.

y

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