第三章导数的应用

§3.1

函数的单调性与极值

§3.2

极值的几何应用

§3.3

边际与弹性

学习目标

教学建议

第三章导数的应用

§3.4

极值的经济应用

§3.5

曲线凹凸与拐点

一.函数的单调性

二.函数的极值§3.1函数的单调性与极值

一.函数的单调性复习单调性的定义设函数在区间上有定义，若对于中的任意两点和,当时，总有则称在上单调增加.

(1)若,由知,倾角为锐角,在处,曲线是上升的,函数随增加而增加.在§1.1中

在§2.1中,导数的几何意义

复习单调性的定义在§1.1中

在§2.1中，导数的几何意义

设函数在区间上有定义，若对于中的任意两点和,当时，总有则称在上单调减少.

(2)若,由知,倾角为钝角,在处,曲线是下降的,函数随增加而减少.

函数单调性的判定法则由单调性的判定法则

定理3.1在函数可导的区间内:(1)若,则函数单调增加;(2)若,则函数单调减少.解练习1确定函数的单调性.函数的定义域是因可知在内,故函数在其定义域内是单调增加的.说明在函数可导的区间内,是函数在区间内单调增加(减少)的充分条件,而非必要条件.例如,函数在区间内是单调增加的,而

此例说明,函数在区间内单调增加(减少)时,在个别点处,可以有结论

在函数

的可导区间

内,若或

,而等号仅在一些点处成立,则函数在区间

内单调增加或单调减少.(1)确定函数的定义域;(2)求导数由确定函数的驻点.驻点将定义域分成部分区间;讨论函数的增减区间的程序(3)判定函数的增减区间:考察导数在各个部分区间内的正负号,便知函数在各个部分区间内的增减性.解(1)函数的定义域是(2)求导数并确定函数的驻点:

(3)判定函数的增减区间:驻点将函数的定由得义域分成三个部分区间:在区间内,

,函数单调增加;练习2讨论函数的单调增减区间.在区间内,

,函数单调减少;在区间内,

,函数单调增加.

二.函数的极值

极值的定义定义3.1设函数在点及其左右邻近有定义,

是其中的任一点,但(1)若有

则称是函数的极大值点,极大值点

极小值点

极大值点

不是极值点

函数的极大值点与极小值点统称为函数的极值点;函数的极大值与极小值统称为函数的极值.是函数的极大值;称是函数的极小值.称均为驻点

(2)若有

则称是函数的极小值点,

极值存在的必要条件若函数在可导,且有极值,则一定有

注意:函数的驻点却不一定是其极值点.有,即是该函数的驻点,但却不是其极值点.

即对可导函数而言,它的极值点一定是其驻点.如,对函数也只是驻点,但非极值点.上页图中的那么,究竟哪些点一定是极值点呢?

极值存在的充分条件定理3.2设函数在及其左右邻近可导:

则是函数的极大值点.而在的右侧邻近,而在的右侧邻近,则是函数的极小值点.(2)若在的左侧邻近,(1)若在的左侧邻近,(1)确定函数的定义域;(2)求导数由确定函数的驻点.驻点将定义域分成部分区间;求函数的极值的程序(3)判定:考察驻点左右两侧导数的符号:若由正变负,则是极大值点;若由负变正,则是极小值点;若不变号,则不是极值点.(4)求出极值:若函数有极值点,求出相应的函数值,这就是函数的极值.

对可导函数解(1)函数的定义域是(2)求导数并确定函数的驻点:

由得(3)判定:驻点将函数的定义域分成三个部分区间:练习3求函数的极值.极大值

极小值

解