样本相关系数高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

第八章

成对数据的统计分析样本相关系数学习目标1、结合实例，了解样本相关系数的统计含义；2、了解样本相关系数与“标准化”处理后的成对数据两分量向量夹角的关系；3、结合实例，会通过相关系数比较多组成对数据的相关性。核心素养：逻辑推理、数据分析、数学运算复习回顾1.

变量间的相关关系是什么？2.

散点图是什么？3.

变量相关关系的分类是什么？

成对样本数据可用直角坐标系中的点表示出来，由这些点组成的统计图叫做散点图。

两个变量有关系,但又没有确切到可由其中的一个去精确地决定另一个的程度，这种关系称为相关关系.情境导学

通过散点图可以推断两个变量之间是否存在相关关系、是正相关还是负相关、是线性相关是非线性相关，但这些推断是定性的推断.样本相关系数r从定量的角度刻画成对样本数据的线性相关程度。课堂探究探究

如何引入一个恰当的“数字特征”，对成对样本数据的相关程度进行定量分析？绘制散点图为:课堂探究追问1：平移后成对样本数据相关性发生改变了吗？追问2：平移后散点图中散点散布位置有什么规律？对应成对样本数据有何规律？课堂探究

如果变量x和y正相关，那么关于均值平移后的大多数散点将分布在第一象限、第三象限，对应的成对数据同号居多.

如果变量x和y负相关，那么关于均值平移后的大多数散点将分布在第二象限、第四象限，对应的成对数据异号居多.课堂探究思考1

根据上述分析，你能利用正相关变量和负相关变量的成对样本数据平移后呈现的规律，构造一个度量成对样本数据是正相关还是负相关的数字特征吗？利用散点的横、纵坐标是否同号，可以构造一个量：课堂探究思考2

Lxy的大小一定能度量出成对样本数据的相关程度吗？

在研究体重与身高之间的相关程度时，如果体重的单位不变，把身高单位由米改为厘米，单位的改变不会改变体重与身高之间的相关程度。课堂探究为了消除单位的影响，进一步做“标准化”处理：课堂探究我们称

r

为变量x和变量y的样本相关系数.

样本相关系数r是一个描述成对样本数据的数字特征，它的正负可以反映成对样本数据的变化特征：样本相关系数：当r>0时，称成对样本数据正相关；当r<0时，称成对样本数据负相关．课堂探究思考3

样本相关系数r的大小与成对样本数据的相关程度有什么内在联系呢？

课堂探究思考4

当|r|=1时，成对样本数据之间具有怎样的关系？

成对样本数据的两个分量之间满足一种线性关系.归纳总计（1）线性相关系数r的取值范围为[-1,1]：（2）当|r|越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越强;（3）当|r|越接近0时，成对样本数据的线性相关程度越弱.（4）当|r|＝1时，表明成对样本数据都落在一条直线上；（5）当r＝0时，只表明成对样本数据间没有线性相关关系，但不排除它们之间有其他相关关系．（6）若0.75≤|r|≤1，则认为y与x的线性相关程度很强；

若0.3≤|r|<0.75，则认为y与x的线性相关程度一般；

若|r|≤0.25，则认为y与x的线性相关程度较弱.

样本相关系数r有时也称样本线性相关系数,

|r|刻画了样本点集中于某条直线的程度：课堂探究判断线性相关程度：散点图+r两个随机变量的相关性可以通过散点图对成对样本数据进行分析，而样本相关系数r可以反映两个随机变量之间的线性相关程度：r的符号反映相关关系的正负性，|r|的大小反映两个变量线性相关的程度，即散点集中于一条直线的程度.小试牛刀1、判断下列线性相关程度：图(1)中成对样本数据的正线性相关程度很强.图(2)中成对样本数据的负线性相关程度比较强.图(3)中对样本数据的线性相关程度很弱.图(4)中成对样本数据的线性相关程度极弱.小试牛刀2、(多选)对两个变量的样本相关系数r，下列说法正确的是()A.|r|越大，相关程度越大B.|r|越小，相关程度越大C.|r|趋近于0时，没有线性相关关系D.|r|越接近1时，线性相关程度越强AD小试牛刀3、对四组数据进行统计，获得以下散点图，关于其相关系数比较，正确的是()A．r2<r4<0<r3<r1B．r4<r2<0<r1<r3C．r4<r2<0<r3<r1D．r2<r4<0<r1<r3A小试牛刀4、(多选)下面的散点图与样本相关系数r一定不符合的是()ACD小试牛刀5、

对四对变量y和x进行线性相关检验，已知n是观测值组数，r是样本相关系数，且已知：①n＝7，r＝0.9533；

②n＝15，r＝0.3012；③n＝17，r＝0.4991；

④n＝3，r＝0.9950.则变量y和x线性相关程度最高的两组是()A．①②B．①④C．②④D．③④B典例剖析例1：根据下表中脂肪含量和年龄的样本数据，画出散点图，判断成对样本数据是否线性相关，并通过样本相关系数判断年龄和脂肪的相关程度和变化趋势的异同？参考数据：典例剖析解：先画出散点图，如下图所示：观察散点图，可以看出样本点都集中在一条直线附近，由此推断脂肪含量和年龄线性相关。典例剖析由样本相关系数,可以推断脂肪含量和年龄这两个变量正线性相关，且相关程度很强。脂肪含量与年龄变化趋势相同。典例剖析例2：有人收集了某城市居民年收入(所有居民在一年内收人的总和)与A商品销售额的10年数据，如下表所示.画出散点图，推断成对样本数据是否线性相关，并通过样本相关系数推断居民年收入与A商品销售额的相关程度和变化趋势的异同.典例剖析解：画出成对样本数据的散点图，如图所示.从散点图看，A商品销售额与居民年收人的样本数据呈现出线性相关关系.由样本数据计算得样本相关系数r≈0.95.由此可以推断，A商品销售额与居民年收入正线性相关，即A商品销售额与居民年收入有相同的变化趋势，且相关程度很强.典例剖析例3：在某校高一年级中随机抽取25名男生，测得他们的身高、体重、臂展等数据，如下表所示.体重与身高、臂展与身高分别具有怎样的相关性?典例剖析解：根据样本数据画出体重与身高、臂展与身高的散点图，分别如图(1)和(2)所示，两个散点图都呈现出线性相关的特征.通过计算得到体重与身高、臂展与身高的样本相关系数分别约为0.34和0.78，都为正线性相关.其中，臂展与身高的相关程度更高.巩固练习1、随机抽取7家超市，得到其广告支出与销售额数据如下：请推断超市的销售额和广告支出之间的相关关系的类型、相关程度和变化趋势的特征。解：从散点图分布来看，销售额与广告支出正相关。巩固练习所以超市的销售额和广告支出正相关、相关程度较强、销售额和广告支出变化趋势相同，但随着广告支出超过10万元后，销售额增加