2024年河南省焦作市中考数学一模试卷

第1页（共1页）2024年河南省焦作市中考数学一模试卷一、选择题(每小题3分，共30分)下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的．1．（3分）下列各数中比1大的数是（）A．﹣2 B．0.618 C．﹣1 D．2．（3分）如图是焦作市博物馆的四件特色藏品，其中主视图与左视图相同的是（）A．汉“山阳”陶罐 B．东汉五层彩绘陶仓楼 C．东汉彩绘陶房 D．西汉铜提梁卣3．（3分）记者1月19日从焦作海关了解到，2023年我市实现进出口总值221.4亿元，进出口规模创历史新高．数据“221.4亿”用科学记数法表示为（）A．2.214×109 B．2.214×1010 C．22.14×109 D．0.2214×10114．（3分）如图，直线AB，CD相交于点O，若∠AOE＝113°，则∠BOC的度数为（）A．46° B．56° C．67° D．77°5．（3分）化简的结果为（）A． B． C． D．6．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，分别交AB，BC于D，E，CD，若∠B＝70°（）A．10° B．20° C．30° D．40°7．（3分）如图为某商家2023年1月至10月“人工智能机器人”的月销售量，下列说法错误的是（）A．这10个月的月销售量的众数为28 B．这10个月中7月份的月销售量最高 C．前5个月的月销售量的方差大于后5个月的月销售量的方差 D．4月至7月的月销售量逐月增加8．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则关于x的一元二次方程x2+ax﹣b＝0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根9．（3分）如图，已知矩形OABC的顶点O（0，0），B（4，4），若矩形绕点O逆时针旋转，则第75次结束时，矩形对角线交点D的坐标为（）A．（2，2） B． C． D．（2，﹣2）10．（3分）如图1，点P从等腰直角三角形ABC的顶点A出发，沿直线运动到三角形内部一点，△PBC的面积为y，图2是点P运动时y随x变化的关系图象（）A．1 B．2 C． D．2二、填空题（每小题3分，共15分）11．（3分）代数式3n可表示的实际意义是．12．（3分）方程组的解为．13．（3分）焦作市两部优秀作品入选河南省2023年度重点文艺创作项目名单，某校七、八、九年级分别从如图所示文艺项目中随机选择一部组织本年级学生欣赏，则这三个年级选择的文艺项目相同的概率为．14．（3分）如图，在△ABC中AB＝AC＝4，∠BAC＝120°，过点D作⊙O的切线交AC于点E．则DE的长为．15．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝1，点E为CD的中点，取AE的中点F，BF，当△BEF为直角三角形时．三、解答题（本大题共8个小题，共75分）16．（10分）（1）计算：；（2）化简：（2x+y）2﹣4x（x+y）．17．（9分）某学校为了解学生“消防安全知识”的掌握情况，从七、八年级各随机抽取50名同学进行测试，并对成绩（百分制），描述和分析．下面给出部分信息：a．七年级成绩的频数分布直方图如图：b．七年级成绩在80≤x＜90这一组的是：8080.58282828283.58484858686.587888989c．七、八年级学生成绩的平均数、中位数如表：年级平均数中位数七年级85.3m八年级87.285根据以上信息，回答下列问题：（1）在这次测试中，七年级测试成绩的中位数m是分，七年级成绩的众数不可能在组；（2）甲同学测试成绩为83分，在他所在的年级，他的成绩超过了一半以上被调查的同学，并说明理由；（3）七年级共有500名学生，若成绩在80分以下（不含80分）的同学需要参加消防安全知识培训18．（9分）如图，△ABC是等边三角形，D是AB边上一点（1）请用无刻度的直尺和圆规在CD的上方作等边△CDE（保留作图痕迹，不写作法）；（2）连接AE，求证：BD＝AE．19．（9分）小晃同学借助反比例函数图象设计一个轴对称图形．如图，正方形ABCD的中心与平面直角坐标系的原点重合，边分别与坐标轴平行的图象经过正方形的顶点A（2，2），以点C为圆心，交AC于点F；以CF为对角线作正方形CEFG，CE的长为半径作扇形ECG．（1）求反比例函数的解析式；（2）求的长；（3）直接写出图中阴影部分面积之和．20．（9分）南水北调第一楼位于山阳故城东南，是一座具有汉代风格，可以望山、观水、展陈的文化地标．某小组利用无人机测量第一楼高度．如图是测量第一楼高度的示意图，测得第一楼底部B的俯角为45°．求南水北调第一楼AB的高度．（结果精确到0.1m．sin11.3°≈0.196，cos11.3°≈0.980，tan11.3°≈0.200）．21．（9分）为庆祝中华人民共和国成立75周年，某平台店计划购进A，B两种纪念币品名AB进价（元/枚）4560售价（元/枚）6690（1）第一次购进A种纪念币80枚，B种纪念币40枚，求全部售完后获利多少元？（2）第二次计划购进两种纪念币共150枚，且A种纪念币的进货数量不低于B种纪念币的进货数量的2倍，应如何设计进货方案才能获得最大利润22．（10分）根据以下素材，探索完成任务．设计小区大门灯笼的悬挂方案素材1图1是某小区的正门，图2是正门的示意图，小航查阅相关资料获得以下信息：①正门是由一个矩形和一个抛物线形拱组成的轴对称图形，高为12m，抛物线形拱的高为2m．素材2为迎接龙年春节，拟在图1正门抛物线形拱上悬挂直径为1m的灯笼，如图3．为了美观，且平均分布，间隔在0.8﹣1.5m之间．问题解决任务1确定抛物线形拱形状在图2中建立合适的直角坐标系，求抛物线的函数表达式．任务2探究悬挂数量给出符合所有悬挂条件的灯笼数量．任务3拟定设计方案根据你建立的坐标系，求出最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标．23．（10分）在综合实践课上，老师设计下面问题，请你解答．（1）观察发现如图1，在平面直角坐标系中，过点A（1，﹣3）1，再分别作点A1关于直线y＝x和x轴的对称点A2，A3，则点A2可以看作是点A绕点O顺时针旋转得到的，旋转角的度数为；点A3可以看作是点A关于点的对称点．（2）探究迁移如图2，正方形ABCD中，P为直线AD下方一点1，再分别作P1关于直线BD和直线AD的对称点P2和P3，连接PD，P2D，请仅就图2的情况解决以下问题：①请判断∠PDP2的度数，并说明理由；②若PD＝m，求P2，P3两点间的距离．（3）拓展应用在（2）的条件下，若，∠PDC＝30°1P2的长．

2024年河南省焦作市中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题(每小题3分，共30分)下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的．1．（3分）下列各数中比1大的数是（）A．﹣2 B．0.618 C．﹣1 D．【解答】解：比1大的数是．故选：D．2．（3分）如图是焦作市博物馆的四件特色藏品，其中主视图与左视图相同的是（）A．汉“山阳”陶罐 B．东汉五层彩绘陶仓楼 C．东汉彩绘陶房 D．西汉铜提梁卣【解答】解：由各选项可知，A选项的主视图与左视图相同．故选：A．3．（3分）记者1月19日从焦作海关了解到，2023年我市实现进出口总值221.4亿元，进出口规模创历史新高．数据“221.4亿”用科学记数法表示为（）A．2.214×109 B．2.214×1010 C．22.14×109 D．0.2214×1011【解答】解：221.4亿＝22140000000＝2.214×1010．故选：B．4．（3分）如图，直线AB，CD相交于点O，若∠AOE＝113°，则∠BOC的度数为（）A．46° B．56° C．67° D．77°【解答】解：∵∠AOE＝113°，∴∠BOE＝180°﹣∠AOE＝180°﹣113°＝67°，∵OE平分∠BOD，∴∠BOD＝2∠BOE＝134°，∴∠BOC＝180°﹣∠BOD＝180°﹣134°＝46°，故选：A．5．（3分）化简的结果为（）A． B． C． D．【解答】解：＝＝，故选：C．6．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，分别交AB，BC于D，E，CD，若∠B＝70°（）A．10° B．20° C．30° D．40°【解答】解：∵AB＝AC，∠B＝70°，∴∠ACB＝∠B＝70°，∴∠A＝180°﹣70°﹣70°＝40°，∵AC为⊙O的直径，∴∠ADC＝90°，∴∠BDC＝90°，∴∠DCB+∠B＝90°，∴∠DCB＝20°，∵∠BED＝∠DCB+∠CDE＝∠A＝40°，∴∠CDE＝20°，故选：B．7．（3分）如图为某商家2023年1月至10月“人工智能机器人”的月销售量，下列说法错误的是（）A．这10个月的月销售量的众数为28 B．这10个月中7月份的月销售量最高 C．前5个月的月销售量的方差大于后5个月的月销售量的方差 D．4月至7月的月销售量逐月增加【解答】解：A．将样本数据从小到大排列为25，27，28，33，37，所以这组数据的众数为28，此选项正确；B.7月份的销量为40，月销量最高，不符合题意；C．由图形可知，所以前5个月的月销售量的方差小于后4个月的月销售量的方差，故此选项错误；D.4月至7月的月销售量逐月增加，此选项正确；故选：C．8．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则关于x的一元二次方程x2+ax﹣b＝0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根【解答】解：由函数图象可知，a＞0，∴Δ＝a2+2b＞0，故一元二次方程x2+ax﹣b＝2有两个不相等的实数根，故选：A．9．（3分）如图，已知矩形OABC的顶点O（0，0），B（4，4），若矩形绕点O逆时针旋转，则第75次结束时，矩形对角线交点D的坐标为（）A．（2，2） B． C． D．（2，﹣2）【解答】解：∵四边形ABCO是矩形，B（4，∴OB＝＝8，∴OD＝2，∵每次旋转45°，8次一个循环，∴点D在x轴的负半轴上，∴点D的坐标为（﹣2，0）．故选：C．10．（3分）如图1，点P从等腰直角三角形ABC的顶点A出发，沿直线运动到三角形内部一点，△PBC的面积为y，图2是点P运动时y随x变化的关系图象（）A．1 B．2 C． D．2【解答】解：∵当x＝0时，y＝2a，∴当点P在点A处时，△PBC的面积＝8a．∵x从a到2a的过程中，y的值不变，∴三角形内部那一点与点D的连线平行于三角形的底边，并且点A到三角形内部那一点的距离等于点D到三角形内部那一点的距离．过点D作DM∥BC，作AD的垂直平分线EF交MD于点E，则点E即为三角形内部那一点．∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠B＝45°．∵DM∥BC，∴∠ADM＝45°．∵EA＝ED＝a，∴∠EAD＝45°．∴∠AED＝90°．∴AD＝a．∵点D是AB的中点，∴AB＝2a．∵S△ABC＝2a，∴AB2＝2a．×（7a）2＝8a．4a2﹣5a＝0．2a（3a﹣1）＝0．解得：a7＝0（不合题意，舍去），a2＝．∴AB＝．∴BC＝AB＝2．故选：B．二、填空题（每小题3分，共15分）11．（3分）代数式3n可表示的实际意义是每支钢笔3元，买了n支钢笔所需的钱数（答案不唯一）．【解答】解：如：每支钢笔3元，买了n支钢笔所需的钱数（答案不唯一）．故答案为：每支钢笔3元，买了7支钢笔所需的钱数（答案不唯一）．12．（3分）方程组的解为．【解答】解：，①×4﹣②×2，可得﹣x＝﹣1，解得x＝2，把x＝1代入①，可得：1+3y＝5，解得y＝2，∴原方程组的解是．故答案为：．13．（3分）焦作市两部优秀作品入选河南省2023年度重点文艺创作项目名单，某校七、八、九年级分别从如图所示文艺项目中随机选择一部组织本年级学生欣赏，则这三个年级选择的文艺项目相同的概率为．【解答】解：将两个文艺节目分别记为A，B，画树状图如下：共有8种等可能的结果，其中这三个年级选择的文艺项目相同的结果有2种，∴这三个年级选择的文艺项目相同的概率为＝．故答案为：．14．（3分）如图，在△ABC中AB＝AC＝4，∠BAC＝120°，过点D作⊙O的切线交AC于点E．则DE的长为．【解答】解：连接AD、OD，∴∠ODB＝∠B，∵AB＝AC＝4，∠BAC＝120°，∴∠C＝∠B＝×（180°﹣120°）＝30°，∴∠ODB＝∠C，∴OD∥AC，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴AD⊥BC，＝cosB＝cos30°＝∴CD＝BD＝AB＝，∴DE与⊙O相切于点D，∴DE⊥OD，∴∠CED＝∠ODE＝90°，∴DE＝CD＝＝，故答案为：．15．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝1，点E为CD的中点，取AE的中点F，BF，当△BEF为直角三角形时或．【解答】解：∵AD＝BC，DE＝CE，∴△ADE≌△BCE（SAS），∴AE＝BE，∠AED＝∠BEC，分情况解答：①∠BEF＝90°时，则∠AED＝∠BEC＝45°，∴BC＝CE＝CD＝，∴α＝；②∠BFE＝90°时，∴EF＝AE＝，∴∠BEF＝60°，∴△BEF为正三角形，∴BE＝AB＝1，∴CE＝，则BC＝＝，∴α＝，③∠FBE＝90°，不存在，故答案为：α＝或．三、解答题（本大题共8个小题，共75分）16．（10分）（1）计算：；（2）化简：（2x+y）2﹣4x（x+y）．【解答】解：（1）原式＝＝1﹣＝；（2）原式＝4x2+4xy+y6﹣4x2﹣4xy＝y2．17．（9分）某学校为了解学生“消防安全知识”的掌握情况，从七、八年级各随机抽取50名同学进行测试，并对成绩（百分制），描述和分析．下面给出部分信息：a．七年级成绩的频数分布直方图如图：b．七年级成绩在80≤x＜90这一组的是：8080.58282828283.58484858686.587888989c．七、八年级学生成绩的平均数、中位数如表：年级平均数中位数七年级85.3m八年级87.285根据以上信息，回答下列问题：（1）在这次测试中，七年级测试成绩的中位数m是82分，七年级成绩的众数不可能在50≤x＜60组；（2）甲同学测试成绩为83分，在他所在的年级，他的成绩超过了一半以上被调查的同学，并说明理由；（3）七年级共有500名学生，若成绩在80分以下（不含80分）的同学需要参加消防安全知识培训【解答】解：（1）将抽查的七年级50名学生的成绩从小到大排列，处在之间位置的两个数的平均数为，所以中位数是82分，由于七年级成绩在80≤x＜90这一组中82分的有4人，因此众数不可能出现在组内人数小于5的组，人数小于4人的组50≤x＜60，因此七年级成绩的众数不可能在50≤x＜60这一组，故答案为：82，50≤x＜60；（2）甲同学测试成绩为83分，七年级学生成绩的中位数是82分，甲同学的成绩在七年级学生成绩的中位数之上，所以可以得出甲同学是七年级的学生；（3）500×＝210（名），答：七年级500名学生中大约有210名同学需要参加消防安全知识培训．18．（9分）如图，△ABC是等边三角形，D是AB边上一点（1）请用无刻度的直尺和圆规在CD的上方作等边△CDE（保留作图痕迹，不写作法）；（2）连接AE，求证：BD＝AE．【解答】（1）解：如图，分别以C，线段CD的长为半径画弧，连接DE，则△CDE即为所求．（2）证明：∵△ABC是等边三角形，∴BC＝AC，∠ACB＝60°．∵△CDE是等边三角形，∴CD＝CE，∠DCE＝60°，∴∠BCD＝∠ACE．∴△BCD≌△ACE（SAS），∴BD＝AE．19．（9分）小晃同学借助反比例函数图象设计一个轴对称图形．如图，正方形ABCD的中心与平面直角坐标系的原点重合，边分别与坐标轴平行的图象经过正方形的顶点A（2，2），以点C为圆心，交AC于点F；以CF为对角线作正方形CEFG，CE的长为半径作扇形ECG．（1）求反比例函数的解析式；（2）求的长；（3）直接写出图中阴影部分面积之和．【解答】解：（1）将点A的坐标代入函数表达式得：k＝2×2＝2，即反比例函数的表达式为：y＝；（2）由点A的坐标得，OA＝2，则＝×6πr＝；（3）由点A的坐标得，AB＝4＝BC，S阴影ABD＝S正方形ABCD﹣S扇形CBD＝4×3﹣×π×r5＝16﹣3＝16﹣4π；同理可得：S阴影EFG＝8﹣2π，则图中阴影部分面积之和＝16﹣4π+8﹣7π＝24﹣6π．20．（9分）南水北调第一楼位于山阳故城东南，是一座具有汉代风格，可以望山、观水、展陈的文化地标．某小组利用无人机测量第一楼高度．如图是测量第一楼高度的示意图，测得第一楼底部B的俯角为45°．求南水北调第一楼AB的高度．（结果精确到0.1m．sin11.3°≈0.196，cos11.3°≈0.980，tan11.3°≈0.200）．【解答】解：过点P作PD⊥BA，交BA的延长线于点D，由题意得：BD＝CP＝136.65米，在Rt△BDP中，∠BPD＝45°，∴DP＝＝136.65（米），在Rt△ADP中，∠DPA＝11.3°，∴AD＝DP•tan11.3°≈136.65×6.2＝27.33（米），∴AB＝BD﹣AD＝136.65﹣27.33≈109.3（米），∴南水北调第一楼AB的高度约为109.8米．21．（9分）为庆祝中华人民共和国成立75周年，某平台店计划购进A，B两种纪念币品名AB进价（元/枚）4560售价（元/枚）6690（1）第一次购进A种纪念币80枚，B种纪念币40枚，求全部售完后获利多少元？（2）第二次计划购进两种纪念币共150枚，且A种纪念币的进货数量不低于B种纪念币的进货数量的2倍，应如何设计进货方案才能获得最大利润【解答】解：（1）A种纪念币单件获利（66﹣45）＝21（元），B种纪念币单件获利（90﹣60）＝30（元），∴购进A种纪念币80枚，B种纪念币40枚．答：全部售完后获利2880元．（2）设购进A种纪念币x枚，则购进B种纪念币（150﹣x）枚，x≥2（150﹣x），w＝（66﹣45）x+（150﹣x）（90﹣60）＝﹣9x+4500，∵﹣8＜0，∴w随x的增大而减小，∴当x取100时，w有最大值．∴B种纪念币的数量为150﹣100＝50（枚）．答：购进A种纪念币100枚，购进B种纪念币50枚．22．（10分）根据以下素材，探索完成任务．设计小区大门灯笼的悬挂方案素材1图1是某小区的正门，图2是正门的示意图，小航查阅相关资料获得以下信息：①正门是由一个矩形和一个抛物线形拱组成的轴对称图形，高为12m，抛物线形拱的高为2m．素材2为迎接龙年春节，拟在图1正门抛物线形拱上悬挂直径为1m的灯笼，如图3．为了美观，且平均分布，间隔在0.8﹣1.5m之间．问题解决任务1确定抛物线形拱形状在图2中建立合适的直角坐标系，求抛物线的函数表达式．任务2探究悬挂数量给出符合所有悬挂条件的灯笼数量．任务3拟定设计方案根据你建立的坐标系，求出最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标．【解答】解：任务1．如图，BC的中点为原点建立平面直角坐标系．∵正门是由一个矩形和一个抛物线形拱组成的轴对称图形，矩形的宽为10m，抛物线形拱的高为2m．∴拱顶E的坐标为（2，14），12）．设抛物线的解析式为：y＝ax2+k（a≠0）．∴．解得：．∴y＝﹣x2+14；任务7．设灯笼数量有x盏，那么间隔有（x+1）个．∴0.4（x+1）≤10﹣x≤1.6（x+1）．解得：3≤x≤5．∵悬挂灯笼的数量为双数