2024年广东省惠州市惠东县中考数学一模试卷

第1页（共1页）2024年广东省惠州市惠东县中考数学一模试卷一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，共30分）1．（3分）2024的相反数是（）A．2024 B．﹣2024 C． D．2．（3分）剪纸文化是中国最古老的民间艺术之一，如图剪纸图案中，既是轴对称图形义是中心对称图形的是（）A． B． C． D．3．（3分）2024年两会这份数据，振奋人心！中国2023年GDP超126万亿元，同比GDP增量相当于一个中等国家经济总量，世界第一制造业大国，世界第一货物贸易大国地位．把数据126万亿元用科学记数法表示为（）A．1.26×1013元 B．0.126×1014元 C．126×1013元 D．1.26×1014元4．（3分）下列计算正确的是（）A．a3+3a3＝4a6 B．a•a2＝a3 C．a6÷a2＝a3 D．（a3）2＝a55．（3分）方程x2＝2x的根是（）A．x＝2 B．x＝0 C．x1＝0，x2＝2 D．x1＝0，x2＝﹣26．（3分）如图，一块直角三角板和直尺拼接，其中∠1＝26°（）A．56° B．62° C．66° D．68°7．（3分）如图，四边形OABC是平行四边形，在平面直角坐标系中（﹣1，2），OC＝5，点B的坐标是（）A．（2，4） B．（2，﹣4） C．（4，2） D．（4，﹣2）8．（3分）如图，在⊙O中，弦AB＝5cm，则⊙O的半径是（）A．5cm B．6cm C．8cm D．10cm9．（3分）如图是一座立交桥的示意图（道路宽度忽略不计），A为入口，F，G为出口，CG，EF；弯道为以点O为圆心的一段弧，且所对的圆心角均为90°米，甲车由A口驶入立交桥，以12m/s的速度行驶（）秒．A．5 B．6 C．7 D．810．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，其对称轴为直线x＝﹣（﹣2，0）．下列结论：①abc＜0；②a+b+c＝0，y1）点、点P（3，y3）在该函数图象上，则y1＜y2＜y3．其中正确结论有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）11．（3分）因式分解：x2﹣4＝．12．（3分）设n为正整数，若n＜＜n+1．13．（3分）一次函数y＝（k﹣1）x+1中，y随x增大而减小．14．（3分）化学中直链烷烃的名称用“碳原子数+烷”来表示，当碳原子数为1～10时，依次用天干甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸表示，则辛烷分子结构式中“H”的个数是．15．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，M为对角线BD上的一点（不与点B、D重合），连接AM，连接AN．若BM：BD＝2：5，则的tan∠DAN＝．三、解答题（一）（16题10分，每小题10分，17、18每题7分，共24分）16．（10分）（1）计算：﹣（）0+（）﹣2﹣4sin30°；（2）解不等式组：17．（7分）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°．（1）尺规作图：作线段BC的垂直平分线MN，交AC于点D，交BC于点F；（不写作法，保留作图痕迹）（2）在（1）的条件下，∠C＝30°，求CD的长．18．（7分）为进一步落实双减工作，丰富学生课后服务内容，某学校增设了科技项目课程，编程”四种课程（依次用A，B，C，D表示），为了解学生对这四种课程的爱好情况调查问题在下列课科技项目中，你最喜欢的是_____（单选）A．无人机B．人工智能C．动漫D．编程并根据调查结果绘制了条形统计图和扇形统计图，部分信息如图：（1）请补全条形统计图．（2）扇形统计图中“D”对应扇形的圆心角为度．（3）估计全体1000名学生中最喜欢C活动的人数约为多少人？（4）学校现从喜好“编程”的甲、乙、丙、丁四名学生中任选两人参加青少年科技创新比赛，请用树状图或列表法求恰好甲和丁同学被选到的概率是多少？四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分）19．（9分）广东百千万高质量发展工程预计到2025年将实现县域经济发展加快，乡村振兴取得新成效．某乡村龙眼上市，先后两次共摘龙眼21吨；因龙眼大量上市，价格下跌，两次龙眼共卖了9万元．（1）求两次各摘龙眼多少吨？（2）由于龙眼放置时间短，村民把龙眼加工成桂圆肉和龙眼干进行销售，预计还能摘20吨，桂圆肉和龙眼干的销售价格分别是10万元/吨和3万元/吨，若全部的销售额不少于36万元20．（9分）如图，一次函数y＝kx+b与反比例函数y＝的图象相交于点A（2，3）（n，1）．（1）求一次函数及反比例函数的解析式；（2）请直接写出关于x的不等式kx+b＞的解集；（3）点P是x轴负半轴上一动点，连接AP、BP，当△ABP面积为12时21．（9分）如图，AB为⊙O的直径，点C平分弧BD，AC与BD相交于点F，过C作射线CE与射线AB相交于点E（1）求证：CE与⊙O相切；（2）若AB＝5，sin∠ECB＝，求CF的长．五、综合与探究（本大题共2小题，每小题12分，共24分）22．（12分）数学活动课上，老师提出如下问题：已知正方形ABCD，E为对角线AC上一点．【感知】（1）如图1，连接BE，DE．求证：BE＝DE；【探究】（2）如图2，F是DE延长线上一点，FB⊥BE①求证：∠FBG＝∠FGB；②若G为AB的中点，且AB＝4，求AF的长．【应用】（3）如图3，F是DE延长线上一点，FB⊥BE，BE＝BF．求证：GD＝DE23．（12分）综合探究：如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c（a≠0）与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0），与y轴交于点C，连接BC．（1）求抛物线的解析式；（2）如图①，点D在第一象限抛物线上一点，连接BC、DC，求点D的坐标；（3）若点N为抛物线对称轴上一点，抛物线上是否存在点M，使得B，C，M，请求出所有满足条件的点M的坐标；若不存在

2024年广东省惠州市惠东县中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，共30分）1．（3分）2024的相反数是（）A．2024 B．﹣2024 C． D．【解答】解：2024的相反数是﹣2024，故选：B．2．（3分）剪纸文化是中国最古老的民间艺术之一，如图剪纸图案中，既是轴对称图形义是中心对称图形的是（）A． B． C． D．【解答】解：A．该图形是轴对称图形，故此选项不符合题意；B．该图形是轴对称图形，故此选项不符合题意；C．该图形既不是中心对称图形，故此选项不符合题意；D．该图形既是轴对称图形又是中心对称图形．故选：D．3．（3分）2024年两会这份数据，振奋人心！中国2023年GDP超126万亿元，同比GDP增量相当于一个中等国家经济总量，世界第一制造业大国，世界第一货物贸易大国地位．把数据126万亿元用科学记数法表示为（）A．1.26×1013元 B．0.126×1014元 C．126×1013元 D．1.26×1014元【解答】解：数据126万亿元＝126000000000000＝1.26×1014元．故选：D．4．（3分）下列计算正确的是（）A．a3+3a3＝4a6 B．a•a2＝a3 C．a6÷a2＝a3 D．（a3）2＝a5【解答】解：A、a3+3a8＝4a3，故此选项不符合题意；B、a•a5＝a3，故此选项符合题意；C、a6÷a6＝a4，故此选项不符合题意；D、（a3）7＝a6，故此选项不符合题意；故选：B．5．（3分）方程x2＝2x的根是（）A．x＝2 B．x＝0 C．x1＝0，x2＝2 D．x1＝0，x2＝﹣2【解答】解：方程变形得：x2﹣2x＝6，分解因式得：x（x﹣2）＝0，可得：x＝4或x﹣2＝0，解得：x8＝0，x2＝5．故选：C．6．（3分）如图，一块直角三角板和直尺拼接，其中∠1＝26°（）A．56° B．62° C．66° D．68°【解答】解：∵直尺的对边平行，∴∠1＝∠3＝26°，∵∠6＝30°，∴∠2＝∠3+∠4＝56°．故选：A．7．（3分）如图，四边形OABC是平行四边形，在平面直角坐标系中（﹣1，2），OC＝5，点B的坐标是（）A．（2，4） B．（2，﹣4） C．（4，2） D．（4，﹣2）【解答】解：∵四边形OABC是平行四边形，∴AB∥OC，AB＝OC，∵A（﹣1，2），∴xB＝﹣7+5＝4，yB＝yA＝5，∴B（4，2），故选：C．8．（3分）如图，在⊙O中，弦AB＝5cm，则⊙O的半径是（）A．5cm B．6cm C．8cm D．10cm【解答】解：连接OA，OB，∵∠ACB＝30°，∴∠AOB＝2∠ACB＝60°，∵OA＝OB，∴△AOB是等边三角形，∴AB＝AO＝BO＝5cm，∴⊙O的半径是2cm，故选：A．9．（3分）如图是一座立交桥的示意图（道路宽度忽略不计），A为入口，F，G为出口，CG，EF；弯道为以点O为圆心的一段弧，且所对的圆心角均为90°米，甲车由A口驶入立交桥，以12m/s的速度行驶（）秒．A．5 B．6 C．7 D．8【解答】解：∵弧BC的长为＝20（米），∴甲车由A口驶入立交桥，以12m/s的速度行驶＝5（秒）．故选：A．10．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，其对称轴为直线x＝﹣（﹣2，0）．下列结论：①abc＜0；②a+b+c＝0，y1）点、点P（3，y3）在该函数图象上，则y1＜y2＜y3．其中正确结论有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解答】解：由所给函数图象可知，a＞0，b＞0，所以abc＜6．故①正确．因为抛物线的对称轴为直线x＝，且与x轴的一个交点坐标为（﹣3，所以抛物线与x轴的另一个交点坐标为（1，0），将其代入二次函数解析式得，a+b+c＝4．故②正确．因为抛物线的对称轴为直线x＝，所以，则b＝a．由函数图象可知，当x＝﹣5时，函数值大于零，所以9a﹣3b+c＞2，则6a+c＞0．故③正确．因为抛物线开口向上，所以抛物线上的点，离对称轴越近．又因为，且，所以y2＜y3＜y3．故④错误．故选：C．二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）11．（3分）因式分解：x2﹣4＝（x+2）（x﹣2）．【解答】解：x2﹣4＝（x+5）（x﹣2）．故答案为：（x+2）（x﹣7）．12．（3分）设n为正整数，若n＜＜n+12．【解答】解：∵，∴2＜7，∵n＜＜n+1，∴n＝2，故答案为：2．13．（3分）一次函数y＝（k﹣1）x+1中，y随x增大而减小k＜1．【解答】解：∵一次函数y＝（k﹣1）x+1中y随x的增大而减小，∴k﹣5＜0，解得k＜1；故答案为：k＜5．14．（3分）化学中直链烷烃的名称用“碳原子数+烷”来表示，当碳原子数为1～10时，依次用天干甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸表示，则辛烷分子结构式中“H”的个数是18．【解答】解：观察，发现规律：甲烷：碳原子的数目x＝1，氢原子的数目y＝4；乙烷：碳原子的数目x＝4，氢原子的数目y＝6；丙烷：碳原子的数目x＝3，氢原子的数目y＝5；..．∴y与x之间的函数关系式为y＝2x+2；则辛烷分子结构式中“H”的个数：5×8+2＝18，故答案为：18．15．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，M为对角线BD上的一点（不与点B、D重合），连接AM，连接AN．若BM：BD＝2：5，则的tan∠DAN＝．【解答】解：过点M作MG⊥AB于G，延长GM交CD于H，如图：∵四边形ABCD为矩形，∴∠BAD＝∠ADC＝∠AGH＝90°，AD＝BC＝3，∴四边形AGHD为矩形，∴AG＝DH，GH＝AD＝3，∴△BGM∽△BAD，∴，∵BM：BD＝8：5，∴，∴BG＝AB＝AD＝，∴AG＝HD＝AB﹣BG＝4﹣＝，∴MH＝GH﹣GM＝3﹣＝，∵MN⊥AM，∴∠AMN＝90°，∴∠AMG+∠HMN＝90°，∵∠AMG+∠MAG＝90°，∴∠HMN＝∠MAG，∵∠AGM＝∠MHN＝90°，∴△AGM∽△MHN，∴，即：＝解得：HN＝，∴ND＝HD﹣HN＝，∴tan∠DAN＝＝＝，故答案为：．三、解答题（一）（16题10分，每小题10分，17、18每题7分，共24分）16．（10分）（1）计算：﹣（）0+（）﹣2﹣4sin30°；（2）解不等式组：【解答】解：（1）原式＝2﹣1+6﹣4×＝2﹣1+3﹣2＝3；（2）解不等式①得：x≤4，解不等式②得：x＞﹣2，∴该不等式组的解集为﹣2＜x≤3．17．（7分）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°．（1）尺规作图：作线段BC的垂直平分线MN，交AC于点D，交BC于点F；（不写作法，保留作图痕迹）（2）在（1）的条件下，∠C＝30°，求CD的长．【解答】解：（1）如图所示：直线MN是BC的垂直平分线；（2）∵直线DE是AB的垂直平分线，∴BD＝CD，∴∠CBD＝∠C＝30°，∵∠A＝90°，∠C＝30°，∴∠ABC＝60°，∴∠ABD＝30°，∴AD＝BD，在Rt△ABD中，AB＝6，AB2+AD2＝BD6，∴32+AD3＝（2AD）2，解得AD＝，∴CD＝BD＝2．18．（7分）为进一步落实双减工作，丰富学生课后服务内容，某学校增设了科技项目课程，编程”四种课程（依次用A，B，C，D表示），为了解学生对这四种课程的爱好情况调查问题在下列课科技项目中，你最喜欢的是_____（单选）A．无人机B．人工智能C．动漫D．编程并根据调查结果绘制了条形统计图和扇形统计图，部分信息如图：（1）请补全条形统计图．（2）扇形统计图中“D”对应扇形的圆心角为36度．（3）估计全体1000名学生中最喜欢C活动的人数约为多少人？（4）学校现从喜好“编程”的甲、乙、丙、丁四名学生中任选两人参加青少年科技创新比赛，请用树状图或列表法求恰好甲和丁同学被选到的概率是多少？【解答】解：（1）调查的学生人数为84÷35%＝240（人），∴选择A课程的人数为240×25%＝60（人），选择C课程的人数为240﹣60﹣84﹣24＝72（人）．补全条形统计图如图所示．（2）扇形统计图中“D”对应扇形的圆心角为360°×＝36°．故答案为：36．（3）1000×＝300（人）．∴估计全体1000名学生中最喜欢C活动的人数约为300人．（4）画树状图如下：共有12种等可能的结果，其中恰好甲和丁同学被选到的结果有：甲丁，共2种，∴恰好甲和丁同学被选到的概率为＝．四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分）19．（9分）广东百千万高质量发展工程预计到2025年将实现县域经济发展加快，乡村振兴取得新成效．某乡村龙眼上市，先后两次共摘龙眼21吨；因龙眼大量上市，价格下跌，两次龙眼共卖了9万元．（1）求两次各摘龙眼多少吨？（2）由于龙眼放置时间短，村民把龙眼加工成桂圆肉和龙眼干进行销售，预计还能摘20吨，桂圆肉和龙眼干的销售价格分别是10万元/吨和3万元/吨，若全部的销售额不少于36万元【解答】解：（1）设第一次摘龙眼x吨，则第二次摘龙眼（21﹣x）吨，根据题意得0.5x+6.4（21﹣x）＝9，解得：x＝7，则21﹣6＝15，∴第一次摘龙眼6吨，第二次摘龙眼15吨．（2）设把m吨龙眼加工成桂圆肉，则把（20﹣m）吨龙眼加工成龙眼干，根据题意得7.2m×10+0.2（20﹣m）×3≥36，解得：m≥12，∴至少需要把12吨龙眼加工成桂圆肉．20．（9分）如图，一次函数y＝kx+b与反比例函数y＝的图象相交于点A（2，3）（n，1）．（1）求一次函数及反比例函数的解析式；（2）请直接写出关于x的不等式kx+b＞的解集；（3）点P是x轴负半轴上一动点，连接AP、BP，当△ABP面积为12时【解答】解：（1）将点A的坐标代入反比例函数表达式得：m＝2×3＝2，则反比例函数表达式为：y＝，则点B（6，8），将点A、B的坐标代入一次函数表达式得：，解得：，则一次函数的表达式为：y＝﹣x+4；（2）观察函数图象知，不等式kx+b＞；（3）设直线AB交x轴于点H，设点P（x，由直线AB的表达式知，点H（8，则△ABP面积＝S△PHA﹣S△PHB＝PH×（yA﹣yB）＝（8﹣x）×（3﹣3）＝12，解得：x＝﹣4，即点P的坐标为：（﹣4，2）．21．（9分）如图，AB为⊙O的直径，点C平分弧BD，AC与BD相交于点F，过C作射线CE与射线AB相交于点E（1）求证：CE与⊙O相切；（2）若AB＝5，sin∠ECB＝，求CF的长．【解答】（1）证明：连接OC，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠A+∠ABC＝90°，∵OB＝OC，∴∠ABC＝∠OCB，而∠ECB＝∠CAB，∴∠ECB+∠OCB＝90°，∴∠ECO＝90°，∴CE与⊙O相切于点C；（2）解：∵∠ECB＝∠CAB，sin∠ECB＝，∴sin∠BAC＝＝，∵AB＝5，∴BC＝2，∴AC＝＝7，∵＝，∴∠CBF＝∠BAC，∵∠BFC＝∠ACB，∴△CBF∽△CAB，∴BC：AC＝CF：BC，∴3：4＝CF：3，∴CF＝．故CF的长为．五、综合与探究（本大题共2小题，每小题12分，共24分）22．（12分）数学活动课上，老师提出如下问题：已知正方形ABCD，E为对角线AC上一点．【感知】（1）如图1，连接BE，DE．求证：BE＝DE；【探究】（2）如图2，F是DE延长线上一点，FB⊥BE①求证：∠FBG＝∠FGB；②若G为AB的中点，且AB＝4，求AF的长．【应用】（3）如图3，F是DE延长线上一点，FB⊥BE，BE＝BF．求证：GD＝DE【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，∴AB＝AD，∠BAC＝∠DAC＝45°．在△ABE和△ADE中，，∴△ABE≌△ADE（SAS），∴BE＝DE；（2）①证明：∵四边形ABCD为正方形，∴∠ABC＝90°，AB∥CD，∴∠ABE+∠CBE＝90°．∵FB⊥BE，∴∠FBG+∠ABE＝90°，∴∠FBG＝∠CBE．由（1）知：△ABE≌△ADE，∴∠CBE＝∠CDE．∵AB∥CD，∴∠CDE＝∠FGB，∴∠FBG＝∠FGB；②解