《分层随机抽样》教学设计、导学案、同步练习

《9.1.2分层随机抽样》教学设计【教材分析】本节《普通高中课程标准数学教科书-必修二（人教A版）第九章《9.1.2分层抽样》,本节的主要内容在本章的结构上，通过大背景的“串联”，从大背景中不断提出新问题，从而通过问题■链进行探究学习，合理选择抽样方法的必要性并掌握分层抽样方法。从而发展学生的直观想象、逻辑推理、数学建模的核心素养。【教学目标与核心素养】课程目标学科素养A.理解分层抽样的基本思想和适用情形.B.掌握分层抽样的实施步骤.。了解二种抽样方法的区别和联系.」.数学建模：结合实际问题情景，理解分层抽样的必要性和重要性；.逻辑推理：学会用分层抽样的方法从总体中抽取样本；.直观想象：对简单随机抽样、分层抽样方法进行比较，揭示其相互关系..数学运算：总体平均数的估计方法【教学重点】：理解分层抽样的基本思想和适用情形.．【教学难点】：掌握分层抽样的实施步骤，会计算总体平均数．【教学过程】教学过程教学设计意图一、温故知新1、简单随机抽样的概念：设一个总体含有有限个个体，并记其个体数为N.如果通过逐个抽取的方法从中抽取一个样本，且每次抽取时各个个体被抽到的机会相等，就称这样的抽样为简单随机抽样.2、简单随机抽样的特点：①总体个数有限；②逐个进行抽取；③机会均等抽样.3、简单随机抽样的常用方法：①抽签法；②随机数表法.由生活中的问题出发，提出问题，让学生感受到采用分层抽样的必要性。发展学生数学抽象、直观想象和逻辑推理的核心素养。抽样调查最核心的问题是样本的代表性，简单随机抽样是使总体中每一个个体都有相等的机会被抽中，但因为抽样的随机性，有可能会出现比较“极端”的样本，二、问题探究例如,在对树人中学高一年级学生身高的调查中,可能出现样本中50个个体大部分来自高个子或矮个子的情形，这种“极端”样本的平均数会大幅度地偏离总体平均数,从而使得估计出现较大的误差.能否利用总体中的一些额外信息对抽样方法进行改进呢？在对树人中学高一年级学生身高的调查中，采取简单随机抽样的方式抽取了50名学生。.抽样调查最核心的问题是什么？.会不会出现样本中50个个体大部分来自高个子或矮个子的情形？.为什么会出现这种“极端样本”？.如何避免这种“极端样本”？样本代表性;会;抽样结果的随机性个体差异较大;分组抽样，减少组内差距在树人中学高一年级的712名学生中，男生有326名、女生有386名。分配［_号”分配1样本量在男生、女生中应如何分配？男生样本量=需占x总样本量女生样本量二总样本量佝=器乂虫23〃「患—27假设某地区有高中生2400人，初中生10900人，小学生11000人，此地教育部门为了了解本地区中小学的近视情况及其形成原因，要从本地区的小学生中抽取1%的学生进行调查，你认为应当怎样抽取样本？

通过具体问题，让学生感受分层抽样的概念及方法，发展学生数学抽象、逻辑推理的核心素养。你认为哪些因素影响学生视力？抽样要考虑哪些因素？分层抽样一层个体数每一层抽取的样本数二体个常居=抽样比例X该层个体数一般地，按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体，每个个体属于且仅属于一个子总体，在每个子总体中独立地进行简单随机抽样，再把所有子总体中抽取的样本合在一起作为总样本，这样的抽样方法称为分层随机抽样(stratifiedrandomsampling),每一个子总体称为层.在分层随机抽样中，如果每层样本量都与层的大小成比例，那么称这种样本量的分配方式为比例分配.X总样本量做一做1.下列问题中，最适合用分层抽样抽取样本的是()A.从10名同学中抽取3人参加座谈会B.某社区有500个家庭，其中高收入的家庭125个，中等收入的家庭280个，低收入的家庭95个，为了了解生活购买力的某项指标，要从中抽取一个容量为100的样本C.从1000名工人中，抽取100名调查上班途中所用时间

D.从生产流水线上，抽取样本检查产品质量【解析】A中总体个体无明显差异且个数较少，适合用简单随机抽样；C和D中总体个体无明显差异且个数较多，适合用系统抽样；B中总体个体差异明显，适合用分层抽样.【答案】B2.某公司生产三种型号的轿车，产量分别是1200辆，6000辆和2000辆，为检验该公司的产品质量，现用分层抽样的方法抽取46辆进行检验，这三种型号的轿车依次应抽取辆、辆、辆.-，一一一一，一一， 46【解析】三种型号的轿车共9200辆，抽取样本为46辆，则按了诉=9200占的比例抽样，所以依次应抽取1200X焉=6（辆），6000X-1-=乙UU 乙UU 乙UU30（辆），2000X210=10（辆）.【答案】630101.分层抽样的步骤桂某种特征褥总体小成若干部分t层）技抽样比即定处层加坡的个体数综若■芥层抽怦，翅倒N革各层分/桂某种特征褥总体小成若干部分t层）技抽样比即定处层加坡的个体数综若■芥层抽怦，翅倒N革各层分/J按窗单部机揄群或崇潴抽样的方法抽垂样本抽样比心总小容量11算杆比通过实例分析，让学生掌握分层抽样的基本步骤，并熟悉的应用能力,提升推理论证能力，提2.分层抽样的特点有哪些?【提示】（1）分层抽样适用于已知总体是由差异明显的几部分组成的;⑵分成的各层互不交叉；（3）各层抽取的比例都等于样本容量在总体中, n 的比例，即2.分层抽样的特点有哪些?【提示】（1）分层抽样适用于已知总体是由差异明显的几部分组成的;⑵分成的各层互不交叉；（3）各层抽取的比例都等于样本容量在总体中, n 的比例，即N，其中n为样本容量,N为总体容量.高学生的数学抽象、数学建模及逻辑推理的核心素养。.计算各层所抽取个体的个数时，若Ni・N的值不是整数怎么办?【提示】为获取各层的入样数目，需先正确计算出抽样比N，若n「N的值不是整数，可四舍五入取整，也可先将该层等可能地剔除多余的个体.【提示】探究3分层抽样公平吗？【提示】分层抽样中，每个个体被抽到的可能性是相同的，与层数、分层无关.如果总体的个数为N,样本容量为n,Ni为第i层的个体数，则第i层抽N n1Nn取的个体数ni=n•',每个个体被抽到的可能性是Ni=N•n•<=]..简单随机抽样、分层抽样的各自特点及适用范围有什么异同？【提示】简单随机抽样是最基本的抽样方法，应用于系统抽样和分层抽样中.简单随机抽样所得样本的代表性与个体编号无关.分层抽样应用最广泛，它充分利用总体信息，得到的样本比前两种抽样方法都具有代表性.分层随机抽样的平均数两种抽样方法的特点及其适用范围如下表：类别简单随机抽样分层抽样各自特点从总体中逐个抽取将总体分成几层，分层进行抽取相互联系X在各层抽样时采用简单随机抽样或系统抽样适用范围总体中的个体数较少总体由存在明显差异的几部分组成.在简单随机抽样中如何估计总体平均数？.那么在分层随机抽样中如何估计总体平均数呢？是否也可以直接用样本平均数进行估计？(1)在分层随机抽样中，如果层数分为2层，第1层和第2层包含的个体数分别为M和N，抽取的样本量分别为m和n我们用X1，X2，…，XM表示第1层各个个体的变量值，用x1，x2,…，xm表示第1层样本的各个个体的变量值；用Y1,Y2,…，YN表示第2层各个个体的变量值，用y1,y2,…，yn表示第2层样本的各个个体的变量值，则：分层随机抽样中的总体平均数与样本平均数第1层的总体平均数和样本平均数为：X=第1层的总体平均数和样本平均数为：X=-1ZxMii=11Z=—"Xmii=1第2层的总体平均数和样本平均数为:YY+Y+..Y 1ZyY=—t 2 N=—YilTOC\o"1-5"\h\zN Nii=1—y+y+...y1Zy= 2 m=——yn nii=1总体平均数和样本平均数为:MX+NYZx+MX+NYi iW=-i= i=——M+NZX+Zy—iimX+ny m_n_3=_i= i=——= = x+ ym+n m+n m+n m+n由于用第一层的样本平均数X可以估计第1层的总体平均数X第二层的样本平均数y 可以估计第2层的总体平均数y，因此我们可以用MX+NyM-N- = x+ yM+NM+NM+N估计总体平均数W对各层样本平均数加权（层权）求和Zx+Zy—iim-n-w=-i= i=——= x+ ym+nm+nm+nm_nm+nM―N~M+NMmNnM-N- = ； = = X+ yM+Nm+nM+Nm+nM+NM+NM-N- x+ yM+NM+N在比例分配的分层随机中抽样中M-N-m-n一 工+工一y二①— ' 'n ='=1'=1n m+n生，男生有326名、女生有386女生样本数据如下 x+ y= xM+NM+Nm+n例1.在树人中学高一年级的71名，分别抽取的男生23名男生C+ m+2名学、27名173 174 166 172170165 165 168 164 17'3.0 .0 .0 .0.0.0 .0 .0 .0 .01172 173 175 168170172 176 175 168 17'3.0 .0 .0 .0.0.0 .0 .0 .0 .01167 170 175.0 .0 .016 16 16 15 161616 15 16 163. 4. 1. 7. 2.5.8. 5. 4. 2.0 0 0 0 000 0 0 515 15 16 14 151617 17 15 144. 4. 4. 9. 9.1.0. 1. 5. 8.0 0 0 0 000 0 0 017 16 15 15 1516172. 2. 8. 5. 7.3.2.0 5 0 5 000样本女生平均身高=160.6,样本男生平均身高=170.63326

y=—3326

y=—712x170.6+—x160,62165.18712高一年级有男生490人，女生510人，张华按照男生女生进行分层，得

到男生女生平均身高分别为170.2cm和160.8cm。（1）如果张华在各层中按比例分配样本，总样本量为100.那么男生、女生中分别抽取了多少名？在这种情况下，请估计高一年级全体学生的平均身高。49 51 /一一义170.2+义160.8氏165.4100 100（2）如果张华从男生、女生中抽取的样本量分别为30和70，那么在这种情况下，如何估计高一全体学生的平均身高。小明用比例分配的分层抽样方法，从高一年级的学生中抽取了十个样本量为50的样本，计算出样本平均数。与相同样本量的简单随机抽样的结果比较。序号12345678910简单16161616161616161616随机5.2.4.4.5.4.5.4.5.5.抽样2844683370分层16161616161616161616随机5.5.4.4.6.4.5.4.6.5.抽样8133462911通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题，发展学生的数学抽象、逻辑推理、数学运通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题，发展学生的数学抽象、逻辑推理、数学运三、达标检测.下列实验中最适合用分层抽样法抽样的是（）A.从一箱3000个零件中抽取5个入样B.从一箱3000个零件中抽取600个入样C从一箱30个零件中抽取5个入样

数学建模的核心素D.从甲厂生产的100个零件和乙厂生产的200个零件中抽取6个入样算、数学建模的核心素【答案】D 养。【解析】D中总体有明显差异，故用分层抽样..一批灯泡400只，其中20W、40W、60W的数目之比是4：3：1,现用分层抽样的方法产生一个容量为40的样本，三种灯泡依次抽取的个数为（）A.20,15,5 B.4,3,1C.16,12,4D.8,6,24 3【答案】A【解析】 三种灯泡依次抽取的个数为40X-=20,40X-=8 8115,40X-=5.83.某单位有职工100人，不到35岁的有45人，35岁到49岁的有25人，剩下的为50岁以上（包括50岁）的人，用分层抽样的方法从中抽20人，各年龄段分别抽取的人数为（）A.7,5,8 B.9,5,6C.7,5,9 D.8,5,7【答案】B【解析】由于样本容量与总体个体数之比为需=1,故各年龄段抽取1005的人数依次为45X1=9（人），525X1=5（人），20—9—5=6（人）.5.某企业三月中旬生产A,B,C三种产品共3000件，根据分层抽样的结果，企业统计员制作了如下的统计表格：产品产品样本、类型ABC激量（件）1300。容量130由于不小心，表格中A,C两种产品的有关数据已被污染看不清楚了，统计员只记得A产品的样本容量比C产品的样本容量多10,根据以上信息，可得C产品的数量是件.【解析】 抽样比为130：1300=1：10,即每10个产品中抽取1个个体，又A产品的样本容量比C产品的样本容量多10,故C产品的数量是[（3000—1300）—100]*1=800（件）.【答案】800.某市化工厂三个车间共有工人1000名，各车间男、女工人数如下表:第一车间第二车间第三车间女工173100y男工177xz已知在全厂工人中随机抽取1名，抽到第二车间男工的可能性是0.15.⑴求x的值；⑵现用分层抽样的方法在全厂抽取50名工人，问应在第三车间抽取多少名？x【解】（1）由p000=0.15,得x=150.⑵•・,第一车间的工人数是173+177=350,第二车间的工人数是100+150=250,二第三车间的工人数是1000—350—250=400. m 50设应从第三车间抽取m名工人，则由砺=1■而，得m=20.・•・应在第三车间抽取20名工人.四、小结通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力。1、分层抽样是当总体由差异明显的几部分组成时采用的抽样方法，进行通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力。分层抽样时应注意以下几点：（1）分层抽样中分多少层、如何分层要视具体情况而定，总的原则是，层内样本的差异要小，面层之间的样本差异要大，且互不重叠。（2）为了保证每个个体等可能入样，所有层应采用同一抽样比等可能抽样。（3）在每层抽样时，应采用简单随机抽样的方法进行抽样。2、分层抽样的优点是：使样本具有较强的代表性，并且抽样过程中可综合选用各种抽样方法，因此分层抽样是一种实用、操作性强、应用比较广泛的抽样方法。3、分层随机抽样中如何朝本估计总体平均值。M- N- ]Ex+Hy xH y iyM+NM+N；,=1m+i^； tm+n五、课时练【教学反思】本节的主要内容在本章的结构上，通过大背景的“串联”，从大背景中不断提出新问题，从而通过问题链进行探究学习，合理选择抽样方法的必要性并掌握分层抽样方法。从而发展学生的直观想象、逻辑推理、数学建模的核心素养。教学中要注重学生的主体地位，调动学生积极性，使数学教学成为数学活动的教学。《9.1.2分层随机抽样》导学案【学习目标】A.理解分层抽样的基本思想和适用情形.B.掌握分层抽样的实施步骤，会计算总体平均数.口了解二种抽样方法的区别和联系.【教学重点】：理解分层抽样的基本思想和适用情形.【教学难点】：掌握分层抽样的实施步骤，会计算总体平均数．【知识梳理】1、简单随机抽样的概念:设一个总体含有有限个个体，并记其个体数为N.如果通过逐个抽取的方法从中抽取一个样本，且每次抽取时各个个体被抽到的机会相等，就称这样的抽样为简单随机抽样.2、简单随机抽样的特点:①总体个数有限；②逐个进行抽取；③机会均等抽样.3、简单随机抽样的常用方法：①抽签法；②随机数表法.抽样调查最核心的问题是样本的代表性，简单随机抽样是使总体中每一个个体都有相等的机会被抽中，但因为抽样的随机性，有可能会出现比较“极端”的样本，【学习过程】一、情境与问题问题1,在对树人中学高一年级学生身高的调查中,可能出现样本中50个个体大部分来自高个子或矮个子的情形,这种“极端”样本的平均数会大幅度地偏离总体平均数,从而使得估计出现较大的误差.能否利用总体中的一些额外信息对抽样方法进行改进呢？在对树人中学高一年级学生身高的调查中，采取简单随机抽样的方式抽取了50名学生。.抽样调查最核心的问题是什么？.会不会出现样本中50个个体大部分来自高个子或矮个子的情形？.为什么会出现这种“极端样本”？.如何避免这种“极端样本”？样本代表性;会;抽样结果的随机性个体差异较大;分组抽样，减少组内差距在树人中学高一年级的712名学生中，男生有326名、女生有386名。警分配1I¥例分配样本量在男生、女生中应如何分配？男生样本量=晶源*总样本量女生样本量=亲爱X总样本量佝=翳人23%."27假设某地区有高中生2400人，初中生10900人，小学生11000人，此地教育部门为了了解本地区中小学的近视情况及其形成原因，要从本地区的小学生中抽取1%的学生进行调查，你认为应当怎样抽取样本？小学初中高中你认为哪些因素影响学生视力？抽样要考虑哪些因素？分层抽样该层个体数每一层抽取的样本数;总体个体数二抽样比例X该层个体数一般地，按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体，每个个体属于且仅属于一个子总体，在每个子总体中独立地进行简单随机抽样，再把所有子总体中抽取的样本合在一起作为总样本，这样的抽样方法称为分层随机抽样(stratifiedrandomsampling)，每一个子总体称为层.在分层随机抽样中，如果每层样本量都与层的大小成比例，那么称这种样本量的分配方式为比例分配.X总样本量做一做1.下列问题中，最适合用分层抽样抽取样本的是( )A.从10名同学中抽取3人参加座谈会B.某社区有500个家庭，其中高收入的家庭125个，中等收入的家庭280个，低收入的家庭95个，为了了解生活购买力的某项指标，要从中抽取一个容量为100的样本C.从1000名工人中，抽取100名调查上班途中所用时间D.从生产流水线上，抽取样本检查产品质量2．某公司生产三种型号的轿车，产量分别是1200辆，6000辆和2000辆，为检验该公司的产品质量，现用分层抽样的方法抽取46辆进行检验，这三种型号的轿车依次应抽取 辆、 辆、 辆.

1.分层抽样的步骤计算垃印田1样本容最抽样比总体弱」各层分别按循单骷机抽样或系统抽样的力法抽取样本舞曹各层抽样，孤地祥本接抽样比确定每层抽取的个体数1.分层抽样的步骤计算垃印田1样本容最抽样比总体弱」各层分别按循单骷机抽样或系统抽样的力法抽取样本舞曹各层抽样，孤地祥本接抽样比确定每层抽取的个体数按某和特珏相总体分成若干部。N层)2.分层抽样的特点有哪些？.计算各层所抽取个体的个数时，若NjN的值不是整数怎么办?探究3分层抽样公平吗？.简单随机抽样、系统抽样、分层抽样的各自特点及适用范围有什么异同?两种抽样方法的特点及其适用范围如下表：两种抽样方法的特点及其适用范围如下表：类别简单随机抽样分层抽样各自特点从总体中逐个抽取将总体分成几层，分层进行抽取相互联系在各层抽样时采用简单随机抽样或系统抽样适用范围总体中的个体数较少总体由存在明显差异的几部分组成总体信息，得到的样本比前两种抽样方法都具有代表性．分层随机抽样的平均数问题探究.在简单随机抽样中如何估计总体平均数？.那么在分层随机抽样中如何估计总体平均数呢？是否也可以直接用样本平均数进行估计？(1)在分层随机抽样中，如果层数分为2层，第1层和第2层包含的个体数分别为M

和N,抽取的样本量分别为m和n我们用X1,X2,…，XM表示第1层各个个体的变量值，

用x1,x2，…，xm表示第1层样本的各个个体的变量值；用Y1，Y2，•…YN表示第2层各个个体的变量值，用y1，y2,…，yn表示第2层样本的各个个体的变量值，则：分层随机抽样中的总体平均数与样本平均数-X+X+…X1M—第1层的总体平均数和样本平均数为：X=―—言——m=乙XMMii=1一x+x+...x 1yX=—t 2 m=——Xmmii=1第2层的总体平均数和样本平均数为:YY+Y+..Y 1gyY=-4 2 N=—YilTOC\o"1-5"\h\zN Nii=1—y+y+...y 1下y= 2 m=——yn nii=1总体平均数和样本平均数为:MX+NY£x+MX+NYi iW=-i= i=——M+N£x+£y—iimx+nym_n_3=_i=1 i=1——= = x+ ym+nm+n m+n m+n由于用第一层的样本平均数x可以估计第i层的总体平均数X ,第二层的样本平均数y可以估计第2层的总体平均数Y,因此我们可以用Mx+Ny M-N- = x+ yM+NM+NM+N估计总体平均数W对各层样本平均数加权（层权）求和Zx+Xy—iim—n—w=-i=1 i=——= x+ ym+nm+nm+n

m_nm+nM―N~M+NMmNnM-N- 二 ； = = x+ yM+Nm+nM+Nm+nM+NM+N分层随机抽样如何估计总体平均数M-N- x+ yM+NM+N在比例分配的分层随机中抽样中^^xc+lLyTOC\o"1-5"\h\zM-N—m-n- iix+y= x+ y=B= w——M+NM+Nm+nm+n m+n例1.在树人中学高一年级的712名学生，男生有326名、女生有386名，分别抽取的男生23名男生、27名女生样本数据如下173.0 174.0 166.0 172.0 170.0 165.0 165.0 168.0 164.0 173.0172.0 173.0 175.0 168.0 170.0 172.0 176.0 175.0 168.0 173.0167.0 170.0 175.0163.0 164.0 161.0 157.0 162.0 165.0 168.0 155.0 164.0 162.5154.0 154.0 164.0 149.0 159.0 161.0 170.0 171.0 155.0 148.0172.0 162.5 158.0 155.5 157.0 163.0 172.0样本女生平均身高=160.6,样本男生平均身高=170.6M-N—326 386 x+ y= 义170.6+x160.62165.18M+NM+N712 712高一年级有男生490人，女生510人，张华按照男生女生进行分层，得到男生女生平均身高分别为170.2cm和160.8cm。（1）如果张华在各层中按比例分配样本，总样本量为100.那么男生、女生中分别抽取了多少名？在这种情况下，请估计高一年级全体学生的平均身高。（2）如果张华从男生、女生中抽取的样本量分别为30和70，那么在这种情况下，如

何估计高一全体学生的平均身高。【达标检测】1．下列实验中最适合用分层抽样法抽样的是( )A.从一箱3000个零件中抽取5个入样B.从一箱3000个零件中抽取600个入样C从一箱30个零件中抽取5个入样D.从甲厂生产的100个零件和乙厂生产的200个零件中抽取6个入样2.一批灯泡400只，其中20W、40W、60W的数目之比是4：3：1,现用分层抽样的方法产生一个容量为40的样本，三种灯泡依次抽取的个数为( )A．20,15,5 B．4,3,1C．16,12,4D．8,6,23．某单位有职工100人，不到35岁的有45人，35岁到49岁的有25人，剩下的为50岁以上(包括50岁)的人，用分层抽样的方法从中抽20人，各年龄段分别抽取的人数为( )A．7,5,8 B．9,5,6C．7,5,9 D．8,5,74.某企业三月中旬生产A,B,C三种产品共3000件，根据分层抽样的结果，企业统计员制作了如下的统计表格：产品类型ABC产品数量(件)1300样本容量130由于不小心，表格中A,C两种产品的有关数据已被污染看不清楚了，统计员只记得A产品的样本容量比C产品的样本容量多10,根据以上信息，可得C产品的数量是件．5．某市化工厂三个车间共有工人1000名,各车间男、女工人数如下表：第一车间第二车间第三车间女工173100y男工177xz已知在全厂工人中随机抽取1名,抽到第二车间男工的可能性是0.15.(1)求x的值；（2）现用分层抽样的方法在全厂抽取50名工人，问应在第三车间抽取多少名？【课堂小结】1、分层抽样是当总体由差异明显的几部分组成时采用的抽样方法，进行分层抽样时应注意以下几点：（1）分层抽样中分多少层、如何分层要视具体情况而定，总的原则是，层内样本的差异要小，面层之间的样本差异要大，且互不重叠。（2）为了保证每个个体等可能入样，所有层应采用同一抽样比等可能抽样。（3）在每层抽样时，应采用简单随机抽样的方法进行抽样。2、分层抽样的优点是：使样本具有较强的代表性，并且抽样过程中可综合选用各种抽样方法，因此分层抽样是一种实用、操作性强、应用比较广泛的抽样方法。3、分层随机抽样中如何用样本估计总体平均值。i=1 i=1参考答案：知识梳理学习过程.【解析】A中总体个体无明显差异且个数较少，适合用简单随机抽样；C和D中总体个体无明显差异且个数较多，适合用系统抽样；B中总体个体差异明显，适合用分层抽样.【答案】B.【解析】 三种型号的轿车共9200辆，抽取样本为46辆，则按三=/的比9200200例抽样，所以依次应抽取1200X210=6（辆），6000*土=30（辆），2000*焉=10（辆）.【答案】63010.【提示】 （1）分层抽样适用于已知总体是由差异明显的几部分组成的；（2）分成的各层互不交叉；（3）各层抽取的比例都等于样本容量在总体中的比例，即N，其中n为样本容量，N为总体容量.3【提示】为获取各层的入样数目，需先正确计算出抽样比N，若Ni-N的值不是整数，可四舍五入取整，也可先将该层等可能地剔除多余的个体．探究3【提示】分层抽样中，每个个体被抽到的可能性是相同的，与层数、分层无关．如果总体的个数为N，样本容量为n，Ni为第i层的个体数，则第i层抽取的个体数niN n1Nn=n•1,每个个体被抽到的可能性是N=N•n•N=N.4.【提示】简单随机抽样是最基本的抽样方法，应用于系统抽样和分层抽样中．简单随机抽样所得样本的代表性与个体编号无关．系统抽样容易实施，可节约抽样成本．系统抽样所得样本的代表性与个体编号有关，如果个体随编号呈现某种特征，所得样本代表性很差．分层抽样应用最广泛，它充分利用问题探究.在简单随机抽样中如何估计总体平均数？.那么在分层随机抽样中如何估计总体平均数呢？是否也可以直接用样本平均数进行估计？例1.样本女生平均身高=160.6,样本男生平均身高=170.6M-N—326 386 x+ y=义170.6+x160.62165.18M+NM+N712 712高一年级有男生490人，女生510人，张华按照男生女生进行分层，得到男生女生平均身高分别为170.2cm和160.8cm。（1）如果张华在各层中按比例分配样本，总样本量为100.那么男生、女生中分别抽取了多少名？在这种情况下，请估计高一年级全体学生的平均身高。49 51——x170.2+ x160.8氏165.4100 100（2）如果张华从男生、女生中抽取的样本量分别为30和70，那么在这种情况下，如何估计高一全体学生的平均身高。小明用比例分配的分层抽样方法，从高一年级的学生中抽取了十个样本量为50的样本，计算出样本平均数。与相同样本量的简单随机抽样的结果比较。

序号12345678910简单随机抽样165.2162.8164.4164.4165.6164.8165.3164.3165.7165.0分层随机抽样165.8165.1164.3164.3166.4164.6165.2164.9166.1165.1达标检测♦简单随机抽样达标检测・分层随机抽样一实际值1．【答案】D【解析】D中总体有明显差异，故用分层抽样.4312.【答案】A【解析】三种灯泡依次抽取的个数为40X£=20,40Xd=15,40Xd=8885.3．【答案】B【解析】由于样本容量与总体个体数之比为10=1,故各年龄段抽取的人数依次为1005，1…、45X1=9（人），525X5=5（人），20—9—5=6（人）..【解析】抽样比为130：1300=1：10,即每10个产品中抽取1个个体，又A产品的样本容量比C产品的样本容量多10,故C产品的数量是[(3000—1300)—100]X1=2800（件）.【答案】800x.【解】（1）由丁0而=0.15,得x=150.⑵•・•第一车间的工人数是173+177=350,第二车间的工人数是100+150=250,二第三车间的工人数是1000—350—250=400.m50设应从第三车间抽取m名工人，则由嬴=1■而，得m=20.・•・应在第三车间抽取20名工人.《9.1.2分层随机抽样》同步练习一、选择题.分层随机抽样又称类型抽样,即将相似的个体归入一类（层）,然后每类抽取若干个个体构成样本,所以分层随机抽样为保证每个个体等可能抽样,必须进行（）A.每层等可能抽样 B.每层可以不等可能抽样C.所有层按同一抽样比等可能抽样 D.所有层抽取的个体数量相同.某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品,产量分别为100、200、300、400件,为检验产品的质量,现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验,则应从丁种型号的产品中抽取（）件.A.24 B.18 C.12 D.63.某单位有职工100人,不到35岁的有45人,35岁到49岁的有25人,剩下的为50岁以上（包括50岁）的人,用分层随机抽样的方法从中抽取20人,各年龄段分别抽取的人数为（）A.7,5,8 B.9,5,6C.6,5,9D.8,5,74.已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和如图2所示,为了了解该地区中小学生的近视形成原因,用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查,则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为siA.100,20）B.D.200,105．（多选题）我校有高一学生850人，高二学生900人，高三学生1200人，学校团委欲用分层抽样的方法抽取30名学生进行问卷调查，则下列判断错误的是（）A.高一学生被抽到的概率最大 B.高二学生被抽到的概率最大C高三学生被抽到的概率最大 D.每名学生被抽到的概率相等6．（多选题）某单位有老年人28人､中年人54人､青年人81人,为了调查他们的身体状况,从中抽取一个容量为36的样本,则不适合抽取样本的方法是（ ）A.随机数表法 B.抽签法C简单随机抽样 D.先从老年人中剔除1人,再用分层抽样二、填空题7．某公司在甲、乙、丙、丁四个地区分别有150个、120个、180个、150个销售点.公司为了调查产品销售的情况，需从这600个销售点中抽取一个容量为100的样本，记这项调查为①；在丙地区有10个特大型销售点，要从中抽取7个销售点调查其销售收入和售后服务等情况，记这项调查为②，则完成①②这两项调查宜采用的抽样方法分别为.8．防疫站对学生进行身体健康调查，采用分层抽样法抽取，泗县一中高三有学生1600人，抽取一个容量为200的样本，已知女生比男生少抽10人，则该校的女生人数应该有.9．某高中在校学生2000人.为了响应“阳光体育运动”号召，学校举行了跑步和登山比赛活动.每人都参加而且只参与了其中一项比赛，各年级参与比赛人数情况如表：高一年级高二年级高三年级跑步abc登山xyz3其中a：b：c=2：3：5,全校参与登山的人数占总人数的5,为了了解学生对本次活动的满意程度，现用分层抽样方式从中抽取一个100个人的样本进行调查，则高二年级参与跑步的学生中应抽取人10．小玲家的鱼塘里养了2500条鲢鱼,按经验,鲢鱼的成活率约为80%.现准备打捞出售,为了估计鱼塘中鲢鱼的总质量,从鱼塘中捕捞了3次进行统计,得到的数据如下表：鱼的条数平均每条鱼的廉量如第一次捕捞201.C第二次捕捞102.2第三次捕捞101.8那么，鱼塘中鲢鱼的总质量约是 kg.三、解答题11．举例说明简单随机抽样和分层随机抽样两种抽样方法中，无论使用哪种抽样方法，总体中的每个个体被抽到的概率都相等.12．某单位2000名职工，老年、中年、青年分布在管理、技术开发、营销、生产各部门中，如下表所示：人数管理技术开发营销生产共计老年40404080200中年80120160240600青年401602807201200小计16032048010402000（1）若要抽取40人调查身体状况，则应怎样抽样？（2）若要开一个25人的讨论单位发展与薪金调整方面的座谈会，则应怎样抽选出席人？《9.1.2分层随机抽样》同步练习答案解析一、选择题1．分层随机抽样又称类型抽样，即将相似的个体归入一类（层），然后每类抽取若干个个体构成样本，所以分层随机抽样为保证每个个体等可能抽样，必须进行（）A.每层等可能抽样 B.每层可以不等可能抽样C.所有层按同一抽样比等可能抽样 D.所有层抽取的个体数量相同

【答案】C【解析】保证每个个体等可能入样是三种基本抽样方式的共同特征，为了保证这一点，分层随机抽样时必须在所有层都按同一抽样比等可能抽取.故选：C2．某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为100、200、300、400件，为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丁种型号的产品中抽取（）件.A．24 B．18 C．12 D．6【答案】A【解析】设应从丁种型号的产品中抽取1件，由分层抽样的基本性质可得解得x=24.故选：解得x=24.故选：A.400-100+200+300+4003．某单位有职工100人，不到35岁的有45人，35岁到49岁的有25人，剩下的为50岁以上（包括50岁）的人，用分层随机抽样的方法从中抽取20人，各年龄段分别抽取的人数为（）A．7，5，8 B．9，5，6 C．6，5，9 D．8，5，7【答案】B201【解析】由于样本量与总体个体数之比为100=5，故各年龄段抽取的人数依次为1145义5=9，25义5=5，20—9—5=6.故选：b4．已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和如图2所示，为了了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为（）D．200，10A．100，20B．200，20C．100，D．200，10【答案】B【解析】由题意知，样本容量为（3500+4500+2000）x2%=200，其中高中生人数为2000x2%=40，高中生的近视人数为40x50%=20，故选B.5．（多选题）我校有高一学生850人，高二学生900人，高三学生1200人，学校团委欲用分层抽样的方法抽取30名学生进行问卷调查，则下列判断错误的是（）A.高一学生被抽到的概率最大 B.高二学生被抽到的概率最大C高三学生被抽到的概率最大 D.每名学生被抽到的概率相等【答案】ABC【解析】由抽样的定义知，无论哪种抽样，样本被抽到的概率都相同，故每名学生被抽到的概率相等，故选ABC.6．（多选题）某单位有老年人28人､中年人54人､青年人81人,为了调查他们的身体状况,从中抽取一个容量为36的样本,则不适合抽取样本的方法是（ ）A.随机数表法 B.抽签法C.简单随机抽样 D.先从老年人中剔除1人,再用分层抽样【答案】ABC【解析】因为总体是由差异明显的三部分组成,所以考虑用分层抽样.因为总人数为28+54+81=163,样本容量为36,TOC\o"1-5"\h\z36 36 2由于按 抽样,无法得到整数解,因此考虑先剔除1人,将抽样比变为 =-.163 16292若从老年人中随机地剔除1人,则老年人应抽取27义9=6（人），中年人应抽取2254义9=12（人），青年人应抽取81义9=18（人），从而组成容量为36的样本.二、填空题.某公司在甲、乙、丙、丁四个地区分别有150个、120个、180个、150个销售点.公司为了调查产品销售的情况，需从这600个销售点中抽取一个容量为100的样本，记这项调查为①；在丙地区有10个特大型销售点，要从中抽取7个销售点调查其销