天津市部分学校2024届高三下学期第一次质量调查数学试卷（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1天津市部分学校2024届高三下学期第一次质量调查数学试卷第Ⅰ卷（选择题）参考公式：·球的体积公式，其中R表示球的半径.·如果事件A，B互斥，那么．·如果事件A，B相互独立，那么．·任意两个事件A与B，若，则．一、选择题1.设集合，，则等于（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗，.故选：D.2.若a，，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分又不必要条件〖答案〗B〖解析〗当时，取，则，即充分性不成立；当时，有，则，故，所以，即，即必要性成立；综上，“”是“”的必要不充分条件.故选：B.3.已知实数a，b，c满足，，，则（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因为，得到，又，函数是减函数，所以，又，得到，所以，故选：A.4.函数的大致图象是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗方法一：因为，即，所以，所以函数的定义域为，关于原点对称，又，所以函数是奇函数，其图象关于原点对称，故排除；当时，，即，因此，故排除A.故选:D.方法二：由方法一，知函数是奇函数，其图象关于原点对称，故排除；又，所以排除A.故选：D.5.已知等比数列的前项和为，且，则数列的前项和为（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗因为，所以当时，，两式相减，得，因为数列是等比数列，所以．由，解得，所以数列是首项为1，公比为2的等比数列，所以，即，所以数列是首项为1，公比为4的等比数列，所以数列的前项和为．故选：A．6.下列说法不正确的是（）A.甲、乙、丙三种个体按的比例分层抽样调查，若抽取的甲种个体数为9，则样本容量为18B.设一组样本数据，，…，的方差为2，则数据，，.…，的方差为32C.在一个列联表中，计算得到的值，则的值越接近1，可以判断两个变量相关的把握性越大D.已知随机变量，且，则〖答案〗C〖解析〗对于A：设样本容量为，则，故，故A正确.对于B：设样本数据，，…，的均值为，则数据，，.…，的均值为，故数据，，.…，的方差为：，故B正确.对于C：越大，可以判断两个变量相关的把握性越大，越小则把握性越小，故C错误.对于D：由正态分布的对称性可得：，故D正确.故选：C.7.已知函数图象的一个对称中心是，点在的图象上，下列说法错误的是（）A. B.直线是图象的一条对称轴C.在上单调递减 D.是奇函数〖答案〗B〖解析〗因为点在的图象上，所以.又，所以.因为图象的一个对称中心是，所以，，则，.又，所以，则，A正确.，则直线不是图象的一条对称轴，B不正确.当时，，单调递减，C正确.，是奇函数，D正确.故选：B.8.如今中国被誉为基建狂魔，可谓是逢山开路，遇水架桥.公路里程､高铁里程双双都是世界第一.建设过程中研制出用于基建的大型龙门吊､平衡盾构机等国之重器更是世界领先.如图是某重器上一零件结构模型，中间最大球为正四面体的内切球，中等球与最大球和正四面体三个面均相切，最小球与中等球和正四面体三个面均相切，已知正四面体棱长为，则模型中九个球的表面积和为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗如图，取的中点，连接，，则，，过点作⊥底面，垂足在上，且，所以，故，点为最大球的球心，连接并延长，交于点，则⊥，设最大球的半径为，则，因为∽，所以，即，解得，即，则，故设最小球的球心为，中间球的球心为，则两球均与直线相切，设切点分别为，连接，则分别为最小球和中间球的半径，长度分别设为，则，则，又，所以，解得，又，故，解得，所以，模型中九个球的表面积和为.故选：B9.如图，已知双曲线的左､右焦点分别为，，过的直线与分别在第一､二象限交于两点，内切圆半径为，若，则的离心率为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗设，内切圆圆心为，内切圆在上的切点分别为，则，由及双曲线的定义可知，，故四边形是正方形，得，于是，故，所以，于是，在中，由余弦定理可得，从而，所以.故选：D.第Ⅱ卷（选择题）二、填空题10.设为虚数单位，若复数满足.则______.〖答案〗〖解析〗由，得，所以.故〖答案〗：.11.已知，则________．（用数字作答）〖答案〗〖解析〗因为，两边求导可得，令，得到，即，故〖答案〗为：.12.设圆：上有且仅有两个点到直线的距离等于,则圆半径的取值范围是_________.〖答案〗〖解析〗圆的圆心坐标为，半径为，圆心到直线的距离，因为圆上恰有相异两点到直线的距离等于，所以，即，所以.故〖答案〗为：13.设某学校有甲、乙两个校区和两个食堂，并且住在甲、乙两个校区的学生比例分别为和；在某次调查中发现住在甲校区的学生在食堂吃饭的概率为，而住在乙校区的学生在食堂吃饭的概率为，则任意调查一位同学是在食堂吃饭的概率为________．如果该同学在食堂吃饭，则他是住在甲校区的概率为________．（结果用分数表示）〖答案〗〖解析〗记为事件“该同学住在甲校区”，为事件“该同学在食堂吃饭”，则，，故，如果该同学在食堂吃饭，则他是住在甲校区的概率为，故〖答案〗为：；.14.在矩形中，是平面内的一点，且，则______；是平面内的动点，且，若，则的最小值为______.〖答案〗〖解析〗依题意，构建以为原点，为轴的直角坐标系，所以，则又，故，所以；由知，所以在以为直径的圆上，为圆心，不妨设，则，因为，所以，故可转化为点到与的距离之和，又，则在直线上，即对应线段，所以要求，只需求的最小值即可，而关于对称点为，故，此时，即，所以的最小值为.故〖答案〗为：；..15.记不超过的最大整数为．若函数既有最大值也有最小值，则实数的取值范围是________．〖答案〗〖解析〗取，则，所以函数既有最大值也有最小值，即在区间上既有最大值也有最小值，当时，在区间上单调递增，只有最小值，无最大值，不合题意，当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增，又，则，此时只有最小值，没有最大值，不合题意，当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增，又，则，此时有最大值为，最小值为，当时，在区间上单调递减，只有最大值，无最小值，不合题意，综上所述，实数的取值范围是，故〖答案〗为：.三、解答题16.在中,内角所对的边分别为.已知，.（1）求的值；（2）求值；（3）求．解：（1）由，得到，即，得到，又，所以，由余弦定理得.（2）由（1）知，所以，得到，，所以.（3）由，，得到，所以，又，由，知，所以，得到，所以.17.如图，多面体ABCDEF是由一个正四棱锥与一个三棱锥拼接而成，正四棱锥A-BCDE的所有棱长均为.（1）在棱DE上找一点G，使得面面AFG，并给出证明;（2）当时，求点F到面ADE的距离;（3）若，求直线DF与面ABC所成角的正弦值.解：（1）当点为中点时，面面，证明如下：因为四棱锥是正四棱锥，所以.在正方形中，，所以，在正方形中，，因为，所以，因为面，所以面，因为面，所以面面.（2）连接，交于点，连接，，则，又因为四棱锥是正四棱锥，所以面，所以四边形为矩形，，又，面，面，又，设点到面的距离为，即，，所以，点到面的距离为.（3）因为四棱锥是正四棱锥，所以，，两两垂直，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，所以，设平面的法向量为，则有取，则，故，设直线与平面所成角为，则，所以直线与平面所成角的正弦值为.18.已知椭圆的离心率为分别为椭圆的左，右顶点和坐标原点，点为椭圆上异于的一动点，面积的最大值为.（1）求的方程；（2）过椭圆的右焦点的直线与交于两点，记的面积为，过线段的中点作直线的垂线，垂足为，设直线的斜率分别为.①求的取值范围；②求证：定值.（1）解：由题意知，解得，所以的方程为；（2）①解：易知，设直线方程为，如下图所示：联立，消去可得，所以，且，可得，令，可得，由对勾函数性质可得在时单调递增；所以可得；即的取值范围为.②证明：易知，可得；所以；因此为定值.19.已知是等差数列，是公比不为1的等比数列，，，，且是与的等差中项．（1）求：数列和的通项公式．（2）设，求.（3）若对于数列、，在和之间插入个，组成一个新的数列，记数列的前n项和为，求．解：（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，由，则，故，所以，则，由，则，又由是与的等差中项，所以，即，解得或（舍去），故，（2）由，则，则，，两式相减得，，，则，其中①，②①-②相减可得，则所以，则；（3）根据题意可得，则，故，则，故当时，成立，当时，成立，所以共有项，共有个，则20.，，已知的图象在处的切线与x轴平行或重合．（1）求的值；（2）若对，恒成立，求a的取值范围；