北航2022抽象代数试卷与答案

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《抽象代数》期末考试卷

考前须知：

1、请大家认真审题

2、千万不能违反考场纪律题目：

一、判断题〔每题2分，共20分〕

()1、设*是集合*上的二元运算，假设a*是可约的，那么a是可逆的。()2、任何阶大于1的群没有零元。()3、任何群都与一个变换群同构。

()4、奇数阶的有限群中必存在偶数个阶为2的元素。()5、素数阶群必为循环群。

()6、*2+5是GF(7)上的不可约多项式。()7、环的抱负构成其子环。

()8、有补格中任何元素必有唯一的补元。()9、格保序映射必为格同态映射。

()10、设AS，那么P(A)，是格P(S)，的子格。

二、填空题〔10分〕

1、设〈G，*〉为群，a，bG且a的阶为n，那么b1ab的阶为。2、设〈G，*〉为群且a∈G。假设k∈I且a的阶为n，那么ak的阶为_n/(n,k)_；

并且ak=e当且仅当3、域的特征为___________；有限域的阶必为_________。4、GF〔3〕上的二次不可约首1多项式有222

5、设D是I+上的整除关系，即对任意的a，b∈I+，aDb当且仅当a|b。对任意a，b∈I+，那么a*b=__(a,b)__，ab=__[a,b]__。

－

三、计算题〔40分，每题8分〕

1、试求群N11—{0}，11的全部子群。解：

全部子群是：{1},11

{1,3,4,5,9},11{1,10},11

N11—{0}，11

2、试求群N7，+7的全部自同态。

解：设f为群N7，+7的自同态，那么：

f(*)=f(1)+7f(*-1)=f(1)+7f(1)+7f(*-2)=…=*f(1)mod7

3、设有置换：

12345P,Q

34512

试求P2和QP。解：

1234521453

1234512345

P2,QP45321

51234

4、试求群N7—{0}，7的2阶子群H，并求N7—{0}，7关于H的商群。解：

N7—{0}，7的2阶子群H={1,6},7N7—{0}，7关于H的商群为：G/H={1，6},{2，5},{3，4}

5、给定域N2，+2，2上的多项式a(*)=*4+*2+*+1，b(*)=*4+*3+1，试判断a(*)和b(*)是否为不可约多项式，并说明理由。解：a(*)为是可约多项式。由于a(*)=(*+1)(*3+*2+1)。

b(*)为不可约多项式。

假设b(*)为可约多项式，那么必能整除次数小于或等于2的不可约多项式。

而N2，+2，2上的次数小于或等于2的的不可约多项式只有：*，*+1，*2+*+1，它们均不能整除b(*)，所以b(*)为不可约多项式。

四、证明题〔30分〕

1、设〈G，*〉是群，令

C(G)={*∈G|假设y∈G，那么**y=y**}〔8分〕

证明：i)C(G)是G的子群；

ii)C(G)是G的不变子群。

证明：i)〔a〕对任意a∈G，因e*a=a*e，eC(G),即C(G)。(b)假设yC(G),那么对于任意aG：yaay，

故yaya1y1ay1a1y1aay1，y1C(G)。

(c)假设*,yC(G)，那么对于任意aG：*aa*且yaay，

因此(*y)a*(ya)*(ay)(*a)y(a*)ya(*y)，故*yC(G)。ii)对于aG,hC(G),aha

1

haa1hC(G)，故C(G)G。

2、证明：无限循环群G有且只有两个生成元。〔8分〕证明：

先证存在性：

设无限循环群G=(a)，那么G={an|n∈I}。

因G是群，那么必存在a-1∈G，且(a-1)=(a)=G。

假设a=a-1，那么a2=e，此时G=(a)={a,e}与G为无限群冲突！所以存在两个不同的生成元a和a-1。

再证唯一性：

假设b也是G的生成元，那么(b)=G，b∈G。

∴a=bi且b=aj，∴b=aj=(bi)j=bij∴bij-1=e

假设ij-1≠0，那么G的阶ij-1,这与G为无限群冲突！因此，必有ij-1=0，那么(i,j)=(1,1)或〔-1，-1〕，所以，b=a或b=a-1。

综上所述，无限循环群有且只有两个生成元。

3、设L，*，是格，证明：a(b*c)(ab)*(ac)。〔6分〕解：

∵aab且aac，∴a(ab)*(ac)

∵(b*c)b(ab)且(b*c)b(ac)，∴(b*c)(ab)*(ac)∴a(b*c)(ab)*(ac)

4、证明：有理数域〈Q，＋，〉的自同构映射只有一个。〔8分〕证明：设f为有理数域〈Q，＋，〉的自同构映射，

因f(0)=f(0+0)=f(0)+f(0)，故f(0)=0。

因f(1)=f(11)=f(1)f(1)且f(1)≠0，故f(1)=1。

由f(1)=f(1/m+1/m+…+1/m)=mf(1/m)=1，得f(1/m)=1/m，而正有理数可以表示为p/q〔p0,q0均为整数〕，那么

f(p/q)=f(1/q+1/q+…+1/q)=pf(1/q)=p/q，负有理数可以表示为-p/q〔p0,q0均为整数〕，

由f(0)=f(p/q+(-p/q))=f(p/q)+f(-p/q)=0，得f(-p/q)=-f(p/q)=-p/q。因此，对任意有理数*：f(*)=*。

综上所述，有理数域的自同构映射只有一个，即为恒等映射。

班号学号姓名成果

《抽象代数》期末考试卷

考前须知：

1、请大家认真审题

2、千万不能违反考场纪律题目：

一、判断题〔每题2分，共20分〕

()1、设*是集合*上的二元运算，假设a*是可约的，那么a是可逆的。()2、任何阶大于1的群没有零元。()3、任何群都与一个变换群同构。

()4、奇数阶的有限群中必存在偶数个阶为2的元素。()5、素数阶群必为循环群。

()6、*2+5是GF(7)上的不可约多项式。()7、环的抱负构成其子环。

()8、有补格中任何元素必有唯一的补元。()9、格保序映射必为格同态映射。

()10、设AS，那么P(A)，是格P(S)，的子格。

二、填空题〔10分〕

1、设〈G，*〉为群，a，bG且a的阶为n，那么b1ab的阶为。2、设〈G，*〉为群且a∈G。假设k∈I且a的阶为n，那么ak的阶为_n/(n,k)_；

并且ak=e当且仅当3、域的特征为___________；有限域的阶必为_________。4、GF〔3〕上的二次不可约首1多项式有222

5、设D是I+上的整除关系，即对任意的a，b∈I+，aDb当且仅当a|b。对任意a，b∈