高等数学重要公式

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《高等数学》〔专科升本科〕复习资料

一、复习参考书：全国各类专科起点升本科教材

高等数学〔一〕第3版本书编写组高等教育出版社

二、复习内容及方法：

第一部分函数、极限、连续

复习内容

函数的概念及其基本性质，即单调性、奇偶性、周期性、有界性。数列的极限与函数的极限概念。收敛数列的基本性质及函数极限的四那么运算法那么。数列极限的存在准那么与两个重要的函数极限。无穷小量与无穷大量的概念及其基本性质。常见的求极限的方法。连续函数的概念及基本初等函数的连续性。函数的间断点及其分类与连续函数的基本运算性质，初等函数的连续性。闭区间上连续函数的基本性质，即最值定理、介值定理与零点存在定理。

复习要求

会求函数的定义域与判断函数的单调性、奇偶性、周期性、有界性。掌控数列极限的计算方法与理解函数在某一点极限的概念，同时会利用恒等变形、四那么运算法那么、两个重要极限等常见方法计算函数的极限。掌控理解无穷小量与无穷大量的概念及相互关系，在求函数极限的时候能运用等价代换。理解函数连续性的定义，会求给定函数的连续区间及间断点；；能运用闭区间上连续函数的性质证明一些基本的命题。

重要结论

1.两个奇〔偶〕函数之和仍为奇〔偶〕函数；两个奇〔偶〕函数之积必为偶函数；奇

函数与偶函数之积必为奇函数；奇〔偶〕函数的复合必为偶函数；

2.单调有界数列必有极限；

3.假设一个数列收敛，那么其任一个子列均收敛，但一个数列的子列收敛，该数列不肯定

收敛；

4.假设一个函数在某点的极限大于零，那么肯定存在该点的一个邻域，函数在其上也大于

零；

5.无穷小〔大〕量与无穷小〔大〕量的乘积还是无穷小〔大〕量，但无穷小量与无穷

大量的乘积那么有多种可能

6.初等函数在其定义域内都是连续函数；

7.闭区间上的连续函数必能取到最大值与最小值。

重要公式

1.假设limf(*)A,limg(*)B,那么**0**0

**0lim[f(*)g(*)]limf(*)limg(*)AB；**0**0

limf(*)f(*)**0Alim。(B0)**0g(*)limg(*)B

**0

2.两个重要极限公式

1sin11；2〕lim1e，lim1**e。1〕lim*0**0***

高等数学重要公式

3.在求极限的运算中留意运用等价无穷小量的代换，常见的等价无穷小量代换有：当

*0时，

*2

*(*)~*,sin*~*,tan*~*,1cos*~,e1~*。ln12

第二部分一元函数微积分

复习内容

导数的概念及其几何、物理意义、基本求导公式与各种求导法那么，微分的概念及计算，罗尔定理、拉格朗日中值定理，洛必达法那么，函数增减性的判定，函数的极值与极值点、最大值与最小值，函数的凹凸性及拐点，曲线的渐近线。

复习要求

理解导数的定义，同时掌控几种等价定义，即

f(*0)yf(*0*)f(*0)f(*0*)f(*0*)f(*)f(*0)；掌**2***0

握导数的几何意义，了解导数的物理意义；掌控连续与可导的关系，即连续不肯定可导，而可导肯定连续；娴熟掌控基本初等函数的导数公式与导数的四那么运算法那么、反函数与复合函数、隐函数、由参数方程确定的函数的求导法那么，掌控对数求导法与高阶导数的求法；理解微分的定义，明确一个函数可微与可导的关系，即可微肯定可导，反之一样；娴熟掌控微分的四那么运算和复合函数的微分；理解罗尔中值定理与拉格朗日中值定理，了解其几何意义；能娴熟运用洛必达法那么求极限，需要记住运用洛必达法那么的条件，同时应留意以下几个问题：

1.假如运用洛必达法那么后，问题仍旧是未定型极限，且仍满意洛必达法那么的条件，那么可再次运用洛必达法那么，2.假如在“0/0”型或“/”型极限中含有非零因子，该非零因子可以单独求极限，不必参加洛必达法那么运算，以达到简化运算的目的，3.假如能进行等价无穷小量代换或恒等变形协作运用洛必达法那么，也可以达到简化运算的目的；会利用导数的几何意义求已知曲线的切线方程与法线方程，会利用导数的符号判断函数的增减性，娴熟掌控函数的极值与最值的求法即需掌控以下步骤：1.求出函数yf(*)的定义域，2.求出f(*)，并在函数的定义域内求出导数等于零与导数不存在的点〔驻点〕3.判定驻点两侧导数的符号，

4.假如驻点处函数的二阶导数易求，可再次求导通过在该点的符号来判断极值，5.求最值时，只需求出全部的极值点与端点的值，最大〔小〕者即为最大〔小〕值；掌控判断曲线yf(*)的拐点、凹凸性的一般方法：1.求出该函数的二阶导数，并求出其二阶导数等于零的点，2.同时求出二阶导数不存在的点，3.判定上述各点两侧，该函数的二阶导数是否异号，假如f(*)在*0的两侧异号，那么〔*0,f(*0)〕为曲线yf(*)的拐点，4.在f(*)0的*的取值范围内，曲线是弧是下凹的，在f(*)0的*的取值范围内，曲线弧是上凸的.；了解渐近线的定义，并会求水平渐近线与铅直渐近线，即limf(*)C，那么yC为曲线*

yf(*)的水平渐近线，假设limf(*)，那么称**0为曲线yf(*)的铅直渐近线；**0

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重要结论

1.假如函数yf(*)在点*0的导数f(*0)存在，那么在几何上说明曲线yf(*)在点

〔*0,f(*0)〕处存在切线，且切线的斜率为f(*0)，且切线方程为

yf(*0)f(*0)(**0)，

当f(*0)0时，法线方程为

yf(*0)1(**0)，f(*0)

2.假设函数在点*0处可导，那么函数f(*)在点*0处必定连续，反之不肯定；

3.函数yf(*)在点*可微的充分须要条件是yf(*)在点*处可导，且有

dyf(*)d*yd*；

4.罗尔定理：假设函数yf(*)满意以下条件：

1〕在闭区间[a,b]上连续，2〕在开区间(a,b)内可导，3〕f(a)f(b)，

那么在开区间(a,b)内至少存在一点，使得f()0；

5.拉格郎日中值定理：假设函数yf(*)满意以下条件：

1〕在闭区间[a,b]上连续，2〕在开区间(a,b)内可导，

那么在开区间(a,b)内至少存在一点，使得

f(b)f(a)f()(ba)。

重要公式

1.设uu(*)与vv(*)在点*可导，那么

uvuvu(v0)(uv)uvuv，2vv

2.设复合函数yf(g(*))，假设ug(*)点*处可导，yf(u)在相应的点可导，那么复

合函数yf(g(*))在点*处可导，且有链式法那么

dydyduf(u)g(*)d*dud*

高等数学重要公式

3.设yf(*)是由*(t)所确定，其中(t),(t)都为可导函数，且(t)0，那么y(t)

dy

dy(t)，d*d*(t)

dt

4.在求导数时，有时要留意对数求导法的应用

5.洛必达公式：当f(*),F(*)满意肯定条件时，有

**0limf(*)f(*)f(*)f(*)，limlimlim****0F(*)F(*)F(*)F(*)

同时应留意可转化为“0/0”型或“/”型的极限

第三部分一元函数积分学

复习内容

不定积分的概念与性质，不定积分的基本公式，积分第一换元法与第二换元法，分部积分公式与应用分部积分公式时应留意的一般原那么，定积分的基本概念与基本性质，牛顿-莱布尼茨公式，定积分的换元积分法与分部积分法，无穷区间上的广义积分，求平面图形的面积，求旋转体体积。

复习要求

理解原函数与不定积分定义，了解不定积分的几何意义与隐函数存在定理；娴熟掌控不定积分的性质与不定积分的基本公式，理解积分第一换元法，即设f(u)具有原函数F(u),u(*)存在连续导函数，那么有换元公式

f[(*)](*)d*f(u)duF(u)u(*)CF((*))C.

了解积分第二换元法；掌控分部积分公式，同时应留意在运用时应遵循的一般原那么；理解定积分的定义与定积分的几何意义；娴熟掌控定积分的性质与牛顿-莱布尼茨公式；娴熟运用定积分的换元积分法与分部积分法；了解无穷区间上的广义积分的求法；会用定积分的性质求平面图形的面积与旋转体的体积。

重要结论

1.假设F(*)为f(*)在某区间上的一个原函数，那么F(*)C为f(*)的全部原函

数，称为f(*)的不定积分，记为

2.f(*)d*；定积分表示一个数值，它只取决于函数f(*)与积分区间，与积分变量无关，

即b

af(*)d*f(t)dt；ab

高等数学重要公式

3.

4.

5.假如函数f(*)在区间[a,b]上连续，那么定积分baf(*)d*必定存在；以yf(*),*a,*b及O*轴所围成的曲边梯形的面积等于baf(*)d*；假如f(*)在区间[a,b]上连续，那么在[a,b]上至少存在一点，使得

6.baf(*)d*f()(ba)；假如f(*)在区间[a,b]上连续，那么积分上限函数(*)*

af(t)dt在区间

(a,b)内可导，且

(*)[f(t)dt]f(*)；a*

7.假设f(*)是区间[a,a]上的连续函数(a0)，那么

a

a0,f(*)为奇函数。f(*)d*a2f(*)d*，f(*)为偶函数0

重要公式

1.先积分后求导，作用抵消，即

(f(*)d*)f(*),

先求导后积分，相差一个常数，即

f(*)d*

2.分部积分公式：f(*)C

uvd*uvuvd*

3.牛顿-莱布尼茨公式：1〕假如f(*)在区间[a,b]上连续，2〕F(*)为f(*)在(a,b)

内的一个原函数，那么

b

af(*)d*F(*)aF(b)F(a)。b

4.定积分的换元公式：设f(*)在区间[a,b]上连续，函数*(t)满意以下条件：

1〕()a,()b;

2〕(t)在[,]上为单值、有连续导数的函数，那么有

baf(*)d*f((t))(t)dt。

高等数学重要公式

《高等数学》〔专科升本科〕复习资料

一、复习参考书：全国各类专科起点升本科教材

高等数学〔一〕第3版本书编写组高等教育出版社

二、复习内容及方法：

第一部分函数、极限、连续

复习内容

函数的概念及其基本性质，即单调性、奇偶性、周期性、有界性。数列的极限与函数的极限概念。收敛数列的基本性质及函数极限的四那么运算法那么。数列极限的存在准那么与两个重要的函数极限。无穷小量与无穷大量的概念及其基本性质。常见的求极限的方法。连续函数的概念及基本初等函数的连续性。函数的间断点及其分类与连续函数的基本运算性质，初等函数的连续性。闭区间上连续函数的基本性质，即最值定理、介值定理与零点存在定理。

复习要求

会求函数的定义域与判断函数的单调性、奇偶性、周期性、有界性。掌控数列极限的计算方法与理解函数在某一点极限的概念，同时会利用恒等变形、四那么运算法那么、两个重要极限等常见方法计算函数的极限。掌控理解无穷小量与无穷大量的概念及相互关系，在求函数极限的时候能运用等价代换。理解函数连续性的定义，会求给定函数的连续区间及间断点；；能运用闭区间上连续函数的性质证明一些基本的命题。

重要结论

1.两个奇〔偶〕函数之和仍为奇〔偶〕函数；两个奇〔偶〕函数之积必为偶函数；奇

函数与偶函数之积必为奇函数；奇〔偶〕函数的复合必为偶函数；

2.单调有界数列必有极限；

3.假设一个数列收敛，那么其任一个子列均收敛，但一个数列的子列收敛，该数列不肯定

收敛；

4.假设一个函数在某点的极限大于零，那么肯定存在该点的一个邻域，函数在其上也大于

零；

5.无穷小〔大〕量与无穷小〔大〕量的乘积还是无穷小〔大〕量，但无穷小量与无穷

大量的乘积那么有多种可能

6.