重难点5 与几何意义有关的函数问题（解析版）-决战2024年高考数学重难点题型突破（新高考）

重难点专题05与几何意义有关的函数问题

题型1类比斜率......................................................................1

题型2类比两点间距离...............................................................5

题型3类比点到直线距离............................................................11

题型4类比直线与曲线的位置关系...................................................15

题型5类比和差距离问题............................................................18

题型6绝对值中的距离问题..........................................................18

题型7两曲线间点的距离............................................................19

题型1类比斜率

，划重点

形如2的形式,用几何意义来理解,可以类比斜率。

【例题1】(2020秋•上海长宁•高三上海市延安中学校考阶段练习)已知人乃是定义在R上

的增函数，函数y=f(x-1)的图象关于点(1,0)对称，若实数m,n满足等式f(n-3)+

/(V4m-m2-3)=0,则'的取值范围是()

A•[2一苧,2+竽]B[l,2+穹

C.[2-^,3]D.[1,3]

【答案】C

【分析】由函数f(x)是递增函数，且y=/(%-1)的图象关于点(1,0)对称，可得函数f(x)是

奇函数，

再结合/(几一3)+f(yj4m-m2-3)=0可得(九-3)+V4m-m2-3=0,进而利用数形

结合求出结果.

【详解】f(X)是定义在R上的增函数，且函数y=/(%-1)的图象关于点(1,0)对称，

所以函数八X)是奇函数;

又/'(n—3)+/(V4m—m2-3)—0,

所以(n—3)+V4m—m2—3=0,且4nl—m2—3>0；

((m-2)2+(n-3)2=1

即'1<m<3,

、2<n<3

画出不等式组表示的图形，如图所示，

所以巴表示圆弧上的点(犯n)与点(0,0)连线的斜率，

m

所以结合图象可得：巴的最大值是直线。4的斜率，为衿=3,

7711—U

最小值是直线OB的斜率，不妨设为k,

mnfn=km

则l(7n-2尸+5-3/=1，

消去n,得(m-2)2+(km-3)2=1,

整理得(必+l)m2一(6k+4)m+12=0,

令4=(6k+4下一4x12x(炉+1)=o,

化简得3k2-12fc+8=0,

解得k=2士竽，

应取k=2-不为最小值；

所以二的取值范围是：[2-野,3].

THL3J

故选：c.

【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性，函数与方程的综合运用，考查数形结合思想.解

题分两部分，一部分是由函数单调性与奇偶性化(5-3)+/(V47n-m2-3)=0为

(n-3)+V4m-m2-3=0,第二部分收(犯n)构成点，用几何意义来解释此条件，用几

何意义来理解巴,从而达到求解的目的.

m

【变式1-1]1.(2023•全国•高三专题练习)函数f(x)=万熹/(xe[0,2兀])的最小

Vo-zcosx-zsmx

值是()

A.-yB.-1C.-V2D.-V3

【答案】B

【分析】对f(x)变形，得到r(x)=-=L==,当sinx中1时，利用g(x)=三黑的几何

5/1+^l-sinx^

意义求解其取值范围，进而得到-1</(X)<0,当sinx=1时,/(%)=0,从而求出了(x)的

最小值.

【详解】当sinx=1,/(x)=0

sinx-11-sinx1

当sinx丰1时，因为/0)=——----==

V3-2cosx-2sinx7(l-sinx)2+(l-cosx)2k,1-cos#))

y]'l-sinx,

令=铲，9。)的含义是点(Ll)与单位圆上的点(sinx,cosx)的连线的斜率，所以

g(x)>0,所以+g(x)2>1

所以T(一潟/<°，即T(f(”0,

综合得，/(%)£[—1/0],

故最小值为：-1.

故选：B.

【变式1-1]2.(2022秋•上城区校级期中)函数f(x)=耳的最小值为

X-L-----------

【答案】-y

【分析】令x=cosa(0Wa4n),根据同角三角函数基本关系可将函数解析式化为y=

*三(0<a<n),再分析其几何意义，利用直线的斜率公式和数形结合思想进行求解.

cosa-2、

【详解】令％=cosa(0<a<n),

i、Vl-x2sina/八《,、

则miy=fM=—-=——T(0<a<n),

它表示半圆/+y2=i(y>0)上的8(cosa,sina)与4(2,0)连线的斜率(如图所示)，

由图象得当4B与半圆相切时，函数y=二*取最小值，

cosa—2

此时OB=1,OA=2/OAB=30°,

kAB=tanl50°=-y,

即y=/(%)=£3=/匕(°三awn)的最小值为一

故答案为:-当

【变式1-1]3.(2020•泰州一模)已知实数a,b,c满足a2+b2=C2,e0,则含的取

值范围为.

【答案】卜今身

bccosxcosx

【详解】Sa2+b2=c2可设a=csinx,b=ccosx,Z~"v=~~7,可以理解

.b

为点(2,0)与单位圆上的点连线的斜率的范围，而两条切线的斜率为土1,则』的取值

范围为?(3I.

题型2类比两点间距离

电划重点

形如(x-a)2+(y-b)2的形式，用几何意义来理解，可以类比两点间距离问题。

【例题2](2023•浙江温州•乐清市知临中学校考模拟预测)设a>0,b6R，已知函数f(久)=

xex+a(x-3)+b,XG[1,3]有且只有一个零点，则a?+匕2的最小值为()

【答案】B

【分析】设函数f(x)的零点为t,可得(t-3)a+b+tU=0,由此可得点(a,b)在直线

(t-3)x+y+tet=0±,由此可得a?+〃2,再利用导数求其最小值.

cz-6t+10

【详解】函数/(%)=xex+a(x-3)+b的零点为t,

则1WtW3,且te，+a(t—3)+Z?=0,即(t—3)Q+b+te，=0t

所以点(a,b)在直线(t-3)久+y+tef=0上,

又M+人2表示点(a,b)到原点的距离的平方，

故+炉>

“”3)2+12

所以。2+八珏,

设。⑴

t2-6t+10

2垣2’(1+坟/一64+10)-2(1-3)4222,

则g'(t)=

(t2-6t+10)2

2te2'Ki+t)(12-6t+io)-(t-3)H2te2f(t3-6t2+7t+10)

故g'(t)=

(t2-6t+10)2(t2-6t+10)2

设h(t)=t3-6t2+7t+10(1<t<3),

则〃(t)=3t2-12t+7=3(t一2尸一5,

因为1<t<3,所以〃(t)<0,

所以函数九⑴=产-6t2+7t+10在［1,3］上单调递减，

所以当1WtW3时，/i(t)>h(3)=27-54+21+10>0,

故当14t43时,g'(t)>0,函数g(t)在［1,3］上单调递增,

所以g(t)>g(D=p

所以当-2a+b+e=0,a=-2b时，a2+/取最小值，最小值为三

所以当a==3时，a?+乂的最小值为?

故选：B.

【点睛】知识点点睛：本题考查函数零点的定义，直线方程的定义，点到直线的距离，两点

之间的距离，利用导数求函数的最值，考直数学运算，数形结合等数学思想.

【变式2-1］1.(2023•全国•高三专题练习)已知实数a”满足(a+2>+(b-3>=2,则

对任意的正实数x,(%-a)2+(Inx-b)2的最小值为.

【答案】8

【分析】求出圆心C(-2,3)到曲线y=Inx上的点的距离最值后可求(x-a)2+(Inx-以的最

小值.

【详解】因为实数a,b满足(a+2)2+(b-3产=2，故P(a,b)在圆C：(x+2)2+(y-3)2=2

±.

而C(-2,3),设g(x)=(x+2)2+(Inx-3)2,

则g(x)表示C到曲线y=Inx上的点的距离的平方.

x2+2x+lnx-3

又g'(x)=2x

x

因为h(x)=x2+2x+Inx-3在(0,+8)为增函数，且/i(l)=0,

故当x£(0,1)时,h(x)<0即g，(x)<0；当xe(1,+8)时,h(x)>。即g，(x)>0；

故g(x)在(0,1)上为减函数，在(1,+8)为增函数，故gO)的最小值为g(l)=18.

故C(-2,3)到曲线y=Inx上的点的距离最小值为3a,

而圆C的半径为式,故圆C上的点到曲线y=In%上的点的距离最小值为2a,

2

故(x-a)2+(Inx-b)2的最小值为(2&)=8.

故答案为：8.

【点睛】思路点睛：与圆有关的最值问题，往往需要转化到圆心到几何对象的最值问题来处

理，另外注意代数式对应的几何意义.

【变式2-1]2(2022秋•河南南阳•高三统考期中不等式©-b)2+(a-b-l)2>m2-m

对任意实数a,6恒成立,则实数m的取值范围是

【答案】

【分析】设P(a,ea),Q(b+l,b),则可得|PQ|2>m2-m,而P,Q分别在曲线/(x)=1和直

线y=x-1上，将直线y=x-1平移恰好与曲线f(x)=e，相切时，可求出|PQ|的最小值，

从而可解关于小的不等式可得答案.

【详解】由题意设P(a,ea),Q(b+l,b),则|PQ『=(ea-b)2+(a-b-l)2,所以|PQ『>

m2—m,

因为P,Q分别在曲线/(x)=M和直线y=x-1±,

所以将直线y=x-1平移恰好与曲线f(乃=e，相切时,切点到直线y=x-1的距离最小，

此时|PQ|最小，

设切线为y=%+m,切点为(x(),yo),则/(x)=ex,得/(%)=ex,

所以M。=1,得X。=0,则%=1,

所以|PQI的最小值为点(0,1)到直线y=%-1的距离d,d=/尹=V2,

即IPQI的最小值为北,

2

所以2>m-m,即--7n一2W0,解得-1<m<2,

所以实数m的取值范围是

故答案为：[-1,2]

【点睛】关键点点睛：此题考查不等式恒成立问题，考查导数的几何意义，解题的关键是将

问题转化为P(a,ea),Q(b+l,b),\PQ\2>m2-m,进一步转化为曲线/(x)=e*上的点和

直线y=X-1的点的距离最小问题，考查数学转化思想，属于较难题.

【变式2-1]3.(2021•南京一模)若实数x、y满足x-4后=2尸与,则x的取值范围

是•

【答案】{0}u[4,20]

【详解】令6=a,y/x-y=b(a、bN0),此时，x=y+(x-y)=a?+/,

且题设等式化为a?+炉-4a=2b.

于是，a、b满足方程(a-2/+(b-1)2=5(a、b>0).

如图，在aOb平面内，点(a,b)的轨迹是以。(1,2)为圆心、再为半径的圆在a、b>0的部分，

即点。与弧辞fi并集.

故Va2+炉G{0}u[2,2码.

从而,x=a2+b26{0}U[4,20].

【变式2-1]4.记Z=(x—y)2+G+乡2。o,x,ye/?),贝!|Z的最小值是.

【答案】y

【分析】根据题意，可知Z=(x-y)2+(：+乡2表示点4®$,B(y,-9两点之间距离的平

方，得出点4的轨迹方程是y=1，点B的轨迹方程是y=-9设平行于y=-汨与V=捆

切的直线方程为y=-|+b，联立方程组并结合△=。求出b的值，得出切线方程为y=-1+

2或y=2，从而可知4(*),8(7，*)两点之间距离的最小值即为两平行直线y=-;与

y=-;+2间的距离，最后利用两平行线间的距离即可得出结果.

【详解】解：Z=(%-丫＞+©+方2表示点,B(y,-与两点之间距离的平方，

点4的轨迹方程是y=1，点B的轨迹方程是y=-f,

设平行于y=-;且与y=:相切的直线方程为y=-;+b,

V=-2

x

联立)x,得——2bx+4=0,

由△=(-26)2-4x1x4=0,解得：b=±2,

所以与y=:相切的直线方程为y=-；+2或、=-|一2,

,B(y,-乡两点之间距离的最小值,

即为两平行直线y=-|与、=-；+2间的距离，

z的最小值是偿丫=孩.

故答案为：Y.

【变式2-1]5.(2020•上海闵行•上海市中学校考三模)已知y=f(x)是定义在R上的增

函数，且y=/(x)的图像关于点(6,0)对称.若实数满足不等式/(/一6x)+f(y2-8y+

36)W0,则/+y2的取值范围是

【答案】[16,36]

【分析】根据函数y=f(%)的图像关于点(6,0)对称,得到/■(%+6)=-/(6-x),从而将

/(x2-6x)+f(y2-8y+36)<0转化为f(/-6x)</(6-y2+8y-30),利用函数y=

f(久)的单调性得到(x-3>+(y-4)2<1,再利用圆的性质即可得到/+y2的取值范围.

【详解】因为函数y=/(x)的图像关于点(6,0)对称，

所以f(x+6)=-/(6-x).

因为f(/-6%)+f(y2-8y+36)<0,

所以f@2-6x)<-f(y2-8y+36).

-f(y2-8y+36)=—f(y2-8y+30+6)=/(6-y2+8y-30).

所以f(/-6x)<f(6-y2+8y-30).

又因为函数y=f(x)是定义在R上的增函数,

所以/-6x<6-y2+8y-30.

整理得：(x-3)2+(y-4)2<1.

因为/+、2表示以(3,4)为圆心，r=1的圆上或圆内的点到(0,0)距离的平方.

2222

所以(/+y)min=(7(3-0)+(4-0)-I)=16,

222

(x+y)max=(J(3-0)2+(4-0)2+l)=36.

所以/+y2的取值范围是口6,34

故答案为：口6,36]

【点睛】本题主要考查函数的对称性和单调性，同时考查了圆的性质，利用一的几何

意义为解题的关键，属于难题.

题型3类比点到直线距离

由两点间距离公式，可以考虑转化成点到直线的距离公式。

【例题3]（2021秋•西湖区校级期末）函数y=（：■：七?”eR,0<«<与的最大

值是（）

A.V2B.V3C.2D.V5

【答案】B

【分析】分析可知函数y=普丝等"皂的几何意义为点(o,o)到直线(t-

J(t-V2cosa)2+(\/2sina)2

V2cosa)x+V2sina-y+(cosa+V2sina)t—V2=0的距离，求出直线(t—V2cosa)x+

V2sina-y+(cosa+V2sina)t-V2=0所过定点P的坐标，可得出所求函数的最大值为

\0P\,即可得解.

【详解】解：函数y=|(cosa+V2sina)t-V2|_|(cosa+\/2sina)t-\/2|

z2Z

Vt-2V2tcosa+2J(t-V2cosa)+(V2sina)

的几何意义为点(0,0)到直线(t-V2cosa)x+V2sina-y+(cosa+V2sina)t-V2=0的距

离i

由直线(t—V2cosa)x+V2sina-y+(cosa+V2sina)t—V2=0,

即为£(%+cosa+V2sina)+(V2ysina—V2xcosa—V2)=0,

由［x4-cosa+V2sina=0可得卜=-cosa—d^sina

(V2ysina—V2xcosa—V2=0/(y=sina—企cosa’

则直线恒过定点P(-cosa-Vasina,sina-V2cosa),

由题意可得原点到定点P的距离即为所求最大值，

可得|0P|=J(-cosa—V2sina)2+(sina—\/2cosa)2=V3,

故选：B.

【变式3-1]1.(2022•新疆模拟)若立屿=卫二=1,则(匕一犯下+-、2)2的最小

yiy?

值是()

A.-B.-C.V2D.2

22

【答案】D

【分析】问题转化为曲线y=/一Inx上的点P到x-y-2=。的距离平方的最小值，需满

足函数f(x)="一Inx在点P处的切线与直线x-y-2=0平行，利用导数的几何意义可求

得点P的坐标，再利用点到直线的距离公式可求得结果.

【详解】解:由已知可得力=好一In%,为=*2-2,

2

贝(101-X2)+(71-%)2的最小值即为曲线y=/一Inx的点到直线x-y-2=0的距离最

小值的平方，

设/GO=x2-lnx(x>0),则尸(x)=2x-,令2x-^=1,解得x=1,

/(D=1,

曲线y=/-Inx与x-y-2=。平行的切线相切于P(l,l),

则所求距离的最小值为点P(L1)到直线x-y-2=0的距离的平方，即(岛)=2.

故选：D.

【变式3-1]2.(2023•河南河南省内乡县高级中学校考模拟预测)设点P在曲线y=

上,点Q在曲线y=ln(2x-2)±,则|PQ|的最小值为()

A.1-ln2B.V2(l-ln2)

C.1+ln2D.V2(l+ln2)

【答案】B

【分析】根据互为反函数的对称性，把所求的点点距离转化为点线距离，构造函数求最小值

即可.

【详解】令t=x-1,则y=[et,y=In2t这两个函数互为反函数，图象关于y=x对称.

所以y=1e(xT)与y=ln(2x-2)的图象可以看成是由y=^et,y=In2t这两个函数图象向

右平移一个单位得到的.

所以IPQI的最小值即为曲线y=9与y=In2t上两点的最小值.

曲线y=上的点M«修点)到直线y=x的距离为d=等

设/(t)=ief-t(t>0),则/(t)=料-1.

由r(t)=le£-l>0可得t>ln2,由/''«)=iec-l<0可得0<t<ln2

所以/(t)=|ef-t(t>0)在(0,ln2)上单调递减，在(ln2,+8)上单调递增.

所以当t=ln2时，函数/"(t)min=1-ln2,所以dmin=与新

由图象关于y=X对称得：|PQ|的最小值为2dmin=2x与券=V2(l-ln2).

故选：B

【变式3-1]3.(2023•全国•高三专题练习)已知实数a,b,c,d满足|ln(a-l)-b\+\c-

d+2|=0,贝！](a-c)2+(b-d)2的最小值为()

A.2V2B.8C.4D.16

【答案】B

【分析】利用绝对值的性质及两点间的距离公式，结合导数的几何意义及点到直线的距离公

式即可求解.

【详解】由|ln(a-1)-b|+|c-d+2|=0得，ln(a-l)-/j=0,c-d+2=0,即匕=

ln(a—1)rd=c+2,

(Q-c)2+(b-d)2的几何意义为曲线b=ln(a-1)上的点口b)到直线d=c+2上的点

(c,d)连线的距离的平方，

不妨设曲线y=ln(x-1)，直线y=x+2，设与直线y=x+2平行且与曲线y=ln(x-1)相

切的直线方程为y=x+m,

显然直线y=x+2与直线y=x+m的距离的平方即为所求，

由y=ln(x-1),得y，=占，设切点为(尤o，Yo)，

f六=irx0=2

叫yo—xo+m,解得m=-2,

(%=ln(x0-1)5=0

二直线y=x+2与直线y=x+m的距离为生短=2V2,

V2

.•.(a-c)2+(b-d)2的最小值为8.

故选：B.

【点睛】关键点睛：解决此题的关键是将问题转化为求曲线b=ln(a-1)上的点(a,b)到直

线d=c+2上的点(c,d)连线的距离的平方，进而再转化为求曲线y=ln(x-1)上的点到直

线丫=x+2上点的距离的平方，利用导数的几何意义及点到直线的距离公式即可.

【变式3-114.(2021春•北海期末)实数a,3c,d满足?=詈=1-c)2+(d-d)2

的最小值为()

A.2B.2A/2C.4D.8

【答案】D

【分析】由题知b=ea+1,d=c-2,进而将问题转化为曲线y=3、+1上一点9/)与直线丁=

x-2上一点(c,d)间的距离的平方，故只需求解y=1+i上与直线y=x-2平行的切线的切

点,进而得答案.

【详解】由-=7=1,可得b=ea+1,d=c-2,

ba

故(a-c)2+(b-d)2几何意义为曲线y=ez+1±—点(a,b)与直线y=x—2上一点(c,d)间

的距离的平方.

对于函数y=/+1,令/=""=1,解得x=-1,

所以函数y=e*+i在(-1,1)处的切线方程为x-y2=0,切线方程与直线y=x-2平行，

则函数y=蜻+1在(-1,1)处的切线方程与直线y=x-2之间的距离d=左铲1=2夜，故

(a-c)2+(b-d)2的最小值为d2=8.

故选:D

【变式3-1]5.(2021•山东模拟)若%,yeR,x>0,求Q-y)2+(41nx-x2-2y-l)2

的最小值为()

A.V5B,-C.-D.—

555

【答案】C

【分析】根据a-y)2+(41nx-x2-2y-的几何意义构造函数，再转化为点到直线的

距离问题即可.

【详解】问题可以转化为：A(x,41nx-/)是函数y=41nx-/图象上的点，

B(y,2y+1)是函数y=2x+1上的点，|4B『=(x-y)2+(41nx-x2-2y-l)2.

当与直线y=2x+1平行且与f(x)的图象相切时，切点到直线y=2x+1的距离为|AB|的最

小值.

f'(x)=^-2x=2,X2+X-2=0,X=1,舍去负值，

又f(l)=-1,所以到直线y=2x+1的距离即为|AB|的最小值.

|4B|min=gMB扁n=?

故选：C.

【点睛】关键点睛：解决本题的关键是理解(x-犷+(41nx-/一2丁一i)2的几何意义

题型4类比直线与曲线的位置关系

利用转化与化归思想，可以将方程解的问题，转化成直线与曲线的位置关系问题，应用数形

结合思想，进行求解.

【例题4](2021秋•运城期中)直线y=依-1与曲线y=-51-(x-2＞有两个不同的公

共点，贝!Jk的取值范围是

【答案】/ce(o.i]

结合图象可以知道,k的取值范围是(0,J故答案是:(0,1].

点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路

(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；

(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；

(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形

结合求解.

【变式4-1]1.若关于x的方程x+b=3-中有解，则实数b的取值范围

是.

【答案】34b45+2V2

【分析】将方程变形，可得，4%-》2=_%+3一b,等价于y=V4x-x2^y=-%+3-fe

的图象有公共点，转化为半圆与直线的交点问题，画出图形，数形结合求出b的范围.

【详解】解：关于X的方程x+b=3-74X-%2有解等价于，4x-=-X+3-b有解,

等价于y=V4x-/与y=-x+3-6的图象有公共点，

...y=庆中等价于/肯/，等价于产-2]=4,

其图象为(2,0)为圆心2为半径的圆的上半部分，

作图可得当平行直线y=-X+3-b介于两直线之间时满足题意，

易得直线小的截距为0,设直线n的截距为t,

由直线与圆相切可得直线x+y-t=。到点(2,0)的距离为2,

可得*=2,解得t=2+2近，或t=2-2在(舍去)，

0<b-3<2+2V2,解得3<b<5+2A/2,

故答案为：34b45+2企.

I1-X2

【变式4-1]2.(2022秋•吉州区校级期中)若方程』-1=0仅有一解，则实数a的取

值范围是.

【答案】-1<a<1或1=V2

/1-X2________ll-x2

【详解】试题分析：=一-1=0即后，=x+a,所以，方程二一一1=。仅有一解，

x+ax+a

即，半圆y=71=返与直绮=x+a只有一个交点，如图所示，可知实数a的取值范围是

{V2}U(-1,1].

考点：本题主要考杳方程解的概念，直线与圆的位置关系.

点评：典型题，利用转化与化归思想，将方程解的问题，转化成直线与圆的位置关系问题，

应用教形结合思想，使问题得解.难度不大，贵在转化.

题型5类比和差距离问题

寸!：我重点

双根号问题，可以通过配方，转化成距离之和问题。

【例题5］(2021•安徽开学)求函数y=Vx2-8x+17+石E的最小值为.

【答案】5

【分析】将函数式表示为点点距的形式，可转化为求距离之和的最小值，从而求出答案.

【详解】解：函数

y=Vx2—8x+17+Vx2+4=^/(x—4)2+1+Vx2+4=5/(x—4)2+(0—l)2+

J(x-0)2+(0+2尸表示x轴上动点P(x,0)到*4,1)和B(0,-2)的距离和,当

P为48与x轴的交点时，函数取最小值|4B|=J(4—0)2+(1+2产=5,

故答案为：5

题型6绝对值中的距离问题

【例题6】(2021•杭州模拟)已知函数/'(X)=|%2+”+可在区间［0,4］上的最大值为M,

当实数a,b变化时，M最小值为，当M取到最小值时，a+b=

【答案】2-2

【解析】/(x)=|x2-4x-[-(a+4)x-如，则M即为函数g(x)=/一4x与函数h(x)=

-(a+4)%-b图象上点的纵向距离的最大值中的最小值，作出图象,由图象观察即可得出

答案.

【详解】解：f(x)=\x2-4x+(a+4)x+b\=\x2-4x-[-(a+4)x-£>]|,

上述函数可理解为当横坐标相同时，函数g(x)="一4x,x€[0,4]与函数h(x)=-(a+

4)x—Z?,xG[0,4]图象上点的纵向距离,

则M即为函数g(x)="一4%与函数h(x)=-(a+4)x-b图象上点的纵向距离的最大值中

的最小值，

由图象可知，当函数旗乃的图象刚好为y=-2时，M取得最小值为2,此时-(a+4)=0,

且—b=—2,即a=—4,b=2,

故a+b=-2.

故答案为：2,-2.

【点睛】本题考查绝对值函数中的最值问题，考查"平口单峰"函数的构造，考查数形结合

思想，属于中档题.

题型7两曲线间点的距离

【例题7](2023・全国•高三专题练习)若X、a、b为任意实数，若(a+I)2+(6-2)2=1,

则(x-a)2+(Inx-b)2最小值为()

A.2V2B.9C.9-4V2D.2V2-1

【答案】C

【分析】由题可知，问题可转化为圆(x+1)2+(y-2产=1上动点到函数y=Inx图像上动

点距离的最小值，即求函数y=lnx上动点到圆心(-1,2)距离的最小值，数形结合可知当y

=Inx在处的切线与(mjnm)和(-1,2)连线垂直时为最小值，据此求出m的值，即

可得到答案.

【详解】由(a+1产+(b-2>=[可得(a,b)在以(-1,2)为圆心,1为半径的圆上,

(x-a)2+(Inx-b)2表示点(a,b)与点(x,Inx)的距离的平方，

即表示圆(X+1)2+(y-2)2=1上动点到函数y=Inx图像上动点距离的平方.

设(m,lnm)为y=Inx上一点且在(ndn/n)处的y=Inx的切线与(mJnm)和(-1,2)连线垂直,

即有Inm+m2+m=2,

由/'(m)=Inm+m2+m在TH>0时递增,且/'(1)=2,可得m=l,即切点为(1,0),

圆心与切点的距离为d=+1)2+(0-2为=2>/2,

由此可得(x-a)2+(Inx-b)2的最小值为(2e-I)2=9-4V2.

故选：C.

【变式7-1】1.(2023•全国•高三专题练习)已知实数a,b,c,d满足a=efc=ln(d-1),

则(a-c)2+(b-d)2的最小值为()

A.-2B.1C.V2D.2

【答案】D

【分析】理解原代数式的含义,转化为函数形式，再分析其几何意义，构造函数即可求解.

【详解】a=eb~1,c=ln(d—1),.,.(a—c)2+(6—d~)2=[eft-1—ln(d—l)]2+

[(Z?-1)-(d-1)]2,

22X122

令b—1=xltd—1=x2,则(a—c)+(b—d)—(e—lnx2)+0—x2),

其几何意义为点A(x1,eZ)与点8(%2，1标2)之间距离的平方，

设f(x)=e\5(x)=Inx,则点A和B分别在f(x)和g(x)的图像上，如下图,

显然f(x)和g(x)互为反函数，其图像关于y=x对称，

则A与B的最短距离必然在直线y=x的垂线上，点A与点B关于y=x对称,

不妨设B(x,ln无)，则4(Inx,x),

AB2-2(x—Inx)2,设h(x)=x—Inx,h'(x)=1—：=,

当,0<x<<0，在x=l处取得最小值h(l)=1,

即h(x)21>0,.•.当/i(x)取最小值时，即是4#取得最小值，

AB2的最小值为2xl2=2；

故选：D.

【变式7-1】2.(2023・全国•高三专题练习)已知函数y=e2，+i的图象与函数y=幽产的

图象关于某一条直线I对称，若P,Q分别为它们图象上的两个动点,则这两点之间距离的

最小值为()

A等B.等C.空普D.V2(4+ln2)

【答案】A

【分析】由于P(a,b)为函数y=e2'+i图象上任意一点，关于直线y=x+1的对称点为

Q(b-1,a+1)在y=屿产的图象上，所以函数y=e2'+i的图象与y=则等型的图象关

于直线y=x+1对称，从而将问题转化为这两点之间距离的最小值等于P到直线y=x+1

距离最小值的2倍然后利用导求出与直线y=x+1平行且与曲线y=e2x+i相切的直线，

从而可求得答案

【详解】设P(a,b)为函数y=e2x+i图象上任意一点，则匕=e2a+i,P(a,b)关于直线y=x+l

的对称点为Q(b-1,Q+1),

2v-1+1

设"=6—l/v=a+l/则a=v—lr/?=iz+l,所以〃+1=e^^f

所以。=幽产，即函数y=e2x+i的图象与y=的产的图象关于直线y=x+1对称,

所以这两点之间距离的最小值等于P到直线y=%+1距离最小值的2倍.

2x+1

函数y=e2x+i在点P(xo，yo)处的切线斜率为k=2e?xo+i,令k=2e»=1得=一手，

y。=w，

所以点P到直线y=x+1距离的最小值为d=卜芋川=等，

所以这两点之间距离的最小值为2d=等.

故选：A

【点睛】关键点点睛：此题考查导数的几何意义的应用，考查函数图象的对称问题，考查数

学转化思想和计算能力，解题的关键是得到函数y=e2x+i的图象与y=四等11的图象关于

直线y=x+1对称，从而将问题转化为这两点之间距离的最小值等于P到直线y=x+1距

离最小值的2倍，属于较难题

2

1.（2022•浙江模拟）已知xG[-V3,V3],ye/?+,贝!-y）+=道-y的最小值

为.

【答案】21—6A/6+21

【分析】分别作y=6二/,y=争勺图象，取点（％71=）,（X，）,则原式可看为两图

象上各取一点的距离的平方，可转化为图象上点到圆心的距离减半径的平方.计算结果即可.

【详解】解：分别作y=禽=淳,y=:的图象，

分别取点（％百二宠），（％》,原式视为两图象上各取一点的距离的平方，

设P为y=%与y==的交点，

PO2=x2+^>2V81=18,即PO=3VL

当且仅当x=3时，取等号.

故得的最小值为（OP-V3）2=21-6x/6.

故答案为：21-6>/6.

2（2023浙江•校联考模拟预测）已知两曲线y=e'与y=In%+a，则下列结论正确的是（）

A.若两曲线只有一个交点，则这个交点的横坐标x6（1,2）

B.若a=3,则两曲线只有一条公切线

C.若a=2,则两曲线有两条公切线，且两条公切线的斜率之积为e

D.若。=1,P,Q分别是两曲线上的点，则P,Q两点距离的最小值为1

【答案】C

【分析】对于选项A,由公切线斜率相等，可得关系x°ex。=1，借助导数求出x范围;

对于选项B,由八(x)=1-Inx-3有两个零点可判断为错误；

对于选项C,由导数的几何意义，表示出切线方程，解方程组可判断；

对于选项D,由图象，或找到两曲线斜率相等的切线，求出切线间的距离，可判断.

【详解】若两曲线只有一个交点，记交点为人(而工》。),则e'。=lnx0+a,

且在此处的切线为公切线，所以M。=工，即X。满足x°ex。=1.

x0

设f(x)=xe"则Xe(-1,+8)时单调递增，/⑴=e>l,所以A错误.

如上图，a=3时，设/i(x)=ex-Inx-3,

则"(x)=ex-i,由于=e-1>0,=Ve-2<0,

所以存在&eG，1),使得〃(x)=0,

那么当XG(O,Xo)时，h'(x)<0,h(x)为单调递减函数，

当x€(x(),+8)时，〃(无)>0,h(x)为单调递增函数，

且八(》=Ve+ln2-3<0,所以无(久)=0有两个零点，

则两曲线有两个公共点，故没有公切线，所以B错误.

a=2时，设Q,e，)是曲线y=e*上的一点，y=靖，

所以在点(t,et)处的曲线y=e，切线方程为y-1=ef(x-1),即y=efx+(1-t)et①,

设G,lns+2）是曲线y=Inx+a上的一点，/=：,

所以在点（s,Ins+2）处的切线方程为y-（Ins+2）=g（x-s）,即y=gx+Ins+1

所以［=?，解得t=o或t=i

1（1—t）ef=Ins+1

所以所以两斜率分别是1和e,所以C正确.

a=1时,曲线y=e"的一条切线为y=%4-1,y=Inx+Q的一条切线y=x,

两切线间的距离为最小值号,所以D错误.

故选：C

3.（2022•成都模拟）已知In%-巧-%+2=0,%2+2为-4-21n2=0,则

J一冷）2+（为一丫2）2的最小值为（）

A逗B.至C.亚DX

5555

【答案】B

【分析】J01-亚）2+（乃-丫2）2的最小值可转化为函数y=Inx-X+2图像上的点01，%）

与直线x+2y-4-21n2=0上的点（X2J2）的距离的最小值.

【详解】设401，%）,8（小,丁2），

点A（%i，乃）在函数y=Inx-x+2±,点在函数％+2y-4-21n2=0±,

J（X1-丁）2+（%-丫2）2表示曲线y=Inx-x+2上点A01，%）到直线x+2y-4-

21n2=0的点8（%2，、2）距离.

由y=Inx-x+2，可得y，=：-1，与直线x+2y-4-21n2=0平行的直线的斜率为一|,

令(一1=一]得X=2，所以切点的坐标为(2,ln2),

切点到直线x+2y-4-21n2=0的距离d==咚

­,■J(X1一犯)2+(%-丫2)2的最小值为管.

故选：B

4.(2023•全国•高三专题练习)已知点P为函数f(x)=Inx+e(x>2)图像上任意一点，点Q

为圆卜-(e+U1)]2+y2=1上任意一点，则线段PQ的长度的最小值为()

AVi+e2(i+e)-egV2e2+i-e

・e,e

QVe2+i-e口e-Ve2-i

'e'e

【答案】A

【分析】先求P点到圆心的最小距离PM,令g(x)=PM2,利用导数求最小值，线段PQ的

长度的最小值为PM的最小值减去圆的半径.

【详解】解：设P(x,Inx+e),又圆[x—(e+!+1)