等差、等比的性质应用十六大题型(解析版)-2024年高考数学重难点题型突破(新高考)_第1页
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文档简介

重难点专题26等差、等比的性质应用十六大题型汇总

lOnii

题型1等差中项..................................................................1

题型2等比中项..................................................................5

题型3下角标和性质.............................................................9

题型4单调性问题...............................................................12

题型5最大项与最小项问题.......................................................17

题型6等差数列前n项和的性质1..............................................................................................21

题型7等差数列前n项和的性质2..............................................................................................27

题型8等差数列前n项和的性质3..............................................................................................29

题型9等差数列前n项和的性质4..............................................................................................32

题型10等差数列前n项和最值问题................................................37

题型11等差数列S„>0,S„<0问题..................................................41

题型12等比数列中S„,S2„,SM的考察...............................................44

题型13等差等比奇偶项问题......................................................48

题型14最值问题................................................................53

题型15取值范围问题............................................................59

题型16数列不等式能成立恒成立问题.............................................63

Smii

题型1等差中项

一我t点

等差中项的基本运用:

a+b

⑴若。,A,6成等差数列,贝ll/=丁;

a+b

⑵若A=—,^a,A,b成等差数列.

a+h

综上/是:a,6的等差中项=4=--2~.

【例题11(2023秋•新疆巴音郭楞•高三校考开学考试)记Sn为等比数列{即}(%>0)的前n

项和,且ag=16,2S]、衿、S3成等差数列,则56=()

A.256B.254C.128D.126

【答案】D

【分析】根据2S1、衿、S3成等差数列求出数列5}的公比,利用等比中项的性质可求得a?

的值,进而可求得由的值,利用等比求和公式可求得56的值.

【详解】因为2SI、|S2、S3成等差数列,即3s2=2sl+S3即S3-S2=2(S2-SJ即。3=2a2,

所以,等比数列{斯}的公比为q=也=2,

a2

因为{即}是每项均为正数的等比数列,由等比中项的性质可得a?=何可=4,则的=子=

2,

因此,s6=岑沪=与券=126.

故选:D.

【变式1-1]1.(2022秋•安徽阜阳•高三安徽省临泉第一中学校考阶段练习)已知数列5}

是等差数列,也}是等比数列,且%+也,。3+/,+!为成等差数列,则臂=()

A.-B.-C.2D.4

42

【答案】c

【分析】依题意可得/,也为常数数歹U,即可求出q2,再根据等比中项的性质计算

可得.

2

【详解】因为{%}是等比数歹11,所以比bs=bl,所以©b]).QbJ=&坛),

所以[瓦,於3,卷公成等比数歹U,

因为{即}是等差数列,所以%,a3,as成等差数列,

又由+/,+/3,。5+/成等差数列,

所以3瓦,,9b5是等比数列也是等差数列,

所以河,河,也是常数列,

Z4o

即)4=我=於5,所以q2=2,因此号=暮=q2=2.

£oO-jO7

故选:c

【变式1-1]2.(2018•北京•高三强基计划)已知实数a,b,c成公差非0的等差数列,

在平面直角坐标系中点P的坐标为(-3,2)点N的坐标为(2,3)过点P作直线ax+by+c=

0的垂线,垂足为点M,则M,N间的距离的最大值与最小值的乘积是()

A.10B.6V2

C.472D.前三个答案都不对

【答案】A

【分析】由题设可得点M的轨迹是以PQ为直径的圆,故可求MN的最值,故可求它们的乘

积.

【详解】直线ax+by+c=0中a,b,C成等差数列即直线ax+by+c=0恒过点Q(L-2),

又PM1QM.于是点M的轨迹是以PQ为直径的圆,如图.

该圆的圆心为C(—1,0),半径为2&,因此C:(x+1)2+y2=8,

故|CN|=3V2,于是所求最大值与最小值之积为5鱼xV2=10.

故选:A.

【变式1-U3.(2023•陕西咸阳•武功县普集高级中学校考模拟预测)已知数列{6}中,«2=

2,当nN3时,an_x,|an,与一?成等差数列.若CI2022=卜,那么+…+。2()21=()

A.kB.k—1C.2kD.k—2

【答案】D

【分析】依题意可得数列{即}的递推关系册=an-i+册-2,再——代入即可求解.

【详解】当n>3时,an_i,^an,与一?成等差数列,则与=an-i+斯-2,

由于=2,则&3+a$+…+a2021=(a2+a3+a5+…+a202i)12=a2022—2=k—2,

故选:D.

【变式1-U4.(2023・全国•高三专题练习)已知等差数列{即}的首项与公差d均为正数,

且lg%,lga3,电。6成等差数列,则31,lgct3,馆。6的公差为()

A.IgdB.lg|C.lg|D.1g3d

【答案】C

【分析】根据lg%,lga3,36成等差数列直接列式,求出的和d的关系,进而求出结果.

【详解】因为{an}是公差为d的等差数列,所以。3=%+2d,a6=ai+5d,

因为Ig%,电。3,电。6成等差数列,所以2%=*+lg«6=馆(由。6),

所以退=,即(%+2d尸=%(%+5d),所以a/=4d2,

又因为d>0,所以a】=4d,

则惊。3—Iga1=lg(6d)-lg(4d)=lg|,

故选:C.

【变式1-1】5.(2023•全国•高三专题练习)在4ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,

b,c,若a,b,c成等差数列,则cosB的最小值为.

【答案】"5

【分析】根据等差中项得到2b=a+c,由余弦定理得到cosB=乎-1,根据2b=a+c结

合基本不等式求出cos8的最小值.

【详解】由题意得2。=a+c,

由余弦定理得COSB=贮==He丁…2=)_1,

2ac2ac2ac

因为2b=a+c,由基本不等式可得/=—=贮±四些>空出上=加,

444

当且仅当Q=C时,等号成立,

故cosB=所以cos8的最小值为小

2ac2ac2/2

故答案为:I

题型2等比中项

小划重点

等比中项:

(/)由等比中项的定义可知B/=G2=agG=±^,所以只有a,b同号时,a4的等

比中项有两个,异号时,没有等比中项;

(2)在一个等比数列中,从第二项起,每一项侑穷数列的末项除外)都是它的前一项和后

一项的等比中项;

(3)a,G,b成等比数歹U等价于G2=ab(ab>0)。

【例题2](2023秋•江西南昌•高三南昌市外国语学校校考阶段练习)已知正项等差数列{册}

和正I页等比数歹!]{%},%=坊=1,4是。2,。6的等差中项,是以,演的等比中项,贝!I下歹!J

关系肯定成立的是()

A.a?<b?B.a[()24=bnC.ct^>b&D.cz2oo=bio

【答案】B

【分析】根据条件建立方程组,求解基本量公差、公比,再根据通项公式依次判断选项即可.

【详解】设等差数列公差为d(d>0),等比数列公比为q(q>0),且%=瓦=1,

由63是。2,。6的等差中项I得。2+。6=2b3I

则有1+d+1+5d=2q2,化简得1+3d=q2①,

2

由。8是名,乐的等比中项,得a&2=b3b5=b4,

又已知正项等差数列{斯}和正项等比数列{%},

所以。8=b4,则有1+7d=q3②,

联立①②解方程组得,匕二,(舍去),或忆;,或忆:.

故斯=n,bn=2"T或即=Z>„=1.

当即=3=1时,可知AC错误,BD成立;

n

当%=n,bn=2t时,

a】oo=100,bIQ=2。=512,QJOO丰瓦0>故D错误.

又由。24=1024,瓦1=210=1024,B也成立,

故选:B.

【变式2-1】1.(2023・全国•高三专题练习)已知{即}是公差为3的等差数列,其前几项的

和为Sn,设甲:5}的首项为零;乙:S2+3是S]+3和S3+3的等比中项,则()

A.甲是乙的充分不必要条件

B.甲是乙的必要不充分条件

C.甲是乙的充要条件

D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

【答案】C

【分析】由等差数列的性质和等比中项的性质求出%,再由充分条件和必要条件的定义即可

得出答案.

【详解】由{斯}是公差为3的等差数列,可知工+3=%+3,S2+3=2%+6,S3+3=

3。1+12.

若Sz+3是$+3和S3+3的等比中项,则(2%+6)2=(%+3)(3%+12),

解得%=0或%=-3(舍去,因为此时$+3=S2+3=0),

故S2+3是a+3和S3+3的等比中项能推出{an}的首项为零,

若{即}的首项为零,即臼=0,由{即}是公差为3的等差数列,

则即=3(n-1)=3n-3,Sn="。丁),

2

所以Sz+3=6,&+3=3,S3+3=12,所以(SZ+3)=⑸+3)(S3+3),

故{七}的首项为零可推出S2+3是a+3和S3+3的等比中项,

可见"%=0"是0+3是S1+3和S3+3的等比中项"的充要条件.

故选:C.

【变式2-1]2.(2018・北京•高三强基计划)设三个实数a,b,c组成等比数列,c>0且

a<2b+3c,则实数4的取值范围是()

a

A•(一8塌B.(-00,i]

C.(-83]D.前三个答案都不对

【答案】B

【分析】设£=t,贝哈=尸,则可根据二次函数求目标代数式的取值范围.

【详解】设3=t,则?=产,则彳=t-2t2,

由题设有2t+3t2>1,故tg(—00,-1]u*,+8),

因比t-2t2的取值范围是(-8,三.

故选:B.

【变式2-1J3.(2023・北京•校考模拟预测)已知公差不为零的等差数列5}满足%+a8=

20,且与是。2与与4的等比中项股数列也}满足垢=>一(neN*),则数列也}的前n项和

anan+l

5”为()

n

2n+l

c1-=D1+n

-K^r)^h-K2n-l

【答案】A

【分析】根据等差数列的通项公式和等比中项的性质列方程得到{*二;,然后^用裂项求

和的方法求治即可.

【详解】根靡意可得偿+霁2°厕Q+4日%露色+13d),喇号,

所以an=2n-l,醺=(2…;3+])=:岛-奈

1/11111\

S"=2l1_3+3_4+"-+2^I-I^nJ

=4-上)

2\2n+1/

2n+l

故选:A.

【变式2-1]4,(2023秋・广东东莞•高三校联考阶段练习)已知等差数列5}的公差不为0,

%=1且。2,。4,。8成等比数列,则()

A.a=4045B.幺〈生C.且生=—D.”均=2

20u23

a3a4n+12a4+a6

【答案】D

【分析】先求出通项公式即=n,再利用通项公式和前n项和公式对四个选项——计算,

进行判断.

【详解】设等差数列{册}的公差为d(d,0).

因为%=1且。2,。4,。8成等比数列,所以(1+3d)2=(1+d)(l+7d).

解得:d=1,所以即=%+(n—l)d=1+(n—1)X1=n.

对于A:a2023=2023,故A错误;

对于B:因为幺一色=;"白>0,所以幺>色,故B错误;

Q3a43412a3a4

对于C:因为Sn+1=(ai+a「)S+l)=+1)

所以鹫=喘等2=要h等,故C错误;

对于D:因为幺等=整=2,故D正确.

4+6

故选:D

题型3下角标和性质

上#

中恂重点

等差:观察等差数列中项的序号,若满足m+〃=p+q=2r(m,n,p,q,rEN*),则am+an

=Up+Uq=2df.

等比:若左+/="?+"(/,/,m,〃GN*),则

【例题3](2023春•河南开封•高三通许县第一高级中学校考阶段练习)已知等差数列{七}为

递增数列,Sn为其前几项和,。3+=34,a…6=280,则S[1=()

A.516B.440C.258D.220

【答案】D

【分析】根据给定条件,利用等差数列性质求出。4,。6,再利用前n项和公式求解作答.

【详解】等差数列{即}为递增数列,则<a6,由+。7=34,得+。6=34,而•。6=

280,

解得&4=14,a6=20,所以S"=u竽112=11«6=220.

故选:D

【变式3-1]1.(2023秋•黑龙江哈尔滨•高三哈尔滨工业大学附属中学校校考阶段练习)

在等差数列{即}中,其前兀项和为工,若。5,。7是方程产+10x-16=0的两个根,那么Si】的

值为()

A.88B.-88C.110D.-55

【答案】D

【分析】由根与系数关系得as+a7=-10,再根据等差数列前n项和公式、下标和性质求

Su.

【详解】由题设+&7=-10,而S】]=丹归12=小詈2=-55.

故选:D

【变式3-1]2,(2023・全国•高三专题练习旧知等差数列{oj中g++7双I。=19,

则数列{ancosrm}的前2024项的和为()

A.1010B.1012

C.2023D.2024

【答案】D

【分析】根据给定条件,利用等差数列性质求出通项公式,再利用并项求和作答.

【详解】在等差数列S}中,2。4=+7,解得=7,公差d=誓?=等=2,

n1U-4o

于是册=a4+(n-4)d=2n-1,而当n为奇数时1cosnTT=-1,当n为偶数时,cosnn=1,

n

因此令bn=ancosnn=(-l)-(2n-1),则当n€N*时,b2n+b2n=-(4n-3)+(4n-

1)=2,

b

所以数列{ancosnn}的前2024项的和为(瓦+b2)+所+久)+■1•+(/23+2024)=2x

1012=2024.

故选:D

【变式3-1]3.(2023秋•山东青岛•高三统考期末)对于正数的>。2,03,…,/它的几何平

均数定义为:^aia2a3-an.已知一个各项均为正数的等比数列{%},它的前11项的几何

平均数为25,从这11项中抽去一项后所剩10项的几何平均数仍是2$,那么抽去的一项是

)

A.第6项B.第7项

C.第9项D.第11项

【答案】A

【分析】根据几何平均数定义及等比数列的性质求解.

【详解】由题意▼瓦b2b3…bn=2$,又{%}是等比数列,所以为瓦1=b2b10=…=05b7=bl,

所以'阿=25,即公=25,

s1

设抽去的是年,则巧瓦无仇_1\+1…bn=2,即a62&_1仇+1…bn=星°,但瓦与bn=bl

所以瓦=b6,

故选:A.

【变式3-1]4.(2022秋•陕西榆林•高三校考阶段练习)已知各项均为正数的等比数列5}

中,2a3=5,a4a5a6=5^2,则即。%]。]2=()

A.25B.20C.10V2D.10

【答案】C

【分析】由已知条件结合等比数列的性质可得q9=V2,再利用等比数列的性质可求得结果.

【详解】设公比为q(q>0),

因为数列{an}为正项等比数列,

a斤以2a3==5,a4a5a6=ag=5^2^,

所以偿)'=*=&,所以勺❷=N/2,

3

9393

所以=ah=(a2q)=竭x(q)=5x(V2)=10^2,

故选:C

【变式3-1】5(2022秋•山东青岛•高三统考期中在各项均为正数的等比数列{%J中对。7+

2a4a§+a2a8=16,则a4a5的最大值为()

A.16B.8C.4D.2

【答案】C

2

【分析】首先根据等比数列的性质求得a4+as=4,再根据基本不等式a4asS(岁),即

可求解.

【详解】由等比数列的性质可知,W,a2a8=磷,

a2

所以a1+2Q4a54-af=16,BP(a4+s)=16,得%,+a5=4,

且斯>0,所以a4as<(号?=4,当且仅当a,=。5时,等号成立,

所以a4a5的最大值为4.

故选:C

题型4单调性问题

、,*

*E划重点

/.等差数列的单调性

等差数列他,的公差为d,贝U:

⑴小00他“)为递增数列;

⑵亦为递减数歹U;为常数列.

2.等比数列的单调性基本方法:

(l)a1>0时,

①公比q>l,单调递增;②q=l无单调性;③0<q<l,单调递减;④q<0,无单调性.

(2)ai<0时,

①公比q>I,单调递减;②q=l无单调性③0<q<l,单调递增;④q<0,无单调性.

【例题4】(2023•全国•高三专题练习)已知{即}是无穷等差数列,其前项和为上,则"{a"}

为递增数列"是"存在neN*使得S”>0”的()

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】利用充分条件和必要条件的定义判断.

【详解】解:因为S"是无穷等差数列,若{即}为递增数列,

所以公差d>o,

令%=nar+-d>0,解得">1—答,

[1-等]表示取整函数,

所以存在正整数劭=1+[1-等],有S”。>0,故充分;

设数列{斯}为5,3,1,-1,…,满足S?=8>0,但d=-2<0,

则数列{6}是递减数列,故不必要,

故选:A

【变式4-111.(2023•四川自贡•统考三模)等比数列{an}公比为q(q*1),若%=

2a3-«n(nGN*),则"数列{及}为递增数列"是4>0且q>1"的()

A.充要条件B.充分不必要条件

C.必要不充分条件D.既不充分又不必要条件

【答案】B

【分析】由等比数列及已知,要{及}为递增数列只需由qnT>1在几>2上恒成立讨论q<0、

0<q<1、q>l,结合%的符号,再根据充分必要性的定义即可得答案.

【详解】由题设4=an=且兀>2,要{7J为递增数列,只需砧X>1在九>2±

^n-1

恒成立,

当q<0,不论%取何值,总存在©qX<0,不满足要求;

当0<q<1,

<0,则%qn-i<o,不满足要求;

%>0,总存在0<%qnT<1,不满足要求;

当q>1,

<0,则Chqn-1<0,不满足;

0<ax<1,若%=]q=2,显然&q<1,即心</,不满足;

>1,则<hq"T>1在ri>2上恒成立,满足.

所以{〃}为递增数列有%>1且q>1.

所以,"数列{7J为递增数列"是"%>0且q>1"的充分不必要条件.

故选:B.

【变式4-1]2.(2023秋•北京海淀•高三首都师范大学附属中学校考阶段练习)设无穷等

比数列{5}的前。项和为治,若一出<a?<%,则()

A.{S"为递减数列B.{S"为递增数列

C.数列{Sn}有最大项D.数列{S"有最小项

【答案】D

【分析】设等比数列{%}的公比为q,分析可知的>0,取-1<q<0,可判断AB选项;

分-1<q<0、0<q<1两种情况讨论,利用数列{S.}的单调性可判断CD选项.

【详解】设等比数列{册}的公比为q,由已知-的<%,则%>0,

由—由<a2<%可得-1<q<1且q丰0,

对于AB选项,若-1<q<0,an=,

na

当n为奇数时,册+1=arq<0,此时Sn+i-Sn=n+lV0,则%+1<sn,

n

当n为偶数时,«n+i=aAq>0,此时又+i-Sn=an+1>0,则上+1>Sn,

此时数列{Sn}不单调,AB都错;

对于CD选项,S"=幺产,

当0<q<1时,此时数列好工单调递增,则{Sn}有最小项,无最大项;

当-1<q<0时,若葭为正奇数时,严<0,贝!IS”=当山>卢,

1—Q1—Q

此时入单调递减,则%4Si=%;

当n为正偶数时,qn>0,则又=当沪<言,此时又单调递增,则Sn2s2=%(1+q)=

含(17,

故当-1<q<0时,{S"的最大值为舟,最小值为S?.

综上所述,{S"有最小项.

故选:D.

【变式4-1】3.(2022秋•黑龙江佳木斯•高三校考阶段练习)已知等差数列{an}的前几项和

为Sn,若。3=2,且S'=57,则下列说法中正确的是()

A.{5}为递增数列B.当且仅当n=5时,S”有最大值

C.不等式S”>0的解集为{neW|n<10]D.不等式即>0的解集为无限集

【答案】C

【分析】利用S4=S7可求得=0,结合等差数列通项公式可得由,d;由此可求得时,S”;

根据%的二次函数性和即的一次函数性依次判断各个选项即可.

【详解】由S4=S?得:&+@6+07=S7-54=0;*,*3(^6=0I即。6=。;

(_10

设等差数列{说的公差为d,则停二煞窦〉解得:[二:’

对于A,d<0,{6}为递减数列,A错误;

10n(n-l)(2\172,11

对于B,Sn=Tn+^T-^x^--J=--n+-n,

•••neN*,.•.当n=5或n=6时,%取得最大值,B错误;

对于C,fi-1n2+yn>。得:0<n<11,:n€N*,*nW10,C正确;

对于D,「an=g-|(n-1)=_|n+4,+由an>0得:n<6,

则不等式即>。的解集为{123,4,5},为有限集,D错误.

故选:C.

【变式4-1]4.(2023•全国•高三专题练习)写出同时满足下面两个条件的数列{斯}的一个

通项公式an=

①{七}是递减数列;②对任意m,neN*,都有an+n=即,+an.

【答案】-n(答案不唯一)

【分析】先猜想数列是一个等差数列,进而根据性质②得到首项与公差的关系,然后根据性

质①得到答案.

【详解】假设数列为等差数列,设其公差为d,

由②可得:+(m+n—l)d=%+(m—l)d+%+(n-l)d,所以的-d,

再根据①{即}是递减数列,可知d<0,取d=-1,则的=d=-1,

此时an=%+(n-l)d=-n,满足题意.

故答案为:一加(答案不唯一)

【变式4-1]5.(2023•全国•高三专题练习)已知数列{4}满足:①VnGN*,an+1>an,;

②VneN*,an+i=tan(t为常数);③>0,使得即<M恒成立.则满足条件的一个数

列{郁}的通项公式为斯=

【答案】-击(答案不唯一)

【分析】首先分析数列可知数列是单调递增的等比数列,再结合有界性给出数列的通项公式.

【详解】由①②知,数列{即}是递增的等比数列,所以

4>0,的<0,

q>1或(0<(?<1.

由③知,数列S"}有上界,不合题意,

故膜工

所以即=-装满足题意.

故答案为

【点睛】解决本题的关键是熟练掌握等比数列的定义以及数列的增减性.本题主要考查等比

数列的定义与性质,考查考生的逻辑思维能力、创新能力.试题以组合型的条件为载体,引

导考生联系所学的数列知识,得到数列的特征,从而写出满足条件的结果,充分体现对数学

探索、数学应用学科素养的考查.

题型5最大项与最小项问题

4E均重点

确定数列中的最大(小)项方法:

(〃判断数列的单调性,类比函数的性质研究最大值、最小值.

注意:数列的定义域为正整数集或其有限子集”,2,…,加这一条件.

an-l<an,fan-l>an,

(2)可以利用不等式组找到数列的最大项利用不等式组找

an>an+1,[an<an+1,

到数列的最小项.

【例题5】(2023•全国•高三专题练习)在等差数列{斯}中,的==-3记7;=

的。2…即5=1,2...),则数列{〃}()

A.有最大项,有最小项B.有最大项,无最小项

C.无最大项,有最小项D.无最大项,无最小项

【答案】C

【分析】根据题意求出即,根据等差数列{即}的各项符号得到数列{〃}的单调性,由此可求

得结果.

【详解】解:依题意可得公差d=等子=千=2,即=%+(n-l)d=+2n-2=

5-14

2n-13,

所以当九<6时,Qn<0,当n>7时,an>0,

因为A=-11<0,T2=-11x(-9)=99>0,看=-11x(-9)x(-7)=-693<0,

T4=-11x(-9)x(-7)X(-5)=3465>0,T5=3465X(-3)=-10395<0,

T6=-10395x(-1)=10395>0,

又当几N6时,〃=2a3a4@5Q6…@n>0,且乎=型詈=Q九+i=2几-11N1,即

Tn+1>Tn,所以当n>6时,数列{〃}单调递增,

所以数列{7J无最大项,数列区/有最小项G=-10395.

故选:C

【变式5-1]1.(2022秋•陕西汉中•高三校考阶段练习)设等差数列{5}的前n项和为Sn,

且满足S2019>0,S2020<0,对任意正整数九,都有|an|>|ak|,则k的值为

A.1009B.1010C.1011D.1012

【答案】B

【解析】结合前n项和公式:S2019=空1出产应,S2O2O=空”烟M,再利用等差数列

的性质/%+Q2019=2aloio,%+Q2020=Qioio+,得到。1010><。1分析即

得解.

【详解】由等差数列{斯},可得$2019=219gL仙9)>0,S2020=2。2。(丁加<。

即:%+。2019>0,%+。2020<0I可得:2Q]OIO>°,%010+^1011<。

・•・西010>0,a101i<0,可得等差数列{Q"为递减数列.

又由010+a1011V。•e,laioiolla10111

故:对任意正整数n,都有|%J>|ak|,则k的值为1010.

故选:B

【点睛】本题考查了等差数列的性质综合,考查了学生综合分析,转化划归,数学运算的能

力,属于中档题.

【变式5-1]2.(多选I2023•全国•高三专题练习散列&}满足的=-21,a2=-12,an+1+

a“_i=2an-2d22),5„是{加}的前n项和,则下列说法正确的是()

A.{言}是等差数列

2

B.an=—n+12n+32

C.是数列Sn}的最大项

D.对于两个正整数m、n(n>m),Sn-的最大值为10

【答案】ACD

【分析】根据等差数列的定义及通项公式,利用累加法及二次函数的性质,结合即与治的

关系即可求解.

【详解】A选项,由%+1+an_1=2an-2,整理得an+i-即一Sn-%i-i)=-2,

故{an-a”】}是公差为-2的等差数列,首项a2-%=9,

故斯-an_i=13_2n(n>2),

由此可得斯-i一an_2=15-2n,…,-=7,a?-臼=9,

累加得,an=-小+12n—32=(n-8)(4—ri),

由此可得,黑=4-n,

n~o

当n=1时,甥=4-1,解得%=-21.此式满足的,

1-0

故骷一言=4-(n+l)-4+n=T,

・•.{言}是等差数列,故A正确;

BC选项,因为a”——1+12n—32—(n—8)(4—n)——(n—6)2+4,

故当n=6时,a”=-(n-6)2+4取得最大值,。6是数列5}的最大项,故B不正确,C正

确;

D选项,对于两个正整数m、n(n>m),Sn-Sm=am+1+am+2+…+an,

由a1<ci2<<a4=0<<ci^>ciy>cig=0>cig>a[。>a1]

故Sn-s7n=3+4+3=10时,Sn-Sm取得最大值,最大值为10,故D正确.

故选:ACD.

【变式5-1]3.(2022秋•北京•高三北师大二附中校考开学考试)在等差数列{%}中,其

前几项和是S九,若S9>0,Si。<0,则在之,①,・.・,包中最大的是

A.1B.包C.匹D.匹

a1。8

【答案】C

【分析】由题意知。5>0,a6Vo.由此可知1>0,包>。,…,匹>0,也<0,…包<0,

Q]。2。5

所以在也,包,…,名中最大的是匹.

aa

%。295

【详解】由于59=华等,=9。5>0,a。=/皿=5<0,

所以可得。5>0,a6Vo.

这样包>0,^->0,,—>0,—<0,...—<0,

aa

Q1。269

Ifl|S]<S?〈…〈S$f>。2><<>>。5>0/i

所以在亘,红,…,名中最大的是匹.

故选C.

【点睛】本题考查等数列的性质和应用,解题时要认真审题,仔细解答.属中档题.

【变式5-1]4.(2022秋・安徽合肥・高三合肥一中校考阶段练习)设等差数列{an}的前n项

和为%.若S2022>。,$2023<°,则数列{|*}的最小项是()

A.第1011项B.第1012项C.第2022项D.第2023项

【答案】B

【分析】根据给定条件,利用等差数列性质及前n项和公式探讨数列单调性,确定绝对值

最小的正负数项作答.

【详解】在等差数列{厮}中,52。23=•吧当詈2%).=2023aloi2<0,贝必]。】?<0

52022='-二';~2°22)=lOllfdjoii+C11012)>。I贝11al,011>-a1012>。i

数列{册}的公差d=a1012-a1011<0,即数列{a“}是递减等差数列,

当n<1011时,an>0,数列{|a”|}递减,当n>1012时,即<0,数列{|a/递增,

a1011>-a1012=la1012li

所以数列{|a/的最小项是I%oi2l,即第1012I®.

故选:B

【变式5-1]5.(2023•全国•高三专题练习)若数列{即}的前几项和%=n2-10n(n=

1,2,3,…),则此数列的通项公式为;数列{naj中数值最小的项是第

项.

【答案】2n-ll;3

【详解】数列5}的前n项和匕=n2-10n(n=1,2,3,数列为等差数列,数列的

2

通项公式为a”=Sn-Sn,!=2n-11,数列{nan}的通项公式为Ticin=2n-lln,其中数值

最小的项应是最靠近对称轴几=个的项,即n=3,第3项是数列⑺即}中数值最小的项.

题型6等差数列前n项和的性质1

-1■

小卜均重点

等差数列的前〃项和常用的性质:

(I)等差数列的依次4项之和,Sk,S2k-Sk,S“-S2".组成公差为led的等差数列;

(2)数列®是等差数列os“=a/+hn(a,b为常期Q数列用为等差数列;

(3)若S奇表示奇数项的和,S偶表示偶数项的和,公差为d;

【例题6】(2022•全国•高三专题练习)已知数列{即}是等差数列,Sn为数列{&J的前几项和,

%++&4=3,a。+«18+%9+«20=5,则$20=()

A.10B.15C.20D.40

【答案】C

【分析】根据等差数列性质得到S20-S16,S16-S12,S12-S+S8-S*S4仍成等差数列,可设

出58-54=3+x512—Sg=3+2尤516—512=3+3%$2。-S[6=3+4%=5=>x=1,

又因为S20=520—S16+S16—S12+S12-$8+58-$4+54,代入数值进而求出结果.

【详解】数列{%}是等差数列,%为数列{册}的前n项和,

根据等差数列的性质得到:520-S16,S16—S12,S12-Sg,S8-SmS4仍成等差数列,

aaa=

i己$4=%+&2++。4=3,设58—S4=«5+6+7+83+X,

S、2~S8=a<)+a10+an+a12=3+2x,S16—S12=«i3+a14+a15+a16=3+3x,

Saaaa

S2o-16=17+18+19+20=3+4x=5=?►X=I,

S20=S20—Si6+S16—S12+S12—58+S8-S4+S4=15+lOx,

计算可得到结果为:20.

故选:C.

【变式6-1]1.(2020•湖北宜昌・统考二模)我国古代数学著作《九章算术》有如下问题:

"今有金堇,长五尺,斩本一尺,重四斤,斩末一尺,重二斤.问次一尺各重几何?”意思

是:"现有一根金杖,长5尺,一头粗,一头细.在粗的一端截下1尺,重4斤,在细的一

端截下1尺重2斤.问依次每一尺各重多少斤?"假定该金杖被截成长度相等的若干段时,

其重量从粗到细构成等差数列.若将该金杖截成长度相等的20段,则中间两段的重量和为

()

A.沂B.沂C.沂D.沂

【答案】C

【解析】把每段重量依次用/(i=1,2,…,20)表示,数列{%}是等差数列,根据等差数列性

质可求解.

【详解】把每段重量依次用四(i=12…,20)表示,数列{册}是等差数列,

由题意{「普:?++a=-2'两式相加得幻+。2。=*4+2)=|,

017十%8十U19十U2O—L4N

3

aa

--io+n=%+a2o=~•

故选:C.

【点睛】本题考查等差数列的应用,解题关键是从实际问题抽象出等差数列,然后应用等差

数列性质解题即可.

【变式6-1]2.(2023•全国•高三专题练习)设外是等差数列{an}的前几项和,S10=16,

Sioo—S90=24,贝!]Si。。—.

【答案】200

【分析】根据等差数列前n项和性质结合等差数列基本量的计算求出新等差数列的公差d,

最后根据等差数列的前n项和公式计算可得.

【详解】依题意,Sio,S20-S10,S30-S20,…,Si。。-590依次成等差数列,

设该等差数列的公差为d.又工。=16,S100-S90=24,

因ittSioo一590=24=16+(10-l)d=16+9d,解得d=|,

所以Si。。=10510+等d=10xl6+等xg=200.

故答案为:200

【变式6-1]3.(2022•河南洛阳•统考三模)有下列四个命题:其中真命题的序号

是.

①等差数列5}的前兀项和为及,若考=3,则券=|;②函数/(x)=sin2x+-V(xK/ot,k6

0309Jsinx

Z)的最小值4;③函数f(x)=Inx在点(1,0)处的切线方程是x-y-l=0;④函数f(%)=

Inx-:的唯一零点在区间(1,2)上.

【答案】①③④

【分析】对每一个命题

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