2024年中考数学复习考点：考点24 圆的基本性质（解析版）

考点24圆的基本性质

在命题趋势

.

在中考数学中，圆的基本性质在小题中通常考察圆的基本概念、垂径定理、圆周角定理、圆内接四边

形、弧长与扇形面积等基础考点，难度一般在中档及以下；而在简答题中，圆的基本性质还可以和相似、

三角形函数、特殊四边形等结合出题，难度中等或偏上。而且，圆的基本性质也是中考数学中比较有自我

特征的一个考点，主要表现在：当其他考点和圆结合的时候，很多结论的产生可能会更依赖于圆的性质。

所以，考生在复习这块考点的时候，要充分掌握圆的基本性质的各个概念、性质以及推论，才能在后续的

结合问题中更好的举一反三。

t

0知识导图

概念半径、直径、弧、弦

弧长公式：工=与

180

相关概念及公式

扇形面积公式：J〃员/1

公式

3602

圆锥侧面积公式：

心重点考向

一、圆的有关概念

二、垂径定理及其推论

三、圆周角定理及其推论

四、圆内接四边形及其综合

考向一：圆的有关概念

1.圆的有关概念

弦连接圆上任意两点的线段叫做弦。

直径经过圆心的弦叫做直径。

弧圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。

优弧大于半圆的弧叫做优弧。

劣弧小于半圆的弧叫做劣弧。

2.圆的有关计算公式

常用公式：

典例引有I

1.有下列四种说法:

①半径确定了，圆就确定了；②直径是弦：③弦是直径；④半圆是弧，但弧不一定是半圆.其中，错误

的说法有（）

A.1种B.2种C.3种D.4种

【分析】根据弦的定义、弧的定义、以及确定圆的条件即可解决.

【解答】解：①圆确定的条件是确定圆心与半径，是假命题，故此说法错误;

②直径是弦，直径是圆内最长的弦，是真命题，故此说法正确;

③弦是直径，只有过圆心的弦才是直径，是假命题，故此说法错误:

④半圆是弧，但弧不一定是半圆，圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫半圆,

所以半圆是弧.但比半圆大的弧是优弧，比半圆小的弧是劣弧，不是所有的弧都是半圆，是真命题，故

此说法正确.

其中错误说法的是①③两个.

故选：B.

2.一个扇形的弧长是2ir,半径是4,则该扇形的圆心角的度数是（)

A.45°B.90°C.120°D.180°

【分析】利用弧长公式求解即可.

【解答】解：设圆心角为,

则有n-X4=2n,

180

...〃=90,

该扇形的圆心角的度数是90。.

故选：8.

3.一个扇形的半径是3,面积为6m那么这个扇形的圆心角是（）

A.260°B.240°C.140°D.120°

【分析】设这个扇形的圆心角是,根据s扇形=二磊：，求出这个扇形的圆心角为多少即可.

【解答】解：设这个扇形的圆心角是,

二n兀X32

由题意得6兀

=~360

."=240,

,这个扇形的圆心角为240度.

故选：B.

4.已知圆的半径为6,120°的圆心角所对的弧长是（）

A.2nB.4nC.6TlD.12TT

【分析】根据弧长公式求出答案即可.

【解答】解：半径为6,圆心角为120。所对的弧长为120兀二6l4口.

180

故选：B.

5.已知00的半径是3c，则G）O中最长的弦长是6c%

【分析】利用圆的直径为圆中最长的弦求解.

【解答】解：•.•圆的直径为圆中最长的弦，

二。。中最长的弦长为2X3=6（cm）.

故答案是：6cm.

6.已知圆锥的母线长8c/n,底面圆的直径6cvn,则该圆锥的侧面积为24ncW.

【分析】先求出圆锥底面圆的周长为6ncm再根据扇形面积公式/lr即可求解.

【解答】解：•••圆锥底面圆的直径6c〃?，

圆锥底面圆的周长为6ncm,

该圆锥的侧面积为/x6兀X8=24兀cm2,

故答案为：24-ncnr.

7.如图，在菱形ABC£>中，ZB=60°,AB=6,扇形AEF的半径为6,圆心角为60°,则阴影部分的面

【分析】根据菱形的性质得出△ADC和是等边三角形，进而利用全等三角形的判定得出△A。，丝

△ACG,得出四边形AGC”的面积等于的面积，进而求出即可.

【解答】解：•••四边形A8Ca是菱形，

N8=NO=6()°,AB=AD=DC=^BC=6,

N8CO=N£M8=120°,

/.Zl=Z2=60°,

...△ABC、△AQC都是等边三角形，

：.AC=AD=6,

；48=6,

.♦.△AOC的高为34，AC=6,

:扇形BEF的半径为1,圆心角为60°,

/.Z4+Z5=60°,N3+N5=60°,

.*.Z3=Z4,

设AF、OC相交于4G,设BC、A£相交于点G,

在和aACG中，

，Z3=Z4

<AC=AD)

ZD=Z1=6O°

A/XADH^AACG(ASA),

四边形AGCH的面积等于△ADC的面积，

2_

图中阴影部分的面积是：SmAEF-SAACD=——x6X3A/3=61T-9V3.

3602

故答案为：6ir-9点.

考向二：垂径定理及其推论

垂径定理及其推论

垂径定理垂直于弦的直径必平分弦，并且平分弦所对的弧

推论平分弦（非直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧

平分弧的直径。垂直于弧所对的弦。。

方法技巧

1.圆中模型“知2得3”

由图可得以下5点：

①AB_LCD；②AE=EB；③AD过圆心O；@AC-BC；⑤4。=3£>；

以上5个结论，知道其中任意2个，剩余的3个都可以作为结论使用。

2.常做辅助线：连半径、作弦心距、见直接连弦长得直径所对圆周角

典例引我

1.如图，A3是。。的直径，弦C£>_LA5于E,若。。=5,AE=2,则8长为（）

AB

D

A.4B.6C.8D.10

【分析】根据勾股定理求出OE,根据垂径定理计算即可.

【解答】解：是。。的直径，CD±ABr

：.CD=2CE9NOEO=90°,

u

：OA=OD=5fAE=2,

・・・OE=5-2=3,

在RtADEO中，DE=VoD2-OE2=^52-32=4,

.•.CO=2OE=8.

故选：C.

2.如图，AB是。。的弦，半径OCLAB于点Q,连接AO并延长，交0。于点E,连接BE,DE.若DE

=3。。，AB=4遍，则△ODE的面积为（）

A.4B.3^2c.2V5D.276

【分析】先根据垂径定理得到4。=双>=2&,则BE=2O£>,再根据圆周角定理得到/8=90°,接着

利用勾股定理得到8£>2+8后2=£>诩从而可求出0£>,然后利用三角形面积公式计算.

【解答】M：'：OC±AB,

：.AD=BD=^AB^2yf5<

2

"：OA=OE,

为AABE的中位线，

:.BE=2OD,

为宜径，

.,.ZB=90°,

在RtABDE中，

B»+BE^=D层,

：.（275）2+（2OD）2=（3。0）2,

解得0D=2,

...△0。£的面积=工0。・8。=_1乂2义2遥=2芯.

22

故选：C.

3.在正方形网格中，以格点。为圆心画圆，使该圆经过格点4,B,并在点4,8的右侧圆弧上取一点C,

连接AC,BC,则sinC的值为（）

A.返B.AC.1D.亚

222

【分析】根据圆周角定理得出NACBV/A0B=45。，进而即可求解.

［解答］解：..•NACB=、/A0B=45。，

.,.sinC=sin45。=^~.

故选：D.

4.把半径为5a*的球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，若CD=8c/w,则EF的

【分析】设球心为。，过。作MN_L4O交A£＞于M,交8C于M连接OF,结合题意可解得OF=5cm,

0M=3a”，根据勾股定理求得MF,最后由垂径定理求得结果.

【解答】解：如图，设球心为。，过。作交A£＞于M,交8C于M连接0尸，

*：CD=Scm9

••MN~~，

：.OM=MN-ON=S-5=3(cm),

FMNLAD,

，NOM产=90°,EF=2FM,

・•・MF=VOF2-OM2=V52-32=4(cm)，

:.EF=2FM=8cm,

故选：A.

5.如图，00的弦AB垂直于弦C£),垂足为E,若BE=3,EC=4,DE=6,连接AO,则线段AD的长为

【分析1连接BC,根据同弧或等弧所对的圆周角相等得到N8AC=/BC£>,易证△AEQs^CEB,得到

迺迪，求出AE=8,再利用勾股定理即可求出线段AO的长.

BECE

:.NAED=NBEC=90°,

,­,BD=BD.

:./BAD=/BCD,

:.丛AEDs丛CEB,

•DEAE

"BE"CE'

'：BE=3,EC=4,DE=6,

•••6-=--A-E,

34

：.AE=S,

在Rt4AED中，AD=VAE2+DE2=V§2+62=10-

故答案为：10.

6.嘉兴南湖不仅是党的诞生地，它优美的风光还吸引全国各地的旅客前来观赏.如图是南湖的一座三孔桥,

某天测得最大桥拱的水面宽AB为6m,桥顶C到水面AB的距离为2m,则这座桥桥拱半径为_"_如

【分析】连接04,设OB=OC=x,则OQ=x-2,根据垂径定理得出80,然后根据勾股定理得出关于

x的方程，解方程即可得出答案.

【解答】解：连接B。，

由题意可得：AD=BD=3m,设3半径OC=xm,

则DO=(x-2)m,

由勾股定理可得：/=(x-2)2+32,

解得：x=H

4

.•.这座桥桥拱半径为里加

4

故答案为：13

4

7.如图，AB是。。的直径，点C、。在。。上，BC平分NABO,E是弧AB的中点，连接QE交8C于F.

(1)求证：CD=CF；

(2)若BF=2,EF=5M，求Cf的长.

【分析】(1)如图，连接4。，OE.证明NCOF=NCFD,可得结论；

(2)连接AC,BE.证明EF=B尸=5M，AC=CF,利用参数构建方程求解.

【解答】(1)证明：如图，连接A£),OE.

是弧A8的中点，0E是半径，

0E1.AB,

工NAOE=NBOE=90°,

：.ZADE^^ZAOE^45Q,NEDB=L/EOB=45。,

22

「BC平分NAB。，

NABC=NCBD,

；ZADC=ZABC,

：.ZADC=ZCBD,

:NCDF=ZADC+ZADE,/CFD=ZEDB+ZCBD,

:.NCDF=NCFD,

：.CD=CF；

(2)解:连接AC,BE.

:NCDF=/CFD,NCDF=4EBF,/CFD=NEFB,

:./EBF=NEFB,

:.BE=EF=5圾,

AE=BE，OE是半径，

：.EO±AB,

：.OB=OE=5,

,?ZABC=ZCBD,

•••AC=CD-

.•.AC=CO=CF,

设4c=CF=»7,

在RtZXA8c中，AB2=AC2+BC2,

lO2—n^+(m+2)

m2+2m-48=0,

解得，m=6(负根已经舍去)，

：.CF=6.

考向三：圆周角定理及其推论

一.圆周角定理及其推论

圆周角定义顶点在圆周上并且两边都和圆相交的角叫做圆周角

圆周角定理一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半

圆周角定理半径（或直径）所对的圆周角是90°；90°的圆周角所对的弦是直径

的推论在同圆或等圆中同弧或等弧所对的圆周角相等，相等的圆周角所对的弧也相等

拓展提示圆的一条弧（弦）只对着一个圆心角，对应的圆周角有无数个，但圆周角的度数只有两个，

这两个度数和为180°

miJI{'

「方德技巧

圆中模型“知1得4”

由图可得以下5点：

①AB=CD；®AB=CD；③OM=ON；④ZE=ZF；⑤ZAOB=NCOD；

以上5个结论，知道其中任意1个，剩余的4个都可以作为结论使用。

共例引点

1.如图，在OO中，弦BC〃。/1,AC与0B相交于点M,NO4C=20°,则/AOB的度数为（）

A.30°B.40°C.50°D.60°

【分析】先利用平行线的性质得到N4=/C=20。，再利用圆周角定理得到408=40。.

【解答】»：-：BC//OA,NOAC=20°,

：.ZOAC=ZC=20°,

NAOB=2NC,

.".ZAOB=40°,

故选:B.

2.如图，C是标的中点，弦AB=8,CD±AB,且C£>=2,则会所在圆的半径为（）

【分析】由垂径定理，勾股定理，可以求解.

【解答】解：设金所在圆的圆心为点O,。。的半径为，，连接0力，OA,

,：CDA.AB,点C是AB中点,

：.O,D,C三点共线，AD=BD=4,

'：OA2=OD2+AD2,

(r-2)2+42,

故选：B.

3.如图，AB是OO的直径，点C、。是。。上的两点，连接4C、OC、OD、CD,S.AC//OD,若A8=6,

C.3近D.373

【分析】根据圆周角定理得NAOO=2乙4CD=30°,根据平行线的性质得N84C=/AO£>=30°,再根

据直径的性质得NACB=90°,由此即可解决问题.

【解答】解：如图，连接BC,

VZACD=15°,

.•./AOO=2/AC£>=30°,

,CAC//OD,

：.ZBAC=ZAOD=30°,

•：AB是。。的直径，

.•.NAC8=90°,

cosZBAC——^—=^~,

AB62

：.AC=343-

故选：D.

4.如图，G)O的直径是AB为lOcffl,弦AC为6cm,ZACB的平分线交。0于点D,则BC+AD=(8+572)

cm.

c

D

【分析】利用勾股定理求出8C,证明求出40,可得结论.

【解答】解：・・・43是直径，

ZACB=ZADB=90Q,

AB=\Qcm,AC=6cm,

=22

BCVAB-AC=V102-62=8(cm),

•.•。。平分/48,

AD-BD.

：.AD=BD=^~AB=5近Cem),

：.BC+AD=(8+5&)(cm).

故答案为：(8+5&).

5.如图，AB是OO的直径，C是BA延长线上一点，点。在。。上，且C£»=OE,8的延长线交。。于

点E.若/C=25°,则NCE。度数为50°.

【分析】根据CD=OD求出NOOC=NC=25°,根据三角形的外角性质求出/后。。=/C+NOOC=

50°,根据等腰三角形的性质求出NE=NEQO=50°.

【解答】解：连接OD

"：CD=OE,OE=OD,

：.CD=OD,

VZC=25°,

AZDOC=ZC=25°,

.•./EOO=/C+NOOC=50°,

\'OD=OE,

.•.NE=/E0O=5O°.

故答案为：50.

6.如图，在。0中，直径AB与弦CD相交于点P,NCAB=45°,NAPO=75°.

(1)求的大小；

(2)已知圆心O到8力的距离为3,求AO的长.

【分析】(1)由外角的性质可得NC=/APO-NCA8=30°,由同弧所对的圆周角相等可得NC=NB,

进而即可求解；

(2)过点。作于点£则OE=3.根据直径所对的圆周角是直角，以及平行线的判定知AD〃

OE-,又由。是直径A8的半径可以判定。是43的中点，由此可以判定OE是△48。的中位线；最后根

据三角形的中位线定理计算AD的长度.

【解答】解：(1)：NCAB=45°,NAPD=75：

：.ZC=ZAPD-ZCAB=30Q,

•••由圆周角定理得：NC=NB,

.•./8=30°；

(2)过。作力于E,即OE=3,

是。。的直径,

：.AD1.BD,

C.AD//OE,

又丫。是A8的中点,

/.0E是△48。的中位线，

：.AD=2OE=6.

考向四：圆内接四边形及其综合

圆内接四边形的性质

圆内接四边圆内接四边形对角互补

形的性质圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角

圆内接正多圆的半径为r,边长为a的正n边形的边心距为/尸一（',中心角为当2

边形

方法技巧

圆号定理

如图I,若圆内任意弦AB、弦CD交于点P；贝！|：PAXPB=PCXPD

三二面二二二二二二二二二二二二二二二二二二二二二二二二二二二二二二二二二二二二二二二二二二二二二二二二二二二二二

如图U,连接AD、BC,亦可证：PAXPB=PCxPD

三.切割线定理

弦切角：与圆相切的直线，同圆内与圆相交的弦相交所形成的夹角叫做弦切角；

弦切角性质：弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆心角度数的一半，等于它所夹的弧所对的圆周角度

数。

图m,连接AC、AD。NPAC为切线PA与弦AC组成的弦切角，

则：△PACS^PDA（母子△）PA2=PCXPD

共例引41

1.如图，四边形4BCZJ是。。的内接四边形，连结AC.若AC=4D,ZCAD=40a.则的大小为（）

【分析】由等腰三角形的性质得NAOC=70°,由圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补，即

可求出的度数.

【解答】解：'：AC^AD,/。力=40°,

AZACD=ZADC=-lx（180°-40°）=70°,

2

•.•〃+/£>=180°，

.,.ZB=180°-ZD=110".

故选：C.

2.如图，四边形ABC力是。0的内接四边形，连接AO、CO,若NAOC=112°,则NB的度数是（）

【分析】首先利用圆周角定理求的NAOC的度数，然后利用圆内接四边形的对角互补求的答案即可.

【解答】解：；NAOC=112°,

AZADC=1.ZAOC=^X112°=56°,

22

•.•四边形ABCD是。。的内接四边形，

.•.N8=180°-ZADC=180-56°=124°,

故选：c.

3.如图，四边形ABCD内接于OO,OE是OO的直径，连接80.若NBCQ=2N84。，则N8OE的度数

A.25°B.30°C.32°D.35°

【分析】由圆内姐四边形性质结合已知求出/助。=60°,从而由圆周角定理求得N3EO=6(r,NDBE

=90°,最后由直角三角形锐角互余可得结果.

【解答】解：连接8E,

VZBAD与N3EO是同弧所对的圆周角，

:・/BAD=NBED,

四边形ABCD内接于。。，

/.Z^AD+ZBCD=180°,

NBCD=2/BAD,

：.3ZBAD=\S0Q,

：.ZBAD=60D,

:.NBED=60”,

•・・O£是的宜径，

/.ZDBE=90°,

：.ZBDE=90°-ZB£D=90°-60°=30°.

故选：B.

4.如图，四边形ABCD内接于O。,AE±CB,交CB的延长线于点E.若8A平分NOBE,A£>=7,C£=JI^,

则AE的长度为6

A

O・

【分析】连接AC,根据8A平分NO8E,可得NA8E=NA6O；根据四边形A8O)内接于。0,可得N

ABE=ZADC,进而可得NA8E=NA8Q=/A拉C,即有NAC3=NAOC,则有4£)=AC,最后利用勾股

定理即可作答.

【解答】解：连接AG如图,

,.,84平分NQ3E,

・・・/ABE=NABD,

•/四边形ABCD内接于。0,

ZABC+ZADC=\SO°,

VZABC+ZAB£=180°,

，ZABE=/ADC,

：.NABE=ZABD=ZADC,

ZACD=ZABDf

：.ZACD=ZADC9

：.AD=AC,

,：AD=lf

：.AC=1,

VAE±CB,CE=V13，

・••在Rt/XAEC中，AE=VAC2-EC2=e-

故答案为：6.

5.如图，四边形48C£＞内接于OO,ND4E是四边形A8CO的一个外角，且A。平NC4E.

(I)求证：NDAE=NBCD；

(2)求证：DB=DC.

E

【分析】（1）先证明/8。+/以3=180°,结合ND4E+/D4B=180°,从而可得答案；

（2）先证明4c=NOBC,ZDAE^ZDAC,由（1）可知NZME=/8CO,可得/8CO=/O8C,

从而可得结论.

【解答】证明：（1）•••四边形ABCQ内接于。。，

：.ZBCD+ZDAB^\SOQ,

又；/DAE+N£>A8=180°,

:.NDAE=NBCD.

（2）：/D4c与NQBC是同弧所对的圆周角，

：.ZDAC^ZDBC,

：AO平分NCAE,

：.^DAE^ZDAC,

由（1）可知/D4E=/8CO,

:.NBCD=NDBC,

：.DB=DC.

件跟踪训翥

1.（2022♦阜新）如图，A,B,C是00上的三点，若/C=35°,则/ABO的度数是（）

A.35°B.55°C.60°D.70°

【分析】由圆周角定理，即可求得/AOB的度数，又由0A=08,根据等边对等角与三角形内角和定理,

即可求得/AB。的度数.

【解答】解：连接。4,A

B

O

VZC=35°,

：.ZAOB^2ZC=10°,

•：OA=OB,

：.ZABO=ZBAO=1.（180°-ZAOB）=55°.

2

故选:B.

2.（2022•巴中）如图，A8为（DO的直径，弦CD交AB于点E,BC=BD-ZCDB=30Q,AC=2代，则

A.近B.MC.1D.2

2

【分析】连接BC，根据垂径定理的推论可得AB_LCD,再由圆周角定理可得NA=NCO8=30°,根据

锐角三角函数可得4E=3,AB=4,即可求解.

【解答】解：如图，连接8C,

「A3为。0的直径，BC=BD.

：.AB±CD,

'：ZBAC=ZCDB=30Q,AC=2«，

.'.AE—ACtcosZBAC—3,

「AB为。。的直径，

AZACB=90°,

AB=---当---=4，

cosZBAC

；.OA=2,

AOE^AE-04=1.

故选：C.

3.（2022•枣庄）将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点C在半圆上.点A,B的读数分别

为86°,30°,则/ACB的度数是（）

A.28°B.30°C.36°D.56°

【分析】连接OA,OB,利用圆周角定理求解即可.

【解答】解：连接OA,OB.

由题意，NAOB=86°-30°=56°,

ZACB=1ZAOB=28°,

2

故选：A.

4.（2022•南充）如图，AB为。。的直径，弦于点E,。凡LBC于点凡ZBOF=65°,则NA。。

C.50°D.45°

【分析】先根据三角形的内角和定理可得N8=25°,由垂径定理得：AC=AD，最后由圆周角定理可得

结论.

【解答】解：:OFJLBC,

/8尸0=90°,

'：ZBOF=65°,

ZB=90°-65°=25°,

•..弦CO_LAB,AB为。。的直径,

，筋=俞,

二/AO力=2/8=50°.

故选：C.

5.（2022•云南）如图，已知AB是。。的直径，C。是。。的弦，ABLCD,垂足为E.若AB=26,CD=

24,则NOCE的余弦值为（）

【分析】利用语径定理求得CE,利用余弦的定义在RtA（?C£中解答即可.

【解答】解：是。。的直径，AB±CD,

：.CE=DE=X.CD=\2,

2

'：AB=26,

，0c=13.

.".COSZOCE=^^A2.

OC13

故选:B.

6.（2022•安徽）已知OO的半径为7,AB是00的弦，点P在弦AB上.若PA=4,PB=6,则OP=（）

A.7^4B.4C.V23D.5

【分析】过点。作。ULA8于点C,连接根据垂径定理可得AC=8C=5,所以PC=PB-BC=1,

根据勾股定理即可解决问题.

【解答】解：如图，过点。作OC1_AB于点C,连接OB,

则OB=7,

"：PA=4,PB=6,/

：.AB=PA+PB^\Q,[.0）

."C=8C=5,

：.PC=PB-BC=\,

在RtZ\08C中，根据勾股定理得：

OC2=OB2-8c2=72-52=24,

在RiZsOPC中，根据勾股定理得：

0.='℃2+改2=的4+1=5,

故选：D.

7.（2022•青海）如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点。为圆心的圆的一部分，如果C是0。中弦

AB的中点，CO经过圆心。交。。于点。，并且AB=4w,CD=6m,则OO的半径长为_旦_加.

ACB

【分析】连接04,如图，设。。的半径为根据垂径定理的推论得到COLA8,在Rt^AOC中利用

勾股定理得到2?+（6-r）2=,，然后解方程即可.

【解答】解：连接0A,如图，设。。的半径为"小

：C是。。中弦A8的中点，C。过圆心,

：.CD1.AB,AC=8C=£B=2W,

2

在RtZ\AOC中，'：0A=rm,OC=(6-r)m,

.\22+(6-r)2=凡

解得r=世，

3

即。。的半径长为

3

故答案为：也.

8.（2022•安顺）如图，边长为弧的正方形4BCC内接于。0,PA,PC分别与。0相切于点A和点O,PD

的延长线与BC的延长线交于点E,则图中阴影部分的面积为（）

A.5-TTc1-2L

,2224

【分析】连接AC,0D,根据已知条件得到AC是。。的直径，ZAOD=90°,根据切线的性质得到/

PAO=ZPDO=90°,得到△CDE是等腰宜角三角形，根据等腰直角三角形的性质得到PE=3,根据梯

形和圆的面积公式即可得到答案.

【解答】解：连接AC,0D,

.•四边形A8CO是正方形，

,.ZB=90",

,.4C是0。的直径，NAOD=90°,

."PA,尸。分别与。。相切于点4和点

\ZPAO=ZPDO=9Q°,

♦.四边形AO。。是矩形，

：OA=OD,

•.矩形4。。尸是正方形，

•.ZP=90°,AP=AO,AC//PE,

\ZE=ZACB=45°,

•.△CCE是等腰直角三角形，

:AB=血,

,.AC=2AO=2,DE=42CD=2,

,.AP=PD=AO=l,

\PE=3,

,.图中阴影部分的面积=▲(AC+PE)'AP-X4O2-TT=A(2+3)X1-Axl2«n=A(5-n)

2222222

故选：c.

9.（2022•宁波）已知圆锥的底面半径为4cm,母线长为6c加，则圆锥的侧面积为（）

A.36ncnrB.C.1611cm1D.\2itcm1

【分析】根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥

的母线长和扇形的面积公式求解.

【解答】解：圆锥的侧面积=1x2nX4X6=24iT（cm2）.

2

故选：B.

10.（2022•齐齐哈尔）圆锥的母线长为5cm,高为4cro,则该圆锥侧面展开图扇形的圆心角为216°.

【分析】先利用勾股定理求出圆锥的底面圆半径，再利用侧面扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长列方程

即可求出答案.

【解答】解：圆锥的底面圆的半径为：而之不=3（cM,

设圆锥侧面展开图的圆心角为“。,

则2nx3=W一豆，

180

."=216,

二圆锥侧面展开图的圆心角为216°,

故答案为：216.

11.（2022•湖州）如图，已知AB是。O的弦，ZAOB=120°,OC±AB,垂足为C,OC的延长线交。。

于点。.若/APO是众所对的圆周角，则/AP0的度数是30°.

【分析】由垂径定理得出俞=俞，由圆心角、弧、弦的关系定理得出NAOO=N8。。，进而得出NA。。

=60°,由圆周角定理得出NAPO=^NAOO=30°,得出答案.

2

【解答】解：；OC1_A8,

.'.AD=BD.

ZAOD=ABOD,

：/AOB=120°,

.../A00=/80D="1/A08=60°,

2

.•./APD="l/AOO=4X6（r=30°,

22

故答案为：30°.

12.（2022•日照）一圆形玻璃镜面损坏了一部分，为得到同样大小的镜面，工人师傅用直角尺作如图所示

的测量，测得AB=12c,",BC=5cm,则圆形镜面的半径为一型也

【分析】连接AC,根据乙48c=90°得出AC是圆形镜面的直径，再根据勾股定理求出AC即可.

【解答】解：连接AC,

BX-------

VZABC=90°,且NA8c是圆周角，

.♦.AC是圆形镜面的直径，

由勾股定理得：AC={+BC2=QlZ2+S2nS（。"），

所以圆形镜面的半径为

20

故答案为：Hem.

2

13.（2022•雅安）如图，/OCE是。0内接四边形ABCC的一个外角，若NDCE=72°,那么的度

数为144°

【分析】根据邻补角的概念求出NBCD,根据圆内接四边形的性质求出根据圆周角定理解答即可.

【解答】解：•.♦/£>CE=72°,

/.ZBCD=180°-ZDCE=108°,

:四边形ABCD内接于。。，

，/A=180°-NBCD=12",

由圆周角定理，得/BOO=2NA=144°,

故答案为：144°.

14.（2022•十堰）如图，OO是等边△ABC的外接圆，点。是弧AC上一动点（不与A,C重合），下列结

论：①NADB=/BDC；®DA=DC；③当最长时，DB=2DC；®DA+DC^DB,其中一定正确的结

论有（）

【分析】由△48C是等边三角形，及同弧所对圆周角相等可得NA/98=N8OC,即可判断①正确；由点

。是弧AC上一动点，可判断②错误；根据08最长时，DB为直径,可判定③正确；在。8上取一

点£,使DE=A£>,可得aAOE是等边三角形，从而△ABEgAACQ(SAS),有8E=CZ),可判断④正

确.

【解答】解：•••△A8C是等边三角形，

：.ZBAC=ZACZ?=60°,

,••第=篇,BC-BC-

.•./ACB=/4CB=60°,N8Z)C=NBAC=60°,

；.NADB=NBDC,故①正确；

;点。是弧AC上一动点，

二面与而不定相等，

；.D4与。C不一定相等，故②错误；

当最长时，。〃为。0直径，

/.ZBCD=90",

VZBDC=60°,

AZDBC=30°,

：.DB=2DC,故③正确；

在。8上取一点E,使CE=A。,如图：A

•.•/A/)8=60°,

是等边三角形，

：.AD=AE,NZME=60°,

•.•/R4C=60°,

：.ZBAE=ZCAD,

'：AB=AC,

：./\ABE^/\ACD(SAS),

：.BE=CD,

：.BD=BE+DE=CD+AD,故④正确;

正确的有①③④，共3个,

故选：C.

15.(2022•广西)如图，在AABC中，C4=CB=4,ZBAC=a,将△ABC绕点A逆时针旋转2a,得到△

AB1C,连接B'C并延长交AB于点£>,当夕时,BB'的长是（）

C80

9。・唔

【分析】证明a=30°,根据己知可算出A。的长度，根据弧长公式即可得出答案.

【解答】解：：CA=CB,CD1AB,B'

：.AD=DB=^AB'.

2

AZAB'0=30°,

...a=30°,

YC=4,

.AO=AUcos3(r=4X近=2如,

2

-AB=2AD=4V3.

.而尸的长度/=亚二=60X'x4f

1801803

故选：B.

16.（2022•湖北）如图，在RtZ\ABC中，ZC=90°,NB=30°,AB=8,以点C为圆心，C4的长为半

径画弧，交AB于点。，则AD的长为（）

A

c.3TD.2TI

【分析】连接CO,根据/AC8=90°,/8=30°可以得到NA的度数，再根据AC=C。以及的度

数即可得到N4CO的度数，最后根据弧长公式求解即可.

【解答】解：连接CQ,如图所示：

VZACB=90a,N3=30°,48=8,

.•./A=90°-30°=60°,4。=工研=4,

由题意得：AC—CD,

...△AC。为等边三角形，

-0=60°,

二俞的长为：皂）兀■兀,

1803

故选：B.

17.（2022•毕节市）如图，一件扇形艺术品完全打开后，AB,4C夹角为120°,A8的长为45cs,扇面8。

A.375ncm2B.4507rcm2C.600TTC/M2D.750TTC/M2

【分析】先求出A。的长，再根据扇形的面积公式求出扇形8AC和扇形CAE的面积即可.

【解答】解：的长是45cvn,扇面8£）的长为30cm,

：.AD=AB-BD=\5ctnf

VZBAC=120°,

,扇面的面积S=S扇形S扇形ZME

「120兀X452_120兀X152

360360

=600n(cm2),

故选：c.

18.（2022•资阳）如图.将扇形40B翻折，使点4与圆心O重合,展开后折痕所在直线/与标交于点C,

连接AC.若04=2,则图中阴影部分的面积是（）

【分析】根据垂直平分线的性质和等边三角形的性质，可以得到NCOC=60°,即可求出扇形AOC的面

积，再算出△HOC的面积，即可求出阴影部分面枳.

【解答】解：连接CO,直线/与A。交于点。，如图所示,

:扇形AOB中，04=2,

；.OC=O4=2,

..•点4与圆心。重合，

：.AD=0D=\,CDLAO,

：.OC=AC,

；Q=OC=AC=2,

.♦.△OAC是等边三角形，

：.ZCOD=60°,

,：CDLOA,

CD=VOC2-OD2=V22-12=^3>

阴影部分的面积为：60.X22_2乂如二”-弧,

36023

故选：B.

19.（2022•玉林）如图，在5X7网格中，各小正方形边长均为1,点。，A,B,C,D,E均在格点上，点

。是△ABC的外心，在不添加其他字母的情况下，则除△ABC外把你认为外心也是。的三角形都写出来

△ABD,/XACD,△BCD

【分析】由网格利用勾股定理分别求解。A,OB,OC,OD,OE,根据三角