垂径定理（一）课件北师大版九年级数学下册

3.3垂径定理（一）

圆的对称性圆是轴对称图形吗？如果是,它的对称轴是什么?你能找到多少条对称轴？●O你是用什么方法解决上述问题的?1问题1等腰三角形是轴对称图形吗？2如果将一等腰三角形沿底边上的高对折，可以发现什么结论？3如果以这个等腰三角形的顶角顶点为圆心，腰长为半径画圆，得到的图形是否是轴对称图形呢？问题：如图,AB是⊙O的一条弦,直径CD⊥AB,垂足为P.你能发现图中有哪些相等的线段和劣弧?为什么?线段:AP=BP弧:AC=BC,AD=BD⌒⌒⌒⌒理由如下：把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合，点A与点B重合，AP与BP重合，AC和BC,AD与BD重合．⌒⌒⌒⌒·OABDPC垂径定理及其推论一·OABDCP已知：在☉O中，CD是直径，AB是弦，AB⊥CD，垂足为P.求证：AP=BP，AC=BC,⌒⌒⌒⌒AD=BD.证明：连接OA、OB、CA、CB，则OA=OB.即△AOB是等腰三角形.∵AB⊥CD，∴AP=BP，⌒⌒AC=BC.∴AD=BD，⌒⌒∠AOC=∠BOC.从而∠AOD=∠BOD.想一想：能不能用所学过的知识证明你的结论？CAEBO.D垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦对的两条弧。CD为⊙O的直径CD⊥AB条件结论⌒⌒⌒⌒AE=BEAC=BCAD=BD垂径定理的几个基本图形垂径定理的证明：连接OA,OB,●OABCDM└则OA=OB.在Rt△OAM和Rt△OBM中,∵OA=OB，OM=OM，∴Rt△OAM≌Rt△OBM.∴AM=BM.∴点A和点B关于CD对称.∵⊙O关于直径CD对称,∴当圆沿着直径CD对折时,点A与点B重合,⌒⌒AC和BC重合,⌒⌒AD和BD重合.⌒⌒∴AC=BC,⌒⌒

AD=BD.垂径定理的三种语言：定理:垂直于弦的直径平分弦,

并且平分弦所对的两条弧.垂径定理是圆中一个重要的结论,三种语言要相互转化,形成整体,才能运用自如.●OABCDM└CD⊥AB,如图∵CD是直径,∴AM=BM,⌒⌒AC=BC,⌒⌒AD=BD.想一想：下列图形是否具备垂径定理的条件？如果不是，请说明为什么？是不是，因为没有垂直是不是，因为CD没有过圆心ABOCDEOABCABOEABDCOEEOABDCEABCDEOABDCEOABCEOCDABOBAED在下列图形中，你能否利用垂径定理找到相等的线段或相等的圆弧.O练习1

方法归纳:

解决有关弦的问题时，经常连结半径；过圆心作一条与弦垂直的线段等辅助线，为应用垂径定理创造条件。垂径定理经常和勾股定理结合使用。E.ACDBO.ABOH作法：⒈连结AB.⒉作AB的垂直平分线CD，交弧AB于点E.点E就是所求弧AB的中点．CDABE例1已知AB，如图，用直尺和圆规求作这条弧的中点．⌒变式：求弧AB的四等分点．CDABＭFG错在哪里？1．作AB的垂直平分线CD2．作AT、BT的垂直平分线EF、GHＴＥＮＨＰ强调：等分弧时一定要作弧所对的弦的垂直平分线．例1：如图，已知AB是圆O的直径，AB=4,OB,CD交于点E，且CD垂直平分OB，求CD的

长。

变式：如图，在圆O中，AB为弦，OC⊥AB于点D，AB=6cm,CD=1cm,求圆O的半径OA。例2：如图所示是以点O为公共圆心的两个同心圆，大圆的弦AB交小圆于点C，D.(1)求证：AC=DB(2)如果AB=6,CD=4,求圆环的面积。例3：如图，已知AB为圆O的直径，CD为弦，CE⊥CD交AB于点E，DF⊥CD交AB于点F.求证：AE=BF.课堂练习：1.如图，AB是圆OD的直径，弦CD交AB于点P，AP=2，BP=6，∠AP