高考数学知识要点复习

高考数学100个提醒

——知识、方法与例题

-V集合与逻辑

1、区分集合中元素的形式：如:{x|y=lgx}一函数的定义域；{y|y=lgx}一函数的值域;

{(x,y)Iy=lgx}—函数图象上的点集，如(1)设集合M={x［y=x+3}，集合N=

{y［y=Y+i,xeM},则MN=—(答：［l,+oo))；(2)设集合

M={a\a=(l,2)+2(3,4),2e/?},N={a|a=(2,3)+〃4,5),4cR},则

(答：{(-2,-2)})

2、条件为Au8,在讨论的时候不要遗忘了A的情况

如：A={x|ax~—2.x—1=0},如果APIA'—(f>>求。的取值。(答：aWO)

3^An8={x|xeA且xeB}；AU3={x|xeA或re8}

CiA={x|xGU但xwA};Agboxe4贝！］xeB;真子集怎定义？

含n个元素的集合的子集个数为2",真子集个数为2。一1;如满足

{1,2}?加工{1,2,3,4,5}集合乂有个。(答：7)

4、Cu(AAB)=CuAUCuB;Cu(AUB)=CtADQB;card(AUB)=?

5、ACB=A=AUB=B=A£B=CiBuCiAoACCiB=0»CLAUB=U

6、补集思想常运用于解决否定型或正面较复杂的有关问题。

如已知函数f{x)=4--2(p-2)x-2p2-p+l在区间［—1,1］上至少存在一个实数c,使

/(c)>0,求实数p的取值范围。(答：(-3,1))

7、原命题：〃=夕；逆命题：“=〃；否命题：F=逆否命题：—«7=>—：互为

逆否的两个命题是等价的.

如："sinawsinp”是“a丰0”的条件。(答：充分非必要条件)

8、若p=q且qKP；则p是q的充分非必要条件(或q是p的必要非充分条件)；

9、注意命题p=q的否定与它的否命题的区别：

命题p=<7的否定是p=F；否命题是NF

命题“P或q”的否定是“-IP且1Q”，“P且q”的否定是“-IP或-!Q”~

注意：如“若4和6都是偶数，则a+b是偶数”的

否命题是''若a和6不都是偶数，则a+人是奇数”

否定是“若a和人都是偶数，则a+b是奇数”

二、函数与导数

10、指数式、对数式：

an=yjam,an=—L-,,=1,log,1=0,log.a=1,Ig2+lg5=1,logex=Inx,

an

}oN

d=NQlognN=b(a>0,aw1,N>0),a^=N。

如J产屋的值为_______(答：—)

264

11、一次函数:y=ax+b(ar0)b=0时奇函数；

12、二次函数①三种形式:一般式f(x)=a-+bx+c(轴b/2a,a#0,顶点？)；顶点式

f(x)=a(xh)、k;零点式f(x)=a(xxi)(xxz)(轴?);b=0偶函数；

③区间最值:配方后一看开口方向，二讨论对称轴与区间的相对位置关系;如：若函数

丁=(无2一21+4的定义域、值域都是闭区间［2,2。］,则力=(答：2)

④实根分布:先画图再研究△△、轴与区间关系、区间端点函数值符号；

13>反比例函数：y=£(xwO)平移=>y=“+」一(中心为(b,a))

xx-b

14、对勾函数丁=》+@是奇函数，耐,在区间(TO,0),(0,+8)上为增函数

X

a>00寸,在(0,后后,0)递减在(YO,内)递增

15、单调性①定义法;②导数法.如：己知函数/(x)=V—以在区间工+oo)上是增函

数，则a的取值范围是——(答：(-00,3］))；

注意①：/'(x)>0能推出/(x)为增函数，但反之不一定。如函数=/在

(-8,+8)上单调递增，但/'(x)NO,••./'(x)>0是/(X)为增函数的充分不必要条件。

注意②：函数单调性与奇偶性的逆用了吗？(①比较大小；②解不等式：③求参数范围).

如已知奇函数/(x)是定义在(—2,2)上的减函数，若f(m-1)+/(2m-l)>0,求实数in的

17

取值范围。(答：——<m<—)

23

③复合函数由同增异减判定④图像判定.⑤作用：比大小，解证不等式.如函数

y=logi(―f+2x)的单调递增区间是(答：(1,2))。

2

16、奇偶性：f(x)是偶函数。f(x)=f(x)=f(|x|);f(x)是奇函数。f(x)=f(x);定义域含零

的奇函数过原点(f(0)=0)；定义域关于原点对称是为奇函数或偶函数的必要而不充分的条

件。

17、周期性。(1)类比“三角函数图像”得：

①若y=/(x)图像有两条对称轴x=a,x=伙aw份，则y=/(x)必是周期函数，且

一周期为7=2|。一6|；

②若y=/(幻图像有两个对称中心A(a,0),8(b,0)(a中打，则y=f(x)是周期函数，

且一周期为T=2|a—6；

③如果函数y=/(x)的图像有一个对称中心A(a,O)和一条对称轴x=b(ax。)，则函数

y=f(x)必是周期函数，且一周期为T=4|a—"；

如已知定义在R上的函数/(x)是以2为周期的奇函数，则方程/(月=0在［—2,2］上

至少有个实数根(答：5)

(2)由周期函数的定义“函数/(x)满足/(x)=/(G+x)(a>0),则/(x)是周期为a

的周期函数”得：①函数/(X)满足—/(x)=/(a+x),则f(x)是周期为2a的周期函数;

②若f(x+a)=--—(a。0)恒成立，则T=2a；③若f(x+a)=------(a丰0)恒成立,

/(x)fM

则T=2a.

如(1)设/(幻是(-8,+oo)上的奇函数，/(x+2)=—/(x),当OWxWl时，/(x)=x,

则了(47.5)等于(答：-0.5)；⑵定义在R上的偶函数/(X)满足f(x+2)=/(x),

且在［—3,-2］上是减函数，若a,夕是锐角三角形的两个内角，则/(sina),/(cos尸)的大

小关系为(答：/(sina)>/(cos0)；

18、常见的图象变换

①函数y=f(x+a)的图象是把函数丁=/(x)的图象沿x轴向左(a〉0)或向右

(a<0)平移。个单位得到的。如要得到y=lg(3—x)的图像，只需作y=lgx关于

轴对称的图像，再向—平移3个单位而得到(答：y；右)；(3)函数/(x)=x/g(x+2)—l

的图象与x轴的交点个数有一个(答：2)

②函数y=/(x)+a的图象是把函数y=/(x)助图象沿y轴向上(a>0)或向下

(a<0)平移a个单位得到的；如将函数y=—+。的图象向右平移2个单位后又向下平

x+a

移2个单位，所得图象如果与原图象关于直线y=x对称，那么(A)a=-l,bw0

(B)a=—1,Z?GR(C)a=l,〃w0(£>)«=0,Z?GR(答：C)

③函数y=f{ax)(a>0)的图象是把函数)=/(x)的图象沿x轴伸缩为原来的,得

a

到的。如(1)将函数y=/(x)的图像上所有点的横坐标变为原来的;(纵坐标不变)，再

将此图像沿x轴方向向左平移2个单位，所得图像对应的函数为(答：/(3x+6))；(2)

如若函数y=/(2x-l)是偶函数,则函数y=/(2x)的对称轴方程是(答：x=-1).

④函数y=4(%)3>0)的图象是把函数y=/(x)的图象沿y轴伸缩为原来的a倍得

到的.

19、函数的对称性。

①满足条件f{x+a)=f［b-x)的函数的图象关于直线x=彳对称。如已知二次函

数/(x)=ax?+hx(a/0)满足条件/(5—x)=/(x-3)且方程/(x)=x有等根，则/(%)

312

=(合：-e厂+X);

②点(x,y)关于y轴的对称点为(-%,y)；函数y=/(x)关于y轴的对称曲线方程为

y=/(-%)；

③点(x,y)关于x轴的对称点为(x,-y)；函数y=/(x)关于x轴的对称曲线方程为

>=-/(尤)；

④点(x,y)关于原点的对称点为(-羽-)，)；函数y=/(X)关于原点的对称曲线方程为

y=_/(-x)；

⑤点(x,y)关于直线y=±x+a的对称点为(土(y-a),±x+a)；曲线f(x,y)=0关于

直线y=±x+a的对称曲线的方程为/(±(y—a),±x+a)=0。特别地，点(x,y)关于直线

y=x的对称点为(y,x)；曲线/(x,y)=0关于直线y=x的对称曲线的方程为

/(y,x)=0；点(x,y)关于直线y=—x的对称点为(一、一幻；曲线/(x,y)=0关于直线

x—33

y=r的对称曲线的方程为/(_%_%)=0。如己知函数f(x)=--,(xw—),若

2x-32

y=/(X+1)的图像是G,它关于直线y=X对称图像是。2，。2关于原点对称的图像为

g,则a对应的函数解析式是___________(答：一士二)；

2x+l

若f(a—x)=f(b+x),则f(x)图像关于直线x=对称;两函数y=f(a+x)与y=f(bx)图

像关于直线x=j对称。

2

提醒：证明函数图像的对称性，即证明图像上任一点关于对称中心(对称轴)的对称点

仍在图像上；如(1)已知函数/(x)=x+l-"(awR)。求证：函数/(x)的图像关于点

a-x

M(a,—1)成中心对称图形。

⑥曲线/(x,y)=O关于点(。,刀的对称曲线的方程为了(2a—x,北一丁)=0。如若函数

y=/+%与y=g(©的图象关于点(2,3)对称，贝Ug(x)=(答：—x2—7x—6)

⑦形如>=幺书匕#0,41工/^)的图像是双曲线，对称中心是点(—4,且)。如己知

cx+dcc

函数图象C与C：y(x+a+l)=av+a2+l关于直线y=x对称，且图象C关于点(2,-

3)对称，则〃的值为(答：2)

⑧|/(x)|的图象先保留了(x)原来在x轴上方的图象，作出x轴下方的图象关于x轴的

对称图形，然后擦去x轴下方的图象得到；/(|x|)的图象先保留了(x)在y轴右方的图象，

擦去y轴左方的图象，然后作出y轴右方的图象关于y轴的对称图形得到。如(1)作出函

数y=|log2(x+l)|及y=log2lx+l|的图象；(2)若函数/(幻是定义在R上的奇函数，

则函数"X)=|/(X)|+/(W)的图象关于一对称(答：y轴)

20.求解抽象函数问题的常用方法是：

(1)借鉴模型函数进行类比探究。几类常见的抽象函数：

①正比例函数型：/(%)=履(人工0)/(x±y)=/(x)±/(y)；

②幕函数型:f(x)=x2f(xy)=f(x)f(y),八上)=粤；

y/(y)

③指数函数型：/(x)=«v/(x+y)=/(x)/(y),/(x-y)=g2；

f(y)

x

④对数函数型：/W=logax/(盯)=/(x)+/(y),/(-)=/(x)-/(y)；

y

⑤三角函数型：/(x)=tanx/(x+y)=。

如已知/(幻是定义在R上的奇函数，且为周期函数，若它的最小正周期为T,则

/(-1)=_(答:0)

2:①函数存在反函数的条件二二映射;②奇函数若有反函数则反函数是奇函数③周期函数、

定义域为非单元素集的偶函数无反函数④互为反函数的两函数具相同单调性⑤f(x)定义

域为A,值域为B,则域『(x)]=x(xGB),ftf(x)]=x(xGA).⑥原函数定义域是反函数的值

域,原函数值域是反函数的定义域。

如：已知函数y=/(x)的图象过点(1,1),那么/(4-x)的反函数的图象一定经过点

(答：(1,3))；

22、题型方法总结

I判定相同函数:定义域相同且对应法则相同

II求函数解析式的常用方法：

(1)待定系数法一一己知所求函数的类型(二次函数的表达形式有三种：一般式：

/(x)=«%2+/?x+c；顶点式：/(x)=a(x-m)2+〃；零点式：/(x)=«(x-X1)(x-x2))»

如已知/(x)为二次函数，且/(x—2)=/(—x—2),且f(O)=l,图象在x轴上截得的线段

长为2J5,求/(幻的解析式。(答：/(X)=1X2+2X+1)

(2)代换(配凑)法一一已知形如/(g(x))的表达式，求/(x)的表达式。如(1)已

知/(I一cosxQs/x,求/(一)的解析式(答：y(%2)=_%4+2x\xe(_72,72］)；(2)

2

若/(工一!)=/+4,则函数/(x—1)=(答：%-2X+3);(3)若函数/(x)是

XX

定义在R上的奇函数，且当尤e(0,+oo)时，/(%)=x(l+Vx),那么当xe(-8,0)时，

/(幻=(答：x(l-狐)).这里需值得注意的是所求解析式的定义域的等价性，

即/(%)的定义域应是g(x)的值域。

(3)方程的思想一一对已知等式进行赋值，从而得到关于/(幻及另外一个函数的方程

2

组。如(1)已知/(x)+2/(-x)=3x—2,求/(x)的解析式(答：/(x)=-3x--)；(2)

已知/■(©是奇函数，g(x)是偶函数，且y(x)+g(x)=」一,则/•(》)=—(答：二一)。

x-\x~-I

in求定义域:使函数解析式有意义(如:分母？；偶次根式被开方数？；对数真数？,底数？；零指数

幕的底数?)；实际问题有意义;若f(x)定义域为［a,b］,复合函数f［g(x)］定义域由aWg(x)W

b解出；若f［g(x)］定义域为［a,b］,则f(x)定义域相当于xG［a,b］时g(x)的值域；

如：若函数y=/(x)的定义域为1,2,则/(bg2X)的定义域为(答：

{r|V2<x<4});(2)若函数/(Y+1)的定义域为［—2,1),则函数/(x)的定义域为

(答：［1,5］).

IV求值域：.

①配方法:如:求函数y=x2—2x+5,x€［—l,2］的值域(答：［4,8］)；

②逆求法(反求法):如：y=一・通过反解，用y来表示31再由3*的取值范围，

1+3

通过解不等式，得出y的取值范围(答：(0,1))；

17

③换元法:如(1)y=2sin2x—3cosx—l的值域为(答：［―4,上］)；(2)

8

y=2x+l+J71的值域为(答：［3,+8))(令&万=/,120。运用换元法时,

要特别要注意新元r的范围)；

④三角有界法:转化为只含正弦、余弦的函数，运用三角函数有界性来求值域；

如：y=2sin0—l的值域(答:(_8,当)；

1+cos02

⑤不等式法---利用基本不等式a+622\［cib(a,bGR+)求函数的最值。如设

x，4，a”y成等差数列，乂4,8,y成等比数列，则巴t文的取值范围是.

她

(答：(-8,0][4,4-00))o

⑥单调性法:函数为单调函数，可根据函数的单调性求值域。如求y=x—L(l<x<9),

X

y=sin2x+―丁=2必一1083(5-耳的值域为(答：(0,以)、[打⑼、

1+sinx92

[0,+oo))；

簸娶绩金根据函数的几何图形，利用数型结合的方法来求值域。如(1)已知点P(%y)

〔-亭奉、［-技⑹);(2)

在圆d+y2=l上，求占及y-2x的取值范围(答:

求函数y=J(x—2)2+J(X+8)2的值域(答:[10,+8))；

⑧判别式法：如(1)求)的值域(答：)；(2)求函数,=史上2的

1+JT122」x+3

|x~4-X+1

值域(答：。一］)如求y=-------的值域(答：(-oo,-3］工+oo))

2x+\

⑨导数法;分离参数法；一如求函数/(x)=2d+4/-40x,%e［-3,3］的最小值。(答:

一48)

3I，v丫2__YIO

用2种方法求下列函数的值域：®y=(xe［-1,1］)@y=",xe(-oo,0)；

3-2xx

x~-x+3.八、

③y=---------,xe(F,0)

x-\

⑤解应用题:审题(理顺数量关系)、建模、求模、验证.⑥恒成立问题:分离参数法;最值法;

化为一次或二次方程根的分布问题.a》f(x)恒成立。2》［£&)］皿,旧・£6)恒成立。2忘

⑦任意定义在R上函数f(x)都可以唯一地表示成一个奇函数与一个偶函数的和。

即f(X)=g(x)+/z(x)

其中g(x)=f(2)+f(―A？是偶函数,h(x)=f(2S)—f(一».是奇函数

22

⑦利用一些方法(如赋值法(令x=0或1,求出/(0)或/(I)、令丁=》或丁=一不等)'递

推法、反证法等)进行逻辑探究。如(1)若xeR,7(x)满足f(x+y)=/(x)

+/(y)，则/(幻的奇偶性是(答：奇函数)；(2)若木丫

xeR,7(x)满足/(肛)=/(x)+/(y)，则/(x)的奇偶性

是(答：偶函数)；(3)已知/(x)是定义在(一3,3)上

的奇函数，当0<x<3时，/(幻的图像如右图所示，那么不

等式/(%).cosx<0的解集是(答：5/123,4

(-1,-1)1(0,1)^(1,3))；⑷设/(X)的定义域为R\对

任意x,yeR+,都有/(?=/(x)—/(y)，且x>l时，/(x)<0,又/(g)=l,①求证

/(X)为减函数;②解不等式f(x)+/(5—x)12.(答：(0,1］［4,5)).

23、导数几何物理意义:k=F(xo)表示曲线y=f(x)在点P(xo,f(xo))处切线的斜率。

V=s⑴表示t时刻即时速度,a=v'（t）表示t时刻加速度。如一物体的运动方程是

s=\-t+t2,其中s的单位是米，f的单位是秒，那么物体在，=3时的瞬时速度为

（答：5米/秒）

24、基本公式：。'=09为常数）;依"7=讶2（111^（2）

25、导数应用:⑴过某点的切线不一定只有一条；如：已知函数/（外=/一3%

过点P（2,-6）作曲线y=/（x）的切线，求此切线的方程（答：3x+y=0或

24x—y-54=0）。

⑵研究单调性步骤：分析y=f（x）定义域；求导数；解不等式fix）》。得增区间；解不等式

f'（x）W0得减区间;注意f'（x）=0的点；如：设。>0函数/瓮）=/一。尤在”,+8）上单调

函数，则实数。的取值范围______（答：0<aW3）；

⑶求极值、最值步骤:求导数;求「（x）=0的根;检验（（x）在根左右两侧符号,若左正右负，则

f（x）在该根处取极大值;若左负右正，则f（x）在该根处取极小值;把极值与区间端点函数值

比较，最大的为最大值，最小的是最小值.如：（1）函数丁=2/一3/-121+5在［0,3］

上的最大值、最小值分别是（答：5；-15）；（2）已知函数/•（幻=/+东+5+4

在区间［—1,2］上是减函数，那么b+c有最_值_答：大，—竺）（3）方程

2

北一6在+9%-10=0的实根的个数为_（答：1）

特别提醒：（1）%是极值点的充要条件是与点两侧导数异号，而不仅是r（x0）=o,fM

=0是与为极值点的必要而不充分条件。（2）给出函数极大（小）值的条件，一定要既考虑

广（%）=0,又要考虑检验“左正右负”（“左负右正”）的转化，否则条件没有用完，这一

点一定要切记！如：函数处有极小值10>则a+b的值为

____（答：一7）

三、数列、

S|（Z?=1）

26>an=｛.注意验证山是否包含在an的公式中。

S,,-S,i（"22,〃eN）

27、｛atl）等差oQ”一/.|=d（常数）。2cin=an+l+%（〃N2,〃eN*中项）

=a〃=即+。（一次）=s〃=An2+8〃（常数项为06勺二次）;。,"4,8=?

（n［a2=a.>2,nGN）a»

nn

｛a#等比=42n+ivJ=j=q（定）；

an^0an_1

<=>an=at-q"Tosn=机一;m=?

如若｛4｝是等比数列,且S-=3”+r,则r=（答:-1）

28、首项正的递减（或首项负的递增）等差数列前n项和最大（或最小）问题，转化为解不等式

h-°（或卜”‘°）,或用二次函数处理;（等比前n项积?），由此你能求一般数列中的最大或最

小项吗？如(1)等差数列｛%｝中，4=25,S9=Su，问止匕数列前多少项和最大？并求此

最大值。(答：前13项和最大，最大值为169)；(2)若｛a,,｝是等差数列，首项

4>°，%003+a20M>0，a2(m,«20O4<。，则使前〃项和S“>0成立的最大正整数n是

(答：4006)

29、等差数列中a.=aZnDd;Sn="4+gi^=s-^Sd=^4

222

等比数列中a“=ap";当q=l,S“=na,当qWl,S"=也二©=色二叔

\-q\-q

(lma,

30.常用性质：等差数列中，a^=am+(n—m)d,d=~';当m+n=p+q,am+an=aP+aq；

m-n

nra

等比数列中,an=anq;当m+n=p+q,aman=aPaq；

如(1)在等比数列｛4｝中，%+4=124,%%=-512,公比q是整数，则《0二—

(答：512)；(2)各项均为正数的等比数列｛叫中，若qq=9，则

Iog3ax+log3++log3al0=(答：10)。

31.常见数列：｛a,,｝、｛bj等差则｛kan+tbj等差；｛a.｝、®｝等比则｛ka-(kWO)、J'-［、｛ah｝、

<工|等比；｛a„｝等差，贝lj卜”｝(c>0)成等比.(b„｝(b„>0)等比，贝｛logb,｝(c>0且cH1)等差。

也J

32.等差三数为ad,a,a+d;四数a3d,ad,,a+d,a+3d;

等比三数可设a/q,a,aq；四个数成等比的错误设法：a/q3,a/q,aq,aq3(为什么？)

如有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个成等比数列，且第一个数与第四个数的

和是16,第二个数与第三个数的和为12,求此四个数。(答：15,,9,3,1或0,4,8,16)

33.等差数列｛an)的任意连续m项的和构成的数列Sm、s2mSm、S3ms2m、S4mS3m>……仍

为等差数列。

等比数列｛an｝的任意连续m项的和且不为零时构成的数列Sm、S2mSm、S3mS2m、S4mS3m,……

仍为等比数列。

如：公比为1时，S8S,、S|2§8、…不成等比数列

34.等差数列｛aj,项数2n时,SBS帘=nd;项数2nl时，S帘Sis=a„;项数为2〃时，则气■=〃;

项数为奇数2〃一1时，S奇=0+式偶.

35.求和常法:公式、分组、裂项相消、错位相减、倒序相加,关键找通项结构.

分组法求数列的和：如an=2n+3n、错位相减法求和：如an=(2nl)2\裂项法求和：如求和：

1H1-------------F•+--------------------=_________(答:----)、倒序相力口法求和：如①

1+21+2+31+2+3+-4-/2〃+1

,r2

求证：C；+3C：+5C；++(2〃+l)C；=(〃+l)・2"；②已知f(x)=-L^,贝ij

1+x

1117

/(I)+/(2)+/(3)+/(4)+/(-)+/(-)+/(-)=_(答：-)

36.求数列｛a/的最大、最小项的方法(函数思想)：

>0>1

…八，•，4’9"（/7+1）

d）a：,^a„=...4=0如an=2n~+29n3②----=•••<=!（an>0）如an=--------

a10"

<0"n［<\

7?

③an=f（n）研究函数f（n）的增减性如a产------

+156

求通项常法：（1）已知数列的前n项和s”，求通项a”，可利用公

a=IS|6=1）

式：％'一氐-$2（葭2）

如：数列｛。“｝满足g。］+5。2++~。〃=2"+5,求（答：。〃=卜；，九〉2）

（2）先猜后证

（3）递推式为an+|=an+f（n）（采用累加法）；an+1=anXf（n）（采用累积法）；

如已知数列｛““｝满足4=1,an-a,,，!=----——尸（〃22）,则““=（答：

+1+

ci）t—>/〃+1-\/2+1）

（4）构造法形如a“=履,i+b、%=（左力为常数）的递推数列如①已知

n

q=l,an=3%+2,求a“（答：an=2»3~'-1）；

（5）涉及递推公式的问题，常借助于“迭代法”解决，适当注意以下3个公式的合理运用

aa.a,

an—（an-ani）+（ani-an2）+...+（a2-ai）+ai；an=----------------a,

an-lan-2ai

（6）倒数法形如4“=」^的递推数列都可以用倒数法求通项。如①已知

d-i+b

a=l,a=4T,求（答：=—L_）；②己知数列满足q=1,

'3a,,+1""3〃—2

=,求%（答：/=*）

37、常见和：1+2+3++〃=:〃（〃+1）,I2+22++/=1〃（〃+1）（2〃+1）,

13+23+33++/=［丝斗F

2

四'三角

38、终边相同（B=2kw+a）；弧长公式：/=|a|R,扇形面积公式：S=^lR=^\a\R2,

1弧度（Irad）p57.3.如已知扇形AOB的周长是6cm,该扇形的中心角是1弧度，求该扇

形的面积。（答：2。机2）

39>函数y=4sinQx+0）+b（。>0,A>0）①五点法作图;②振幅?相位?初相？周期T二些，

（0

频率？6=kn时奇函数；6=k冗+三时偶函数.③对称轴处y取最值,对称中心处值为0;余弦正

2

切可类比.如（1）函数y=s%（当—的奇偶性是（答：偶函数）；（2）已知函

数=+济X+I(Q力为常数)，且"5)=7,则/(—5)=(答：-5)：(3)

函数y=2cosx(sinx+cosx)的图象的对称中心和对称轴分别是

(答：(---,\)(k&Z)>x=-+-(kEZ))；(4)已知

2828

/(x)=s山(X+6)+GCOS(X+6)为偶函数，求。的值。(答：0-k7r+—(k&Z))

6

④变换：6正左移负右移；b正上移负下移；

横坐标伸缩到原来娟倍

y=sinx-'或>）,=sjn（x+中）------------——>y=sin(air+(D)

横坐标伸缩到原来屈倍左或右平移四|

y-sinx---------------——>y-sincox---------->y-sin(air+①)

然绝W啜封阻来您竺>>=Asin(以+①)收下?埋>y=Asin(加+①)+A

40、正弦定理:2R=，一=—L=—J;内切圆半径r=2SMBc余弦定理:

sinAsinBsinCa+b+c

/+22

a*23*5=b2+c22bccosA,cosA=---------；S=-abs\nC=-bcsinA=-casinB

2bc222

术语:坡度、仰角、俯角、方位角(以特定基准方向为起点(一般为北方)，依顺时针方式旋

转至指示方向所在位置，其间所夹的角度称之。方位角。的取值范围是：0。a<360。=等

「廿.―5tana〔sin«-3cosa

41、同角基本关系：如：已知--------=-1,则nil--------------=；

tana-1sina+cosa

2513

sin~a+sinacosa+2=(答：——；——)；

35

42、诱导公式简记:奇变偶不变，符号看象限.(注意：公式中始终视a为锐角)

43、重要公式：疝%=上2；温&=匕吟.；

22

a,ll-cosasina1-cosa.—rfJ.0、、J.8

tan—=±J------=------=------，vl±sm^=.(cos—±sin-)=cos—±sin—

2V1+cosa1+cosasinaV2222

如：函数/'(x)=5sinxcosX-543COS2X4--1V3(xeR)的单调递增区间为

7T54

(答：[k兀一一,k7r+——](keZ))

1212

巧变角：如a=(a+尸)一尸=(a-7?)+尸，2a=(a+夕)+(々一户)，

2a=(7?+&)—(户-a),a+/7=2.^^,^^=(仁一雪一修一句等)，如(1)

27rl3

已知tan(o+夕)=《，tan(^--)=-,那么tan(a+.)的值是(答：不)；(2)

3

已知a,/?为锐角，sina=x,cos/?=y,cos(rz+/?)=--,则y与x的函数关系为

3I----43

(答：y=——vl-x2+—M—<1<1))

555

44、辅助角公式中辅助角的确定：asinx+bcosx=+从sin(x+(其中tan6=1)

,,,3

如：(1)当函数丁=2(?。5%一35万工取得最大值时，5%的值是(答：一彳)；(2)如

果/(x)=sin(x+0)+2cos(x+0)是奇函数,则tan*=_(答:—2)；

五、平面向量

45、向量定义、向量模、零向量、单位向量、相反向量(长度相等方向相反的向量叫做相反

向量。3的相反向量是一3。)、共线向量、相等向量

注意:不能说向量就是有向线段，为什么？(向量可以平移)

46、加］、减法的平行四边形与三角形法则：Q+元；族-就=在

47、口用#士4用+%,

41、(5)向量数量积的性质：设两个非零向量b,其夹角为。，则：

②当a,［同向时，a»b—,特别地，a"=<7»<7=|«|=；当a与否反

向时，£・［=一当。为锐角时，a»b>0,且a、〃不同向，。/>0是。为锐角

的必要非充分条件；当。为钝角时，Z•1<(),且。、〃不反向，是8为钝角的必

—>—>―>—>

要非充分条件；③•8区|列切。如(1)已知。=(尢24),b=(32,2),如果。与人的

41

夹角为锐角，则；t的取值范围是(答：2<一一或；1>0且；1。一)；

33

48、向量b在。方向上的投影|b|cos6=^^

H

49、q和e2是平面一组基底，则该平面任一向量a=40+4e?(4，4唯一)

特别：.而=+则4+4=1是三点P、A、B共线的充要条件如平面直角坐

标系中，。为坐标原点，已知两点A(3,l),8(-1,3),若点C满足3.=4加+%而，其

中4,4eH且4+4=1，则点。的轨迹是（答：直线AB）

50、在AABC中，①PG=|（PA+PB+PC）oG为AABC的重心，特别地

PA+PB+PC=0oP为MBC的重心；②PAPB=PBPC=PCPAoP为

A/4BC的垂心；

③向量“退区+丛C）QR0）所在直线过A4BC的内心（是NB4C的角平分线所在

\AB\|AC|

直线）；

④|A81PC+|BC\PA+\CA\PB=0oPAABC的内心；

@jAOB=l|x7（yB-xBy4|；

如：（1）若0是/ABC所在平面内一点，且满足|。8—C>4=|0B+0C—2。41则

A3C的形状为一（答：直角三角形）；（2）若。为AA3C的边BC的中点，ZVIBC所

在平面内有一点P,满足PA+8P+CP=0,设L型=几，则；I的值为一（答：2）；（3）

\PD\

若点O是△ABC的外心，B.OA+OB+CO=0,则△ABC的内角C为（答：120）；

51、P分月耳的比为义，则铲=4质，4>0内分；4V0且；1#1外分.

0Pop

OP-<t^2.;若入=1则而=:(通+配)；设P(x,y),P1(XI(yi),

1+义2

)

x,+Ax.芭+X2X]+X+X,

x=-------x=--------=--------

3

?2（X2,丫2）则,1+4;中点■