【2023小升初】图形划分（思维提高）-小升初数学思维拓展卷

图形划分

填空题（共30小题）

1.一个长方形纸片对折后，画3条直线，然后沿直线剪3次，并展开，则最多长方形纸片

被剪成片。（例如：按如图的方法剪开后，纸片被分成了4片）。

2.给出一个正方形，请你动手画一画，将它分为“个小正方形，那么，通过实验与思考，

你认为这样的自然数n可以取的所有值应该是.

3.在一张正方形纸上画五条直线，然后剪开，要求每一块都是三角形，那么最多能剪成

个三角形.

4.在平面上，用边长为1的单位正方形构成正方形网格，顶点都落在单位正方形的顶点（又

称为格点）上的简单多边形叫做格点多边形.最简单的格点多边形是格点三角形，而除

去三个顶点之外，内部或边上不含格点的格点三角形称为本原格点三角形，如图所示的

格点三角形MBM每一个格点多边形都能够很容易地划分为若干个本原格点三角形.那

么，图中的格点四边形的面积为,可以划分为个本原格点三角形.

5.拼图游戏一直都是小朋友们喜爱的游戏，请你从下面A、8、C三种图形中只选择一种图

形拼成如图的4X4的格子。你选择的是种图形（填“A”、"夕或"C”）。（注意：

只是规定选一种图形，但没有规定其数量。）

ABC

6.大正方形内有两个小正方形，这两个小正方形可以在大正方形内任意移动（小正方形的

任何部分都不能移出大正方形，小正方形的边必须与大正方形的边平行）.如果这两个小

正方形的重叠面积最小为9,最大为25,并且三个正方形（一个大正方形和两个小正方

形）的边长之和为23,则三个正方形的面积之和为.

7.如图，6X6的表格被粗线分成了9块，若某块中恰有N个格子，则该块所填数字恰好为

1~N；且任意相邻两个格子（有公共点的两个小正方形称为相邻格子）所填数字不同，

那么四位数ABCD是.

8.如图是一个6X4的网格，每个方格的面积是1∙水平线和竖直线的交点称为格点.适当

选择4个格点，可以画出面积是2的长方形或正方形，共可以画出这样的长方形或正方

9.有一个等腰梯形的纸片，上底长度为2015,下底长度为2016,用该纸片剪出一些等腰梯

形，要求剪出的梯形的两个底边分别在原来梯形的底边上，剪出的梯形的两个锐角等于

原来梯形的锐角，则最多可以剪出个同样的等腰梯形.

10.如图，用一条线段把一个周长是305?的长方形分割成一个正方形和一个小的长方形.如

果小长方形的周长是16c,“，则原来长方形的面积是crnλ.

11.如图，一个正方形，与4个等腰直角三角形，恰好拼成一个长方形，如果正方形的面积

是16,那么，长方形的面积是.

12.沿图中方格纸（每个小格都是正方形）的格线将其剪成三部分，并重新拼成一个正方形

（不重不漏），那么其中面积最大的一块最多能占格。

13.在空格中填入数字1-5使得每行、每列和每宫（在数独中被粗线分割开的每块称为宫）

数字都不重复，斜线相邻的数字也不能相同.那么，第一行从左至右5个数字依次组成

的五位数是.

14.把一张边长为11厘米的正方形纸片，剪成若干边长小于11的整数厘米的正方形纸片（不

必全相同，允许重复剪成同一种尺寸，纸片没有浪费），最少能剪成片.

15.如图是长方形，将它分成7部分，至少要画条直线.

16.画两条直线将正方形分成四个形状相同、大小相等的图形，共有种画法。

17.IOl条直线最多能把平面分成个部分.

18.把一张16cmX32a”的纸裁去一半，再将其中一张裁去一半…继续这样裁下去，直到得

到一张ICnI义2Cm的纸为止，那么一共需裁次.

19.一个生日蛋糕切3刀，每人吃一块，最多可供人吃.

20.在一个长方形内，任意画一条直线，长方形被分成两部分（如图），如果画三条互不重

合的直线，那么长方形至少被分成部分，最多被分成部分.

21.如图，大等边三角形中放了三个面积都是30平方厘米的小正六边形.大三角形的面积

是平方厘米.

22.一个角可以将平面分成2部分.3个角最多可以将平面分成个部分.

23.将一个正六边形切割成三个完全相同的小正六边形和三个完全相同的菱形.如果大正六

边形的面积为360平方厘米，那么每个菱形的面积是平方厘米.

24.一个平面被6条直线最多可以分成部分。

25.切一个蛋糕，切1刀最多切成2块，切2刀最多切成4块，切3刀最多切成7块，照这

样切下去，切5刀最多切成块.

26.一个等腰直角三角形和一个正方形如图摆放，①、②、③这三块的面积分别是2、8、

58,则④、⑤这两块的面积差是.

27.一个圆最多可以将平面分成两部分，两个圆最多可以将平面分成4部分，10个圆最多

可以将平面分成部分.

28.将一个8X8的纸棋盘沿竖线、横线（不计边框共有14条）折叠（不一定对折），最后

成为一个1X1的正方形，再沿对边中点剪一刀，这张棋盘被剪成张.

29.由四个边长为1的正方形拼成如图所示的左右对称图形，以图中正方形的14个顶点为

顶点可得到许多不同的三角形，那么，在这些三角形中，面积为1的三角形共有

个.（面积为1的三角形的三条边中，至少有一条边是水平或垂直的）

30.用剪刀沿如图小方格边界把4X4正方形格纸剪开成形状、大小都相同的两部分，共有

种不同的剪法.（两次剪出的图形的形状、大小都相同，视为一种剪法）

二.解答题（共30小题）

31.数一数，在图1中的不同位置可以画出多少个图2所示的图形？（方向可以旋转）

32.把任意三角形分成三个小三角形，使它们的面积的比是2：3：5.

33.如图，九个小长方形组成一个大长方形，按图中编号，则1号长方形的面积恰好是1

平方厘米，2号恰好是2平方厘米，3号恰好是3平方厘米，4号恰好是4平方厘米，5

号恰好是5平方厘米，6号的面积是多少平方厘米？

______2_±

54__

63

34.如图是一个由36块1义1的小正方形组成的图形.

（1）能不能将这个图形剪成三块后拼成一个6X6的正方形？并说明理由.

（2）能不能将这个图形剪成18个2X1的长方形？并说明理由.

35.将图分割成大小形状相似的两块，这两块图形可拼成一个正方形.用粗线条在原图上画

出分割线，不必画拼合成的正方形.

36.从网格第一行中的任意一个正方形开始，创建一条穿出网格最后一行中的任意一个正方

形的路径，路径穿过的每个数都必须是3的倍数，且路径只能在水平或垂直方向延伸。

请在图中画直线作答。

Il42807348&1

~23452433898

77192569TT92

-

2915^18218085

783644312238

68,1267^7825"12

37.图中由10个相同的小正方形组成，请用三种方法把它分割成两个大小相等、形状相同

的部分（沿图中的线分割）.

38.请将如图所示的正方形分成两块，使得这两块的形状和大小都相同.并且每一块中都含

有A、B、C、D、E五个字母，在图中用斜线或不同色笔区分.

39.如图是由16个小正方形组成的图形，沿虚线把该图形分成两部分，这两部分刚好拼成

一个大正方形，请用实线把图形分成两部分.

r-τ-^l-----Γ-^∙

Illll

<IIII

I-----1------1------1------<-----1------1

iIIIIII

（IIIIII

I-----1------1------1-----1------1------1

Illltll

■IIIIII

40.如图中是由三个等边三角形组成的一个等腰梯形,请你把它分成四个形状相同面积相等

的图形.

zV∖

41.如图，把一个等边三角形分成大小相等，形状相同的四个小三角形.

42.按照相等距离画出九条水平线和九条竖直线，形成有81个“结”（“结”就是两条线的

相交点）的网（如图所示）。问：能在这张网上画出13个字母吗（每个“厂’占据

5个“结”，图2给出“丁’的画法演示）？如果能，请在图1中画出来；如果不能，请

43.（1）图1正方形中有哪几种图形？各有几个？

（2）把图2分成大小相等，形状相等的五个图形，请在原图上画出来.

44.如图，把图形分成大小、形状都相同的三部分，并且每部分都带有一块蛋糕，请你在图

中画出分割线。

45.如图，ABC。是正方形，两只蚂蚁P、。同时从点C出发，速度均为0.25CD/秒，P沿

着射线CQ运动（射线就是指蚂蚁到达点。后还会沿着CD方向继续爬出去），Q沿着射

线CB运动.运动2秒后，AQPC与正方形4BC。重叠部分的面积为100平方厘米.那

么，运动5秒后，AQPC与正方形ABC。重叠部分的面积是多少？

46.如图正方形的边长是2米，在其四个角落各放一盆花，若想把正方形面积扩大为原来的

2倍，又不移动花的位置，使得花在正方形的边上，可能吗？请在原图上画出示意图.

47.将边长是7的大正方形分割为边长分别是1,或2,或3的小正方形，其中至少有多少

个边长是1的正方形？在图中画出你的分割方法.答：至少有个边长是1的正方

形.

48.如图，圆形靶纸上有两个弹孔，一个在内圈，一个在外圈，请将这张靶纸剪成两部分,

使得这两部分的形状大小完全相同，并且各有一个弹孔.（请在图上划出剪线即可）

49.图1是一个5X5的数字方阵，正中一个小正方形被挖去.请将它划分成8个部分，每

个部分的形状是图2中的一种，并且每个部分中的三个数字和相等.请在图1中用粗线

表示出划分的方法.

50.把如图分割成形状、大小完全一样的8个部分.请在图中画出你的分法.

分成三个三角形，使它们的面积比为1：2：3.

52.将图分割成两部分，两部分恰好能拼成一个正方形.

（1）若图中每个小正方形的边长是1，拼成的正方形的边长是多少？

（2）用粗线表示分割的路线.

53.在3X3方格中（如图），画一条直线最多可穿过几个方格？（请画图表示）

54.如图是某个图形的14,你能画出这个图吗？至少想出两种方案，并保留作图痕迹.

55.有一块花格布，如图.请你把它沿格线剪成四块，然后制成一大一小两个正方形的坐垫,

相邻小格的图案不同.在图上用粗线画出分割线.

□O□o□

互互亘

□□

□亘□五□

□F□

"□"o^o^B

56.将下图中的正方形分割成形状和大小一样的四块，并且每一块恰好都有四种不同的图

案.在图中用不同的色笔把它们区分开.

57.把卡纸上6X6的方格沿格线剪成4块形状相同，大小相等的图形，使得每一块上都有

“新”、“年”、“好”三个字.

（1）将剪下的4块图形分开粘贴在下面的答题区内.

答题区:

求每块图形的周长.

58.如图，有9只小猴住在同一个正方形卧室中.现在，小猴们都想单独住.猴妈妈只要再

砌两个正方形墙，就能让每只小猴都单独住了.你知道怎么砌吗？请直接画在图中.

59.［构造平行四边形］.如图，图中的三条横线互相平行，三条斜线也互相平行，怎样画一

条直线，把这个图形分成面积相等的两部分呢？

60.某城市准备举行书画展览，为了保证展品安全，展览的保卫部门准备安排保安员值班.情

况如下：

①展览大厅是长方形，内设均匀分布的3义4个长方形展区，如图1所示.在展厅中，展

览的书画被挂在每个展区的外墙上，参观者在通道上浏览书画.

②保安员站在固定的位置上，不允许转身，只能监视他的左右两侧和正前方，形如一个

aTn形的区域.

③展品的安全意味着每一个展区的四面外墙都在保安员的监视范围内.对于如图所示的

展示中，最少需要几个保安员能使展品安全？为什么？并在图中标明这些保安员的位置

（如图2,要在A处安排一个保安员，就在A处画一个“T”字）.

展区展区展区展区

蓬踵

图1

I展区I展区展区展区

踵

I展区Ir⅞s

A

I展区Ir⅞g

图2

图形划分

参考答案与试题解析

一.填空题（共30小题）

1.一个长方形纸片对折后，画3条直线，然后沿直线剪3次，并展开，则最多长方形纸片

被剪成13片。（例如：按如图的方法剪开后，纸片被分成了4片）。

【分析】一个长方形纸片对折后，变成相连的两层，每层最多被分成7份，上下层最少

有2块连接在一起，所以最多长方形纸片被剪成14-1=13片；据此解答即可。

答：最多长方形纸片被剪成13片。

故答案为：13。

【点评】图形的划分要结合原图的特征，和划分的要求添加合适的线段。

2.给出一个正方形，请你动手画一画，将它分为“个小正方形，那么，通过实验与思考，

你认为这样的自然数〃可以取的所有值应该是非零自然数的平方.

【分析】由于正方形的边长相等，面积等于边长的平方，要实现将其剖分成〃个正方形，

自然数n应该是非零自然数的平方.

【解答】解：因为大正方形的边长分成相等份的边长，均可以得到正方形，则这样的自

然数n可以取的所有值应该是非零自然数的平方，

故答案为非零自然数的平方.

【点评】完成本题可实际操作一下，只需要每次均分一个小正方形，依次推出即可.

3.在一张正方形纸上画五条直线，然后剪开，要求每一块都是三角形，那么最多能剪成」

个三角形.

【分析】在一张正方形纸上画五条直线，然后剪开，要求每一块都是三角形，要使剪成

的三角形的个数最多，就需要这些直线有尽量多的交点；据此解答即可.

【解答】解：根据分析画图如下：

故答案为：11.

【点评】本题考查了图形的划分，要结合图形的特征和三角形的特点解答.

4.在平面上，用边长为1的单位正方形构成正方形网格，顶点都落在单位正方形的顶点（又

称为格点）上的简单多边形叫做格点多边形.最简单的格点多边形是格点三角形，而除

去三个顶点之外，内部或边上不含格点的格点三角形称为本原格点三角形，如图所示的

格点三角形MBM每一个格点多边形都能够很容易地划分为若干个本原格点三角形.那

么，图中的格点四边形的面积为7.5,可以划分为15个本原格点三角形.

【分析】根据皮克公式：设格点多边形的面积是S,该多边形各边上的格点个数为。个,

内部格点个数为6个，则S=12α+”1,即可求出图中的格点四边形的面积.

【解答】解：皮克公式：5=12α+Z?-1

图中的格点四边形中，各边上的格点数a=5,内部的格点数6=6,所以格点四边形的面

积是：

12×5+6-1=7.5

根据题意，本原格点三角形内部没有格点，那么S=12X3+O-1=O.5,所以7.5÷0.5=

15（个）,

故答案为7.5,15.

【点评】本题考查皮克公式的灵活运用.

5.拼图游戏一直都是小朋友们喜爱的游戏，请你从下面A、&C三种图形中只选择一种图

形拼成如图的4X4的格子。你选择的是8种图形（填“A”、"B”或"C"）。（注意:

只是规定选一种图形，但没有规定其数量。）

ABC

【分析】大正方形里有16个小方格，A里有3个小方格，拼不出16个，排除；B和C

都是4个小方格，但C拼不出边长为4的正方形；据此画图解答即可。

【解答】解：A.有3个小方格，16÷3=5……1,不能拼出16个格子组成的正方形，排

除答案；

A能够拼成4X4的大正方形，如下图：

C.有4个小方格，但用它拼正方形时，大正方形的4个顶点所在位置中，右上和左下要

空缺，不能拼出16个格子组成的正方形，排除答案。

故答案为：Bo

【点评】解答本题的关键是根据大正方形的边长是4个小方格，用画图的方式直观找出

答案。

6.大正方形内有两个小正方形，这两个小正方形可以在大正方形内任意移动（小正方形的

任何部分都不能移出大正方形，小正方形的边必须与大正方形的边平行）.如果这两个小

正方形的重叠面积最小为9,最大为25,并且三个正方形（一个大正方形和两个小正方

形）的边长之和为23,则三个正方形的面积之和为189.

【分析】利用两个小正方形的重叠面积最大为25,可得最小正方形的面积为25.设另一

个小正方形的边长为X,则大正方形的边长为x+5-3=x+2,根据三个正方形（一个大正

方形和两个小正方形）的边长之和为23,建立方程，可得三个正方形（一个大正方形和

两个小正方形）的边长，即可求出三个正方形的面积之和.

【解答】解：两个小正方形的重叠面积最大为25,可得最小正方形的面积为25,边长为

5.

大正方形内有两个小正方形，则设另一个小正方形的边长为X,则大正方形的边长为x+5

-3=x+2,所以根据三种边长的和得出5+x+x+2=23,

解得X=8,

所以三个正方形的面积的和为52+82+102=189,

故答案为189.

【点评】本题考查图形划分，考查最大与最小问题，考查学生分析解决问题的能力，正

确求出三个正方形（一个大正方形和两个小正方形）的边长是关键.

7.如图，6X6的表格被粗线分成了9块，若某块中恰有N个格子，则该块所填数字恰好为

1~M且任意相邻两个格子（有公共点的两个小正方形称为相邻格子）所填数字不同,

那么四位数ABCD是4252.

【分析】按题意，首先可以确定是只有一个方格的位置”处，只能填1；而B所在的那

块只有2个方格，只能填1和2,而B与1相邻，故只能填2；A处只能填3或4,而B

下面的三个方格只能填1、2、3,A处只能填4,因为E处的方格只能填1,而/处只能

填3,则C处填5,。处填2.

【解答】解：根据分析，首先可以确定是只有一个方格的位置H处，只能填1;

而2所在的那块只有2个方格，只能填1和2,而B与1相邻，故只能填2；

4处只能填3或4,而B下面的三个方格只能填1、2、3,4处只能填4,

因为E处的方格只能填1,而/处只能填3,则C处填5,。处填2.

填法如下图：

故答案是：4252.

【点评】本题考查图形划分，突破点是：根据每个区域数字的特征，判断每个方格的数

字.

8.如图是一个6X4的网格，每个方格的面积是1.水平线和竖直线的交点称为格点.适当

选择4个格点，可以画出面积是2的长方形或正方形，共可以画出这样的长方形或正方

形53个.

【分析】所画的图形共有下面这样的三种图形，分别算出各有多少个就行.

图1图2图3

图1长方形共有6X(4-2+1)=18(个)

图2长方形共有(6-2+1)X4=20(个)

图3正方形共有(6-2+1)×(4-2+1)=15(个)

一共有20+18+15=53(个)

故填53.

【点评】此题采用的策略是分类计数，在计数的时候要注意图形左右移动和上下移动的

规律.

9.有一个等腰梯形的纸片，上底长度为2015,下底长度为2016,用该纸片剪出一些等腰梯

形，要求剪出的梯形的两个底边分别在原来梯形的底边上，剪出的梯形的两个锐角等于

原来梯形的锐角，则最多可以剪出4029个同样的等腰梯形.

【分析】由于等腰梯形的纸片，上底长度为2015,下底长度为2016,它们上下底的长度

相差1，要求剪出的梯形的两个底边分别在原来梯形的底边上，剪出的梯形的两个锐角等

于原来梯形的锐角，则剪出的梯形的下底长度约大于2016-2015=1,依此即可求解.

【解答】解：(2015-1)×2+l

=2014X2+1

=4028+1

=4029（个）

答：最多可以剪出4029个同样的等腰梯形.

故答案为：4029.

【点评】考查了图形划分，本题理解剪出的梯形的下底长度约大于2016-2015=1是解

题的关键.

10.如图，用一条线段把一个周长是30c∕n的长方形分割成一个正方形和一个小的长方形.如

果小长方形的周长是16°〃，则原来长方形的面积是56a??.

【分析】由大长方形到小长方形周长减少了：30-16=14（厘米），相当于减少了两条正

方形的边长，所以正方形的边长是：14÷2=7（厘米），也就是原来长方形的宽是7厘米；

那么原来长方形的长为：16+2-7+7=8（厘米），面积是：8×7=56CZM2.

【解答】解：根据分析可得，

30-16=14（厘米）,

正方形的边长：14÷2=7（厘米），

原来长方形长：16÷2-7+7=8（厘米），

面积：8×7=56（平方厘米）；

答：原来长方形的面积是56tτ√.

故答案为：56.

【点评】本题是比较复杂的求面积问题，关键是利用类似“差不变”原理求得正方形的

边长也就是原来长方形的宽.

11.如图，一个正方形，与4个等腰直角三角形，恰好拼成一个长方形，如果正方形的面积

是16,那么，长方形的面积是192.

【分析】图中的三角形都是等腰直角三角形，所以将图形分割，利用正方形的面积是16,

可得结论.

【解答】解：图中的三角形都是等腰直角三角形，所以将图形分割，如图所示，

由于正方形的面积是16,所以长方形的面积是16+4X（4×6×2）=192,

故答案为192.

【点评】本题考查图形划分，考查学生的动手能力，正确分割图形是关键.

12.沿图中方格纸（每个小格都是正方形）的格线将其剪成三部分，并重新拼成一个正方形

（不重不漏），那么其中面积最大的一块最多能占30格。

【分析】正方形共有36格，将其剪成三部分，并重新拼成一个正方形（不重不漏），36

=6X6,那么正方形的边长是6格，据此横向最少切掉2格，纵向最少切掉4格，据此

求出最大一块即可。

【解答】解：正方形共有36格，横向最少切掉2格，纵向最少切掉4格；

那么其中面积最大的一块最多能占：36-2-4=30格。

【点评】完成这样的图形划分，需要考虑图形划分后各部分的形状、大小以及它们之间

的位置关系。

13.在空格中填入数字1-5使得每行、每列和每宫（在数独中被粗线分割开的每块称为宫）

数字都不重复，斜线相邻的数字也不能相同.那么，第一行从左至右5个数字依次组成

厨的五位数是53124.

【分析】按题意，L、，与4相邻，故不能为4,第二列中只有能是0为4；L、H处只

能是1和5,由于4与5在一条斜线上，故不能为5,所以L为5,H为1；而尸与5同

歹U,故不能为5,而E、F与1、2同行，只能是3和5,故F为3,E为5；在第一宫中，

D为4,A、B只能是1和5,因8与5相邻，故6不能是5,故8是1,A是5；在第一

行中，只剩下C必为4.

【解答】解：根据分析，L、”与4斜线相邻，故不能为4,第二列中只有能是。为4；

L、H处只能是1和5,由于4与5在一条斜线上，故不能为5,所以L为5,4为1；

而尸与5同列，故不能为5,而E、尸与1、2同行，只能是3和5,故尸为3,E为5；

在第一宫中，。为4,A、B只能是1和5,因B与5相邻，故8不能是5,故B是1,A

是5；

在第一行中，只剩下C必为4.

综上，第一行从左至右5个数字依次组成的五位数是：53124.

故答案是：53124.

【点评】本题考查图形划分，突破点是：根据每行每列的数字不能重复，可以推测出第

一行的数字.

14.把一张边长为11厘米的正方形纸片，剪成若干边长小于11的整数厘米的正方形纸片（不

必全相同，允许重复剪成同一种尺寸，纸片没有浪费），最少能剪成11片.

【分析】可以将整个边长为11厘米的正方形纸片分割成边长为1厘米的小正方形，然后

再分，11厘米若分成两个边长一样的正方形，则无法保证边长为整数，故只能一个是6

厘米，另一个为5厘米，故可以分成一个6厘米的正方形，两个边长为5厘米的正方形，

剩下的再细分，直至分完.

【解答】解：根据分析，如图；11厘米若分成两个边长一样的正方形，则无法保证边长

为整数，

故只能一个是6厘米，另一个为5厘米，故可以分成一个6厘米的正方形，两个边长为5

厘米的正方形，

剩下的还至少可以分成三个边长为3的正方形，最后剩下中间的8个小方格,

再分，至少可以分成一个边长为2的小正方形，和4个边长为1的小正方形.

综上，共可以分成：1+2+3+1+4=11个正方形.

故答案是：11∙

【点评】本题考查图形划分，突破点是：将图形先划分成面积较大的正方形，然后再分,

最后即可求得正方形的最少个数.

15.如图是长方形，将它分成7部分，至少要画3条直线.

【分析】两条直线把正方形分成4部分，第三条直线与前两条直线相交多出3部分，共

分成7部分；第四条直线与前3条直线相交，又多出4部分.共11部分，第五条直线与

前4条直线相交，又多出5部分，如下图所示.

【解答】解：1+1+2+3=7

答：在一个长方形上画上3条直线，最多能把长方形分成7部分.

【点评】此题考查了图形的拆拼.使直线间相互交叉，交点越多，则分割的空间越多.每

多第几条直线，就加几个部分.

16.画两条直线将正方形分成四个形状相同、大小相等的图形，共有无数种画法。

【分析】连接两条对角线找到正方形的中心，由于正方形是中心对称图形，所以只要画

过中心且相互垂直的两条直线，即可将正方形分成四个形状相同、大小相等的图形，所

以共有无数种画法。

由于正方形是中心对称图形，所以只要画过中心且相互垂直的两条直线，即可将正方形

分成四个形状相同、大小相等的图形，共有无数种画法。

故答案为：无数。

【点评】完成这样的图形划分，需要考虑图形划分后各部分的形状、大小以及它们之间

的位置关系。

17.IOl条直线最多能把平面分成5152个部分.

【分析】如图所示，1条直线最多将平面分成2个部分；2条直线最多将平面分成4个部

分；3条直线最多将平面分成7个部分；现在添上第4条直线.它与前面的3条直线最多

有3个交点，这3个交点将第4条直线分成4段，其中每一段将原来所在平面部分一分

为二，所以4条直线最多将平面分成7+4=11个部分，由此可得规律：2+2+3+4+…+〃=

=1+5151

=5152（个）

故答案为：5152.

【点评】此题主要考查了数形结合的思想，可利用规律解答：一般地，〃条直线最多将平

面分成1+"（n+l）÷2.

18.把一张16c∕nX32cm的纸裁去一半，再将其中一张裁去一半…继续这样裁下去，直到得

到一张lα"X2c加的纸为止，那么一共需裁8次.

【分析】根据图形的拆拼（切拼）方法可知，每次裁去一半，纸的一条边是原来的一半，

依此计算即可求解.

【解答】解：因为16÷2÷2÷2÷2=1（厘米），32÷2÷2÷2÷2≈2（厘米），

所以一共需要裁4+4=8（次）.

答：一共需要裁8次.

故答案为：8.

【点评】此题属于操作题，做题时最好是先结合实物进行分割，进行观察，然后得出答

案.

19.一个生日蛋糕切3刀，每人吃一块，最多可供8人吃.

【分析】先纵切2两刀，成十字状，然后再横切一刀.

【解答】解：按如图所示的切法去切西瓜：

因此一个西瓜切三刀，最多可切8块.

故答案为：8.

【点评】本题关键是想到最后一刀运用横切的方法.

20.在一个长方形内，任意画一条直线，长方形被分成两部分（如图），如果画三条互不重

合的直线，那么长方形至少被分成4部分,最多被分成7部分.

【分析】三条线不重合，不相交时，把长方形分成的部分最少；三条线不重合，但在长

方形内两两相交，有3个交点，把长方形分成的部分最多，如下图所示，因此得解.

【解答】解：由分析可得：

【点评】认真分析题意，找出规律是解决此题的关键，线的交点越多，图形被分的部分

越多.

21.如图，大等边三角形中放了三个面积都是30平方厘米的小正六边形.大三角形的面积

是135平方厘米.

【分析】如图，可以把大等边三角形分成顶角是120度的等腰三角形，则每个正六边形

可以分成6个，所以大三角形一共分成了27个这样的小三角形，据此根据正六边形的面

积求出一个小三角形的面积，再乘27即可解答问题.

【解答】解：根据题干分析可得：30÷6X27=135（平方厘米），

答：大三角形的面积是135平方厘米.

故答案为：135.

【点评】解答此题的关键是利用图形的特征，把大三角形划分出27个完全相同的小三角

形.

22.一个角可以将平面分成2部分.3个角最多可以将平面分成16个部分.

【分析】先作一个角A,再作角B使B的每边都与A的两边相交，这时平面已被分为7

部分；再作一个角C,使C的每边都与图中已有的4条边相交，这样就把平面分为了16

部分，据此即可解答.

【解答】解：根据题干分析画图如下：

答：3个角最多可以把平面分成16部分.

故答案为：16.

【点评】此题考查图形的划分，采用画图法分析即可解答.

23.将一个正六边形切割成三个完全相同的小正六边形和三个完全相同的菱形.如果大正六

边形的面积为360平方厘米，那么每个菱形的面积是30平方厘米.

【分析】观察图形可知，每个小正六边形都可以划分为3个相同的菱形，则这个大正六

边形即可以划分出3X3+3=12个完全相同的菱形,据此利用大正六边形的面积除以12,

就是每个菱形的面积.

【解答】解：360÷12=30（平方厘米）,

答：每个菱形的面积是30平方厘米.

故答案为：30.

【点评】根据题干，将小正六边形划分成3个完全相同的菱形，把大正六边形的面积转

化到12个完全相同的菱形中，是解决本题的关键.

24.一个平面被6条直线最多可以分成22部分。

【分析】根据一条直线、两条直线、三条直线的情况可总结出规律，从而可得出答案。

【解答】解：由图可知，

（1）有一条直线时，最多分成2部分；

（2）有两条直线时，最多分成2+2=4部分；

（3）有三条直线时，最多分成1+1+2+3=7部分；

（4）设直线条数有〃条，分成的平面最多有机个，有以下规律:

m—l+l+∙∙∙+(n-1)+∕ι=n(∏+1)2+1

则画6条直线最多可将平面分成6×72+1=22部分。

故答案为：22。

【点评】本题考查直线与平面的关系，有一定难度，注意培养由特殊到一般再到特殊的

探究意识。

25.切一个蛋糕，切1刀最多切成2块，切2刀最多切成4块，切3刀最多切成7块，照这

样切下去，切5刀最多切成16块.

【分析】当切1刀时，块数为1+1=2块;

当切2刀时，块数为1+1+2=4块；

当切3刀时，块数为1+1+2+3=7块；

当切4刀时，块数为1+1+2+3+4=11块；

当切5刀时，块数为1+1+2+3+4+5=16块;

继而可得出切n刀时所得的蛋糕块数.

【解答】解：当切1刀时，块数为1+1=2块;

当切2刀时，块数为1+1+2=4块：

当切3刀时，块数为1+1+2+3=7块；

当切〃刀时，块数=1+(1+2+3—+/?)=ι+n(n+l)2.

则切5刀时，块数为1+5X62=16块；

故答案为：16.

【点评】本题考查截一个几何体的规律性问题的应用；得到分成的最多平面数的规律:

切〃刀时，块数=1+(1+2+3…+”)=ι+n(n+l)2是解决本题的难点.

26.一个等腰直角三角形和一个正方形如图摆放，①、②、③这三块的面积分别是2、8、

58,则④、⑤这两块的面积差是8.

【分析】由一个等腰直角三角形和一个正方形组成可知：①、②是等腰直角三角形，知

面积可求得直角边，由此求得由①+③的宽，又可求①+③的面积(2+58),进一步求出①

+③的长(也是正方形的边长).正方形的面积减去(①+③)求得⑤，再进一步求出等腰

三角形的直角边(正方形的边长+②直角边)，可得面积.用等腰直角三角形面积减去②

③面积即可得④面积.⑤-④即可.

【解答】解：①的面积是2,则其直角边长为2,②的面积是8,则其直角边长为4

①+③=2+58=60,因为③+①的宽为①直角边+②直角边=6,所以长为60÷6=10

由此可知正方形边长为10

⑤的面积为：10X10-(2+58)=40

等腰三角形边长为10+4=14

④的面积为：12x14X14-58-8=32

所以⑤-④为：40-32=8.

故答案为：8.

【点评】此题主要抓住正方形和等腰三角形的性质，灵活利用面积与等边的关系解决问

题.

27.一个圆最多可以将平面分成两部分，两个圆最多可以将平面分成4部分，10个圆最多

可以将平面分成92部分.

【分析】一个圆把平面分成圆里和圆外两部分，两个圆有1个交汇部分，lX2+2=4部

分;三个圆两两相交且不重合交点，有1+2=3个交汇部分,把平面分成3X2+2=8部分；

四个圆两两相交，且不重合交点，有1+2+3=6个交汇部分，把平面分成6X2+2=14部

分；…10个圆两两相交且不重合交点，有1+2+3+4+5+6+7+8+9=45个交汇部分，把圆

分成45X2+2=92部分；因此得解.

【解答】解：1+2+3+4+5+6+7+8+9=45,

45X2+2=92；

答：IO个圆最多可以将平面分成92部分.

故答案为：92.

【点评】和10条直线最多的交点数有些相似，让10个圆两两相交，且无重合点，分的

部分就最多，认真作图，即可得解.还可以直接根据〃个X边形把面的划分区域的公式

解答：2+〃（«-1）Xl（圆看作1边形）.

28.将一个8X8的纸棋盘沿竖线、横线（不计边框共有14条）折叠（不一定对折），最后

成为一个1X1的正方形，再沿对边中点剪一刀，这张棋盘被剪成张.

【分析】如果将8X8的纸盘成为一个4X4的正方形，再剪的话，是（2+1）个；如果将

8X8的纸盘成为一个2x2的正方形，再剪的话，是（3+2）个；如果将8X8的纸盘成为

一个Ixl的正方形，再剪的话，应该是（6+3）个，故答案是9张.

【解答】解：6+3=9（个）

答：这张棋盘被剪成9张.

故答案为：9.

【点评】此题的关键是通过实践操作，找到规律，问题就能得到解决.

29.由四个边长为1的正方形拼成如图所示的左右对称图形，以图中正方形的14个顶点为

顶点可得到许多不同的三角形，那么，在这些三角形中，面积为1的三角形共有44

个.（面积为1的三角形的三条边中，至少有一条边是水平或垂直的）

【分析】分别讨论三角形的底边和高的长度底为2,高为1的三角形的面积是1,底为1

高为2的三角形的面积是1,据此依次寻找所以符合题意的三角形即可解答.

【解答】解：如图所示：

面积为1的三角形共有：7X2+2X4+3X2+4X4=14+8+6+16=44（个）

答：面积为1的三角形共有44个.

故答案为：44.

【点评】此题考查了三角形的面积公式的灵活应用，要注意提示中：面积为1的三角形

的三条边中，至少有一条边是水平或垂直的这一条件.

30.用剪刀沿如图小方格边界把4X4正方形格纸剪开成形状、大小都相同的两部分，共有

L种不同的剪法.（两次剪出的图形的形状、大小都相同，视为一种剪法）

【分析】因为必须剪成形状、大小都相同的两部分，所以剪刀必定通过正方形的中心,

即得到的两部分在原图为中心对称，由此找出所以的情况即可求解.

M――卜...卜_-T

【解答］解：一中的粗实线是剪刀必须通过的两条边，然后就可以得到如下6

种不同的情况.

答：共有6种不同的剪法.

故答案为：6.

【点评】此题是考查图形的拆分，可利用中心对称的原理经过画图求得答案.

二.解答题（共30小题）

31.数一数，在图1中的不同位置可以画出多少个图2所示的图形？（方向可以旋转）

【分析】图1共有12个小正方形，图2中有3个小正方形，12÷3=4,所以在图1中的

不同位置最多可以画出4个图2所示的图形.

【解答】解：根据分析画图如下（方向可以旋转），

【点评】本题考查了图形的划分问题，这种类型的题目，耍结合单位图形的形状和要划

分的图形的形状，利用相似和旋转进行分析.

32.把任意三角形分成三个小三角形，使它们的面积的比是2：3：5

【分析】本题考查图形划分.

【解答】解：如图,

任意一个三角形把一条边分成2：3：5三段，

然后与顶点连接，根据底边在同一直线的三角形，高相等，面积比等于底边比,

可以得到三个三角形的面积比是2：3：5.

【点评】本题难度较低，作图细答即可.

33.如图，九个小长方形组成一个大长方形，按图中编号，则1号长方形的面积恰好是1

平方厘米，2号恰好是2平方厘米，3号恰好是3平方厘米，4号恰好是4平方厘米，5

号恰好是5平方厘米，6号的面积是多少平方厘米？

1211

54__

6∣3

【分析】如图所示：1号长方形的面积恰好是1平方厘米，ABXFG=I;

2号恰好是2平方厘米，ABXEF=2；

3号恰好是3平方厘米，CDXFG=3；

4号恰好是4平方厘米，BCXEF=4；

5号恰好是5平方厘米，βC×DE=5;

1

5T

6T

【解答】解：则6号的面积是：

CD×DE,

=(CD×FG)×(AB×EF)×(BC×DE)(FGXAB)X(BC×EF)

=3×2×51×4

=7.5(平方厘米).

答：6号的面积是多少7.5平方厘米.

【点评】此题考查了图形划分.标上字母，思路清晰，找到各边间的关系，是解决此题

的关键.

34.如图是一个由36块1X1的小正方形组成的图形.

(1)能不能将这个图形剪成三块后拼成一个6X6的正方形？并说明理由.

(2)能不能将这个图形剪成18个2义1的长方形？并说明理由.

【分析】(1)6X6的正方形，使得每一边有6个正方形即可；

(2)将图形黑白相间染色，图中有黑格17个，白格19个，而2X1的长方形应当覆盖

黑格、白格各18个，故不能将这个图形剪成18个2X1的长方形.

【解答】解：(1)能，将最下方的两个正方形剪成1块，再将最左边的5个正方形剪成1

块，然后第1块放在右边最下方，第2块放在右边即可.

（2）将图形黑白相间染色，图中有黑格17个，白格19个，而2X1的长方形应当覆盖

黑格、白格各18个，故不能将这个图形剪成18个2义1的长方形.

【点评】本题考查图形划分，考查染色问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档

题.

35.将图分割成大小形状相似的两块，这两块图形可拼成一个正方形.用粗线条在原图上画

出分割线，不必画拼合成的正方形.

【分析】由题意正方形的面积为16,推出正方形的边长为4,由此即可解决问题.

【解答】解：因为正方形的面积为16,推出正方形的边长为4.

分割线如图所示，①与②相似，①放入③位置即可.

【点评】本题考查图形的划分，解题的关键是利用数形结合的思想解决问题求出正方形

的边长是关键.

36.从网格第一行中的任意一个正方形开始，创建一条穿出网格最后一行中的任意一个正方

形的路径，路径穿过的每个数都必须是3的倍数，且路径只能在水平或垂直方向延伸。

请在图中画直线作答。

Il42807348&1

~23452433898

77192569TT92

-

2915^18218085

783644312238

68,1267^7825"12

37.图中由10个相同的小正方形组成，请用三种方法把它分割成两个大小相等、形状相同

的部分（沿图中的线分割）.

【分析】本题考查图形的分割.

【解答】解：如图所示：

【点评】本题主要考查学生的动手能力，从中心点出发考虑如何分割.

38.请将如图所示的正方形分成两块，使得这两块的形状和大小都相同.并且每一块中都含

有A、B、C、D、E五个字母，在图中用斜线或不同色笔区分.

【分析】首先画出两条对角线，作为对照，然后按照要求把正方形平分，使每一部分都

有一个ABCDE五个字母,最后的一定要数一数是否满足一边都有18个方格；即可得解.

【解答】解：如图，可以满足题意.

【点评】多种方法可以沿着网格线把6X6的正方形分割成形状完全相同的两部分，并且

每一部分都恰好含有字母A，B,C,D,E各一个；锻炼了学生的儿何直观和抽象思维能

力.

39.