2023-2024学年人教A版必修第二册 复数的乘除运算 课件（34张）

必备知识·情境导学探新知01怎样规定两个复数的乘除运算，才能使在复数集中的乘法、除法与原实数集中的有关规定内容？复数的加减运算把i看作一个字母，相当于多项式的合并同类项，那么复数乘法是否可以像多项式乘法那样进行呢？知识点1复数的乘法1．复数代数形式的乘法法则已知z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝__________________．

(ac－bd)＋(ad＋bc)i2．复数乘法的运算律对于任意z1，z2，z3∈C，有交换律z1z2＝z2z1结合律(z1z2)z3＝_________乘法对加法的分配律z1(z2＋z3)＝__________z1(z2z3)z1z2＋z1z3

思考(1)复数的乘法与多项式的乘法有何不同？(2)|z|2＝z2，正确吗？[提示]

(1)复数的乘法与多项式乘法是类似的，有一点不同即必须在所得结果中把i2换成－1，再把实部、虚部分别合并．(2)不正确．例如，|i|2＝1，而i2＝－1．

－ii－i关键能力·合作探究释疑难02类型1复数代数形式的乘法运算类型2复数代数形式的除法运算类型3在复数范围内解方程类型1复数代数形式的乘法运算【例1】

(源自湘教版教材)计算：(1)(1＋2i)(4－3i)；[解]

(1＋2i)(4－3i)＝1×4＋1×(－3i)＋2i×4＋2i×(－3i)＝4－3i＋8i－6i2＝4－3i＋8i－6×(－1)＝10＋5i．(2)(1＋i)2；[解]

(1＋i)2＝12＋2·1·i＋i2＝1＋2i－1＝2i．(3)(1－i)2；[解]

(1－i)2＝12－2·1·i＋i2＝1－2i－1＝－2i．(4)(1＋i)1000．[解]

由(2)得，(1＋i)1000＝[(1＋i)2]500＝(2i)500＝2500·i500＝2500·1＝2500．反思领悟

1．两个复数代数形式乘法的一般方法复数的乘法可以按多项式的乘法法则进行，注意选用恰当的乘法公式进行简便运算，例如平方差公式、完全平方公式等．2．常用公式(1)(a＋bi)2＝a2＋2abi－b2(a，b∈R)．(2)(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2(a，b∈R)．(3)(1±i)2＝±2i．[跟进训练]1．(1)若复数(1－i)(a＋i)在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是(

)A．(－∞，1) B．(－∞，－1)C．(1，＋∞) D．(－1，＋∞)

√(2)计算：①(2＋3i)(2－3i)＝______；②(－2－i)(3－2i)(－1＋3i)＝________．①13

②5－25i

①(2＋3i)(2－3i)＝22－(3i)2＝22－(－9)＝13．②原式＝(－6＋4i－3i＋2i2)(－1＋3i)＝(－8＋i)(－1＋3i)＝8－24i－i＋3i2＝5－25i．135－25i

√

√√√

类型3在复数范围内解方程【例3】在复数范围内解下列方程．(1)x2＋5＝0；

(2)x2＋4x＋6＝0．

法二：由x2＋4x＋6＝0知Δ＝42－4×6＝－8＜0，所以方程x2＋4x＋6＝0无实数根．在复数范围内，设方程x2＋4x＋6＝0的根为x＝a＋bi(a，b∈R且b≠0)，则(a＋bi)2＋4(a＋bi)＋6＝0，所以a2＋2abi－b2＋4a＋4bi＋6＝0，整理得(a2－b2＋4a＋6)＋(2ab＋4b)i＝0，

反思领悟

在复数范围内解方程的方法(1)当a，b，c都是实数且a≠0时，关于x的方程ax2＋bx＋c＝0在复数范围内总是有解的，而且①当Δ＝b2－4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当Δ＝b2－4ac＝0时，方程有两个相等的实数根；③当Δ＝b2－4ac＜0时，方程有两个互为共轭的虚数根．(2)利用复数相等的定义求解设方程的根为x＝m＋ni(m，n∈R)，将此代入方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，化简后利用复数相等的定义求解．[跟进训练]3．已知1＋i是方程x2＋bx＋c＝0(b，c为实数)的一个根．(1)求b，c的值；

(2)试判断1－i是不是方程的根．[解]

由(1)知方程为x2－2x＋2＝0，把1－i代入方程左边得(1－i)2－2(1－i)＋2＝0＝右边，即方程成立．∴1－i是方程的根．学习效果·课堂评估夯基础031234

√

1234√

1234√

4．若一元二次方程x2－2x＋5＝0，则该方程在复数范围内解为______．1234

1±2i

2．复数除法的实质是怎样的？[提示]

复数除法的实质是分母实数化的过程，两个复数相除，就是先把它们的商写成分数的形式，然后把分子与分母都乘以分母的