2012年1月自考04184线性代数经管类试题及答案含解析

线性代数（经管类）年月真题

0418420121

1、【单选题】以下关于正定矩阵叙述正确的是（）

正定矩阵的乘积一定是正定矩阵

正定矩阵的行列式一定小于零

A:

正定矩阵的行列式一定大于零

B:

正定矩阵的差一定是正定矩阵

C:

答D:案：C

解析：本题考查正定矩阵的性质。根据正定矩阵的性质，选择C。

2、【单选题】

-6

-3

A:

3

B:

6

C:

答D:案：D

解析：

本题考查行列式的性质。＝

3、【单选题】实数向量空间V={(x,y,z)|3x+2y+5z=0}的维数是（）

1

2

A:

3

B:

4

C:

答D:案：B

解析：本题考查向量的维数。向量的维数不应该只看向量坐标的个数，应该看独立坐标的

个数。本题向量的三个坐标由一个三元方程确定，其中独立的变量只有两个，另外一个变

量的取值由这两个变量的取值来确定，所以独立的坐标只有两个。故选择B.

4、【单选题】

A:

B:

C:

答D:案：B

解析：

本题考查方程组解的定义。（+）＝

+＝+0＝

故选择B.

5、【单选题】

A:

B:

．2,4,3

C:

答D:案：A

解析：

本题考查特征值的性质及逆矩阵的定义。故选择A.

6、【单选题】设矩阵A，X为同阶方阵，且A可逆，若A（X-E）=E，则矩阵X=（）

E+A-1

A:

E-A

E+A

B:

E-A-1

C:

答D:案：A

解析：

本题考查方阵的方程解法。方程可化为，因为A可逆，所以

故选择A。

7、【单选题】设矩阵A，B均为可逆方阵，则以下结论正确的是（）

A:

B:

C:

答D:案：D

解析：本题考查分块矩阵的运算。根据分块对角阵的运算性质，选择D.

8、【单选题】

A:

B:

C:

答D:案：D

解析：本题考查向量组线性相关性。根据线性无关的定义，选择D.

9、【单选题】

（0，-2，-1，1）T

A:

（-2，0，-1，1）T

（1，-1，-2，0）T

B:

（2，-6，-5，-1）T

C:

答D:案：A

解析：

本题考查向量的加减法运算。后式减前式得＝（0，－2，－

1，1）T故选择A.

10、【单选题】

A:

B:

C:

答D:案：B

解析：

本题考察矩阵相似的判定。严格说，本题超纲。课本P138，定理5.2.1：相似矩阵必有相

同的特征多项式。因而必有相同的特征值、相同的迹和相同的行列式。在“注意”中指

出，该定理是充分定理，逆定理并不成立。但，课本并没有介绍判定两个矩阵相似的充要

条件，而严格地说本题需要根据充要条件定理来判定的。现将充要条件定理介绍如下：矩

阵，相似的充要条件是矩阵与矩阵

等价。但是，由于本题是单选题，根据充分定理可以判定只有选项B正

确，即，tr（）＝2，而tr＝2。

11、【问答题】设det(A)=-1，det(B)=2，且A，B为同阶方阵，则det

((AB)3)=__________．

答案：-8

解析：

本题考查方阵行列式的性质。||＝||3||3＝

－8故填写－8.

12、【问答题】

答案：-3

解析：

本题考查方程组的解的知识。设B=(b1,b2,b3)，其中b1,b2,b3至少有一个不为零，

则AB=0等价于Ab1＝0，Ab2＝0，Ab3＝0，即线性方程组Ax＝0有非零解等价于方阵A为

奇异矩阵，即|A|＝0，，解得t＝－3故填写－3.

13、【问答题】设方阵A满足Ak=E，这里k为正整数，则矩阵A的逆A-1=__________．

答案：

解析：

本题考查逆矩阵定义。故填写。

14、【问答题】实向量空间Rn的维数是__________．

答案：n

解析：

本题考查空间的维数。故填写。

15、【问答题】设A是m×n矩阵，r(A)=r,则Ax=0的基础解系中含解向量的个数为

__________．

答案：n－r

解析：本题考查线性齐次方程组基础解系的结构。因为方程组的系数矩阵A是m×n矩

阵，Ax=0是m个方程组成的n个未知数的方程组，又r(A)=r，所以，其基础解系中所含

线性无关向量个数为n－r。故填写n－r。

16、【问答题】非齐次线性方程组Ax=b有解的充分必要条件是__________．

答案：r（A）＝r（A，b）

解析：本题考查非齐次线性方程组解的判定。故填写r（A）＝r（A，b）

17、【问答题】

答案：2b.

解析：

本题验证方程组解。＝3A+2A＝0+2b＝2b故

填写2b.

18、【问答题】设方阵A有一个特征值为8，则det（-8E+A）=__________．

答案：0.

解析：本题考查特征值的求法。设A为n阶方阵，det（－8E+A）＝det[－(8E－A)]

＝（－1）ndet(8E－A)＝0故填写0.

19、【问答题】设P为n阶正交矩阵，x是n维单位长的列向量，则||Px||=__________．

答案：1.

解析：本题考查正交变换的性质。||Px||2＝（Px，Px）＝（x，x）＝||x||2＝1故填写

1.

20、【问答题】

答案：3

解析：

本题考查二次型的惯性指数概念。配方法＝故填写3.

21、【问答题】

答案：57

解析：

＝＝（－4）（－57/4）＝57

22、【问答题】

答案：

解析：

因为|A|=30，所以A可逆。方程ABA-1=4A-1+BA-1两端同时右乘A，并整理得AB＝4E

+B，AB－B＝4E，（A－E）B＝4E，B＝4（A－E）－1(A－E)-1＝所以B＝

23、【问答题】

答案：

解析：

用向量组中每个向量为列构成矩阵，并实行初等行变换所

以，此向量组的极大无关组为，，，且

。

24、【问答题】

答案：

解析：

构造矩阵A的特征方程，并求解|E－A|＝＝

解得，，即矩阵A的特征值为0，1，1.当

时，解方程组得；当时，解方

程组得，所以，矩阵A的特征值0，1，1对

应的特征向量为;，。

25、【问答题】

答案：

解析：

方程组的矩阵为A，并施行初等行变换A＝解得基础解系所

含解线性无关向量为，，方程组的通解为

k1x1+k2x2，其中k1，k2为任意常数。

26、【问答题】

答案：矩阵A的秩为4.

解析：

A＝所以，矩阵A的秩为4.

27、【问答题】

答案：

解析：

构造齐次线性方程组Ax＝0，即（，，）