高等数学 课件 王震 第二章 导数和微分

第二章导数和微分2.1导数的概念目录二、单侧导数三、导数的几何意义一、导数的定义四、函数的可导性与连续性的关系一、导数的定义1.直线运动的速度假设有一质点作直线运动,设其位移s关于时间t的函数为

并记为v,则称为质点在时刻t0的速度(或称变化率).

一、导数的定义2.切线问题割线的极限位置——切线位置一、导数的定义2.切线问题割线的极限位置——切线位置2.切线问题割线的极限位置——切线位置2.切线问题割线的极限位置——切线位置2.切线问题割线的极限位置——切线位置2.切线问题割线的极限位置——切线位置2.切线问题割线的极限位置——切线位置2.切线问题割线的极限位置——切线位置2.切线问题割线的极限位置——切线位置2.切线问题割线的极限位置——切线位置2.切线问题割线的极限位置——切线位置2.切线问题割线的极限位置——切线位置一、导数的定义定义1:如图，如果割线MN绕点M旋转而趋向极限位置MT,直线MT就称为曲线C在点M处的切线.极限位置即2.切线问题假设一、导数的定义定义2:设函数在点存在,并称此极限为记作:则称函数f(x)若极限的某个邻域内有定义,在点可导,在点的导数.一、导数的定义一、导数的定义练习

设存在，求A代表什么.其中存在(1)(2)(3)一、导数的定义★★关于导数的说明：一、导数的定义若上述极限不存在,在点不可导.若也称在若函数在开区间I内每点都可导,此时导数值构成的新函数称为导函数.记作:注意:就说函数就称函数在I内可导.的导数为无穷大.一、导数的定义例1求函数(为正整数)在

处的导数.解.又由于因此，函数

在

处的导数为：一、导数的定义解一、导数的定义例3求函数

的导数以及.解类似可求得：即所以一、导数的定义一、导数的定义例5求函数

的导数.解一、导数的定义二、单侧导数二、单侧倒数例7试求函数

的

和

，并讨论其在

处的可导性.解显然函数在

处是连续的，左导数右导数虽然函数在

处的左、右导数都存在，但不相等，所以函数

在

处不可导.作答正常使用主观题需2.0以上版本雨课堂练习主观题10分三、导数的几何意义三、导数的几何意义例8求曲线

在点

处的切线方程与法线方程.解由导数的几何意义,得切线斜率为所求切线方程为法线方程为作答正常使用主观题需2.0以上版本雨课堂主观题10分四、可导与连续的关系定理凡可导函数都是连续函数.连续函数却不一定可导。证四、可导与连续的关系例7解四、可导与连续的关系练习解：四、可导与连续的关系四、可导与连续的关系1.导数的实质:增量比的极限;3.导数的几何意义:切线的斜率;4.函数可导一定连续，但连续不一定可导;5.求导数最基本的方法:由定义求导数.6.判断可导性不连续,一定不可导.连续直接用定义;看左右导数是否存在且相等.小结：

第二章导数和微分2.2函数的求导法则目录二、复合函数的求导法则三、反函数的求导法则一、函数的和、差、积、商的求导法则一、函数的和、差、积、商的求导法则定理1的和、差、积、商(除分母为零的点外)在并且下面仅对(1)(2)加以证明如果函数u=u(x),v=v(x)在点x处可导,则它们点x也可导,一、函数的和、差、积、商的求导法则因为u(x),v(x)在点x处可导,所以证:一、函数的和、差、积、商的求导法则(2)因为u(x),v(x)在点x处可导,所以v(x)连续,于是一、函数的和、差、积、商的求导法则推论:(C为常数)一、函数的和、差、积、商的求导法则例1:求函数解:利用第一节例题1可知根据定理可知的导数.一、函数的和、差、积、商的求导法则例2已知函数

求.解一、函数的和、差、积、商的求导法则例3已知函数,求解:一、函数的和、差、积、商的求导法则例4已知函数,求解:

即同样可得一、函数的和、差、积、商的求导法则例5:已知函数,求解:

即同理可得求函数的导数作答正常使用主观题需2.0以上版本雨课堂主观题10分作答正常使用主观题需2.0以上版本雨课堂主观题10分作答正常使用主观题需2.0以上版本雨课堂主观题10分作答正常使用主观题需2.0以上版本雨课堂主观题10分二、复合函数的求导法则在点x

可导,定理2:在相应的点则复合函数且其导数为

在点x

可导,或者即因变量对自变量求导,等于因变量对中间变量求导,乘以中间变量对自变量求导.(链式法则)设

推广：二、复合函数的求导法则例6设

，求.解函数

可以看作由

复合而成，由于所以二、复合函数的求导法则二、复合函数的求导法则例7解二、复合函数的求导法则例8:已知函数,求解:函数f(x)的定义域是故函数f(x)可以写成从而作答正常使用主观题需2.0以上版本雨课堂练习设,求主观题10分作答正常使用主观题需2.0以上版本雨课堂练习设,求主观题10分作答正常使用主观题需2.0以上版本雨课堂

主观题10分三、反函数求导定理1:如果函数y=f(x)在某区间I内单调、可导,也可导，则即反函数的导数等于直接函数导数的倒数.并且具有反函数x=f

-1(y)三、反函数求导例9所以三、反函数求导例10:求函数解:由反函数的求导法则得又所以特别地,当时,有的导数.作答正常使用主观题需2.0以上版本雨课堂主观题10分作答正常使用主观题需2.0以上版本雨课堂主观题10分作答正常使用主观题需2.0以上版本雨课堂练习设,求主观题10分1.常数和基本初等函数导数公式(C为常数)4.反函数的求导法则2.函数的和、差、积、商的求导法则3.复合函数求导法则第二章

导数和微分2.3隐函数求导与参数方程的求导法则及对数求导法一、隐函数求导二、对数求导法三、参数方程求导若两个变量y与x之间的对应关系表示成y=f

(x),这样的函数称为显函数

.如果变量y与x的函数关系由方程F

(x,

y

)

=0给出,则称y是

x的隐函数.把一个隐函数化为显函数，叫做隐函数的显化.例如,

x

y3

1

0

可确定显函数y

3

1

xy5

2

y

x

3x7

0

可确定

y是

x的函数

,但此隐函数不能显化

.

d

F

(x,

y)

0d

x(含导数y

的方程)隐函数求导方法:直接从方程出发,在方程两边同时对自变量求导.F

(x,

y)

0两边对

x求导d

(

y3

)

3

y2

dy

dx dxdxd [x

arccos

y]

1

1

dy1

y2dxdx1

dy1

y2.11dxdy

3

y21

y2所以

3

y2

dy

1

dx从而dx解: 方程两边对

x

求导,其中

左边对

x

求导得右边对

x

求导得例1:求由方程y3

x

arccos

y所确定的隐函数的导数

dy

.dyeydyey

dx 2

y例2:求由方程

y

1

xe

y

所确定的隐函数的于是

dx 1

xe

y,即导数

dy

.dxdy

dy解:方程的两边分别求导得

ey

xeydx

dx主观题10分正常使用主观题需2.0以上版本雨课堂作答主观题10分正常使用主观题需2.0以上版本雨课堂作答1

y

ln

x

x

1y xy

y

(ln

x

1)

xx

(ln

x

1)所以幂指函数

f

(x)

u(x)v(x) (u(x)

0)

的求导问题可以通过取对数来解决,这个方法称为对数求导法.例3:设

y

xx (

x

0),

求y

.解:等式两边取对数得

ln

y

x

ln

x上式两边对x求导得y

xx

ex

ln

x本题还可用如下取对数的方法求导

y

'

(ex

ln

x

)

'

exlnx(1

ln x

)

xx(1

ln x

)(x

1)2y).2 1 1 1(x

1)2

1y

'

(x

1)

3

(

x

2 x

13x

13x

2例4:已知函数

y

(x

1)

3

，求

y

'所以x

2解:等式两边取绝对值后再取对数ln

|

y

|

ln

|

x

1

|

2

ln

|

x

1

|

1

ln

|

x

2

|3 3上式两边对x求导得1

1

1

2

3 x

1 3 x

2y

'

1x

1主观题10分正常使用主观题需2.0以上版本雨课堂作答主观题10分正常使用主观题需2.0以上版本雨课堂作答

y

(t)参数方程

x

(t)

(a

t

b)

如果x

(t)具有单调连续反函数t

1

(x)

,那么由上述参数方程确定的复合函数为y

[

1

(x)]如果函数

,

可导,且

(t)

0

,则d

tdxdy

dy

d

tdx d

t dx d

t

(t)

(t)

dy

1

x

3ty

t

2

dxt

3

y

2x

3

0例5:求某平面曲线

故切线方程为y

1

2

(x

3)3即在t=1处点P的切线方程.解:

当t=1时,x=3,y

=1,

故P点坐标为(3,1),曲线在切点P处的切线斜率为3

23t

1t tt

1

(t

2

)

(3t

)

d

x

2t1 d

t d

tt

1dy

d

y

x

ln(1

t

2

)

dydy

dydx dt dt例6:已知某曲线方程

y

t

arctan

t

,求

dx

.解:2

t)1 2tdx

(1

1

t

2 1

t2主观题10分正常使用主观题需2.0以上版本雨课堂作答主观题10分正常使用主观题需2.0以上版本雨课堂作答

第二章导数和微分2.4高阶导数高阶导数一、高阶导数的概念

定义若函数f(x)的导数

在点x0可导,则称

在点x0的导数为f(x)在x0的二阶导数,记作同时称f(x)在点x0二阶可导.即若f(x)在区间I上每一点都二阶可导,则得到一个定义在I上的二阶导数,也简称二阶导数,记作高阶导数类似地,二阶导数的导数称为三阶导数,阶导数的导数称为n

阶导数.依次类推,二阶以及二阶以上的导数都称为高阶导数.函数f(x)的n阶导数在x0处的值记作相应地函数f(x)在任意点x处的n阶导数记作高阶导数例1:已知,求解:高阶导数例2:已知函数

,求解:高阶导数例3已知函数

,证明:由得

试验证高阶导数例4:已知函数，求解:一般地,例5:已知正弦函数，求解:

作答正常使用主观题需2.0以上版本雨课堂练习

已知函数求主观题10分已知求作答正常使用主观题需2.0以上版本雨课堂主观题10分高阶导数例6:求由方程所确定的隐函数的解:方程的两边分别求导得于是,即上式两边再对x求导得二阶导数高阶导数作答正常使用主观题需2.0以上版本雨课堂

主观题10分高阶导数如果具有单调连续反函数,那么由上述参数方程确定的复合函数为如果函数可导,且,则参数方程高阶导数利用参数方程得高阶导数例7:已知某曲线方程,求解:作答正常使用主观题需2.0以上版本雨课堂练习:已知某曲线方程求主观题10分高阶导数都具有n

阶导数,则(C为常数)莱布尼兹(Leibniz)公式及设函数高阶导数例8已知函数

，求.解假设

,那么一般地，可得代入莱布尼兹公式中得

第二章导数和微分2.5微分目录二、微分的几何意义三、微分的运算法则一、微分的概念一、微分的概念假设一边长为x的正方形,它的面积为若边长x0增加Δx,相应地正方形面积的增量一、微分的概念引例:S=x2它由两部分组成,第一部分2x0Δx是第二部分(Δx)2是较Δx高阶的Δx的线性函数,如图故ΔS可以用2x0Δx近似代替.无穷小量(Δx)2=o(Δx),如图一、微分的概念定义1:设函数y=f(x)

在某区间内有定义,x0及x0+Δx其中A是不依赖于Δx的常数,而o(Δx)是比Δx高阶的无穷小记作,即在这区间内,如果函数的增量那么称y=f(x)在点x0是可微的.一、微分的概念可导与可微的关系:定理:函数在点可微的充要条件是证:必要性因为在点可微,则从而一、微分的概念即在点的可导,且充分性因为在点的可导,所以其中即y=f(x)在点x0可微.一、微分的概念例1:求函数在解:因为而处的微分.一、微分的概念故所以一、微分的概念从而该函数的导数,所以导数又叫做微商.通常把自变量x的增量Δx称为自变量x的微分,记作dx,即dx=Δx,则即函数的微分dy与自变量x的微分dx之商等于二、微分的几何意义当很小时,如图,当自变量由