刚体的定轴转动2

第第页刚体的定轴转动2西华高校物理

教学基本要求

一理解描写刚体定轴转动角速度和角加速度的物理意义，并掌控角量与线量的关系.

二理解力矩和转动惯量概念，掌控刚体绕定轴转动的转动定理.三理解角动量概念，掌控角动量定律，并能处理一般质点在平面内运动以及刚体绕定轴转动状况下的角动量守恒问题.

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教学基本要求

四理解刚体定轴转动的转动动能概念，能在有刚体绕定轴转动的问题中正确地应用机械能守恒定律.

能运用以上规律分析和解决包括质点和刚体的简约系统的力学问题.

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第四章刚体的定轴转动一、刚体的运动二、刚体定轴转动的转动定律三、转动惯量的计算四、刚体定轴转动的转动定律的应用五、刚体的角动量、角动量定理和角动量守恒定律六、转动中的功和能

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五、刚体的角动量、角动量定理和角动量守恒定律1、刚体的角动量质点对点的角动量为：

LrPrmv2

刚体上的一个质元,绕固定轴做圆周运动角动量为：

Lirimivirimi所以刚体绕此轴的角动量为：

LLi(miri)J2ii

刚体对固定转动轴的角动量L,等于它对该轴的转动惯量J和角速度的乘积。

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2、刚体的角动量定理dL=A:微分形式：质点系的角动量定理为：Mdt

dLMM外dt刚体是非常的质点组,在定轴转动中只考虑力矩和角动量平行于转轴的份量，设转轴为z轴,取角动量定理沿z轴的份量式有:

Mz外

dLzdt

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在定轴转动中，可用标量表示：

dddML(J)JJdtdtdt刚体定轴转动的转动定律实质是角动量定理沿固定轴方向的份量式的一种非常形式。B:积分形式

t

0

Mdt

L2

L1

dLL2L1L

左边为对某个固定轴的外力矩的作用在某段时间内的积累效果，称为冲量矩；右边为刚体对同一转动轴的角动量的增量。

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J不变时,J也转变时,3、角动量守恒定律

LJ2J1LJ22J11

dL在M中，假设M0,那么L常量.即L0dtL不变的含义为：刚体：不变非刚体：J不变M=0的缘由，可能F=0;r=0;F∥r.在定轴转动中还有M≠0,但力与轴平行，即Mz=0,对定轴转动没有作用，那么刚体对此轴的角动量依旧守恒。

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很多现象都可以用角动量守恒来说明.

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自然界中存在多种守恒定律动量守恒定律能量守恒定律角动量守恒定律电荷守恒定律质量守恒定律宇称守恒定律等

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例1、如下图,一质量为m的子弹以水平速度射入一静止悬于顶端长棒的下端,穿出后速度损失3/4,求子弹穿出后棒的角速度

。已知棒长为l,质量为M.解:以f代表棒对子弹的阻力,对子弹有:3fdtm(vv0)4mv0子弹对棒的反作用力对棒的冲量矩为：

fldtlfJdt

M

因,

ff由两式得

v0

mv

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3mv0l9mv01这里JMl24J4Ml3

NRM

请问:子弹和棒的总动量守恒吗?为什么?总角动量守恒吗?假设守恒,其方程应如何写?

12mv0lmvlMl3

v0

m

v

例2、质量分别为M1、M2,

半径分别为R1、R2的两匀称圆柱,可分别绕它们本

身的轴转动,二轴平行。

M1R1

M2R2

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原来它们沿同一转向分别以

10,20的角速度匀速转动,然后平移二轴使它们的边缘

相接触,如下图.求最末在接触处无相对滑动时,每个

M1R1

M2R2

圆柱的角速度1,2。对上述问题有以下的解法:在接触处无相对滑动时,二圆柱边缘的线速度一样,故有

1R12R2

二圆柱系统角动量守恒故有

10J120J2J11J22

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1122其中J1M1R1,J2M2R222由以上二式就可解出1,2。这种解法对吗?答：原解认为系统的总角动量为二圆柱各自对自己的轴的角动量之和是错误的，由于系统的总角动量只能对某一个轴进行计算。另当两柱体边缘没有相对滑动时1,2方向相反，所以应为

1R12R2

正确的解法应对两圆柱分别运用角动量定理，由于两柱接触时摩擦力大小相等、方向相反,力矩和冲量矩的大小正比于半径,方向相同:R1fdtR1fdtJ1(110)R2fdtR2fdtJ2(220)

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消去fdt,得R1J1(110)R2R12从前已知R21

J2(220)

由此可解得:R1(J11R2J22R1)M1R11M2R22122J1R2J2R1R2(M1M2)R2(J22R1J11R2)M2R22M1R11222J1R2J2R1R1(M1M2)

1122其中J1M1R1,J2M2R222

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例3一杂技演员M由距水平跷板高为h处自由下落到跷板的一端A,并把跷板另一端的演员N弹了起来.问演员N可弹起多高?

MhNBl

Cl/2

A

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设跷板是匀质的，长度为l,质量为m',跷板可绕中部支撑点C在竖直平面内转动，演员的质量均为m.假定演员M落在跷板上，与跷板的碰撞是完全非弹性碰撞.解碰撞前M落在A点的速度

vM(2gh)lu2

12

碰撞后的瞬间，M、N具有相同的线速度

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M、N和跷板组成的系统，角动量守恒

ll1122mvMJ2mumlml22122MhNBl

Cl/2

A

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ll1122mvMJ2mumlml22122

mvMl26m(2gh)解得22ml12ml2(m6m)l演员N以u起跳，达到的

高度：

12

ul3m2h()h2g8gm6m222

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六、转动中的功和能1、力矩的功

dWFdrFcos|dr|

FcosrdFcosrFcosrMdWMd称为力矩的功。力矩对转动物体作的功等于相应力矩和角位移的乘积。O

vdr

dr

FP

*

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2、刚体定轴转动的动能定理刚体上全部质元的动能之和为：

EK

112mivimi(ri)22i2i1122(miri)J22i2

刚体定轴转动的动能改变的缘由可以用力矩做功的效果来说明。将定轴转动的转动定律两边乘以d再同时对积

分有:

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21

Md

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