2023-2024学年九年级数学下册常考点微专题提分精练（苏科版）专题20 胡不归小题含解析

2023-2024学年九年级数学下册常考点微专题提分精练专题20胡不归小题1．如图，在等边中，，点为中点，是上的一个动点，则的最小值是A．3 B． C．6 D．2．如图，在菱形中，，对角线、相交于点，点在线段上，且，点是线段上的一个动点，则的最小值是A．2 B． C．4 D．3．如图，中，，于点，，是线段上的一个动点，则的最小值是A． B． C． D．104．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于、两点，与轴交于点，若是轴上一动点，点在轴上，连接，则的最小值是A．6 B． C． D．5．如图，在中，，，则．请在这一结论的基础上继续思考：若，点是的中点，为边上一动点，则的最小值为A．1 B． C． D．26．如图，平面直角坐标系中，一次函数分别交轴、轴于、两点，若是轴上的动点，则的最小值A． B．6 C． D．47．如图，在中，，，为边上的一个动点（不与、重合），连接，则的最小值是A． B． C． D．88．如图，中，，，为边上一点，则最小值为．9．如图，中，，．是的边上的高，点是上动点，则的最小值是．10．如图，为等边三角形，平分，的面积为，点为上动点，连接，则的最小值为．11．如图①，在中，，，点沿折叠与上的点重合．连接，请你探究：；请在这一结论的基础上继续思考：如图②，在中，，，若，点是边上的动点，则的最小值为．12．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于、两点，与轴交于点，若是轴上一动点，点在轴上，连接，则点的坐标是，的最小值是．13．如图，中，，，为射线上一点，一动点从出发，运动路径为，点在上的运动速度是在上的倍，要使整个运动时间最少，则点的坐标应为．14．如图，在直角坐标系中，点的坐标为，是直线在第一象限内的一个动点．（1）．（2）当的值最小时，点的坐标是．15．如图，在中，，，，若是边上的动点，则的最小值为．16．如图，在平面直角坐标系中，直线的图象分别与轴和轴交于点和点．若定点的坐标为，，点是轴上任意一点，则的最小值为．17．如图，中，，，，为边上的一动点，则的最小值等于．18．如图，中，，，于点，是线段上的一个动点，则的最小值是．19．如图，在平行四边形中，，，，为边上的一动点，则的最小值等于．20．如图，在中，，，．点是在边上的动点，则的最小值是． 专题20胡不归小题1．如图，在等边中，，点为中点，是上的一个动点，则的最小值是A．3 B． C．6 D．【解答】解：如图，过点作于点，过点作于点，则，是等边三角形，，，，，点是的中点，，在中，，，的最小值为：．故答案为：．2．如图，在菱形中，，对角线、相交于点，点在线段上，且，点是线段上的一个动点，则的最小值是A．2 B． C．4 D．【解答】解：过点作，垂足为，四边形是菱形，，，，，是等边三角形，，，，，，当点，点，点共线时，且时，有最小值为，如图：，，，在中，，，的最小值是，故选：．3．如图，中，，于点，，是线段上的一个动点，则的最小值是A． B． C． D．10【解答】解：过点作，垂足为，过点作，垂足为，，，，，，，或（舍去），，，，，，，，在中，，，，，的最小值是：，故选：．4．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于、两点，与轴交于点，若是轴上一动点，点在轴上，连接，则的最小值是A．6 B． C． D．【解答】解：连接，过作，过作，令，即，解得或1，，，，，，．，根据垂线段最短可知，的最小值为，，，，的最小值为．故选：．5．如图，在中，，，则．请在这一结论的基础上继续思考：若，点是的中点，为边上一动点，则的最小值为A．1 B． C． D．2【解答】解：过作于，过点作于，，点是的中点，，，，为正三角形，，，，，，，，的最小值为．故选：．6．如图，平面直角坐标系中，一次函数分别交轴、轴于、两点，若是轴上的动点，则的最小值A． B．6 C． D．4【解答】解：如图，，，，，，在的延长线上取，，作于，，，当、、在同一条直线上时，最小，过点作于，在中，，，最小值是3，最小值是6，故选：．7．如图，在中，，，为边上的一个动点（不与、重合），连接，则的最小值是A． B． C． D．8【解答】解：如图，以为斜边在下方作等腰，过作于，，，，，，，，的最小值为．故选：．二．填空题（共13小题）8．如图，中，，，为边上一点，则最小值为．【解答】解：如图，过点作，交的延长线于，四边形是平行四边形，，，，，，，，当点，点，点三点共线时，有最小值，即有最小值，此时：，，，，，则最小值为，故答案为：．9．如图，中，，．是的边上的高，点是上动点，则的最小值是5．【解答】解：过点作于点，在中，，，在中，，，，当、、三点在同一直线上，且时取得最小值．，，，，的最小值为5．故答案为5．10．如图，为等边三角形，平分，的面积为，点为上动点，连接，则的最小值为．【解答】解：过作于，过点作于，为等边三角形，平分，，，，的面积为，，，，，的最小值为．故答案为：．11．如图①，在中，，，点沿折叠与上的点重合．连接，请你探究：；请在这一结论的基础上继续思考：如图②，在中，，，若，点是边上的动点，则的最小值为．【解答】解：，，，点沿折叠与上的点重合，，，，，，，，作点关于的对称点，作交于点，交于点，，，，，此时的值最小，，在中，，，在中，，，，，在△中，，的最小值为，故答案为：，．12．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于、两点，与轴交于点，若是轴上一动点，点在轴上，连接，则点的坐标是，的最小值是．【解答】解：过点作于，过点作于．二次函数的图象与轴交于点，，二次函数的解析式为，令，，解得或3，，，，，，，，，，，，，，，，，，的最小值为，的最小值为4．故答案为：，4．13．如图，中，，，为射线上一点，一动点从出发，运动路径为，点在上的运动速度是在上的倍，要使整个运动时间最少，则点的坐标应为．【解答】解：过点作交于点，交于点，连接，，，设点的运动时间为，在上的运动速度为，点在上的运动速度是在上的倍，，，，，，，，，，，，，当、、点三点共线时，，此时有最小值，，，，，即，，，故答案为：．14．如图，在直角坐标系中，点的坐标为，是直线在第一象限内的一个动点．（1）．（2）当的值最小时，点的坐标是．【解答】解：（1）设，过点作轴交于，，，，，，故答案为：；（2）作点关于直线的对称点，过作轴交于，连接，，，，，此时的值最小，，，，，，，，，，，故答案为：，．15．如图，在中，，，，若是边上的动点，则的最小值为6．【解答】解：如图，在中，，，，在的下方作，作于，作于，，，，当点在时，，，故答案是6．16．如图，在平面直角坐标系中，直线的图象分别与轴和轴交于点和点．若定点的坐标为，，点是轴上任意一点，则的最小值为．【解答】解：过点作直线与轴的夹角，作点关于轴的对称点，过点作交于点、交轴于点，，，，，，此时取最小值，，，，，的坐标为，，，，，直线的图象分别与轴和轴交于点和点，，，，，，，，，，，取最小值为，故答案为：．17．如图，中，，，，为边上的一动点，则的最小值等于4．【解答】解：如图过点作的垂线交延长线于点，四边形是平行四边形，，，，要求的最小值，即求的最小值，当点、、三点共线时，取最小值，最小值为的长，在中，，，．故答案为：4．18．如图，中，，，于点，是线段上的一个动点，则的最小值是．【解答】解：如图，作于，于．，，，设，，则有：，，或（舍弃），，，，，（等腰三角形两腰上的高相等），，，，，，，的最小值为．故答案为．19．如图，在平行四边形中，，，，为边上的一动点，则的最小值等于．【解答】解：如图，过点作，交的延长线于点，，，，，，当点，点，点三点共线且时，有最小值，即最小值为，，，故答案为：．20．如图，在中，，，．点是在边上的动点，则的最小值是．【解答】解：过点作交于的延长线于点，，，，当时，，此时，取最小值，，，，，，，故答案为：． 专题21相似三角形综合题1．如图1，Rt△ABC中，∠C=90°，AB=15，BC=9，点D，E分别在AC，BC上，CD=4x，CE=3x，其中0＜x＜3．(1)求证：DE∥AB；(2)当x=1时，求点E到AB的距离；(3)将△DCE绕点E逆时针方向旋转，使得点D落在AB边上的D′处.在旋转的过程中，若点D′的位置有且只有一个，求x的取值范围.图1

备用图1

备用图22．在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，以每秒1个单位的速度，沿射线BC方向运动，以AE为边向上作正方形AEFG．设点E的运动时间为t（t＞0）．（1）如图1，EF与CD边交于点M，当DM＝EM时；求t的值．（2）如图2，当点F恰好落在矩形任意两个顶点的所在直线上时，请求出所有符合条件的t的值．3．如图，矩形ABCD中，AB=6,AD=8，P,E分别是线段AC、BC上的点，且四边形PEFD为矩形．（1）若△PCD是等腰三角形时，求AP的长；（2）若AP=，求CF的长．4．如图1，点O为正方形ABCD的中心，E为AB边上一点，F为BC边上一点，△EBF的周长等于BC的长.（1）求∠EOF的度数.（2）连接OA、OC（如图2）.求证：△AOE∽△CFO.（3）若OE=OF，求的值.5．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，动点P从点D出发沿DA向终点A运动，同时动点Q从点A出发沿对角线AC向终点C运动．过点P作PE∥DC，交AC于点E，动点P、Q的运动速度是每秒1个单位长度，运动时间为x秒，当点P运动到点A时，P、Q两点同时停止运动．设PE＝y；（1）求y关于x的函数关系式；（2）探究：当x为何值时，四边形PQBE为梯形？（3）是否存在这样的点P和点Q，使P、Q、E为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x的值；若不存在，请说明理由．6．如图，在正方形中，是上一点，连接.过点作，垂足为.经过点、、，与相交于点.（1）求证；（2）若正方形的边长为，，求的半径.7．如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点E在AD上，BE与AC交于点F.（1）若AC⊥BE,求AE的长；（2）设△DEF和△DCF的面积分别为S1和S2，当AE=m时,求S1：S2；（3）当AE的长是多少时，△DCF是等腰三角形？8．如图，在平面直角坐标系中，A点是（－6，0），B点是（0，8），动点P从点B出发，在BA边上以每秒5个单位的速度向点A作匀速运动，同时动点Q从点O出发，在OB边上以每秒4个单位的速度向点B作匀速运动，设运动时间为t秒（0＜t＜2），连接PQ．（1）如1图，设△BPQ的面积为y，求y与t的函数关系式；（2）如2图，连接AQ、OP，如果AQ⊥OP，求t的值；（3）设PQ的中点为D点，则D点一定在直线________上．

9．在Rt△ABC中，AB=BC=5，∠B=90°，将一块等腰直角三角板的直角顶点O放在斜边AC上，三角板的两直角边分别交直线AB、BC于E、F两点．（1）如图①，若O为AC的中点，点E、F分别在边AB、BC上．①当△OFC是等腰直角三角形时，∠FOC=；②求证：OE=OF；（2）如图②，若AO：AC=1：4时，OE和OF有怎样的数量关系？证明你发现的结论．10．如图1，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点P是线段AD延长线上的一个动点，连接CP，以CP为一边，在CP的左侧作矩形CPFE．（1）若DP＝，①如图1，当矩形CPFE的顶点F恰好落在CD的延长线上，求PF的长；②如图2，求证：点A一定在矩形CPFE的边CE所在的直线上；③如图3，连接EP，易知EP中点O在CP的垂直平分线上，设CP的垂直平分线交BC的延长线于点G，连接BO，求5BO＋3OG的最小值；（2）如图4，若所作矩形CPFE始终保持CE＝CP，在BC的延长线上取一点H，使CH＝2，连接HF，试探究点P移动过程中，HF是否存在最小值，若存在，请直接写出HF的最小值；若不存在，请说明理由．11．实践操作：第一步：如图1，将矩形纸片沿过点D的直线折叠，使点A落在上的点处，得到折痕，然后把纸片展平．第二步：如图2，将图1中的矩形纸片沿过点E的直线折叠，点C恰好落在上的点处，点B落在点处，得到折痕，交于点M，交于点N，再把纸片展平．

问题解决：（1）如图1，填空：四边形的形状是_____________________；（2）如图2，线段与是否相等？若相等，请给出证明；若不等，请说明理由；（3）如图2，若，求的值．12．如图（1），已知点在正方形的对角线上，垂足为点，垂足为点．（1）证明与推断：求证：四边形是正方形；推断：的值为__；（2）探究与证明：将正方形绕点顺时针方向旋转角，如图（2）所示，试探究线段与之间的数量关系，并说明理由；（3）拓展与运用：若，正方形在绕点旋转过程中，当三点在一条直线上时，则．13．如图，在△ABC中，∠B＝45°，BC＝5，高AD＝4，矩形EFPQ的一边QP在BC边上，E、F分别在AB、AC上，AD交EF于点H．（1）当矩形EFPQ为正方形时，求正方形的边长；（2）设EF＝x，当x为何值时，矩形EFPQ的面积最大？并求出最大面积；（3）当矩形EFPQ的面积最大时，该矩形EFPQ以每秒1个单位的速度沿射线BC匀速向右运动（当矩形的顶点Q到达C点时停止运动），设运动时间为t秒，矩形EFPQ与△ABC重叠部分的面积为S，求S与t的函数关系式，并写出t的取值范围．14．如图1，在长方形纸片ABCD中，AB=mAD，其中m⩾1，将它沿EF折叠(点E.

F分别在边AB、CD上)，使点B落在AD边上的点M处，点C落在点N处，MN与CD相交于点P，连接EP.设，其中0<n⩽1.(1)如图2，当n=1(即M点与D点重合)，求证：四边形BEDF为菱形；(2)如图3，当(M为AD的中点)，m的值发生变化时，求证：EP=AE+DP；(3)如图1，当m=2(即AB=2AD)，n的值发生变化时，的值是否发生变化?说明理由.15．如图1，点M放在正方形ABCD的对角线AC(不与点A重合)上滑动，连结DM，做MN⊥DM,交直线AB于N．(1)求证：DM=MN；(2)若将(1)中的正方形变为矩形，其余条件不变如图，且DC=2AD，求MD:MN的值；(3)在(2)中，若CD=nAD，当M滑动到CA的延长线上时(如图3)，请你直接写出MD：MN的比值．

16．如图，正方形AEGH的顶点E、H在正方形ABCD的边上，直接写出HD：GC：EB的结果______；将图中的正方形AEGH绕点A旋转一定角度，如图，求HD：GC：EB；把图中的正方形都换成矩形，如图，且已知DA：：，求此时HD：GC：EB的值简要写出过程．17．如图，已知△ABC中，∠ACB=90°，AC=15，BC=20．动点P在线段CB上，以1cm/s的速度从点C向B运动，连接AP，作CE⊥AB分别交AP、AB于点F、E，过点P作PD⊥AP交AB于点D．（1）线段CE=；（2）若t=5时，求证：△BPD≌△ACF；（3）t为何值时，△PDB是等腰三角形；（4）求D点经过的路径长．18．（1）我们知道：如图①，点把线段分成两部分，如果，那么称点为线段的黄金分割点．它们的比值为__________．（2）在图①中，若，则的长为__________；（3）如图②，用边长为的正方形纸片进行如下操作：对折正方形得折痕，连接，将折叠到上，点对应点，得折痕．试说明：是的黄金分割点；（4）如图③，小明进一步探究：在边长为的正方形的边上任取点，连接，作，交于点，延长、交于点．他发现当与满足某种关系时，、恰好分别是、的黄金分割点．请猜想小明的发现，并说明理由．专题21相似三角形综合题1．如图1，Rt△ABC中，∠C=90°，AB=15，BC=9，点D，E分别在AC，BC上，CD=4x，CE=3x，其中0＜x＜3．(1)求证：DE∥AB；(2)当x=1时，求点E到AB的距离；(3)将△DCE绕点E逆时针方向旋转，使得点D落在AB边上的D′处.在旋转的过程中，若点D′的位置有且只有一个，求x的取值范围.图1

备用图1

备用图2【答案】（1）见解析；（2）；（3）或【分析】(1)根据线段之间的比值得出△CDE和△CAB相似，从而得出平行；(2)过点E作EH⊥AB于点H，然后得出△BEH和△BAC相似得出EH的长度；(3)本题分⊥AB于点和与点B重合时两种情况分别求出x的值．【详解】(1)∵，∴.∵，∴.

∵，∴.

∴.

∴∥.

(2)、过点E作EH⊥AB于点H.

∵，∴.∵，

∴.

∵，∴.∴.(3)当⊥AB于点，，

∴.

∴.当与点B重合时，.∴，∴.∴.综上：或.【点睛】本题主要考查的是三角形相似的性质与判定，属于中等难度的题型．证明三角形相似和了解三角形相似的性质是解题的关键．2．在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，以每秒1个单位的速度，沿射线BC方向运动，以AE为边向上作正方形AEFG．设点E的运动时间为t（t＞0）．（1）如图1，EF与CD边交于点M，当DM＝EM时；求t的值．（2）如图2，当点F恰好落在矩形任意两个顶点的所在直线上时，请求出所有符合条件的t的值．【答案】（1）；（2）所有符合条件的t的值t＝1或t＝3或t＝2或．【分析】（1）连接，证明，求得的值，进而求出，从而求证；（2）分四种情况讨论，根据矩形的性质和正方形的性质证明全等或相似，求得的长度，进而求解．【详解】解：（1）连接，如图，正方形，矩形，，，在和中，，，，在中，，动点从出发，以每秒1个单位的速度，；（2）分四种情况，①当点在上时，如图，矩形，，，，正方形，，，，，，在和中，，，，，动点从出发，以每秒1个单位的速度，；②当点落在上时，如图，为正方形的对角线，，矩形，，，，动点从出发，以每秒1个单位的速度，；③当点落在上时，过点作交于点，如图，正方形，，，，矩形，，，，在和中，，，，，设，则，，，，，，解得：，即，动点从出发，以每秒1个单位的速度，；④当点落在上时，过点作交于点，如图，正方形，，，，矩形，，，，在和中，，，，，设，，则，，，，，，解得，经检验：是原方程的根，且符合题意，，动点从出发，以每秒1个单位的速度，；故所有符合条件的的值或或或．【点睛】本题以动点为背景考查了正方形，矩形的性质，根据根据正方形，矩形的性质，利用全等或相似求出边长，进而分析求解是解题的关键．3．如图，矩形ABCD中，AB=6,AD=8，P,E分别是线段AC、BC上的点，且四边形PEFD为矩形．（1）若△PCD是等腰三角形时，求AP的长；（2）若AP=，求CF的长．【答案】（1）4；5；（2）【分析】（1）先求出AC，再分三种情况讨论计算即可得出结论；（2）先判断出OC=ED，OC=PF，进而得出OC=OP=OF，即可得出∠OCF=∠OFC，∠OCP=∠OPC，最后判断出△ADP∽△CDF，得出比例式即可得出结论．【详解】（1）在矩形ABCD中，AB=6，AD=8，∠ADC=90°，∴DC=AB=6，∴AC==10，要使△PCD是等腰三角形，分三种情况讨论：①当CP=CD时，AP=AC﹣CP=10﹣6=4；②当PD=PC时，∠PDC=∠PCD，∵∠PCD+∠PAD=∠PDC+∠PDA=90°，∴∠PAD=∠PDA，∴PD=PA，∴PA=PC，∴AP=AC=5；③当DP=DC时，如图1，过点D作DQ⊥AC于Q，则PQ=CQ，∵S△ADC=AD•DC=AC•DQ，∴DQ==，∴CQ==，∴PC=2CQ=，∴AP=AC﹣PC=10﹣=，所以，若△PCD是等腰三角形时，AP=4或5或；（2）如图2，连接PF，DE记PF与DE的交点为O，连接OC，∵四边形ABCD和PEFD是矩形，∴∠ADC=∠PDF=90°，∴∠ADP+∠PDC=∠PDC+∠CDF，∴∠ADP=∠CDF，∵∠BCD=90°，OE=OD，∴OC=ED，在矩形PEFD中，PF=DE，∴OC=PF，∵OP=OF=PF，∴OC=OP=OF，∴∠OCF=∠OFC，∠OCP=∠OPC，∵∠OPC+∠OFC+∠PCF=180°，∴2∠OCP+2∠OCF=180°，∴∠PCF=90°，∴∠PCD+∠FCD=90°，在Rt△ADC中，∠PCD+∠PAD=90°，∴∠PAD=∠FCD，∴△ADP∽△CDF，∴=，∵AP=，∴CF=．4．如图1，点O为正方形ABCD的中心，E为AB边上一点，F为BC边上一点，△EBF的周长等于BC的长.（1）求∠EOF的度数.（2）连接OA、OC（如图2）.求证：△AOE∽△CFO.（3）若OE=OF，求的值.【答案】（1）45°；（2）证明见解析；（3）【分析】(1).在BC上取一点G，使得CG=BE，连接OB、OC、OG，然后证明△OBE和△OCG全等，从而得出∠BOE＝∠COG，∠BEO＝∠CGO，OE＝OG，根据三角形的周长得出EF=GF，从而得出△FOE和△GOF全等，得出∠EOF的度数；(2)、连接OA，根据点O为正方形ABCD的中心得出∠OAE=∠FCO=45°，结合∠BOE=∠COG得出∠AEO=∠COF，从而得出三角形相似；(3)、根据相似得出线段比，根据相似比求出AE和CO的关系，CF和AO的关系，从而得出答案．【详解】解：(1).如图，在BC上取一点G，使得CG=BE，连接OB、OC、OG.∵点O为正方形ABCD的中心，∴OB=OC，∠BOC＝90°，∠OBE＝∠OCG＝45°．∴△OBE≌△OCG（SAS）.

∴∠BOE＝∠COG，∠BEO＝∠CGO，OE＝OG.∴∠EOG＝90°，∵△BEF的周长等于BC的长，∴EF＝GF.

∴△EOF≌△GOF（SSS）.∴∠EOF＝∠GOF＝45°．(2).连接OA．∵点O为正方形ABCD的中心，∴∠OAE＝∠FCO＝45°．∵∠BOE＝∠COG，∠AEO＝∠BOE＋∠OBE＝∠BOE＋45°，∠COF＝∠COG＋∠GOF＝∠COG＋45°．∴∠AEO＝∠COF，且∠OAE＝∠FCO．∴△AOE∽△CFO．(3).∵△AOE∽△CFO，∴＝＝．即AE＝×CO，CF＝AO÷．∵OE＝OF，∴＝．∴AE＝CO，CF＝AO．

∴＝．点睛：本题主要考查的是正方形的性质、三角形全等的判定与性质、三角形相似的判定与性质，综合性非常强，难度较大．熟练掌握正方形的性质是解决这个问题的关键．5．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，动点P从点D出发沿DA向终点A运动，同时动点Q从点A出发沿对角线AC向终点C运动．过点P作PE∥DC，交AC于点E，动点P、Q的运动速度是每秒1个单位长度，运动时间为x秒，当点P运动到点A时，P、Q两点同时停止运动．设PE＝y；（1）求y关于x的函数关系式；（2）探究：当x为何值时，四边形PQBE为梯形？（3）是否存在这样的点P和点Q，使P、Q、E为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）y＝﹣x+3（2）当x＝时，QP∥BE，而QB与PE不平行，此时四边形PQBE是梯形（3）当x＝或x＝或x＝或x＝时，△PQE为等腰三角形【分析】（1）由四边形ABCD为矩形，得到∠D为直角，对边相等，可得三角形ADC为直角三角形，由AD与DC的长，利用勾股定理求出AC的长，再由PE平行于CD，利用两直线平行得到两对同位角相等，可得出三角形APE与三角形ADC相似，由相似得比例，将各自的值代入，整理后得到y与x的关系式；（2）若QB与PE平行，得到四边形PQBE为矩形，不合题意，故QB与PE不平行，当PQ与BE平行时，利用两直线平行得到一对内错角相等，可得出一对邻补角相等，再由AD与BC平行，得到一对内错角相等，可得出三角形APQ与三角形BEC相似，由相似得比例列出关于x的方程，求出方程的解即可得到四边形PQBE为梯形时x的值；（3）存在这样的点P和点Q，使P、Q、E为顶点的三角形是等腰三角形，分两种情况考虑：当Q在AE上时，由AE﹣AQ表示出QE，再根据PQ＝PE，PQ＝EQ，PE＝QE三种情况，分别列出关于x的方程，求出方程的解即可得到满足题意x的值；当Q在EC上时，由AQ﹣AE表示出QE，此时三角形为钝角三角形，只能PE＝QE列出关于x的方程，求出方程的解得到满足题意x的值，综上，得到所有满足题意的x的值．【详解】（1）∵矩形ABCD，∴∠D＝90°，AB＝DC＝3，AD＝BC＝4，∴在Rt△ACD中，利用勾股定理得：AC＝＝5，∵PE∥CD，∴∠APE＝∠ADC，∠AEP＝∠ACD，∴△APE∽△ADC，又PD＝x，AD＝4，AP＝AD﹣PD＝4﹣x，AC＝5，PE＝y，DC＝3，∴，即，∴y＝﹣x+3；（2）若QB∥PE，四边形PQBE是矩形，非梯形，故QB与PE不平行，当QP∥BE时，∠PQE＝∠BEQ，∴∠AQP＝∠CEB，∵AD∥BC，∴∠PAQ＝∠BCE，∴△PAQ∽△BCE，由（1）得：AE＝﹣x+5，PA＝4﹣x，BC＝4，AQ＝x，∴，即，整理得：5（4﹣x）＝16，解得：x＝，∴当x＝时，QP∥BE，而QB与PE不平行，此时四边形PQBE是梯形；（3）存在．分两种情况：当Q在线段AE上时：QE＝AE﹣AQ＝﹣x+5﹣x＝5﹣x，（i）当QE＝PE时，5﹣x＝﹣x+3，解得：x＝；（ii）当QP＝QE时，∠QPE＝∠QEP，∵∠APQ+∠QPE＝90°，∠PAQ+∠QEP＝90°，∴∠APQ＝∠PAQ，∴AQ＝QP＝QE，∴x＝5﹣x，解得：x＝；（iii）当QP＝PE时，过P作PF⊥QE于F，可得：FE＝QE＝（5﹣x）＝，∵PE∥DC，∴∠AEP＝∠ACD，∴cos∠AEP＝cos∠ACD＝，∵cos∠AEP＝＝＝，解得：x＝；当点Q在线段EC上时，△PQE只能是钝角三角形，如图所示：∴PE＝EQ＝AQ﹣AE，AQ＝x，AE＝﹣x+5，PE＝﹣x+3，∴﹣x+3＝x﹣（﹣x+5），解得：x＝．综上，当x＝或x＝或x＝或x＝时，△PQE为等腰三角形．【点睛】此题属于相似综合题，涉及的知识有：矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，平行线的性质，梯形的判定，以及等腰三角形的性质，利用了数形结合及分类讨论的数学思想，分类讨论时要做到不重不漏，考虑问题要全面．6．如图，在正方形中，是上一点，连接.过点作，垂足为.经过点、、，与相交于点.（1）求证；（2）若正方形的边长为，，求的半径.【答案】（1）证明见解析；（2）.【分析】分析：（1）先,证出,再根据四边形是的内接四边形,得到,从而证出结论;(2)连接根据得到,根据得,从而,得,DG=3,利用勾股定理得CG=5,即可求出的半径.【详解】（1）证明：在正方形中，.∴.∵.∴.∴.∴.∵四边形是的内接四边形，∴.又，∴.∴.（2）解：如图，连接.∵，，∴.∴，即.∵，∴.∴.在正方形中，，∴，.∴.∵，∴是的直径.∴的半径为.【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，圆周角定理的推论，正方形的性质．关键是利用正方形的性质证明相似三角形，利用线段，角的关系解题.7．如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点E在AD上，BE与AC交于点F.（1）若AC⊥BE,求AE的长；（2）设△DEF和△DCF的面积分别为S1和S2，当AE=m时,求S1：S2；（3）当AE的长是多少时，△DCF是等腰三角形？【答案】（1）；（2）S1：S2=m(4-m):16；（3）、4、.【分析】（1）利用已知条件，得到，，得到，代入求值可得到AE.（2）过F作BC,AD的垂线，长度分别为h1和h2，根据△AEF∽△CBF和△AGF∽△CBA，得到可以求得代入可得到比值.（3）分三种情况进行讨论，分别是CD=CF=3，DF=CF，DF=CD=3分开讨论即可得到结果.【详解】（1）∵四边形ABCD是矩形;∴△ABE是直角三角形;又∵AC⊥BE,∴∠AFB=90°,∴∠ABE+∠AEB=∠ABE+∠BAC=90°.∴∠AEB=∠BAC∴,∴;∴（2）过F作BC,AD的垂线，长度分别为h1和h2,∵△AEF∽△CBF,∴,∵h1+h2=3,∴又∵△AGF∽△CBA，∴∴∴∴S1：S2=∴S1：S2=m(4-m):16（3）本题分三种情况：①当CD=CF=3时，AF=2，由（1）得AE:BC=AF:FC，∴AE=；②当DF=CF时，F为AC的中点，此时E、D重合，∴AE=4；③当DF=CD=3时，作DM⊥AC于G，则CM=FM=，AF=，由（1）得AE:BC=AF:FC，∴AE=综上，AE=、4、【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定及性质定理，添加合适的辅助线是解题的关键.8．如图，在平面直角坐标系中，A点是（－6，0），B点是（0，8），动点P从点B出发，在BA边上以每秒5个单位的速度向点A作匀速运动，同时动点Q从点O出发，在OB边上以每秒4个单位的速度向点B作匀速运动，设运动时间为t秒（0＜t＜2），连接PQ．（1）如1图，设△BPQ的面积为y，求y与t的函数关系式；（2）如2图，连接AQ、OP，如果AQ⊥OP，求t的值；（3）设PQ的中点为D点，则D点一定在直线________上．

【答案】（1）y=－6t2+12t（0＜t＜2）；（2）；（3）y=4．【详解】分析：（1）作PH⊥OB于H．由题意得到，，由的定义，得到，从而求出；（2）作PH⊥OB于H．由，得到，由△OAQ∽△HOP，得到，解方程即可；（3）由P（－3t，8－4t），Q（0，4t），得到PQ的中点D的坐标，即可得出结论．详解：（1）作PH⊥OB于H．∵A点是（－6，0），B点是（0，8），∴OA＝6，OB＝8．又∵轴⊥轴，∴，由题意得：，∴，又∵，∴，，∴y=－6t2+12t（0＜t＜2）；（2）作PH⊥OB于H．

由上题可知：，∴，∴．∵，∴△OAQ∽△HOP，

∴，∴，∴，∴当时，则有．（3）∵P（－3t，8－4t），Q（0，4t），∴PQ的中点D（－1.5t，4），即点D的纵坐标固定不变，∴D点一定在直线y=4上．点睛：本题考查了相似三角形的判定与性质．由三角形相似得出对应边成比例是解题的关键，此类题目为中考的热点考题之一，应加强训练．9．在Rt△ABC中，AB=BC=5，∠B=90°，将一块等腰直角三角板的直角顶点O放在斜边AC上，三角板的两直角边分别交直线AB、BC于E、F两点．（1）如图①，若O为AC的中点，点E、F分别在边AB、BC上．①当△OFC是等腰直角三角形时，∠FOC=；②求证：OE=OF；（2）如图②，若AO：AC=1：4时，OE和OF有怎样的数量关系？证明你发现的结论．【答案】（1）①90°或45°②证明见解析（2）OF=3OE【详解】试题分析：（1）①分和两种情况，分别写出的度数即可.②连接OB，证明≌即可证明.（2）作于M，于N．首先证明得到再证明得到试题解析：（1）①当∴当时，

故答案为：90°或45°．②证明：如图①中，连接OB．∵∴∴∴∴≌∴（2）结论：．理由如下：作于M，于N．∵∴ON∥BC，∴∵∴∴∴∴∴∵∴∵∴∴点睛：两组角对应相等，两个三角形相似.10．如图1，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点P是线段AD延长线上的一个动点，连接CP，以CP为一边，在CP的左侧作矩形CPFE．（1）若DP＝，①如图1，当矩形CPFE的顶点F恰好落在CD的延长线上，求PF的长；②如图2，求证：点A一定在矩形CPFE的边CE所在的直线上；③如图3，连接EP，易知EP中点O在CP的垂直平分线上，设CP的垂直平分线交BC的延长线于点G，连接BO，求5BO＋3OG的最小值；（2）如图4，若所作矩形CPFE始终保持CE＝CP，在BC的延长线上取一点H，使CH＝2，连接HF，试探究点P移动过程中，HF是否存在最小值，若存在，请直接写出HF的最小值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）①；②见解析；③；（2）存在，最小值为【分析】（1）①利用相似三角形的性质求出DF即可解决问题．②如图2中，连接AC．利用相似三角形的性质证明∠ACP＝90°，推出E，A，C共线即可解决问题．③如图3中，作射线GP，连接BP，过点O作OH⊥GP于H，过点B作B⊥GP于J，设PC交OG于K．证明OH＝OG，推出5BO＋3OG＝5（OB＋OG）＝5（OB＋OH），OB＋OH≥BJ，求出BJ即可解决问题．（2）如图4中，连接AF，CF，过点H作HJ⊥AF于J，交AP于K，过点K作KP⊥BC于P．利用相似三角形的性质证明∠CAF＝90°，推出点F在直线AF上运动，求出HJ，根据垂线段最短解决问题即可．【详解】解：（1）①如图1中，∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝3，∠ADC＝∠CDP＝90°，∵四边形CEFP是矩形，∴∠CPF＝90°，∴∠DCP＋∠CPD＝90°，∠CPD＋∠DPE＝90°，∴∠DCP＝∠DPF，∵∠CDP＝∠PDF＝90°，∴△CDP∽△PDF，∴＝，∴＝，∴DF＝，∴PF＝＝＝．②如图2中，连接AC．∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝4，AB＝CD＝3，∠ADC＝∠CDP＝90°，∴PD＝，∴CD2＝AD•DP，∴＝，∵∠ADC＝∠CDP，∴△ADC∽△CDP，∴∠ACD＝∠DPC，∵∠DCP＋∠CPD＝90°，∴∠ACD＋∠DCP＝90°，∵∠ECP＝90°，∴C，A，E共线，∴点A一定在矩形CPFE的边CE所在的直线上．③如图3中，作射线GP，连接BP，过点O作OH⊥GP于H，过点B作B⊥GP于J，设PC交OG于K．在Rt△CDP中，PC＝＝＝，∵OG垂直平分线段PC，∴CK＝PC＝，GC＝GP，∵∠DCP＋∠GCK＝90°，∠GCK＋∠CGK＝90°，∴∠DCP＝∠CGK，∵∠CKG＝∠CDP＝90°，∴△CDP∽△GKC，∴＝，∴＝，∴CG＝PG＝，∵S△PBG＝×（4＋）×3＝××BJ，∴BJ＝，∵∠ECK＝∠CKG＝90°，∴EC∥OG，∴∠ACB＝∠OGC＝∠OGH，∴tan∠ACB＝tan∠OGH＝，∴sin∠OGH＝＝，∴OH＝OG，∵5BO＋3OG＝5（OB＋OG）＝5（OB＋OH），OB＋OH≥BJ，∴5OB＋3OG≥，∴5OB＋3OG的最小值为．（2）如图4中，连接AF，CF，过点H作HJ⊥AF于J，交AP于K，过点K作KP⊥BC于P．∵＝＝，∴＝，∵∠ADC＝∠FPC＝90°，∴△ADC∽△FPC，∴∠CAD＝∠CFP，∴A，C，P，F四点共圆，∴∠FAP＋∠CPF＝180°，∵∠CPF＝90°，∴∠CAF＝90°，∴点F在直线AF上运动，∵CA⊥AF，HJ⊥AF，∴CA∥KH，∵AK∥CH，∴四边形AKHC是平行四边形，∴AK＝CH＝2，∵∠AKJ＝∠CHJ＝∠BCA，∴tan∠AKJ＝tan∠PHK＝，∴cos∠AKJ＝＝，∴JK＝，∵sin∠KHP＝＝，KP＝AB＝3，∴KH＝5，∴HJ＝KH＋JK＝5＋＝，∵HF≥BJ，∴HF≥，∴FH的最小值为．【点睛】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，垂线段最短等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题．11．实践操作：第一步：如图1，将矩形纸片沿过点D的直线折叠，使点A落在上的点处，得到折痕，然后把纸片展平．第二步：如图2，将图1中的矩形纸片沿过点E的直线折叠，点C恰好落在上的点处，点B落在点处，得到折痕，交于点M，交于点N，再把纸片展平．

问题解决：（1）如图1，填空：四边形的形状是_____________________；（2）如图2，线段与是否相等？若相等，请给出证明；若不等，请说明理由；（3）如图2，若，求的值．【答案】（1）正方形；（2），见解析；（3）【分析】（1）有一组邻边相等且一个角为直角的平行四边形是正方形；（2）连接，由（1）问的结论可知，，又因为矩形纸片沿过点E的直线折叠，可知折叠前后对应角以及对应边相等，有，，，可以证明和全等，得到，从而有；（3）由，有；由折叠知，，可以计算出；用勾股定理计算出DF的长度，再证明得出等量关系，从而得到的值．【详解】（1）解：∵ABCD是平行四边形，∴，∴四边形是平行四边形∵矩形纸片沿过点D的直线折叠，使点A落在上的点处∴∴∵∴四边形的形状是正方形故最后答案为：四边形的形状是正方形；（2）理由如下：如图，连接，由（1）知：∵四边形是矩形，∴由折叠知：∴又，∴∴∴（3）∵，∴由折叠知：，∴∵∴设，则在中，由勾股定理得：解得：，即如图，延长交于点G，则∴∴∴∵，∴∴【点睛】（1）本问主要考查了正方形的定义，即有一组邻边相等且一个角为直角的平行四边形是正方形，其中明确折叠前后对应边、对应角相等是解题的关键；（2）本问利用了正方形的性质以及折叠前后对应边、对应角相等来证明三角形全等，再根据角相等则边相等即可做题，其中知道角相等则边相等的思想是解题的关键；（3）本问考查了全等三角形、相似三角形的性质、角相等则正切值相等以及勾股定理的应用，其中知道三角形相似则对应边成比例是解题的关键．12．如图（1），已知点在正方形的对角线上，垂足为点，垂足为点．（1）证明与推断：求证：四边形是正方形；推断：的值为__；（2）探究与证明：将正方形绕点顺时针方向旋转角，如图（2）所示，试探究线段与之间的数量关系，并说明理由；（3）拓展与运用：若，正方形在绕点旋转过程中，当三点在一条直线上时，则．【答案】（1）证明见解析；；（2）线段与之间的数量关系为；（3）或【分析】（1）①由、结合可得四边形CEGF是矩形，再由即可得证；②由正方形性质知、，据此可得、，利用平行线分线段成比例定理可得；（2）连接CG，只需证即可得；（3）由（2）证出就可得到，再根据三点在同一直线上分在CD左边和右边两种不同的情况求出AG的长度，即可求出BE的长度．【详解】（1）证明：四边形是正方形，四边形是矩形，四边形是正方形；解：由①知四边形CEGF是正方形，∴∠CEG=∠B=90°，∠ECG=45°，∴，GE∥AB，∴故答案为：．（2）如下图所示连接由旋转性质知在和中，，线段与之间的数量关系为；（3）解：当正方形在绕点旋转到如下图所示时：当三点在一条直线上时，由（2）可知，，∠CEG=∠CEA=∠ABC=90°，，当正方形在绕点旋转到如下图所示时：当三点在一条直线上时，由（2）可知，，∠CEA=∠ABC=90°，，故答案为：或．【点睛】本题考查了正方形的性质与判定，相似三角形的判定与性质等，综合性较强，有一定的难度，正确添加辅助线，熟练掌握正方形的判定与性质、相似三角形的判定与性质是解题的关键．13．如图，在△ABC中，∠B＝45°，BC＝5，高AD＝4，矩形EFPQ的一边QP在BC边上，E、F分别在AB、AC上，AD交EF于点H．（1）当矩形EFPQ为正方形时，求正方形的边长；（2）设EF＝x，当x为何值时，矩形EFPQ的面积最大？并求出最大面积；（3）当矩形EFPQ的面积最大时，该矩形EFPQ以每秒1个单位的速度沿射线BC匀速向右运动（当矩形的顶点Q到达C点时停止运动），设运动时间为t秒，矩形EFPQ与△ABC重叠部分的面积为S，求S与t的函数关系式，并写出t的取值范围．【答案】（1）当矩形EFPQ为正方形时，边长为；（2）当x=时，矩形EFPQ的面积最大，最大面积为5；（3）当0≤t≤时，S=5-2t2；当＜t＜2.5时，S＝-2t；当2.5≤t≤3时，S＝2t2-12t+18【详解】分析：（1）由条件可得，即，计算即可.（2）可利用用x表示出EH．表示出矩形EFPQ的面积，利用二次函数可求得其最大值；（3）分0≤t≤，，2.5≤t≤3三种情况进行讨论即可.详解：(1)∵四边形EFPQ为矩形，∴EF∥BC，，即，解得∴当矩形EFPQ为正方形时，边长为.即当x为时，矩形EFPQ为正方形；（2）∵∠B=45°，∴，∴∵EF∥BC，∴△AEH∽△ABD，∴，∵EF∥BC，∴△AFH∽△ACD，∴，∴，即，∴，已知EF=x，则EH=．∵∠B=45°，∴=4﹣．S矩形EFPQ∴当x=时，矩形EFPQ的面积最大，最大面积为5．（3）如图①，当0≤t≤时

设EF交AC于M点，FP交AC于N点，∵△MNF∽△CAD，∴，即，∴FN=4t，∴S=5-t·4t，

=5-2t2如图②，当时设EF交AC于M点，过C作CN⊥EF于N点，∵△CNM∽△ADC∴，即，∴MN=，∴FN=t-，∴S=5-（t-+t），=-2t，如图③，当2.5≤t≤3时设EQ交AC于N点，∵△CQN∽△CDA∴，即，∴NQ=12-4t，∴S=(3-t)(12-4t)=2t2-12t+18点睛：本题是四边形的综合题，考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质、矩形的性质以及二次函数等知识此题综合性较强，难度较大，注意掌握辅助线的作法，注意分类讨论思想的应用．14．如图1，在长方形纸片ABCD中，AB=mAD，其中m⩾1，将它沿EF折叠(点E.

F分别在边AB、CD上)，使点B落在AD边上的点M处，点C落在点N处，MN与CD相交于点P，连接EP.设，其中0<n⩽1.(1)如图2，当n=1(即M点与D点重合)，求证：四边形BEDF为菱形；(2)如图3，当(M为AD的中点)，m的值发生变化时，求证：EP=AE+DP；(3)如图1，当m=2(即AB=2AD)，n的值发生变化时，的值是否发生变化?说明理由.【答案】(1)证明见解析；（2）证明见解析；(3)值不变，理由见解析.【详解】试题分析：（1）由条件可知，当n=1（即M点与D点重合），m=2时，AB=2AD，设AD=a，则AB=2a，由矩形的性质可以得出△ADE≌△NDF，就可以得出AE=NF，DE=DF，在Rt△AED中，由勾股定理就可以表示出AE的值，再求出BE的值就可以得出结论.（2）延长PM交EA延长线于G，由条件可以得出△PDM≌△GAM，△EMP≌△EMG由全等三角形的性质就可以得出结论.（3）如图1，连接BM交EF于点Q，过点F作FK⊥AB于点K，交BM于点O，通过证明△ABM∽△KFE，就可以得出，即，由AB=2AD=2BC，BK=CF就可以得出的值是为定值．（1）∵四边形ABCD是矩形，∴AB=CD，AD=BC，∠A=∠B=∠C=∠D=90°．∵AB=mAD，且n=2，∴AB=2AD．∵∠ADE+∠EDF=90°，∠EDF+∠NDF=90°，∴∠ADE=∠NDF．在△ADE和△NDF中，∠A＝∠N，AD＝ND，∠ADE＝∠NDF，∴△ADE≌△NDF（ASA）.∴AE=NF，DE=DF．∵FN=FC，∴AE=FC．∵AB=CD，∴AB-AE="CD-CF."∴BE="DF."∴BE=DE．Rt△AED中，由勾股定理，得，即，∴AE=AD.∴BE=2AD-AD=.∴.（2）如图3，延长PM交EA延长线于G，∴∠GAM=90°．∵M为AD的中点，∴AM=DM．∵四边形ABCD是矩形，∴AB=CD，AD=BC，∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AB∥CD.∴∠GAM=∠PDM．在△GAM和△PDM中，∠GAM＝∠PDM，AM＝DM，∠AMG＝∠DMP，∴△GAM≌△PDM（ASA）.∴MG=MP.在△EMP和△EMG中，PM＝GM，∠PME＝∠GME，ME＝ME，∴△EMP≌△EMG（SAS）.∴EG=EP.∴AG+AE=EP.∴PD+AE=EP，即EP=AE+DP.（3），值不变，理由如下：如图1，连接BM交EF于点Q，过点F作FK⊥AB于点K，交BM于点O，∵EM=EB，∠MEF=∠BEF，∴EF⊥MB，即∠FQO=90°.∵四边形FKBC是矩形，∴KF=BC，FC=KB.∵∠FKB=90°，∴∠KBO+∠KOB=90°.∵∠QOF+∠QFO=90°，∠QOF=∠KOB，∴∠KBO=∠OFQ.∵∠A=∠EKF=90°，∴△ABM∽△KFE.∴即.∵AB=2AD=2BC，BK=CF，∴.∴的值不变．考点：1.折叠问题；2.矩形的性质；3.全等三角形的判定和性质；4.勾股定理；5.相似三角形的判定和性质．15．如图1，点M放在正方形ABCD的对角线AC(不与点A重合)上滑动，连结DM，做MN⊥DM,交直线AB于N．(1)求证：DM=MN；(2)若将(1)中的正方形变为矩形，其余条件不变如图，且DC=2AD，求MD:MN的值；(3)在(2)中，若CD=nAD，当M滑动到CA的延长线上时(如图3)，请你直接写出MD：MN的比值．

【答案】（1）见解析；（2）：；（3）：.【分析】（1）过M作MQ⊥AB于Q，MP⊥AD于P，则∠PMQ=90°，∠MQN=∠MPD=90°，根据ASA即可判定△MDP≌△MNQ，进而根据全等三角形的性质得出DM=MN；（2）过M作MS⊥AB于S，MW⊥AD于W，则∠WMS=90°，根据∠DMW=∠NMS，∠MSN=∠MWD=90°，判定△MDW∽MNS，得出MD：MN=MW：MS=MW：WA，再根据△AWM∽△ADC，DC=2AD，即可得出MD：MN=MW：WA=CD：DA=2；（3）过M作MX⊥AB于X，MR⊥AD于R，则易得△NMX∽△DMR，得出MD：MN=MR：MX=AX：MX，再由AD∥MX，CD∥AX，易得△AMX∽△CAD，得出AX：MX=CD：AD，最后根据CD=nAD，即可得出MD：MN=CD：AD=n．【详解】证明：过M作于于P，则，，，是正方形，平分，，在和中，，≌，；过M作于于W，则，，，又，∽MNS，：：：WA，，，∽，又，：：：；：，理由：过M作于于R，则易得∽，：：：MX，由，易得∽，：：AD，又，：：．【点睛】相似形综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质以及正方形、矩形的性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形或相似三角形，运用相似三角形和全等三角形的性质进行推导即可．16．如图，正方形AEGH的顶点E、H在正方形ABCD的边上，直接写出HD：GC：EB的结果______；将图中的正方形AEGH绕点A旋转一定角度，如图，求HD：GC：EB；把图中的正方形都换成矩形，如图，且已知DA：：，求此时HD：GC：EB的值简要写出过程．【答案】（1）1：：1；（2）1：：1；（3）有变化；：：1．【详解】分析：延长HG交BC于F，由正方形AEGH和正方形ABCD，易证得，可得是等腰直角三角形，即可求得HD：GC：EB的值；连接AG、AC，由和都是等腰直角三角形，易证得∽与≌，利用相似三角形的对应边成比例与正方形的性质，即可求得HD：GC：EB的值；由DA：：：1，易证得∽，∽，∽，利用相似三角形的对应边成比例与勾股定理即可求得HD：GC：EB的值．详解：如图，延长HG交BC于F，四边形AEGH和ABCD都是正方形，，，，，即，，四边形GEBF是矩形，，同理可得，，是等腰直角三角形，：GC：：：1；故答案为1：：1；连接AG、AC，和都是等腰直角三角形，：：：，，，∽，：：：，，，在和中，，≌，，：G