24．2.2　直线和圆的位置关系(2) 课件 2023-2024学年人教版数学九年级上册

12课前预习课堂学练24．2.2直线和圆的位置关系(2)3分层检测1．（1）切线的判定定理：经过半径的

并且

于这条半径的直线是圆的切线．

（2）几何语言：

∵

，∴

．外端垂直AB⊥OAAB是⊙O的切线利用平行证切线知识点1：1．【例】已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作DE⊥AC于点E.求证：DE是⊙O的切线．

证明：连接OD，则OD＝OB，∴∠B＝∠ODB.∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.∴∠ODB＝∠C.∴OD∥AC.又∵DE⊥AC，∴∠ODE＝∠DEC＝90°，∴OD⊥DE，∴DE是⊙O的切线．2.如图，以△ABC的BC边为直径的⊙O交AB于点D，点D是AB的中点，过点D作DE⊥AC于点E，交BC的延长线于点F.

（1）求证：AC＝BC；

证明：(1)连接CD，∵BC是⊙O的直径，∴CD⊥AB，又点D是AB的中点，∴AC＝BC；（2）求证：DF是⊙O的切线．

(2)连接OD；∵AC＝BC，∴∠B＝∠A，∵OB＝OD，∴∠B＝∠ODB，∴∠ODB＝∠A，∴OD∥AC.又∵DE⊥AC，∴OD⊥DF，∴DF是⊙O的切线．3.如图，AB为⊙O直径，点C在⊙O上，AC平分∠DAB，AD⊥DE于D.

求证：DE为⊙O切线．

证明：连接OC，∵AC平分∠DAB，∴∠BAC＝∠DAC，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，∴∠DAC＝∠OCA，∴OC∥AD，又∵AD⊥DE，∴OC⊥DE，∴DE是⊙O的切线．4.如图，BF为⊙O的直径，直线AC交⊙O于A、B两点，点D在⊙O上，BD平分∠OBC，DE⊥AC于点E.

求证：直线DE是⊙O的切线．

证明：如图所示，连接OD，∵OD＝OB，∴∠ODB＝∠OBD，∵BD平分∠OBC，∴∠OBD＝∠DBE，∴∠ODB＝∠DBE，∴OD∥AC，又∵DE⊥AC，∴OD⊥DE，∴DE是⊙O的切线．5．【例】如图，AB是⊙O的直径，BC⊥AB于点B，弦AD∥OC.

求证：CD是⊙O的切线．

利用全等证切线知识点2：证明：连接OD，∵BC⊥AB，∴∠CBO＝90°，∵AD∥OC，∴∠ADO＝∠COD，∠A＝∠COB，∵OA＝OD，∴∠A＝∠ADO，∴∠COD＝∠COB，又OD＝OB，OC＝OC，∴△COD≌△COB(SAS)，∴∠CDO＝∠CBO＝90°，即DC⊥OD，∴CD是⊙O的切线．6.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为直径

的⊙O与AB边交于点D，E为BC的中点，连接DE.

求证：DE是⊙O的切线．

证明：连接OD、OE，∵点O、E分别是AC、CB的中点，∴OE∥AB.∴∠COE＝∠OAD，∠DOE＝∠ODA，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∴∠DOE＝∠COE，又OD＝OC，OE＝OE，∴△DOE≌△COE(SAS)，∴∠ODE＝∠OCE＝90°，即OD⊥DE，∴DE是⊙O的切线．7.如图，△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC

于点D，DE⊥AC于E.

（1）若∠ABC＝30°，AB＝4，求BC的长；

A基础（2）求证：直线DE是⊙O的切线．

(2)证明：连接OD，则OD＝OB，∴∠B＝∠ODB.∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.∴∠ODB＝∠C.∴OD∥AC.又∵DE⊥AC，∴OD⊥DE，∴DE是⊙O的切线．8.如图，AB是⊙O的直径，点F在⊙O上，∠BAF的平分线AE交⊙O于点E，过点E作ED⊥AF，交AF的延长线于点D，延长DE、AB相交于点C.

（1）若∠C＝30°，DE＝3，求CE的长；

(1)解：∵AD⊥CD，∠C＝30°，AE平分∠CAD，∴∠CAE＝∠DAE＝30°，∴AE＝2DE＝6，∴CE＝AE＝6；（2）求证：CD是⊙O的切线．(2)证明：连接OE，∵OA＝OE，∴∠OAE＝∠OEA，∵AE平分∠BAF，∴∠OAE＝∠DAE，∴∠OEA＝∠DAE，∴OE∥AD，又∵DE⊥AD，∴OE⊥DE，∴CD是⊙O的切线．9.如图，矩形ABCD中，点E是CD边的中点，以AE为直径的⊙O与AB交于点F，过点F作FG⊥BE于点G.

（1）求证：△ADE≌△BCE；

B提升证明：(1)∵四边形ABCD为矩形，∴AD＝BC，∠D＝∠C＝90°，又∵点E是CD边的中点，∴DE＝CE，∴△ADE≌△BCE(SAS)；（2）求证：FG是⊙O的切线．(2)连接OF，由(1)得△ADE≌△BCE，∴AE＝BE，∴∠EAB＝∠EBA.∵OA＝OF，∴∠EAB＝∠OFA.∴∠OFA＝∠EBA，∴OF∥EB，又∵FG⊥BE，∴OF⊥FG，∴FG是⊙O的切线．10.如图，四边形ABCD为矩形，E为BC边中点，连接

AE，以AD为直径的⊙O交AE于点F，连接CF，OC.

（1）求证：四边形OAEC是平行四边形；

证明：(1)∵四边形ABCD为矩形，∴AD＝BC，AD∥BC，∵O、E分别是AD、BC的中点，∴OA＝CE又OA∥CE，∴四边形OAEC是平行四边形；（2）求证：CF是⊙O的切线．

(2)连接OF，由(1)得四边形OAEC是平行四边形，∴OC∥AE.∴∠COD＝∠OAF，∠COF＝∠OFA，∵OA＝OF，∴∠OAF＝∠OFA，∴∠COF＝∠COD，又OF＝OD，OC＝OC，∴△COF≌△COD，∴∠OFC＝∠ODC＝90°，即OF⊥CF，∴CF是⊙O的切线．11.如图，⊙O是△ABC的外接圆，AC为直径，弦BD＝BA，BE⊥DC交DC的延长线于点E，求证：（1）∠BCE＝∠BCA；C培优证明：(1)∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠BCD＋∠BAD＝180°，又∠BCD＋∠BCE＝180°，∴∠BCE＝∠BAD，∵BD＝BA，∴∠BAD＝∠BDA＝∠BCA，∴∠BCE＝∠BCA；（2）B