2024届九省联考T19数学压轴100题及答案

九省联考压轴通关100题．离散对数在密码学中有重要的应用．设p是素数，集合X,p1u,vX,mN为除以p的余数，uvum为um除以p的余数；设aX，a,a2,,,ap2,两两不同，若an,，则称n是以a为底b的离散对数，记为bn,p2np)ab．(1)若pa2，求ap；(2)对m,m,pmm为mm除以p1mm能12121212被p1整除时，mm0log(p)blog(p)ablog(p)acc12a中,cX；(3)已知np)b．对xX,k,p，令yak,yxbk．证a12明：xy2np2,．A:a,a,a(n4)满足：aaniccRni12ni称此数列具有性质Pc.(1)若数列A:a,a,2,6具有性质，求a,a,c的值；Pc2323(2)设数列A具有性质Paaa,na,a01i,jn012nij时，存在正整数k，使得aaa，求证：数列A为等差数列；jikn(3)把具有性质a2k1a2km（kN*,k2,mPcA构成的集合记作cn,m.求出所有的n，使得对任意给定的,c，时，数列A中一定有相同的两项，即存在当数列ATn,mcn.iaij,1i,jj．给定正整数n2，对于一个由n个非负整数构成的数列A：a,a,,a，如果存在非负整数x，x,x,,x，使得xx0，且12n012n0nkk1xk,n，则称数列“数列”.AFk第1页共249页（14和A242是否为“F数列；n1为定值；k1ak（）若数列：a,a,,a为“数列”，求证：AF12nk1（n…n的一个排列a,a,,a，A12n且“数列”.AF1．已知数列a是正项等比数列，b是等差数列，且ab2，nn1ab，aa，2453(1)求数列a和b的通项公式；nnn22(2)x表示不超过x的最大整数，4n表示数列b的前项和，nn1Tb集合An4nn2,nN*共有4个元素，求范围；an24n1n,n2kkN(3)nc的前n项和为Sn2na2n2nnnNab,nk,kn252n2n11839S2n4．．已知Q:a,a,,a为有穷正整数数列，且a≤a≤≤a，集合12k12kX0,1xX,i,kxaxaxatt为i1122kk∣为可表xa,xX,i,kkkTtt112a2kki集．(1)若ki2i1,i,k311024是否为k可表数，并说明理由；31k(2)若,T，证明：n；2(3)设ii1,i,k，若,2024T，求k的最小值．1n．已知数列an}满足an1f(a).(1)若f(x)xAsin(πx)的值，使数列a}为等差数列；An2(2)若f(x)xx2，求证：an2n1；第2页共249页444(3)2an}aa…a]]]e(22(32(n2N312NTxxaa,1ijN，记T的元素个数为PT．ji(1)①若数列：，，，，求集合T，并写出PT的值；②若数列1x3xy，PT3A和集合；(2)若A“PTN1”的充要条件是“A为等差数列；(3)请你判断PT是否存在最大值，并说明理由．．如果无穷项的数列an}满足“对任意正整数i,j,ij，都存在正整数k，使得aaa”，则称数列a}具有“性质”．kijn(1)若数列a}a2d3a}是否n1n具有“性质，并说明理由；(2)若等差数列a}具有“性质”a为首项，a0dn11且；d≥0(3)若等比数列a具有“性质”，公比为正整数，且16,315,414,615这n四个数中恰有两个出现在an求出相应数列首项的最小值，说明理由．．设正整数数列，a2，，满足aa，其中1ijN.aN(NijA:1如果存在k，，，N}，使得数列A中任意k项的算术平均值均为整数，则称A“k阶平衡数列”(1)判断数列，，，，10和数列，，，，17是否为“4阶平衡数列”？(2)若NA:1，，N不是“k阶平衡数列”，其中k{2,3,,N}第3页共249页(3)如果ak{2,3,,N}，数列均为“k阶平衡数AN列，求数列A中所有元素之和的最大值．10．给定正整数N3，已知项数为m且无重复项的数对序列A：ix,y,x,y,,x,y满足如下三个性质：①x,y,N，且1122mmiyi,m；②i1ii,m；③,q与,p不同时在数ii对序列A中.(1)当3，m时，写出所有满足x1的数对序列；N3A1(2)当N6时，证明：m；(3)当N为奇数时，记m的最大值为TN，求TN.a的前项和为Snnnn数m，使得Sa，则称a是“数列”．Hnmnn1(1)若数列an，bn1，判断a和b是否是“数列”；H2n1,n2nnn(2)设a是等差数列，其首项a1，公差d0．若a“数列”，nHn1求d的值；nn(3)证明：对任意的等差数列a，总存在两个“数列”b和c，HnnN*使得abcn成立．nnanN．12．在数列a中，若a21，且an2an1n*n1(1)试写出数列a的前六项．n(2)求出a中另两个可被5整除的项，并指出分别是第几项．n(3)指出a中可被5整除的项出现的规律，并说明理由．n(4)a,aa不出现5的倍数？为12n什么？(5)a,aa中不出现5的倍数？试找出其中12n第4页共249页a,a取数规律，并说明理由．1213．约数，又称因数.它的定义如下：若整数a除以整数mm0除a为mm为a的约数.设正整数a共有k个正约数，即为a,a,,ak1,ak2a.ka121(1)当k4a的ka的值；(2)当时，若aa,aa,,aa构成等比数列，求正整数a；k42132kk1(3)记Aaaaaaa，求证：.Aa21223k1k14．设m为给定的正奇数，定义无穷数列：Am1aa为偶数1n12nn.其中N若a是数列A中的项，则记作km*a为奇数anmaA.km(1)若数列的前6m的最小值及此时数列的前6Am项；(2)求证：集合Bk∣aA,a2m是空集；kmk*∣正奇数,xS（若m为任xxA,Sx(3)记集合SmmmS意的正奇数，求所有数列A的相同元素构成的集合.）Sm15．数列anN*有100项，1a，对任意n[2,100]，存在naad,1in1,若a与前n项中某一项相等，则称a具有性质．nikk(1)若ad2，写出a所有可能的值；==14n(2)若aa中存在某些项具有性质P;n(3)若a中恰有三项具有性质，这三项和为c，请用c表示naaa．12100第5页共249页16．若数列a满足：anN，且11，则称a为一个数*Xnnn列．对于一个数列a，若数列b满足：b1，且Xnn1an12n1ann,nN，则称b为a的伴随数列．nn*(1)若数列a中，a3a41b中b,b,b的Xn2n234值；nn(2)若a为一个数列，b为a的伴随数列Xnn①证明：“a为常数列”“b为等比数列的充要条件；n②求2023的最大值．17．已知a是无穷数列，aa，a2ba中任意两项a，n1niai)，在a中都存在一项a(jk2)，使得aai.jjnkk(1)若，，求a；a3b53(2)若a=b=0，求证：数列a中有无穷多项为；n(3)若，求数列a的通项公式.abn18ta满足a123aaant（n1nNnn1则称数列a“Ht数列n(1)判断数列：123849是否为“H数列”，并说明理由；(2)若数列a是首项为的“Ht数列”列ban2nnn与b满足2aaaalog2n，求t的值和数列b的通项公式；nn123ni1(3)若数列a“Ht数列”，S为数列a的前项和，a1，t0n，nnn1试比较a与a1的大小，并证明tSSneSnn.nnn119l:ym（i2,3:y28x交于ii点ABTt,0)为xmmmt到直线l的Tii123i距离为d，△TAB的面积为Si．iii(1)若直线l的倾斜角为，且过抛物线的焦点，求直线l的方F33第6页共249页程；(2)若OA1OB10，且0，证明：直线l过定点；11312(3)当k1时，是否存在点，使得S，，S成等比数列，d，d，T1S2d3也成等比数列？若存在，请求出点T理由．n20．已知数列a是首项为1的等差数列，数列b是公比不为1n的等比数列，满足aab，aab，aab．122233454(1)求a和b的通项公式；nnn(2)求数列ab的前项和S；nnnndk2k(3)若数列d满足d1ddbTm，n1nn1nni1d使得对任意的nN*都有1nn2成立？若存在，求出m的值；2n若不存在，说明理由．21m(m的有穷数列aa223m1m，n1P则称a为“数列”.n(1)已知数列a、b的通项公式分别为an2n4)，nnnn1Pnn.分别判断a、b是否为“数列”2nn(2)已知“数列”a,a,,a的各项互不相同，且，a2.若P1201210Pa,a,,a也是“数列，求有穷数列a的通项公式；91n(3)已知“数列”a是2,3,,m的一个排列（即数列a中的项不计Pnn2,3,,maaaaamm1m1223m1的所有可能值.22．设数集S满足：①任意，有②对任意x，yS（，xSx0yxyS或xyS，则称数集S具有性质．第7页共249页6和B6是否具有性质，并说明理由；(1)判断数集A(2)若数集Ba,a,a且aain具有性质．12nii1（）当n4时，判断a,a,a,a是否一定构成等差数列，说明理由；1234（ⅱ）若n100，数集B中的每个元素均为自然数且n2023，求数集B中所有元素的和的所有可能值．23．设k,m是正整数，如果存在非负整数a,a,a,c,c,c使得12k12kk，则称m是好数，否则称m是坏数．例如：kkm(iii12(020(002，所以2是2好数．(1)分别判断22,24是否为3好数；m(2)若m是偶数且是m是k是好数；kk2(3)求最少的2023坏数．nn24a}是等差数列，数列b}a1，nn1的前n项和为Sn.若2nSn2n1n2对任意的nN*恒成立.（）求数列a}，b}的通项公式；nnb,,（）若数列c}满足cn.问：是否存在正整数m，使得nna,nnccm187，若存在求出m的值，若不存在，说明理由；mm1（､公差为d的无穷等差数列dn}的所有可da，且存在正整数k，使得d,d,d成等比数列，求d1k能的值.25．已知A：a,a,,an4为有穷数列.若对任意的i,n，n12n都有i1ai1（规定aaA具有性质.设P0nn.1,2jin2i,j,nni,jaaji(1)判断数列410.1，-0.2，0.5，A5：，，，1.2，2是否第8页共249页具有性质?若具有性质P，写出对应的集合Tn；(2)若A具有性质，证明：T；P44(3)给定正整数n，对所有具有性质的数列A，求中元素个数的nPn最小值.2i1△i为△26．对于数列a定义ai1a为a的差数列，iniina的累次差数列.如果a的差数列满足iaj，i,jN,ij，△*nn△2△2则称a是“绝对差异数列a的累次差数列满足iaj，nni,j*n，则称a是“累差不变数列(1)设数列1，，10，，；：，5232A2断数列1和数列A是否为“绝对差异数列或“累差不变数列”写出你的结论；(2)若无穷数列a既是“绝对差异数列”又是“累差不变数列”，且n1△2a的前两项a0a2a，i（d为大于0nn的通项公式；(3)已知数列：b,b,,2n1,2n是绝对差异数列”，且B12.,2n,.4,2n证明：b2nn的充要条件是1b,b,,2n12b,b,2n27．设数列a,b的前项和分别为A,B，且nnnnn2aAa,B2b．nnn1n3(1)求a和b的通项公式；nncnn(2)设12,nnab21n112abn2n的前n项和为Sn，；b2证明：①Sn12nb1nnn2．②Sn第9页共249页28Aa,a,aaN*且naaaa，nN123n123nk，都有若对任意的,yAxyyx，则称集合具有性质M.Ak(1)集合Aa具有性质M3，求a的最小值；11n1(2)已知具有性质M，求证：；A151an15(3)已知具有性质M，求集合中元素个数的最大值，并说明理AA15由.29．对于数集X（n2x,x,,xn120xxxa,bXc,dXacbd0，12n则称X具有性质．112(1)若0x，且集合,具有性质，求x的值；2(2)若X具有性质，求证：；且若x1成立，则x1；1Xn1(3)若X具有性质，且x，求数列x,x,,x的通项公式．n12na230．已知数列a满足aan1n，且121n1nnan2(1)求数列a的通项公式.n111(2)设f(x)1xxx2xnxnN)e是自然对数的*n!xn1底数，求证：0f()(n!1(3)设S为数列的前n存在“极限”{Sn}nan存在一个确定的实数S，使得对任意正实数u都存在正整数m满足当nm时，SnSu（可以证明SS称为数列{Sn}的极限.试根据以上叙述求出数列{Sn}的极限.31a：a，a…，an4满足：a1，am，aak0或n12n1nk1（k1…，isaaaa，n1ijst,,,且两两不相等．其中ijst,n第10页共249页(1)若m2，直接写出下列三个数列中所有符合题目条件的数列的序号：①，，，，，；11112222③，，，，，，，，2(2)记Saaa，若，证明：；m3S12n(3)若，求n的最小值．m202232．给定正整数k，其中2，如果有限数列a同时满足mkna为(k,m)(k,m)数列的项数的最小n值为G(k,m)．条件①：a的每一项都属于集合,k；nm条件②,k中任取列都是a的子列．na中选取第ii项、ii21…5n125新数列a,a,,a称为a的一个子列．i3i2i5n(1)分别判断下面两个数列，是否为(3数列．并说明理由！数列12,3；数列22,3,．(2)求Gk,2的值；k23k4(3)求证G(k,k)．233A:a,a,aNN,N3满足ai,N.12Ni给定正整数s,t(st)k,m，都有asktk，则称数列A是-连续等项数列.(1)判断数列A1,0,1,0,是否是3-连续等项数列，并说明理由；(2)若项数为N的任意数列A2-N的最小值；第页共249页(3)若数列A:a,a,,a不是4-A:a,a,,a,1，12N112N数列A:a,a,,a,0与数列A:a,a,,a,1都是4-连续等项数列，且212N312Na0，求a的值.3N34．设a为无穷数列，给定正整数k(k，如果对于任意，nN*n都有an2ka2a，则称数列a具有性质P(k)．nnkn(1)判断下列两个数列是否具有性质P(2)①等差数列：，，，…②等比数列：，，，．AB(2)已知数列a具有性质11a22P(2)n的集合anNZ，求a的通项公式；*nn(3)若既具有性质P(6)又具有性质P(k)的数列a一定是等差数列，n求k的最小值．iSinnN(i)*35a的前项和为S项积n，nn则称数列a“数列”.Zn(1)判断下列数列是否是Z①488，2440，56(2)若数列a是数列，且.求S和T；Za22n33(3)是否存在等差数列是Z数列？请阐述理由.n36aa的前项和为S，nnn记S,S,,S中奇数的个数为b．12nn(1)若an，试写出数列b的前5项；nn(2)证明：“aai2,3,为偶数是“数列b为严格增数1in列的充分非必要条件；biin（a的通项公式．i(3)若a37．已知数列a．给出两个性质：n第12页共249页a,aijn①对于a中任意两项，在a中都存在一项a，使得nijkaaa；kij②对于a中任意连续三项a，a，a，均有nnn1n212an1an20．anan1an2an(1)分别判断以下两个数列是否满足性质，并说明理由：a21n；（）有穷数列a：nnbnn)（ⅱ）无穷数列b：．nn(2)若有穷数列a满足性质和性质②nm的最大值；(3)若数列a满足性质①和性质②a0，a21，32n1n的通项公式．38．设a,a,a,a是各项为正数且公差为dd0的等差数列1234(1)证明：2,2,2,2依次成等比数列；aaaa1234(2)是否存在a,d，使得a,a22,334,a4依次成等比数列，并说明理由；11(3)是否存在1,d及正整数,k1,ank,n2k,an3k依次成等比数列，n并说明理由．39a,b的项数均为m(m2)an,n2,,},a,bnnnn的前n项和分别为A,B，并规定AB0．对于k,，定nn00∣,，其中，M表示数集M中最大的义riBA,ikik数.(1)若aaabbb，求r,r,r,r的值；1231230123(2)若ab，且2rrr,j,m，求r；11jj1j1n(3)证明：存在p,q,s,t,，满足p,st,使得ptqs．40．如图为一个各项均为正数的数表，记数表中第i行第j列的数第13页共249页为ai,j，已知各行从左至右成等差数列，各列从上至下成公比相同的等比数列.1…620(1)若ai,j，求实数对i,j；(2)证明：所有正整数恰在数表中出现一次.41．悬链线是平面曲线，是柔性链条或缆索两端固定在两根支柱顶部，中间自然下垂所形成的外形．在工程中有广泛的应用，例如悬索桥、架空电缆都用到了悬链线的原理，经过很长时间的探17xcxcc的方程是yeecc1时，2exex称为双曲线余弦函数．x2(1)解方程x3；(2)双曲余弦函数的导数成为双曲正弦函数，记作x求x3x的最小值；时，x0n2n(3)已知n，求数列a）3e3n2k1k11a4,,1k,k，即当42．设数列nk个k1kkk1时，．记Sn12Lnn*．k1knkN*an223(1)写出1，S2，S，S4；bSk(2)令，求数列k的通项公式；kk2第14页共249页Snan(3)对于l*，定义集合PnZ,nN*,1nl，求集合P中元l2023素的个数．43．已知a是由非负整数组成的无穷数列．该数列前n项的最大n值记为A，第n项之后各项an1,an2的最小值记为B，dAB．nnnnn(1)若a为2,4,2,4,，4nN*nan4ad，d，d，d的值；n1234(2)设d是非负整数．证明：dnd（n）的充分必要条件为{an}是公差为d的等差数列；(3)12，dn有无穷多项为1．1（na}的项只能是或者n12,m3的数列a，其中ai,m.44．给定项数为mmN*nik若存在一个正整数k2km1，若数列a中存在连续的项和该nk数列中另一个连续的k项恰好按次序对应相等，则称数列a“n阶可重复数列”a:0.因为a,a,a,a与a,a,a,a按n12344567次序对应相等，所以数列a是“4阶可重复数列”.n(1)分别判断下列数列①b:0.n②c.n是否是“5阶可重复数列”？如果是，请写出重复的这5项；(2)若项数为m的数列a一定是“3阶可重复数列”，则的最小值mn是多少？说明理由；(3)假设数列a不是阶可重复数列”a后再添nm加一项0或，均可使新数列是“5阶可重复数列”，且a41，求数第15页共249页列a的最后一项a的值.nm45a满足aak1k2,3,,n1n2a为nk1n数列.记Saaaa.n123n(1)写出一个满足aa1，且S5的数列；155(2)若an，证明：数列a是递增数列的充要条件是1nn2023；(3)对任意给定的整数nn3，是否存在首项为1的数列a，使n得S1数列ann说明理由.46n、a、均为正整数，且nab，p为一素数，n、a、的bbsssp进制表示分别为nnipiaaipibip，其中，ii0i0i00nabp1i、、,s.证明：iiisdipdii,s，且对整数j0js均有（）若nii0nsdipippi1ijx表示不超过实数x的最dippjijijij大整数.（）pn!ab!╲|n!ab!iabni,s，其中，A表示iii,p1集合A中元素的个数.47．已知有穷数列A:aaa(n中的每一项都是不大于n的正12n整数.对于满足1mn的整数mAm.kakm，k2，n记集合(m)中元素的个数为s(m)（约定空集的元素个数为）.(1)若(2)若，求及s；A:63253755111n，求证：a,a,,a互不相同；12ns(1)s(a2)s(an)(3)已知aa,abijiijn)都有i或，j(i)12第16页共249页ij(a)，求aaa的值.j12n(n)，48．已知无穷数列a满足aa,aa,annn1n2n1n2其中max{x,y}表示y中最大的数，min{x,y}表示xy中最小的数.(1)当11，时，写出a的所有可能值；a224n(2)若数列a中的项存在最大值，证明：0为数列a中的项；n(3)若an0(n)Mn，都有anMM明理由.49．设为整数．有穷数列a的各项均为正整数，其项数为mn数列：①am1，（m2a满足如下两个性质，则称a为Pnna1,an为奇数,n且ii,m；②an1(n,man,an为偶数2(1)若a为P数列，且a5，求；n11(2)若a为1数列，求1的所有可能值；n(3)若对任意的P数列a，均有m2log2ad，求d的最小值．1n150．已知等比数列a的公比为（q1，ndd0CAB，等差数列b的公差为（n集合C中的所有元素按从小到大排列构成首项为1的数列c．n(1)若集合C4,5,6,7,9}，写出一组符合题意的数列a和b；nnN，数列b为无穷数列，，且数列n的2nABn(2)若nn1*前5项成公比为p的等比数列．当ba时，求p的值；15(3)若数列b是首项为1的无穷数列，求证：存在无穷数列a，nn使AB”的充要条件是“d是正有理数．第17页共249页51A:x,x,x,,x.设集合Aiikk,i,n,n，k012nA如果对任意的整数k0kn都有集合A的元素个数等于xkk为完美数列”(1)分别判断数列A:2,0,2,0和A0,1是否为“完美数列”，直接写出12结论：(2)若是“完美数列”，求证：x2x3xnx2n2；A012n(3)若是“完美数列”，且x，求出所有满足条件的数列.AA052Paa，，125P中存在不同的四项aaaa满足aaqast，npqstpant则称P为等和数列，集合Ma,a,a,a称为P的一个等和子集，pqs否则称P为不等和数列．(1)判断下列数列是否是等和数列，若是等和数列，直接写出它的所有等和子集；：，，，，；：，，，，；(2)已知数列：a，a，a，a，a是等和数列，并且对于任意的12345i,j1iPM5的一个等和子集满足集合a,aMjji证：数列P是等差数列；nn92(3)若数列：a，a，，a是不等和数列，求证：．n12n4n53．若无穷数列a满足，anan1n1，则称a具有性质Nnna具有性质P．Pa满足，nn41aN2n2n1nn21(1)若数列a具有性质Pa0a3的所有可能取值；n1(2)若等差数列a具有性质P，且a1，求2a的取值范围；322n21(3)已知无穷数列a同时具有性质P和性质Pa30不是数列n125na的项，求数列a的通项公式．n54A:aa、aTT1112n1第18页共249页将数列变换成数列TA:n、a1、a1、、a1A112n非负整数的数列B:b、b、、b，定义变换T，T将数列各项从B12m22大到小排列，然后去掉所有为零的项，得到数列2B；又定义SB2b2m2122bA是每项均为正整数的有穷m02bb1数列，令k1TTAk．21k(1)如果数列A为、、，写出数列A、；2A51301(2)对于每项均是正整数的有穷数列，证明STAS；A1(3)证明：对于任意给定的每项均为正整数的有穷数列0，存在正SA．整数，当kK时，SAKk1kn55a项数为Np为a的“映射焦点”果p满足：n,N；①2p②对于任意npk，存在kpN，满足aa，并将最小的记nk作kn；(1)若，判断an5时，4是否为映射焦点？5是否为映射焦N9n点？(2)若Nan6时，pp的最大值为4；n22(3)若anN*,i1a1iN),nk2p1np，N2p100,a5，inp求aaa的最小值.1210056．给定整数n3，由n元实数集合S定义其相伴数集､TaabSabminT1S为一个n元规范数集，并定义S的范数f为其中所有元素绝对值之和.(1)判断A2.5、B0.5,0.5,1.5明理由；(2)任取一个n元规范数集mM分别为其中最小数与最大数，第19页共249页求证：SSn1；,遍历所有2023f的最小(3)当Sa,a,L21值..注：minX、X分别表示数集中的最小数与最大数Xxn57）x,nN，且1至x之间的整数中，有个是n的倍数．*nnn（）在n!中，质数p的最高方次数是p(n．n13pp2p12n（x为实数，nxxxx．nn58．设n是正整数，一个有限整数数列a,a,a,,a，定义它的差集012nA为kk1k)构成的集合.(1)求下列数列的差集A；①，，，，，，，；②，，，，，32,,22020，求0的最大值和最小值;(2)若n，A1,2,222021(3)若0aaaA1,3,32,,3n2n1,301n整数列的个数F(n).59．对于数列un}，若存在常数，对任意的，恒有M0nN*|un1u||uu||uuM，则称数列u}为B数列．nnn121n1(1)首项为的等比数列a}是否为数列？请说明理由；Bn2(2)设S是数列a}的前n是a}是{Sn}Bnnn否为B数列？若是，请说明理由；若不是，请举出一个例子；(3)若数列a}，b}都是数列，求证：数列ab}是数列．BBnnnn60a的通项公式是a21n列bnnn，Bb,b,,b,nN合Aa,a,,an,*AB中的元素按1212n第20页共249页.从小到大的顺序排列构成的数列记为nn(1)若cnnN*，写出一个符合条件的b的通项公式，并说明理n由；(2)若n2nbnd在上严格单NnNn,dn3n1nn,n**n调递增，求实数的取值范围；(3)若ABc的前5cc8n19.所有满足条件的数列n61．设满足以下两个条件的有穷数列a,a,…,a为nn阶“Q12n数列”：①aaa0；②aaa1．12n12n(1)分别写出一个单调递增的3阶和4阶Q数列”；(2)若2018阶“Q数列”是递增的等差数列，求该数列的通项公式；1(3)记n阶“Q数列”的前k项和为Sk,n，求证．Skk262．已知为正整数数列，满足aaa．记12nA:a,aL,a12nSaaa．定义A的伴随数列Tkn如下：k12n①10；k②k1Takn)，其中k0(k,)．kkkk(1)若数列：，，，，直接写出相应的伴随数列kk；(2)当n2时，若S，求证：an1；n2n1(3)当n2时，若S，求证：T0．n2n1nN*Maa1ijn为ij63a,a,,aA12n数列A的伴随集合.(1)已知有限数列P-12和数列Q4分别写出第21页共249页和Q的伴随集合；PnN*(2)已知有限等比数列A：4,4元素之和；2,,4n，求A的伴随集合M中各50(3)已知有限等差数列：a,a,,a，，是否能同时A1220227属于A的伴随集合M，并说明理由.64．已知无穷数列a满足：a0，21，且当n3时，总存在n1aiaa,n1，使得iani1n1．ni(1)求4的所有可能值；(2)求a2023的所有可能值中的最大值；1(3)求证：当n3时，．an1ann65a}的前n项和为Snnnm，使得Sa，则称数列a}“数列”.Enmn(1)数列an}的前n项和3n(nN*)，判断数列a}是否为“数列”，EnSn并说明理由；(2)数列b}b1d0b}是“数列”，En1n求d的值；(3)证明：对任意的等差数列a}，总存在两个“数列”b}和c}，Ennnn使得abcnN成立.nn66满足：任意②任意xySxySSxSx0或xyS，则称数集具有性质.SPB4(1)判断数集A4和是否具有性质P，并说明理由；(2)若数集Ca,a,,a且aai,n具有性质.P12nii1（）当n5时，求证：a，a…，a是等差数列；12n（）当a，a，…，a不是等差数列时，求n的最大值.12n第22页共249页67．定义：对于任意一个有穷数列，在其每相邻的两项间都插入这两项的和，得到的新数列称为一阶和数列，如果在一阶和数列以此类推可以得到n阶和数列，如2,4的一阶和数列是2,6,4，设n阶和数列各项和为Sn．(1)试求数列4的二阶和数列各项和S2与三阶和数列各项和S3猜想SnSn32n1S3S12(2)设bnb的前m项和TTm的nm3m3n3最小值68．记|A|表示集合A中的元素个数，ABa∣a,b}．若1|AA|A|A|，则称集合A有性质T”．2(1)设Aa,a为等比数列且各项为正有理数，证明集合A,a,,a12nn有性质T”．(2)已知集合，B均有“性质T，且|A|Bn，求|AB|的最小值．69a,a,,aN4a,a,,aZaaa．A12N12N12N若数列满足11,NaN，当iN1时，ii11或A:a,a,a12Na1，则称：,,为数列的“紧数列．AAii112NA8的所有“紧数列”为583，，；，，，；，，，．(1)直接写出数列：，，，，8的所有“紧数列”A；(2)已知数列Aa1a2NA的所有紧数列”均1NA为递增数列，求证：所有符合条件的数列A的个数为N1；(3)已知数列A满足：10，，对于数列A的一个“紧数列”，a22A第23页共249页˜˜定义集合SAaai,N1，如果对任意xSA，都有iixSA为数列A的“强紧数列”A存在“强紧数A列，求NN的代数式表示）70q,d1的整数ka满足nnad,N*nk“an1，则称数列annN为M(k)数列”.*nqan,N*k(1)设d3，q0，若首项为1的数列a为“M数列”，求a；n2022(2)若首项为1的等比数列b为“M(k)数列”，求数列b的通项公nn式，并指出相应的k,d,q的值；(3)设d1q=21的数列c“M数列”cnn的前n项和10n.71．已知数列a}中a1，前n项和为S，若对任意的，均有nN*n1nSnankk（k是常数，且kN*）成立，则称数列an}为“H(k)数列”.(1)若数列a}为“H数列”，求数列a}的前n项和S；nnn(2)若数列an}为“H(2)数列”，求证：a1a2anan1anan2nn*；(3)若数列a}为“H(2)数列”aa}，n2n使得|a2anan1|对一切n2，nN*数列a}的a的所有可能值，如果不存在，请说明理由.n272Mx|1xx（Zm是大于3的正整m项的数列a满足：任意的jM，都有aiM，且n当ij时有aaim时有|aa|=2或|aa|=3Piji1ii1i数列．(1)写出所有满足=5且11的P数列；(2)若数列a为P数列，证明：a不可能是等差数列；nn第24页共249页(3)已知含有100P数列a满足aaaa100kn5105kd是公差为dd0等差数列，求所有可能的值．73．记实数a、中较小者为,b，例如1,21，1，bk对于无穷数列aha,a.若对任意均有hk1kN*nk2k12k称数列a为趋向递增数列”.nn12n(1)已知数列a、b的通项公式分别为a，nnn2数列a、b是否为“趋向递增数列”？并说明理由；nnqn(2)已知首项为的等比数列c是“趋向递增数列”1比q的取值范围；(3)若数列d满足ddddddn12nn2n1n为趋向递增数列”的必要非充分条件是d中没有.0n74pp生成数列a(p)和其特征数列(p)如下：nn（）a(p10；a(p)n,a(p)np1（）a(p)n1a(p)nb(p)n，其中b(p)n.nnn(1)直接写出1生成数列的前4项；(2)判断以下三个命题的真假并说明理由；①对任意实数p0，都有a(2p)na(p)n；n②对任意实数p0，都有a(p)na(p)n；n③存在自然数qpq和正整数N，对任意自然数nN，有a(p)a(q)C，其中C为常数.nn(3)从一个无穷数列中抽出无穷多项，依原来的顺序组成一个新的无穷数列，若新数列是递增数列，则称之为原数列的一个无穷递,pn增子列.求证：对任意正实数生成数列a(p)存在无穷递增子第25页共249页列.75．已知数列{an}为有限项数列，项数为*N（m，m意2km1且kN都有|k1aaa，则称{a}是“Ω数列”1k1n*(1)判断数列216和，56是否是“Ω数列”(2)已知{an}为项数的等比数列，a1，若{a}是数列，1nm2022求其公比q的取值范围；(3)已知{a}是2……2022ba1k2021nkk1若{a}和{}都是数列”，求a的所有可能值.n176．已知数列，，…，a的各项均为整数，且对任意的，i12NA:1a，…，N1，都有i1i1．将A的所有项之和记为SA．(1)若N=5，12，求SA的最大值；(2)若，求证：SA0；2022N(3)设N15．将所有符合题意且SA0的数列A的总个数记为M，判断M是否为4的倍数，并说明理由．A的绝对77A:a、、、annNa12nnnN，其中差分数列B:b、b、、b12n1kk1a1knkNbbb，Bk12n1则称数列是数列．AX(1)直接写出下面两个数列的绝对差分数列，并判断其是否为X数列：①A:1、、4、5；21②A:2、、8、；202(2)已知各项均为整数的数列A:a、、、a满足aaa，Xa21101210第26页共249页并且其差分数列是等差数列，若a，a6，求a的所有可能值；1410(3)已知数列A:a、、、a是、、、、nnnN的一Xa12312n个排列，若其差分数列B:b、b、、b满足bbbn2，12n112n1求n的所有可能值．1a2a23an1an78,,,两两不A:a,aL,a12n为数列.设GA1inGA中的元素ALi.个数为GA(1)判断数列A4与数列A4是否为数列，并说明理由；L12(2)若数列为数列，且，求证：GA的最小值为4；ALn9(3)若数列A:a,a,,a为GA6aaa132.L12321232Amm79mm3是由mm个实数组成的行列1，的数表，且中所有数不全相同，中第行第j列的数aAAiAA记ri为的第行各数之和，cj为的第j列各数之和，其中im2rr2rmi,j.记,m.设集合Hi,jijri0fA2或ijcji,j,，记HA为集合H所含元素的个数.2(1)对以下两个数表1，，写出fA，HA，fA，HA的值；A2112(2)若r1,r2,,rm中恰有s个正数，c1,c2,,cm中恰有t个正数.求证：HA；HAfA(3)当m5时，求的最小值.第27页共249页80Q:a,a,,a12kn,}，在Q中存在a,a,a,,ij(j0)，使得ii1i2ii1i2ijn，则称Q为m连续可表数列．(1)判断Q:4是否为5连续可表数列？是否为6连续可表数列？说明理由；(2)若Q:a,a,,a为连续可表数列，求证：k的最小值为4；812k(3)若Q:a,a,,a为aaa．k712k12k81，a…，a(n，将数列变换TTA2nA:11成数列T():aa…aaT1()T()Tm()TTm()m223n1于数列A:aa…a与B:bbbABababab12n12n1122nn数列A:a，a，a(n满足ai,n)为nA12ni数列．(1)若1，写出T()，并求AT()；2(2)对于任意给定的正整数n(n，是否存在数列，使得AnAT()n3?若存在，写出一个数列A，若不存在，说明理由：(3)若数列满足T()Tk1()nk,nA的个数．kAn82．已知集合N*，且M中的元素个数n大于等于若集合MM中存在四个不同的元素abcdM“关联的”，并称集合,,,d}是集合M的关联子集”；若集合M不存在关联子集”，则称集合M是“独立的”.(1)分别判断集合{2,4,6,8,10}与是“关联的”还是“独立的？(2)写出（）中关联的”集合的所有的“关联子集；(3)已知集合Ma,a,a,a,a“关联的”，且任取集合a,aM，ij12345总存在M的“关联子集”得a,aA.若aaaaaij12345第28页共249页a，a，a，a，a是等差数列.1234583a满足“对任意的正整数，ijk，n使得aaa”，则称数列a具有“性质．kijn(1)判断数列a1和bn是否具有性质”，并说明理由；nn1(2)若公比为的无穷等比数列a具有性质”，求首项a的取值n13集合；(3)若首项a3的无穷等差数列a具有性质”d的取值1n集合．84ana的一个无穷递nbbn1n2bbn．n(1)若b1，b2，写出数列b前项的所有可能情况；412n(2)求证：数列n存在无穷递增子列；(3)求证：对于任意实数M，都存在kN*，使得kM．p85．已知a为各项均为正数的数列且对满足2nq的正整数，napaq2an1an，n都有等式成立.21a1apq3n11(1)判断数列an是否满足等式（n(2)证明a的充要条件为a，a2；n1(3)证明：存在与1有关的常数，使得对于每个正整数n，都有1an.86．如果无穷数列a是等差数列，且满足：①、*，，ijkN*n使得aaa②i、jN*aaaa“数kN*Hijkijkn列第29页共249页(1)下列无穷等差数列中，是“H数列”的为___________出结论）、、、a:135n、、、b:024n、0、0、c:0n、、、d:101n(2)证明：若数列a“数列”，则aZ且公差dN；Hn1n(3)若数列a“数列”且其公差为常数，求a的所有通项HdN*n公式.i87A:a,a,,an2.如果a,ni,nij时，12n，则称数列A具有性质.对于具有性质的数列，PPia1i,jnjaa,定义数列TA:t,t,,t，其中tkk1.k,n112n1kk1(1)对TA:，写出所有具有性质P的数列；(2)对数列E:e,e,,en2，其中ei,n，证明：存在12n1i具有性质的数列A，使得TA与为同一个数列；PE(3)对具有性质的数列，若aan5且数列TA满足P1n,，证明：这样的数列A有偶数个.i,n1i88．对于项数为m2的有穷正整数数列an}，记，即b为a，a，……a中的最大值，ka,a,,a(k,)12kk12k称数列{b}为数列{a}的“创新数列”.比如，，，，5“创新nn数列”为，，，，5.(1)若数列a}的“创新数列”{b}为，，，，，写出所有可能nn的数列an}；第30页共249页(2)设数列{b}为数列a}的“创新数列”，满足nnknk1k，，，，求证：abk,m,mkk(3)设数列{b}为数列a}的“创新数列”，数列{b}中的项互不相等nnn且所有项的和等于所有项的积，求出所有的数列an}.89m为正整数，若无穷数列a满足aii,;k)，niki则称a为P数列.nm(1)数列是否为1数列？说明理由；s,n2kkZ(2)已知a11其中s,t为常数.若数列a为Ps,t；nt,n2k,kZn222(3)已知P数列a满足a0，82，a6k，求an.a6k6(k2,)3n190．已知数列为有穷正整数数列.若数列A满足如下两个A:a,aL,an12性质，则称数列A为m的k减数列：①aaam；12n②对于1ijn，使得aa的正整数对i,j)有k.ij(1)写出所有4的1减数列；(2)若存在m的6减数列，证明：m6；(3)若存在2024的k减数列，求k的最大值.nNkN，91a，，，N3NN*nkN*，有：（i）S*(k)aaaa123k（iicR(k)acacacac.对于kN*123kk存在非零常数cL(k)S*(k)c为数列a的阶系数.na2nn(1)设数列a的通项公式为S(4)2是否为数*n列的4阶系数；第31页共249页a的阶系数为3，m(2)设数列a的通项公式为nnnn求m的值；m(3)设数列a为等差数列，满足-1，2均为数列a的阶系数，nn且S*()，求m的最大值.92M,n3，M的所有元素个数nN为（KN，2≤K≤）的子集中，我们把每个K元子集的所有元素相加的和记为K（KN2≤K≤nK元子集的最大元素之和记为K（KN2≤≤nK元子集的最小元素之和记为K（KN，2≤K≤(1)当＝4时，求a、b的值；33(2)当＝10时，求4的值；KK(3)对任意的≥3，，给定的N，2≤K≤，是否为与n无nNK关的定值？若是，请给出证明并求出这个定值：若不是，请说明理由．93M数列：mm…mm（k0，n601nk，，…）等于m，m…，m中k出现的次数.01n(1)若n6M数列为：，m，m，，，，，求m，m；1212(2)证明：存在M数列，且满足mmmn1；01n(3)证明：M数列是唯一的.94a，a，a“变换”：将数列变换成数列A:TTA123B:b，b，bbii1ibaaBT()123i331续对数列进行“变换”C:c，c，cBT123仅当得到的数列各项均为0时变换结束．(1)直接写出，，4经过1次“变换”得到的数列，及再经A:TBB第32页共249页过3次“变换”得到的数列；TE(2)若经过n“变换”后变换结束，求n的最大值；ATB(3)设A:a,a,aa,i2,3，BT()，a，的各项B:b123i之和为2022，若再经过k次“变换”得到的数列各项之和最小，BT求k的最小值．95．已知数列a满足以下条件：①aN*，且1an100②共有nn100A:a,a,a,,ai,为iii1i2i9数列a的一个“10阶连续子列”．nn(1)若a的通项公式为ana的一个“10阶连续子列”nn求其各项和；(2)求证：对于每个a，都至少有一个10阶连续子列的各项和不n小于505；(3)若对于每个a，都至少有一个10阶连续子列的各项和不小于n正整数M，求M的最大值．196．已知正实数列a满足aa2，当n3时，记集合naka∣1knk，且集合A中的最大元素为a.nnnnk(1)若aa2，求数列a的通项公式；12n(2)记数列前n项和为Sb,bn12a22Sn1a21b1数a,a与整数>1，都有,.注：对于任意实12n(nb21a,abb,ab数，，定义,.97aaa4,64Sn为数列n3n前n项之和，满足bS,ccbm为常数，且1）.已知nnn1nm第33页共249页(2)n1cd，pn1,nd12d3d4(n1.d数列Q满足1nnnnnm10，当n为不等于1的奇数时，Qn123n1；当n2n1为偶数时，nn11.n1(1)已知a2，求a,b,Q,T的通项公式；1nnnn(2)已知m1n为偶数时，nꢀTn为奇数时，Q„Tnnn8恒成立，求m的取值范围.49x37存在3-0.930.60，g(x)48x350x21.38，且当x>1时，gx单调递增）98，22则称这个数列为“r”数列.11（）若数列a为“D数列a”3，a2，34mnr1mm的取值范围；（的等差数列a“D数列项和S”n1nrn满足Snnn？若存在，请求出a的通项公式；若不存在，请说n2明理由；（）已知等比数列a的每一项均为正整数，且a“D数列，”nnr2annann“”b不是D数列cn(n2n5nr3是否为“r数列”，并说明理由.99．若定义在R上的函数yf(x)满足：对于任意实数x,y，总有f(xy)f(xy)2f(x)f(y)恒成立，我们称f(x)为“类余弦型”函数.5（）已知f(x)为类余弦型”，且f，求f(0)和f(2)的值；4（1n2f(nf()（n2,3求13a23a20193a20203log2log2log2log2的值；第34页共249页（）若f(x)为“类余弦型”，且对任意非零实数t，总有ft)1，证明：①函数f(x)为偶函数；②设有理数x,x满足xxf(x)和f(x).121212n100．对数列a，规定a为数列a的一阶差分数列，其中nn，规定a为a的二阶差分数列，其中nanan1annN*2n.2anan1annN*a是否为（）数列a的通项公式an2nN*，试判断a，2nnnn等差数列，请说明理由？（b是公比为q2nNq，*nq，使得bb，求所有可能的取值构成的集合；nm都存在m*2N（）各项均为正数的数列c的前项和为S，且n2n0，对满足nnmnkm的任意正整数mnccSStSknkmnmn恒成立，求实数t的最大值.第35页共249页参考答案，仅供参考哦．(1)1(2)证明见解析(3)证明见解析）第一问直接根据新定义来即可.2）第二问结合新定义、带余除法以及费马小定理即可得证.3）根据新定义进行转换即可得证.）若pa2，又注意到1093111，所以ap10,.212p2时，此时X，此时bc1，bc1，故p)bacp)bp)c0，aa此时p)bp)abp)ac.ca当p2时，因a,a2,,,ap2,相异，故a2，而aX，故a,p互质.记np)bc,np),np)c，a1a2a则m,mN，使得a11,a22c12故a12b2c，故a12p)，1设n2tp1s,0sp2则nns，121因为2,3,..p1除以p的余数两两相异，且,2,3,..pa除以p的余数两两相异，1p，p1故p1!a2aa,..p1ap)，故a故a12asp，而anb(mod其中0np2，(mod)第36页共249页故sn即p)bcp)abp)ac.a法：记a1a1,1p，a2a2,2p，a1,a2a1a2，其中m，mk是整数，则a12an.an,21an2anmmpkp，2121121可知a1,n,2nn,．aa12因为1a，a2,，…，ap2,两两不同，所以存在i,p，使得ap1,ai,，1可以被p整除，于是ap1i1可以被p整除，即a即ap1aiaip1iapi,1．若i0，则p1i,p，api,1，因此i0，ap1,1．记nlog(p)b，mp)c，nmnml(p，其中l是整数，aa则an,am,anm,anml(p1),anm,al(p1),anm,，bc即log(p)bc)log(p)blog(p)．aaa3b2时，由（2）可得bp1p，若b1，则bp1p因为np)ab，所以anb也成立.p.另一方面，np2,1np2,xbk,ak,np2y21y2yaknbk1k1x1k1pxp.kp2kp2xbp由于xX，所以x2ynp2,.1法：由题设和（）的法2的证明知：kk2xbk,xbbbxan,an,an,xaaank，2)n(p2)n(p．p2,yn(p2),1111ak,ak,ak,ap2,ap2,anknk故2n(p2),xaaaap2,ap2,ap2,第37页共249页nkxap1,ap1,ap1,．由（）法2的证明知ap1,，所以yyn(p2).x．121小定理等初等数论知识即可顺利得解.．(1)2；；4(2)证明见详解(3)n4k2kN）由数列A:a,a,2,6具有性质Pc的定义可得；232）由数列具有性质Pc的定义和等差数列的定义可得.3n4k2kNn4kkN和n4k3kN三种情况讨论即得.）由已知可得数列A共有5项，所以n5，当i1时，有aa264，15当i2时，有aaa24，所以a2，2422当i3时，有aa4，所以a2，3332）数列A具有性质P，且aaa,n为奇数，令nk1，012n可得ak10，设aaaa0ak2aa2k1，12kk13时，存在正整数，使得aaa，01i,jn由于当i,ajkjik所以ak3ak2,ak4ak2,ak5ak2,a2k1ak2这k1项均为数列A中的项，且0k3k2k4k2k5k22k1k22k1，因此一定有ak3ak2ak2,ak4ak2ak3,ak5ak2ak4,,a2k1ak2a2k,即ak3ak2ak2,ak4ak3ak2,ak4ak3ak2,2k12kak2第38页共249页这说明：ak2,ak3,ak4,a为公差为a的等差数列，再数列A具有性2k1k2质0，以及ak10可得，数列A为等差数列；3）当n4k2kN时，设：a，a，a，a，a2k1,a2k，a2k1,a2k2,a2k3,a2k4,,a4k1,a4k21234由于数列具有性质P，且满足2k12km，c由2k12km和a2k1a2kc，得cm，当cmaamama，a112214k1当cm时，同理可证，所以结论成立.当n4kkN时，不妨设cm1，反例如下：2k,2k2k2k,2k2k2k2k,当n4k3kN时，不妨设cm1，反例如下：k2k1k1k11k1k1,1kk,,2,1k1,k,1综上所述，n4k2kN符合题意.【点评】关于新定义题的思路有：1）找出新定义有几个要素，找出要素分别代表什么意思；2）由已知条件，看所求的是什么问题，进行分析，转换成数学语言；3）将已知条件代入新定义的要素中；4）结合数学知识进行解答.ⅠA不是“数列”，是“F数列Ⅲnm1FA21或nmmN*.第39页共249页）根据“F数列的定义”即可判断；nnⅡ）根据定义，1k1akk11k1k，进而讨论n的奇偶性，k1k1将和式展开即可得到答案；Ⅲ）对数列求和123n0212，进一步可得：n1nn1xnnn12x2x，可知n1为偶数，判断出n4m或122，进而分两种情况进行讨论得到答案.n4m1mN*）A不是“数列”，A2“F数列”.F1nnⅡ）因为1k1akk11k1kk1k1当n为偶数时，nnk1ak1k1k11kk1k10xxxn1n1xn112n2xx0.0n当n为奇数时，nnk1ak1k1k11kk1k10xxxn2n1n1xn112n3n2xx00nn所以1k1ak为定值0.k1Ⅲ）若，，，，n的一个排列：a,a,,a“数列”，则AF12n123n02x2，n1xn1nn1nn1即，所以xn1为偶数.2x2122nn1，又nm2或nm3时mN*为奇数，2所以n4m或n4m1mN.*第40页共249页2k1k2m若n4m时，取排列：a，k8m2k2mk4.k,0k2,此时对应的xmk,mkm,ki,iN*,k4mk2mk4,kiiN*.满足题意，所以n4m符合题意；k1kmmk,mkm若nm1时，取排列：aAkk,0k2,mkmki,iN4mk2mk4mkiiN此时对应的xmk,*,k*.满足题意，所以nm1符合题意.综上所述：n4m或n4m1mN.*采取特值法加深对题目条件的理解，细致分析，最终得到答案.．(1)，bnn2nn3(2)2(3)证明见解析1通项公式；Tb24nn,4nn2nn2nn2nan22n2n3结合集合有4个元素，求出；2第41页共249页89232n22n2，3ACCCCAn2462nn94n1n2n2nn22nn2n2n211设BCCCC，n1352n11从而求出B，求和证明出结论.n2a首项a2qq0b首项b1，nn11设公差d，5a3aq44aq2∵，即11，24aqb3d11∴q=2，q2d1，∴2n．nn；n，b4n2）4nb21223242b25627282b2b2b224n34n24n1其中b2b2b2b24n4n324n224n24n4，24n34n24n1Tb∴4n4,4n2nn2，n22nnn2nn2集合n,n，设，n2n2nn1n3nn2n23n1n，2n12n2n1所以当n1时，DD，当n2时，DDD．2123433计算可得D，D2，D，D，D，123452823因为集合有4个元素，．24n1n,n2kkN3）n，a22nnnnNab,nk,knS2nCCCC，1232n设ACCCC222424622n22n①，6n2462n第42页共249页4n22446n222nn22n②，2上式①②得，2422n42n22n2222n2n22n2823A8224268n14222n282338n22n2n22n2，3389232n22n2所以n，94n1n4n2n11当n为奇数时，Cn，2n2nn22n2nn22nn2n2n2则BCCCCn1352n1111111223323325522n12122n121111，222n12n1282329125218329S2nnnn22n2n4n1.92【点评】常见的裂项相消法求和类型：111knnk11111分式型：，，nnk2n12n122n12n11111等；nn1n22nn1n1n22n112n1n211指数型：2n1根式型：n，等，1212n11nn2nn2n1n2n11nkn等，nnkka对数型：mn1mn1a，m0且m1mnn．(1)31是可表数，1024不是可表数，理由见解析；k(2)证明见解析；(3)8k第43页共249页）根据定义赋值及数列求和计算验证即可；2sT则有sT,,0T合间的基本关系得出T中最多含有33nN用定义先证n为m可表数，再根据三进制的基本事实确定k的最小值k个元素，解不等式即可证明；1m313m1,mNn223m1131m为满足成立的m，代入n求m即可.n22）31是，1024不是，理由如下：由题意可知xaxaxat，1122kk当i2i1,k10时，有xx9xt,x，12i显然若xxx0i7,8,9,10时，t31，16i而t20121212129110110231024，故是可表数，1024不是可表数；kk2）由题意可知若i0t0，即0T，使得xaxaxas，设sT，即xi1122kk所以122kk成立，故sT，s，且i所以若,T，则,,0T，即,0中的元素个数不能超过中的元素，T对于确定的Q，T中最多有3个元素，k31k所以2n13k；n23m1131m3）由题意可设nN,mN，使，n223m11又1x3x2xm22m2，x3311131313123m12第44页共249页所以km1，即km，31m而2m1，11131313231m即当n时，取aaam1时，n为m可表数，12m231m因为m123m1，21113131322由三进制的基本事实可知，对任意的0pm1，存在ri,,，2i使p130231mm1，3m1所以p0r21rmm13013m1r312r1013r13r1m1，12m令xr1，则有x，,i,miii3m13m13m1设tt，p2223m131m由p的任意性，对任意的t,tZ，221021，mm1,x,i,m都有ti3m1又因为n，所以对于任意的ntn,tZ，t为m可表数，23m1131m综上，可知k的最小值为m，其中m满足，n22371318又当n时，，n22所以k的最小值为8.【点评】难点点睛：第二问关键是根据定义可确定T中元素互为相反3m1131m利用第二问的结论可设nN,mN，有，利用定义先n22证n为m可表数，再根据三进制的基本