2022-2023学年九年级数学下册举一反三系列专题6.4 相似三角形的性质【十大题型】（举一反三）（苏科版）含解析

2022-2023学年九年级数学下册举一反三系列专题6.4相似三角形的性质【十大题型】【苏科版】TOC\o"1-1"\h\u【题型1利用相似三角形的性质求角度】 2【题型2利用相似三角形的性质求线段长度】 2【题型3利用相似三角形的性质求面积】 3【题型4利用相似三角形的性质求周长】 4【题型5利用相似三角形的判定与性质证明角度相等】 4【题型6利用相似三角形的判定与性质证明对应线段成比例】 6【题型7尺规作图作相似三角形】 7【题型8在网格中画与已知三角形相似的三角形】 8【题型9新定义中的相似三角形】 9【题型10相似与函数综合探究】 11【知识点1相似三角形的性质】①相似三角形的对应角相等．如图，，则有．②相似三角形的对应边成比例．如图，，则有（为相似比）．③相似三角形的对应边上的中线，高线和对应角的平分线成比例，都等于相似比．如图，∽，和是中边上的中线、高线和角平分线，、和是中边上的中线、高线和角平分线，则有④相似三角形周长的比等于相似比．如图，∽，则有．⑤相似三角形面积的比等于相似比的平方．如图，∽，则有【题型1利用相似三角形的性质求角度】【例1】（2022·湖南·永州柳子中学九年级期中）已知△ABC~△DEF，若∠A=50°，∠E=70°，则∠F的度数为（

）A．30° B．60° C．70° D．80°【变式1-1】（2022·江苏·常州市金坛良常初级中学九年级阶段练习）如图，△ABC∽△DAC，∠B＝31°，∠D＝117°，则∠BCD的度数是（

）A．32° B．48° C．64° D．86°【变式1-2】（2022·全国·九年级专题练习）如图，在正方形网格上有两个相似三角形△ABC和△EDF，则∠ABC+∠ACB的度数为（）A．135° B．90° C．60° D．45°【变式1-3】（2022·云南楚雄·九年级期末）如图，点A、B、C、D四点共线，ΔPBC是等边三角形，当ΔPAB∼ΔDPC时，∠APD的度数为（

）A．120° B．100° C．110° D．125°【题型2利用相似三角形的性质求线段长度】【例2】（2022·全国·九年级课时练习）如图，在▱ABCD中，AB=10，AD=6，E是AD的中点，在CD上取一点F，使△CBF∽△ABE，则DF的长是（

）A．8.2 B．6.4 C．5 D．1.8【变式2-1】（2022·全国·九年级专题练习）如图，△ABC∽△DEF，相似比为1∶2，若BC＝1，则EF的长是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【变式2-2】（2022·全国·九年级专题练习）已知△ABC∽△DEF，△ABC的三边长分别为2，14，3，△DEF的其中的两边长分别为1和7，则第三边长为______．【变式2-3】（2022·吉林·长春市赫行实验学校二模）如图所示，图中x=___．【题型3利用相似三角形的性质求面积】【例3】（2022·陕西渭南·九年级阶段练习）若△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF的面积比为25:36，则△ABC与△DEF的对应边的比是（

）A．5:6 B．6:5 C．25:36 D．36:25【变式3-1】（2022·河南新乡·九年级期末）△ABC与△A'B'C'的位似比是1:2，已知A．3 B．6 C．9 D．12【变式3-2】（2022·河北石家庄·九年级期末）把一个三角形的各边长扩大为原来的3倍，则它的面积扩大为原来的__________倍．【变式3-3】（2022·河南·鹤壁市淇滨中学九年级期中）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，BC＝5，点D是线段BC上一动点，连结AD，以AD为边作△ADE，使△ADE∽△ABC，则△ADE的最小面积等于______．【题型4利用相似三角形的性质求周长】【例4】（2022·湖南株洲·九年级期末）有一个直角三角形的边长分别为3，4，5，另一个与它相似的直角三角形的最小边长为7，则另一个直角三角形的周长是（

）A．425 B．845 C．21【变式4-1】（2022·重庆实验外国语学校八年级期末）如图是一个边长为1的正方形组成的网络，△ABC与△A1B1C1都是格点三角形（顶点在网格交点处），并且△ABC∽△A1B1C1，则△ABC与△A1B1C1的周长之比是（

）A．1：2 B．1：4 C．2：3 D．4：9【变式4-2】（2022·辽宁·阜新市第四中学九年级阶段练习）已知△ABC∽△DEF，其中AB=12，BC=6，CA=9，DE=3，那么△DEF的周长是______．【变式4-3】（2022·辽宁鞍山·二模）已知△ABC∽△A'B'C'，且【题型5利用相似三角形的判定与性质证明角度相等】【例5】（2022·北京市第一五六中学九年级期中）如图，已知AE平分∠BAC，ABAD(1)求证：∠E=∠C；(2)若AB=9，AD=5，DC=3，求BE的长．【变式5-1】（2022·上海·测试·编辑教研五八年级期末）如图，在△ABC中，点D、点E分别在AC、AB上，点P是BD上的一点，联结EP并延长交AC于点F，且∠A=∠EPB=∠ECB．(1)求证：BE⋅BA=BP⋅BD；(2)若∠ACB=90°，求证：CP⊥BD．【变式5-2】（2022·山东·东平县江河国际实验学校二模）如图，点D，E分别在△ABC的边BC，AC上，连接AD，DE．（1）若∠C=∠BAD，AB=5，求BD·BC的值；（2）若点E是AC的中点，AD=2AE，求证：∠1=∠C．【变式5-3】（2022·湖北恩施·二模）如图，在△ABC中，D、E、F分别是边AC，AB，BC上的点，DE∥BC，DF∥AB．(1)求证：∠B=∠EDF．(2)若CF＝13BC，求S【题型6利用相似三角形的判定与性质证明对应线段成比例】【例6】（2022·全国·九年级课时练习）如图，已知△ADE的顶点E在△ABC的边BC上，DE与AB相交于点F，∠FEA=∠B，∠DAF=∠EAC．(1)若AF=BF=4，求AE；(2)求证：DFDE【变式6-1】（2022·江苏·九年级专题练习）已知矩形ABCD的一条边AD＝8，将矩形ABCD折叠，使得顶点B落在CD边上的P点处．如图，已知折痕与边BC交于点O，连接AP、OP、OA．（1）求证：OCPD（2）若OP与PA的比为1：2，求边AB的长．【变式6-2】（2022·全国·九年级专题练习）如图，在ΔABC中，AB=AC，D是边BC的延长线上一点，E是边AC上一点，且∠EBC=∠D．求证：CEAB【变式6-3】（2022·湖南益阳·九年级期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是BC边上的高，E是BC边上的一个动点（不与B，C重合），EF⊥AB，EG⊥AC，垂足分别为F，G．(1)求证：EGAD(2)FD与DG是否垂直？若垂直，请给出证明；若不垂直，请说明理由；【题型7尺规作图作相似三角形】【例7】（2022·山东烟台·八年级期末）尺规作图：如图，已知△ABC，且AB>AC．（只保留作图痕迹，不要求写出作法）(1)在AB边上求作点D，使DB=DC；(2)在AC边上求作点E，使△ADE∽△ACB．【变式7-1】（2022·山东济宁·二模）如图，在△ABC中，∠BAC=90°,BD平分∠ABC．(1)求作△CDE使点E在BC上，且△CDE∽△CBD；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）(2)在（1）的条件下，若BA=3,∠ABC=60°，求【变式7-2】（2022·陕西宝鸡·一模）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，点D是AC边上一定点．请用尺规作图法在BC上求作一点P，使得△ABC∽△PCD．（保留作图痕迹，不写作法）【变式7-3】（2022·江苏省锡山高级中学实验学校模拟预测）如图，在四边形ABCD中，∠A=∠B．(1)请用无刻度的直尺和圆规按要求作图（不写作法，保留作图痕迹）：①过点D作AB的平行线交BC于点F；②P为AB边上的一点，且△DAP∽△PBC，请找出所有满足条件的点；(2)在（1）的条件下，若AD＝2，BC＝3，AB＝6，则AP＝．【题型8在网格中画与已知三角形相似的三角形】【例8】（2022·安徽合肥·二模）如图是由边长为1的小正方形组成的网格，A、B、C、D四点均在正方形网格的格点上，线段AB、CD相交于点O．(1)请在网格图中画出两条线段（不添加另外的字母），构成一对相似三角形，并用“∽”符号写出这对相似三角形：(2)线段AO的长为______．【变式8-1】（2022·河南南阳·九年级期末）（1）如图，△ABC的三个顶点都在方格纸的格点上．在方格纸内画△A'B'C（2）△A【变式8-2】（2022·浙江温州·九年级专题练习）请在如图所示的网格中，运用无刻度直尺作图（保留作图痕迹）(1)在图1中画出线段AB的中垂线(2)如图2，在线段AB上找出点C，使AC:CB=1:2．【变式8-3】（2022·浙江温州·九年级期中）如图，在8×8的方格中，△ABC的三个顶点都在小方格的顶点上，按要求画一个三角形，使它的顶点在方格的顶点上．(1)请在图1中画一个三角形，使它与△ABC相似，且相似比为2：1(2)请在图2中画一个三角形，使它与△ABC相似，且面积比为2：1【题型9新定义中的相似三角形】【例9】（2022·陕西渭南·九年级期末）四边形的一条对角线把这个四边形分成两个三角形，如果这两个三角形相似（不全等），我们就把这条对角线称为这个四边形的“理想对角线”．(1)如图1，在四边形ABCD中，∠ABC=70°，AB=AD，AD∥BC，当∠ADC=145°时．求证：对角线BD是四边形ABCD的“理想对角线”；(2)如图2，四边形ABCD中，CA平分∠BCD，BC=3，CD=2，对角线AC是四边形ABCD的“理想对角线”，求AC的长．【变式9-1】（2022·福建·厦门市第五中学八年级期中）定义：若一个三角形最长边是最短边的2倍，我们把这样的三角形叫做“和谐三角形”．在△ABC中，点F在边AC上，D是边BC上的一点，AB＝BD，点A，D关于直线l对称，且直线l经过点F．（1）如图1，求作点F；（用直尺和圆规作图保留作图痕迹，不写作法）（2）如图2，△ABC是“和谐三角形”，三边长BC，AC，AB分别a，b，c，且满足下列两个条件：a≠2b，和a2＋4c2＝4ac＋a﹣b﹣1．①求a，b之间的等量关系；②若AE是△ABD的中线．求证：△ACE是“和谐三角形”．【变式9-2】（2022·江苏常州·九年级期末）如果经过一个三角形某个顶点的直线将这个三角形分成两部分，其中一部分与原三角形相似，那么称这条直线被原三角形截得的线段为这个三角形的“形似线段”．(1)在△ABC中，∠A=30．①如图1，若∠B=100°，请过顶点C画出△ABC的“形似线段”CM，并标注必要度数；②如图2，若∠B=90°，BC=1，则△ABC的“形似线段”的长是．如图3，在DEF中，DE=4，EF=6，DF=8，若EG是DEF的“形似线段”，求EG的长．【变式9-3】（2022·安徽合肥·二模）定义：如果一个三角形中有一个角是另一个角的2倍，那么我们称这样的三角形为倍角三角形．根据上述定义可知倍角三角形中有一个角是另一个角的2倍，所以我们就可以通过作出其中的2倍角的角平分线，得出一对相似三角形，再利用我们学过的相似三角形的性质解决相关问题．请通过这种方法解答下列问题：(1)如图1，△ABC中，AD是角平分线，且AB2=BD⋅BC(2)如图2，已知△ABC是倍角三角形，且∠A=2∠C，AB=8，BC=10，求AC的长；(3)如图3，已知△ABC中，∠A=3∠C，AB=8，BC=10，求AC的长．【题型10相似与函数综合探究】【例10】（2022·辽宁大连·九年级期末）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8．点D是线段AC上的一点，点E在射线CB上且∠CDE＝∠B．(1)求BC的长；(2)若AD＝x，△CDE的面积与△ABC重合部分的面积是y，求y关于x的函数解析式，并直接写出自变量x的取值范围．【变式10-1】（2022·全国·九年级）如图，AB⊥BD，CD⊥BD，B、D分别为垂足．(1)已知：∠APC＝90°，求证：△ABP∽△PDC．(2)已知：AB＝2，CD＝3，BD＝7，点P是线段BD上的一动点，若使点P分别与A、B和C、D构成的两个三角形相似，求线段PB的值．(3)已知：AB＝2，CD＝3，点P是直线BD上的一动点，设PB＝x，BD＝y，使点P分别与A、B和C、D构成的两个三角形相似，求y关于x的函数解析式．【变式10-2】（2022·广东茂名·二模）如图，在矩形OABC中，OA=3，AB=4，反比例函数y=kxk>0的图像与矩形的边AB、BC分别交于点D、E(1)求点D的坐标及k的值；(2)点Pm,0m>2是线段OC上的一个动点，当△AOP∽△PCE时，求【变式10-3】（2022·四川成都·三模）已知：如图，菱形ABCD中，对角线AC，且AC＝12cm，BD＝16cm．点P从点B出发，速度为1cm/s；同时，点Q沿DB方向匀速运动，速度为1cm/s，且与AD，BD，Q，F；当直线EF停止运动时，点P也停止运动．连接PF（s）（0＜t＜8）．解答下列问题：(1)当t为何值时，四边形APFD是平行四边形？(2)设四边形APFE的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式；(3)是否存在某一时刻t，使S四边形APFE：S菱形ABCD＝17：40？若存在，求出t的值，并求出此时PE的长度；若不存在，请说明理由．专题6.4相似三角形的性质【十大题型】【苏科版】TOC\o"1-1"\h\u【题型1利用相似三角形的性质求角度】 2【题型2利用相似三角形的性质求线段长度】 4【题型3利用相似三角形的性质求面积】 6【题型4利用相似三角形的性质求周长】 8【题型5利用相似三角形的判定与性质证明角度相等】 10【题型6利用相似三角形的判定与性质证明对应线段成比例】 14【题型7尺规作图作相似三角形】 19【题型8在网格中画与已知三角形相似的三角形】 23【题型9新定义中的相似三角形】 29【题型10相似与函数综合探究】 37【知识点1相似三角形的性质】①相似三角形的对应角相等．如图，，则有．②相似三角形的对应边成比例．如图，，则有（为相似比）．③相似三角形的对应边上的中线，高线和对应角的平分线成比例，都等于相似比．如图，∽，和是中边上的中线、高线和角平分线，、和是中边上的中线、高线和角平分线，则有④相似三角形周长的比等于相似比．如图，∽，则有．⑤相似三角形面积的比等于相似比的平方．如图，∽，则有【题型1利用相似三角形的性质求角度】【例1】（2022·湖南·永州柳子中学九年级期中）已知△ABC~△DEF，若∠A=50°，∠E=70°，则∠F的度数为（

）A．30° B．60° C．70° D．80°【答案】B【分析】根据相似三角形的对应角相等求出∠A＝∠D＝50°，然后根据三角形内角和定理求解即可．【详解】解：∵△ABC~△DEF，∴∠A＝∠D＝50°，∴∠F＝180°－∠D－∠E＝180°－50°－70°＝60°，故选：B．【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质，相似三角形对应角相等，对应边成比例．【变式1-1】（2022·江苏·常州市金坛良常初级中学九年级阶段练习）如图，△ABC∽△DAC，∠B＝31°，∠D＝117°，则∠BCD的度数是（

）A．32° B．48° C．64° D．86°【答案】C【分析】根据相似三角形的性质得到∠DAC=∠B=31°，∠BAC=∠D=117°，∠BCA=∠ACD，根据三角形内角和定理计算即可．【详解】解：∵△ABC∽△DAC，∠B=31°，∠D=117°，∴∠DAC=∠B=31°，∠BAC=∠D=117°，∠BCA=∠ACD，∴∠BCD=∠BCA+∠ACD=2(180°-31°-117°)=64°，故选：C．【点睛】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形的对应角相等是解题的关键．【变式1-2】（2022·全国·九年级专题练习）如图，在正方形网格上有两个相似三角形△ABC和△EDF，则∠ABC+∠ACB的度数为（）A．135° B．90° C．60° D．45°【答案】D【分析】根据相似三角形的对应角相等和三角形内角和等于180°，即可得出．【详解】解：∵△ABC∽△EDF，∴∠BAC＝∠DEF，又∵∠DEF＝90°+45°＝135°，∴∠BAC＝135°，∴∠ABC+∠ACB=故选：D．【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质，解题的关键是找到相似三角形中的对应关系．【变式1-3】（2022·云南楚雄·九年级期末）如图，点A、B、C、D四点共线，ΔPBC是等边三角形，当ΔPAB∼ΔDPC时，∠APD的度数为（

）A．120° B．100° C．110° D．125°【答案】A【分析】根据ΔPAB∼ΔDPC得出∠A=∠DPC，根据ΔPBC是等边三角形得出∠PBC=∠BPC=60°，根据外角的性质得出∠A+∠APB=∠PBC=60°，可推出∠APB+∠DPC=60°，从而即可得到答案.【详解】∵ΔPAB∼ΔDPC∴∠A=∠DPC∵ΔPBC是等边三角形∴∠PBC=∠BPC=60°∴∠A+∠APB=∠PBC=60°∴∠APB+∠DPC=60°∴∠APD=∠APB+∠PBC+∠DPC=120°故选A.【点睛】本题考查了相似三角形的性质，等边三角形的性质，三角形外角的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键.【题型2利用相似三角形的性质求线段长度】【例2】（2022·全国·九年级课时练习）如图，在▱ABCD中，AB=10，AD=6，E是AD的中点，在CD上取一点F，使△CBF∽△ABE，则DF的长是（

）A．8.2 B．6.4 C．5 D．1.8【答案】A【分析】E是AD的中点可求得AE，根据三角形相似的性质可得CFAE=BC【详解】解：∵E是AD的中点，AD=6，∴AE=1又∵△CBF∽△ABE，∴CFAE=解得CF=1.8，∴DF=DC-CF=10-1.8=8.2，故选：A．【点睛】本题考查了三角形相似的性质，掌握三角形相似的性质对应边的比相等是解题的关键．【变式2-1】（2022·全国·九年级专题练习）如图，△ABC∽△DEF，相似比为1∶2，若BC＝1，则EF的长是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】根据已知条件得到BCEF＝12，即可得到EF＝2【详解】解：∵△ABC∽△DEF，相似比为1∶2，∴BCEF＝1∴EF＝2BC＝2．故选：B【点睛】本题考查了相似的性质，熟知相似三角形的性质是解题关键．【变式2-2】（2022·全国·九年级专题练习）已知△ABC∽△DEF，△ABC的三边长分别为2，14，3，△DEF的其中的两边长分别为1和7，则第三边长为______．【答案】3【分析】先求得相似比，再列式计算求得【详解】设△DEF的第三边长为x，∵△ABC∽△DEF且△ABC的三边长分别为2，14，3，△DEF的其中的两边长分别为1和7，∴12∴x＝33∴△DEF的第三边长为3故答案为：3【点睛】本题考查了相似三角形的性质，求出相似比是解题关键．【变式2-3】（2022·吉林·长春市赫行实验学校二模）如图所示，图中x=___．【答案】2【分析】先根据三角形内角和定理求出∠C的度数，由相似三角形的判定定理可判断出ΔABC∽【详解】解：∵ΔABC中，∠A=45°，∴∠C=180°-∠A-∠B=180°-45°-30°=105°，∵∠E=∠B=30°，∠C=∠F，∴Δ∴BCEF即24∴x=22故答案为：22【点睛】本题涉及到三角形内角和定理、相似三角形的判定及性质，比较简单．【题型3利用相似三角形的性质求面积】【例3】（2022·陕西渭南·九年级阶段练习）若△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF的面积比为25:36，则△ABC与△DEF的对应边的比是（

）A．5:6 B．6:5 C．25:36 D．36:25【答案】A【分析】根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方先求出△ABC与△DEF的相似比即可．【详解】解：∵△ABC∽△DEF且△ABC与△DEF的面积比为25:36∴它们的相似比为5：6．故选：A．【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质，掌握相似三角形面积的比等于相似比的平方是解答本题的关键．【变式3-1】（2022·河南新乡·九年级期末）△ABC与△A'B'C'的位似比是1:2，已知A．3 B．6 C．9 D．12【答案】D【分析】根据相似三角形面积的比等于相似比的平方求出两个三角形的相似比，根据题意计算即可．【详解】解：∵△ABC∽△A′B′C′，相似比为1：2，∴△ABC与△A′B′C′的面积比为1：4，∵△ABC的面积是3，∴△A′B′C′的面积是12，故选：D．【点睛】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形面积的比等于相似比的平方是解题的关键．【变式3-2】（2022·河北石家庄·九年级期末）把一个三角形的各边长扩大为原来的3倍，则它的面积扩大为原来的__________倍．【答案】9【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方得出即可．【详解】解：∵把一个三角形的各边长扩大为原来的3倍，∴面积扩大为原来的9倍，故答案为：9．【点睛】本题考查了相似三角形的性质的应用，能正确运用相似三角形的性质进行计算是解此题的关键，注意：相似三角形的面积比等于相似比的平方，相似三角形的周长比等于相似比．【变式3-3】（2022·河南·鹤壁市淇滨中学九年级期中）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，BC＝5，点D是线段BC上一动点，连结AD，以AD为边作△ADE，使△ADE∽△ABC，则△ADE的最小面积等于______．【答案】96【分析】根据勾股定理得到AC＝4，当AD⊥BC时，△ADE的面积最小，根据三角形的面积公式得到AD＝AB⋅ACBC=3×45=【详解】解：∵在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，BC＝5，∴AC＝4，∵△ADE∽△ABC，∴ADAB=∴AE=4∴S△ADE∴当AD⊥BC时，△ADE的面积最小，∴此时有S△ABC∴AD＝AB⋅ACBC∴△ADE的最小面积=2故答案为9625【点睛】本题考查了相似三角形的判定，勾股定理，垂线段最短，三角形的面积公式，正确的理解题意是解题的关键．【题型4利用相似三角形的性质求周长】【例4】（2022·湖南株洲·九年级期末）有一个直角三角形的边长分别为3，4，5，另一个与它相似的直角三角形的最小边长为7，则另一个直角三角形的周长是（

）A．425 B．845 C．21【答案】D【分析】根据题意求出三角形的周长，根据相似三角形的周长比等于相似比列式计算即可．【详解】解：设另一个直角三角形的周长为x，∵三角形的边长分别为3，4，5，∴周长为：3＋4＋5＝12，∵两个三角形相似，∴12x解得：x＝28，故D正确．故选：D．【点睛】本题主要考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形的周长比等于相似比是解题的关键．【变式4-1】（2022·重庆实验外国语学校八年级期末）如图是一个边长为1的正方形组成的网络，△ABC与△A1B1C1都是格点三角形（顶点在网格交点处），并且△ABC∽△A1B1C1，则△ABC与△A1B1C1的周长之比是（

）A．1：2 B．1：4 C．2：3 D．4：9【答案】C【分析】根据相似三角形的性质即可求解．【详解】解：∵△ABC∽△A1B1C1，AB=2,A∴△ABC与△A1B1C1的周长之比ABA故选C．【点睛】本题考查了相似三角形的性质，掌握相似三角形的性质是解题的关键．【变式4-2】（2022·辽宁·阜新市第四中学九年级阶段练习）已知△ABC∽△DEF，其中AB=12，BC=6，CA=9，DE=3，那么△DEF的周长是______．【答案】27【分析】根据两个三角形相似，相似三角形的周长比等于相似比，即可解出△DEF的周长．【详解】∵△ABC∽△DEF∴相似三角形的周长比等于相似比∴C∴12+6+9∴C故答案为：274【点睛】本题考查了相似三角形的性质，解题的关键是掌握：相似三角形的周长比等于相似比．【变式4-3】（2022·辽宁鞍山·二模）已知△ABC∽△A'B'C'，且【答案】9【分析】利用相似三角形的周长的比等于相似比求解即可．【详解】解：∵△ABC∽∴△ABC的周长：△A'B∵△ABC的周长是18cm，∴△A故答案为：9．【点睛】本题考查的是相似三角形的性质，用到的知识点为：相似三角形周长的比等于相似比．【题型5利用相似三角形的判定与性质证明角度相等】【例5】（2022·北京市第一五六中学九年级期中）如图，已知AE平分∠BAC，ABAD(1)求证：∠E=∠C；(2)若AB=9，AD=5，DC=3，求BE的长．【答案】(1)见解析(2)BE=【分析】（1）根据角平分线的定义可得∠BAE=∠DAC，结合已知条件得出△BAE∽△DAC，根据相似三角形的性质即可得证；（2）根据△BAE∽△DAC列出比例式，代入数据计算即可求解．（1）证明：∵AE平分∠BAC，∴∠BAE=∠DAC，又ABAD∴△BAE∽△DAC，∴∠E=∠C；（2）∵△BAE∽△DAC，∴ABAD∵AB=9，∴9解得BE=27【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．【变式5-1】（2022·上海·测试·编辑教研五八年级期末）如图，在△ABC中，点D、点E分别在AC、AB上，点P是BD上的一点，联结EP并延长交AC于点F，且∠A=∠EPB=∠ECB．(1)求证：BE⋅BA=BP⋅BD；(2)若∠ACB=90°，求证：CP⊥BD．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）证明△PBE和△ABD相似，即可证明．（2）先证明△ABC∽△CBE，再证明△PBC∽△CBD，得到∠BPC=∠BCD=90°，即可证明．（1）证明：∵∠A=∠EPB，∠PBE=∠ABD，∴△PBE∽△ABD，∴BE∴BE⋅BA=BP⋅BD．（2）证明：∵∠A=∠ECB，∠ABC=∠CBE，∴△ABC∽△CBE，∴BC∴BE⋅BA=BC又∵BE⋅BA=BP⋅BD，∴BC∴BC∵∠PBC=∠CBD，∴△PBC∽△CBD，∵∠ACB=90°，∴∠BPC=∠BCD=90°，∴CP⊥BD．【点睛】此题考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是根据相似三角形的对应边成比例列出相应的比例式，再经过适当的变形使所得的比例式符合“两边成比例且夹角相等”的形式．【变式5-2】（2022·山东·东平县江河国际实验学校二模）如图，点D，E分别在△ABC的边BC，AC上，连接AD，DE．（1）若∠C=∠BAD，AB=5，求BD·BC的值；（2）若点E是AC的中点，AD=2AE，求证：∠1=∠C．【答案】（1）25；（2）见解析【分析】（1）由∠C=∠BAD、∠ABD=∠CBA可得出△ABD∽△CBA，根据相似三角形的性质可得出ABBC（2）由点E是AC的中点、AD=2AE，可得出AD【详解】解：（1）∵∠C=∠BAD，∠B=∠B,∴ΔABD∽ΔCBA∴ABBC∵AB=5∴BD•BC=A（2）∵点E是AC的中点，∴AC=2AE.∵AD=2AE.∴ADACAEAD∴ADAC又∠DAE=∠CAD(公共角).，∴△DAE∽△CAD，∴∠1=∠C．【点睛】本题考查了相似三角形的性质，解题的关键是：（1）根据相似三角形的性质找出等积式；（2）由边与边之间的关系找出两边对应成比例，结合夹角相等证明三角形相似【变式5-3】（2022·湖北恩施·二模）如图，在△ABC中，D、E、F分别是边AC，AB，BC上的点，DE∥BC，DF∥AB．(1)求证：∠B=∠EDF．(2)若CF＝13BC，求S【答案】(1)证明见解析(2)1【分析】（1）证明四边形BEDF为平行四边形，从而得到∠B=∠EDF；（2）证明△DFC∽△AED，利用相似三角形的面积之比等于相似比的平方求解．(1)证明：∵DE//BC，∴四边形BEDF是平行四边形，∴∠B=∠EDF．(2)解：∵CF=1∴BF=2∵四边形BEDF是平行四边形，∴ED=BF=2∵DE//BC，∴∠C=∠ADE，∠CDF=∠A，∴△DFC∽△AED，∴S△DFC【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，解决本题的关键是将相似三角形的面积之比转化为相似比的平方．【题型6利用相似三角形的判定与性质证明对应线段成比例】【例6】（2022·全国·九年级课时练习）如图，已知△ADE的顶点E在△ABC的边BC上，DE与AB相交于点F，∠FEA=∠B，∠DAF=∠EAC．(1)若AF=BF=4，求AE；(2)求证：DFDE【答案】(1)见详解(2)见详解【分析】（1）根据∠FEA=∠B，∠BAE=∠EAF，证明ΔBAE∽ΔEAF（2）首先由∠DAF=∠CAE，得到∠DAE=∠CAF，然后进一步证明ΔDAE∽ΔCAB，根据相似三角形对应边成比例和对应角相等得到DEBC=ADAC，∠D=∠C（1）解：∵∠FEA=∠B，∠BAE=∠EAF，∴△BAE∽∴AEAF∴AE∵AF=BF=4，∴AE∴AE=42（2）证明：∵∠DAF=∠CAE，∠FAE=∠FAE，∴∠DAE=∠CAF，∵∠FEA=∠B，∴△DAE∽∴DEBC=AD∵∠DAF=∠EAC，∴△DAF∽∴DFEC∴DEBC∴CEBC【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握相似三角形的性质和判定方法．相似三角形性质：相似三角形对应边成比例，对应角相等．相似三角形的判定方法：①两组角对应相等的两个三角形相似；②两组边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似；③三组边对应成比例的两个三角形相似．【变式6-1】（2022·江苏·九年级专题练习）已知矩形ABCD的一条边AD＝8，将矩形ABCD折叠，使得顶点B落在CD边上的P点处．如图，已知折痕与边BC交于点O，连接AP、OP、OA．（1）求证：OCPD（2）若OP与PA的比为1：2，求边AB的长．【答案】（1）见解析；（2）10【分析】（1）根据折叠的性质得到∠APO=∠B=90°，根据相似三角形的判定定理证明ΔOCP∽ΔPDA，进而解答即可；（2）根据相似三角形的相似比得出PC=1【详解】证明：（1）由折叠的性质可知，∠APO=∠B=90°，∴∠APD+∠OPC=90°，又∠POC+∠OPC=90°，∴∠APD=∠POC，又∠D=∠C=90°，∴ΔOCP∽ΔPDA，∴OCPD（2）∵OP与PA的比为1：2，∴PC=1设AB=x，则DC=x，AP=x，DP=x-4，在Rt△APD中，AP2=A解得，x=10，即AB=10．【点睛】本题考查的是矩形的性质、折叠的性质、相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握折叠是一种轴对称，折叠前后的图形对应角相等、对应边相等．【变式6-2】（2022·全国·九年级专题练习）如图，在ΔABC中，AB=AC，D是边BC的延长线上一点，E是边AC上一点，且∠EBC=∠D．求证：CEAB【答案】见解析【分析】由AB=AC可知∠ABC=∠ACB，结合∠EBC=∠D，判定△BCD∽△DBA即可得证．【详解】证明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，即∠ABD=∠ECB，∵∠EBC=∠D，∴△BCD∽△DBA，∴CEAB【点睛】本题考查三角形的相似性质和判定，等相关知识点，牢记知识点是解题关键．【变式6-3】（2022·湖南益阳·九年级期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是BC边上的高，E是BC边上的一个动点（不与B，C重合），EF⊥AB，EG⊥AC，垂足分别为F，G．(1)求证：EGAD(2)FD与DG是否垂直？若垂直，请给出证明；若不垂直，请说明理由；【答案】(1)见解析(2)FD与DG垂直，证明见解析【分析】（1）由比例线段可知，我们需要证明△ADC∼△EGC,由两个角对应相等即可证得．（1）由矩形的判定定理可知，四边形AFEG为矩形，根据矩形的性质及相似三角形的判定可得到△AFD∼△CGD,从而不难得到结论．(1)在△ADC和△EGC中，∵∠ADC＝∠EGC，∠C＝∠C，∴△ADC∽△EGC．∴EGAD(2)FD与DG垂直．证明如下：

在四边形AFEG中，∵∠FAG＝∠AFE＝∠AGE＝90°，∴四边形AFEG为矩形．∴AF＝EG．∵EGAD∴AFAD=又∵△ABC为直角三角形，AD⊥BC，∴∠FAD＝∠C＝90°﹣∠DAC，∴△AFD∽△CGD．∴∠ADF＝∠CDG．∵∠CDG+∠ADG＝90°，∴∠ADF+∠ADG＝90°．即∠FDG＝90°．∴FD⊥DG．【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质，①如果两个三角形的两组对应角相等，那么这两个三角形相似;②如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似.【题型7尺规作图作相似三角形】【例7】（2022·山东烟台·八年级期末）尺规作图：如图，已知△ABC，且AB>AC．（只保留作图痕迹，不要求写出作法）(1)在AB边上求作点D，使DB=DC；(2)在AC边上求作点E，使△ADE∽△ACB．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）根据题意作出BC垂直平分线交AB于点D，即可求解；（2）作∠ADE=∠ACB即可求解．（1）如图所示，作出BC垂直平分线交AB于点D，D点即为所求；（2）如图所示，作∠ADE=∠ACB交AC于点E，点E即为所求．∵∠A=∠A,∠ACB=∠ADE，∴△ADE∽△ACB．【点睛】本题考查了作垂直平分线，作一个角等于已知角，掌握垂直平分线的性质，相似三角形的性质以及基本作图是解题的关键．【变式7-1】（2022·山东济宁·二模）如图，在△ABC中，∠BAC=90°,BD平分∠ABC．(1)求作△CDE使点E在BC上，且△CDE∽△CBD；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）(2)在（1）的条件下，若BA=3,∠ABC=60°，求【答案】(1)见解析(2)CE的长为2【分析】（1）根据作一个角等于已知角进行作图即可；（2）先求出∠C=30°，∠ABD=∠CBD=30°，再求出CD与BC的长，再由△CDE∽△CBD列出比例式CECD(1)作图如下：(2)∵∠BAC=90°，∠ABC=60°，∴∠C=30°，∵BD平分∠ABC．∴∠ABD=∠CBD=30°，∵在Rt△ABC中，BA=3，∠C∴AC=3∵在Rt△ABD中，BA=3，∠ABD∴AD=∴CD=2，∵△CDE∽△CBD，∴CECD∴CE2解得：CE=23【点睛】本题考查了相似三角形的性质及判定及直角三角形的性质，解决本题的关键是熟练掌握相似三角形的性质．【变式7-2】（2022·陕西宝鸡·一模）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，点D是AC边上一定点．请用尺规作图法在BC上求作一点P，使得△ABC∽△PCD．（保留作图痕迹，不写作法）【答案】见解析【分析】由△ABC∽△PCD和AB＝AC，可以推导出△PCD为等腰三角形，即可知点P在线段CD的中垂线上．【详解】解：∵△ABC∽△PCD，∴ABPC∴△PCD是以P为顶点的等腰三角形，及P在线段CD的中垂线上，如图，点P即为所求.【点睛】本题考查相似三角形的应用、尺规作图，通过相似找到线段关系，准确画出图像是解题的关键．【变式7-3】（2022·江苏省锡山高级中学实验学校模拟预测）如图，在四边形ABCD中，∠A=∠B．(1)请用无刻度的直尺和圆规按要求作图（不写作法，保留作图痕迹）：①过点D作AB的平行线交BC于点F；②P为AB边上的一点，且△DAP∽△PBC，请找出所有满足条件的点；(2)在（1）的条件下，若AD＝2，BC＝3，AB＝6，则AP＝．【答案】(1)见解析；(2)3+3或【分析】（1）延长AD，作∠EDF=∠A，则此时DF∥AB；先作DC的垂直平分线，过点D作AB的垂线交AB于点M，以C为顶点，CD为角的一条边，作∠DCO=ADM，交CD的垂直平分线于一点O，以O为圆心，以OC为半径作圆，与AB的交点即为所求作的点P；（2）根据相似三角形对应边相等，列出关于AP的关系式，求解即可．(1)如图所示：DF即为所求作的平行线；如图所示，符合条件的点P共有两个；(2)∵△DAP∽△PBC，∴ADPB设AP=x，则BP=6-x，∴26-x即x6-x-x解得：x1=3+3即AP=3+3或3-【点睛】本题主要考查了尺规作图，三角形相似的性质，熟练掌握尺规作一个角等于已知角，线段的垂直平分线，是解决本题的关键．【题型8在网格中画与已知三角形相似的三角形】【例8】（2022·安徽合肥·二模）如图是由边长为1的小正方形组成的网格，A、B、C、D四点均在正方形网格的格点上，线段AB、CD相交于点O．(1)请在网格图中画出两条线段（不添加另外的字母），构成一对相似三角形，并用“∽”符号写出这对相似三角形：(2)线段AO的长为______．【答案】(1)见解析，△AOC∽△BOD(2)3【分析】（1）如图，连接BD，AC即可，可得△AOC∽△BOD．（2）利用相似三角形的性质求解即可．(1)如图，连接AC，BD，由格点图可得BD∥AC，∴△AOC∽△BOD，(2)∵△AOC∽△BOD，∴OAOB∵DB=12+12=2，AC=∴OAOB∴AO=3OB，∴AO=3故答案为：3【点睛】本题考查作图-应用与设计，三角形的三边关系，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．【变式8-1】（2022·河南南阳·九年级期末）（1）如图，△ABC的三个顶点都在方格纸的格点上．在方格纸内画△A'B'C（2）△A【答案】（1）答案见解析；（2）12【分析】（1）根据相似比为2:1先确定对应点的位置，再连接即可得到答案；（2）先求出根据△ABC的面积，然后根据相似三角形的性质得到△A【详解】（1）如图，△A（2）由题意得，S∵△A'∴∴故答案为：12．【点睛】本题考查了相似三角形的判定定理及性质定理，涉及作图，熟练掌握知识是解题关键．【变式8-2】（2022·浙江温州·九年级专题练习）请在如图所示的网格中，运用无刻度直尺作图（保留作图痕迹）(1)在图1中画出线段AB的中垂线(2)如图2，在线段AB上找出点C，使AC:CB=1:2．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）取格点E，F，作直线EF即可；（2）将点A沿网格向下移动2个小格到点M，将点B沿网格向上移动4个小格到点N，连接MN交AB于点C，则点C即为所求．（1）如图所示，利用网格线确定中点，然后使二者垂直即可；（2）将点A沿网格向下移动2个小格到点M，将点B沿网格向上移动4个小格到点N，连接MN交AB于点C，∴AM:BN=1:2，∵△ACM∽△BCN，∴AM∴点C即为所求，如图所示：【点睛】本题考查作图—应用与设计作图，相似三角形的应用，解题关键是学会利用数形结合的思想解决问题．【变式8-3】（2022·浙江温州·九年级期中）如图，在8×8的方格中，△ABC的三个顶点都在小方格的顶点上，按要求画一个三角形，使它的顶点在方格的顶点上．(1)请在图1中画一个三角形，使它与△ABC相似，且相似比为2：1(2)请在图2中画一个三角形，使它与△ABC相似，且面积比为2：1【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）已知△ABC的三边长分别为AB＝22+22=22，AC＝12+22=5，BC＝3，则△A1B（2）已知△ABC的三边长分别为AB＝22+22=22，AC＝12+22=5，BC＝3，则△A2B2C（1）解：如图1所示：△A1B1C1即为所求；（2）如图2所示：△A2B2C2即为所求．【点睛】此题主要考查了相似变换，正确得出相似三角形的边长是解题关键．【题型9新定义中的相似三角形】【例9】（2022·陕西渭南·九年级期末）四边形的一条对角线把这个四边形分成两个三角形，如果这两个三角形相似（不全等），我们就把这条对角线称为这个四边形的“理想对角线”．(1)如图1，在四边形ABCD中，∠ABC=70°，AB=AD，AD∥BC，当∠ADC=145°时．求证：对角线BD是四边形ABCD的“理想对角线”；(2)如图2，四边形ABCD中，CA平分∠BCD，BC=3，CD=2，对角线AC是四边形ABCD的“理想对角线”，求AC的长．【答案】(1)证明见解析；(2)6【分析】（1）利用两角对应相等证明△ABD∽△DBC，可得结论；（2）利用“理想对角线”的定义可得△ABC与△DAC相似，先找到对应角（分两种情况），再利用相似三角形的性质即可求解．（1）证明：如图1中，∵AB=AD，∴∠ABD=∠ADB，∵AD∥BC，∠ABC=70°，∴∠ADB=∠DBC，∴∠ABD=∠DBC=1∵AD∥BC，∠ADC=145°，∴∠C=180°-∠ADC=180°-145°=35°，∴∠ABD=∠DBC=∠ADB=∠C=35°，∴△ABD∽△DBC，∴对角线BD是四边形ABCD的“理想对角线”．（2）解：如图2中，∵CA平分∠BCD，∴∠BCA=∠ACD，∵对角线AC是四边形ABCD的“理想对角线”，∴△ABC与△DAC相似，①若∠ABC=∠DAC，则△ABC∽△DAC，∴ACBC=DC∵BC=3，CD=2，∴AC解得：AC1=②若∠BAC=∠DAC，∵AC=AC，∠BCA=∠ACD，∴△ABC≌△DAC，与四边形的“理想对角线”的定义矛盾，∴∠BAC与∠DAC不相等，即第二种情况不存在．综上所述，AC的长为6．【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，四边形的“理想对角线”的定义，等边对等角，平行线的性质，角平分线的性质等知识．解题的关键是灵活运用相似三角形的判定和性质．【变式9-1】（2022·福建·厦门市第五中学八年级期中）定义：若一个三角形最长边是最短边的2倍，我们把这样的三角形叫做“和谐三角形”．在△ABC中，点F在边AC上，D是边BC上的一点，AB＝BD，点A，D关于直线l对称，且直线l经过点F．（1）如图1，求作点F；（用直尺和圆规作图保留作图痕迹，不写作法）（2）如图2，△ABC是“和谐三角形”，三边长BC，AC，AB分别a，b，c，且满足下列两个条件：a≠2b，和a2＋4c2＝4ac＋a﹣b﹣1．①求a，b之间的等量关系；②若AE是△ABD的中线．求证：△ACE是“和谐三角形”．【答案】（1）见解析（2）①a=b+1②见解析【分析】（1）作AD的垂直平分线，交AC于F点即可；（2）①根据题意得到a=2c，联立a2＋4c2＝4ac＋a﹣b﹣1即可求解；②证明△ABE∽△CBA，得到AECA【详解】（1）如图，点F为所求；（2）①∵△ABC是“和谐三角形”∴a=2c又a2＋4c2＝4ac＋a﹣b﹣1．联立化简得到a=b+1；②∵E点是BD中点∴BE=1由①得到AB=1∴AB又∠ABE=∠CBA∴△ABE∽△CBA∴AB故△ACE是“和谐三角形”．【点睛】此题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟知垂直平分线的做法．【变式9-2】（2022·江苏常州·九年级期末）如果经过一个三角形某个顶点的直线将这个三角形分成两部分，其中一部分与原三角形相似，那么称这条直线被原三角形截得的线段为这个三角形的“形似线段”．(1)在△ABC中，∠A=30．①如图1，若∠B=100°，请过顶点C画出△ABC的“形似线段”CM，并标注必要度数；②如图2，若∠B=90°，BC=1，则△ABC的“形似线段”的长是．(2)如图3，在DEF中，DE=4，EF=6，DF=8，若EG是DEF的“形似线段”，求EG的长．【答案】(1)①见解析；②32或(2)3【分析】（1）①使∠BCM=30°即可，②利用三角形相似求解，分论讨论，当∠CBD=30°时，当∠CDB=60°时，结合勾股定理求解；（2）进行分类讨论，若△DEG∽△DFE，若△FEG∽△FDE，结合DE=4，EF=6，DF=8进行求解．(1)①如图所示，②分论讨论如下：当∠CBD=30°时，如下图：∴DC=1∵∠A=30°，∴∠C=60°，∴BD=B当∠CDB=60°时，如下图：设BD=x，则DC=2x，(2x)2解得：x=3∴DC=2则△ABC的“形似线段”的长是32或2故答案为：32或2(2)解：①若△DEG∽△DFE，则EGEF∵DE=4，EF=6，DF=8，∴EG=3．②若△FEG∽△FDE，则EGDE∵DE=4，EF=6，DF=8，∴EG=3．综上，EG=【点睛】本题考查了三角形相似的判定及性质，勾股定理，解题的关键是掌握三角形相似的判定及性质，及利用分论讨论的思想进行求解．【变式9-3】（2022·安徽合肥·二模）定义：如果一个三角形中有一个角是另一个角的2倍，那么我们称这样的三角形为倍角三角形．根据上述定义可知倍角三角形中有一个角是另一个角的2倍，所以我们就可以通过作出其中的2倍角的角平分线，得出一对相似三角形，再利用我们学过的相似三角形的性质解决相关问题．请通过这种方法解答下列问题：(1)如图1，△ABC中，AD是角平分线，且AB2=BD⋅BC(2)如图2，已知△ABC是倍角三角形，且∠A=2∠C，AB=8，BC=10，求AC的长；(3)如图3，已知△ABC中，∠A=3∠C，AB=8，BC=10，求AC的长．【答案】(1)见解析(2)AC=4.5(3)AC=3【分析】（1）根据相似三角形的判定可证△ABD∽△CBA，进而由相似三角形的性质可得∠BAD=∠C，角平分线的性质可得∠BAC=2∠BAD，等量代换即可求证结论；（2）作△ABC的角平分线AD，根据角平分线的性质易得∠BAC=2∠BAD=2∠CAD，进而可证△ABD∽△CBA，根据相似三角形的性质可得AB2=BD⋅BC，进而可得BD、CD，由等角对等边可得AD=CD=（3）过点A作∠BAC的三等分角，AD，AE，分别交BC于点D，E，根据三等分线的性质可知：∠BAC=3∠BAD=3∠DAE=3∠CAE，进而可证△ABD∼△CBA，由相似三角形的性质可得：AB2=BD⋅BC，进而可得BD、CD，根据外角的性质和等量代换可得∠BAE=∠BEA=2∠C,进而由等角对等边可得BE=AB=8，进而可得△ADE∽△CDA，由相似三角形的性质可得：A(1)∵AB∴ABBC∵∠B=∠B，∴△ABD∽△CBA，∴∠BAD=∠C，∵AD是△ABC的角平分线，∴∠BAC=2∠BAD，∴∠BAC=2∠C，∴△ABC是倍角三角形：(2)如图2，作△ABC的角平分线AD，则∠BAC=2∠BAD=2∠CAD，∵∠BAC=2∠C，∴∠BAD=∠C，∵∠B=∠B，∴△ABD∽△CBA，∴AB∴BD=6.4，∴CD=BC-BD=10-6.4=3.6，∵∠CAD=∠C，∴AD=CD=3.6，∵ADAC∴3.6AC∴AC=4.5(3)如图3，过点A作∠BAC的三等分角，AD，AE分别交BC于点D，E，则∠BAC=3∠BAD=3∠DAE=3∠CAE，∵∠BAC=3∠C，∴∠BAD=∠C，∵∠B=∠B，∴△ABD∼△CBA，∴AB∴BD=6.4，∴CD=BC-BD=10-6.4=3.6，∵∠BAE=∠BEA=2∠C，∴BE=AB=8，∴CE=2，DE=1.6，∵∠CAE=∠C，∴AE=CE=2，∵∠DAE=∠C，∠ADC=∠EDA，∴△ADE∽∴AD∴AD=2.4，∵AEAC∴2AC∴AC=3.【点睛】本题考查相似三角形的判定及其性质、角平分线的性质、等角对等边等知识，正确做辅助线构造相似三角形，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法及其性质．【题型10相似与函数综合探究】【例10】（2022·辽宁大连·九年级期末）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8．点D是线段AC上的一点，点E在射线CB上且∠CDE＝∠B．(1)求BC的长；(2)若AD＝x，△CDE的面积与△ABC重合部分的面积是y，求y关于x的函数解析式，并直接写出自变量x的取值范围．【答案】(1)6(2)y=-【分析】（1）根据勾股定理可以直接求得BC的长；（2）当点E在线段BC上时，△CDE的面积与△ABC重合部分的面积是△CDE的面积，根据△ABC∽△EDC得到CE即可求出△CDE的面积，当点E在CB的延长线上时，根据相似三角形的性质求出高OF关于x的表达式，即可求得S△ADO，从而得到y=S(1)解：∵∠C＝90°∴BC∴BC=A(2)解：当点E在线段BC上时，S∵∠C＝90°，∠CDE＝∠B，∴∠DEC=∴△ABC∽△EDC,∴DCBC∵AC=8,BC=6,DC=8-x∴CE=8∴S∴S△DCE如下图所示，当E点于B点重合，即BC=CE=6时，即43得x=7∴当72≤x≤8时，当0≤x<72时，点E在设AB交DE于点O，过点O作OF⊥AC，∵∠DFO=∠C=90∘，∴△FDO∽△CBA，∵∠DFO=∠C=90∘，∴△AFO∽△ACB，∴FOAC=设OF=h，∵AF∴h86h=8n即3h=4n6x+6n=8h解方程组得：h=12∴S△ADOy=S∴y=-67【点睛】本题考查直角三角形、相似三角形的性质，解题的关键是根据相似三角形对应边成比例建立等式，得到相应边长关于x的表达式，从而求得三角形的面积，最终得到函数的解析式．【变式10-1】（2022·全国·九年级）如图，AB⊥BD，CD⊥BD，B、D分别为垂足．(1)已知：∠APC＝90°，求证：△ABP∽△PDC．(2)已知：AB＝2，CD＝3，BD＝7，点P是线段BD上的一动点，若使点P分别与A、B和C、D构成的两个三角形相似，求线段PB的值．(3)已知：AB＝2，CD＝3，点P是直线BD上的一动点，设PB＝x，BD＝y，使点P分别与A、B和C、D构成的两个三角形相似，求y关于x的函数解析式．【答案】(1)证明见解析；(2)PB＝1，或PB＝6，或PB＝145(3)①当P线段BD上时①△ABP∽△PDC时，y=x+6x；②△ABP∽△CDP，y=52x；③当点P在在BD的延长线上时，【分析】（1）由于AB⊥BD，CD⊥BD，可知∠B与∠D为直角，又∠APC＝90°，则∠APB+∠CPD＝90°，可以得出∠A＝∠CPD，从而证出△ABP∽△PDC．（2）设PB＝x，则PD为（7﹣x），然后分两种情况讨论：①△ABP∽△PDC；②△ABP∽△CDP．据此，即可利用相似三角形的性质列出比例式，从而求出线段PB的值．（3）分三种情形情况讨论：当点P在线段BD时①△ABP∽△PDC；②△ABP∽△CDP．据此，即可利用相似三角形的性质列出含x、y的比例式，从而求出y关于x的函数解析式，当点P在线段BD的延长线上，当点P在线段DB的延长线上时，分解求解即可；（1）解：证明：∵AB⊥BD，CD⊥BD，∴∠B＝∠D＝90°①，∴∠A+∠APB＝90°，又∵∠APB+∠CPD＝90°，∴∠A＝∠CPD②，∴由①②，△ABP∽△PDC．（2）设PB＝x，则PD为（7﹣x），①△ABP∽△PDC时，ABPD即27-x解得，（x﹣1）（x﹣6）＝0，x＝1或x＝6，②△ABP∽△CDP．ABCD即23解得x＝145综上所述，PB＝1，或PB＝6，或PB＝145（3）当P线段BD上时①△ABP∽△PDC时，ABPD即2y-x整理得，y＝x+6x②△ABP∽△CDP．ABCD即2整理得，y＝52x当点P在在BD的延长线上时，③△ABP∽△PDC时，ABPD∵PD＝PB﹣BD＝x﹣y，2x-yy＝x﹣6x当P在DB的延长线时，④△PBA∽△CDP，PBCD＝AB∴x3∴y＝6x﹣x⑤△PAB∽△PCD时，PBPD∴xx+y＝2∴y＝12x【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，分类讨论思想是解题的关键．【变式10-2】（2022·广东茂名·二模）如图，在矩形OABC中，OA=3，AB=4，反比例函数y=kxk>0的图像与矩形的边AB、BC分别交于点D、E(1)求点D的坐标及k的值；(2)点Pm,0m>2是线段OC上的一个动点，当△AOP∽△PCE时，求【答案】(1)43,3(2)10【分析】（1）利用矩形的性质结合BD=2AD即可求得AD，即可求出D点坐标；将D点坐标代入反比例函数解析式即可求k；（2）连接BP，设OP=m，CP=4-m，根据△AOP∽△PCE，得OAPC=OPCE，即可求出m，则在(1)∵AB=4，BD=2AD，∴AB=AD+BD=AD+2AD=3AD=4，∴AD=4又∵OA=3，∴D(4∵点D在双曲线y=k∴k=4(2)连接BP，如图，依题意设OP=m，CP=4-m．∵△AOP∽△PCE，∴OAPC即34-m解得m=1（不合题意，舍去）或m=3，经检验m=3是原方程的根，∴OP=3∴PC=OC-OP=4-3=1．∵BC=OA=3，∴在Rt△BCP中，由勾股定理得：BP=1【点睛】本题考查了矩形的性质、求反比例函数的的参数、相似三角形的性质、勾股定理以及解分式方程等知识，利用△AOP∽△PCE，得到OAPC【变式10-3】（2022·四川成都·三模）已知：如图，菱形ABCD中，对角线AC，且AC＝12cm，BD＝16cm．点P从点B出发，速度为1cm/s；同时，点Q沿DB方向匀速运动，速度为1cm/s，且与AD，BD，Q，F；当直线EF停止运动时，点P也停止运动．连接PF（s）（0＜t＜8）．解答下列问题：(1)当t为何值时，四边形APFD是平行四边形？(2)设四边形APFE的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式；(3)是否存在某一时刻t，使S四边形APFE：S菱形ABCD＝17：40？若存在，求出t的值，并求出此时PE的长度；若不存在，请说明理由．【答案】(1)t=(2)y＝﹣t2+25t(3)存在，19455【分析】（1）由四边形ABCD是菱形，OA=12AC，OB=12BD．在Rt△AOB中，运用勾股定理求出AB=10．再由ΔDFQ∽ΔDCO（2）过点C作CG⊥AB于点G，由S菱形ABCD=AB⋅CG=12AC⋅BD，求出CG．据S梯形（3）过点C作CG⊥AB于点G，由S菱形ABCD=AB⋅CG，求出CG，由S四边形APFE:S菱形ABCD=17:40，求出t，再由ΔPBN∽（1）∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥CD，AC⊥BD，OA=OC=1在Rt△AOB中，AB=6∵EF⊥BD，∴∠FQD=∠COD=90°．又∵∠FDQ=∠CDO，∴Δ∴DFDC即DF10∴DF=5∵四边形APFD是平行四边形，∴AP=DF．即10-t=5解这个方程，得t=40∴当t=409s（2）如图1，过点C作CG⊥AB于点G，∵S即10⋅CG=1∴CG=48∴=1∵Δ∴QDOD即t8∴QF=3同理，EQ=3∴EF=QF+EQ=3∴S∴y=(6（3）如图2，过点P作PM⊥EF于点M，PN⊥BD于点N，若S四边形则-3即5t解这个方程，得t1=4，过点P作PM⊥EF于点M，PN⊥BD于点N，当t=4时，∵Δ∴PNAO=PB∴PN=125，∴EM=EQ-MQ=3-12PM=BD-BN-DQ=16-16在Rt△PME中，PE=P【点睛】本题主要考查了四边形的综合知识，主要涉及到菱形的性质、平行四边形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、函数与方程以及数形结合思想的综合运用，解题的关键是根据三角形相似比求出相关线段．专题6.5相似三角形的应用【七大题型】【苏科版】TOC\o"1-3"\h\u【题型1相似三角形的应用（九章算术）】 1【题型2相似三角形的应用（影长问题）】 3【题型3相似三角形的应用（杠杆问题）】 4【题型4相似三角形的应用（建筑物问题）】 6【题型5相似三角形的应用（树高问题）】 8【题型6相似三角形的应用（河宽问题）】 9【题型7相似三角形的应用（内接矩形问题）】 11【知识点相似三角形的应用】在实际生活中，我们面对不能直接测量物体的高度和宽度时，可以把它们转化为数学问题，建立相似三角形模型，再利用对应边的比相等来达到求解的目的。同时，需要掌握并应用一些简单的相似三角形模型。【题型1相似三角形的应用（九章算术）】【例1】（2021·北京大兴·九年级期中）《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，在“勾股”章中有这样一个问题：“今有邑方二百步，各中开门，出东门十五步有木，问：出南门几步而见木？”用今天的话说，大意是：如图，DEFG是一座边长为200步（“步”是古代的长度单位）的正方形小城，东门H位于GD的中点，南门K位于ED的中点，出东门15步的A处有一树木，求出南门多少步恰好看到位于A处的树木（即点D在直线AC上）．【变式1-1】（2022·湖南株洲·九年级期末）《九章算术》中记载了一种测量古井水面以上部分深度的方法．如图所示，在井口A处立一根垂直于井口的木杆AB，从木杆的顶端B观察井水水岸D，视线BD与井口的直径AC交于点E，如果测得AB=1米，AC=1.6米，AE=0.4米，那么CD为（

）米．A．5 B．4 C．3 D．2【变式1-2】（2022·河北·二模）《九章算术》的“勾股”章中有这样一个问题：“今有邑方不知大小，各中开门．出北门二十步有木，出南门十四步，折而西行一千七百七十五步见木．问邑方几何？”大意是：如图，四边形EFGH是一座正方形小城，北门A位于FG的中点，南门B位于EH的中点．从北门出去正北方向20步远的C处有一树木，从南门出去向南行走14步，再向西行走1775步，恰好能看见C处的树木，则正方形小城的边长为（

）A．105步 B．200步 C．250步 D．305步【变式1-3】（2021·河南·鹤壁市淇滨中学九年级阶段练习）《海岛算经》是中国最早的一部测量数学著作，由刘徽于三国魏景元四年（公元263年）所撰，本为《九章算术注》之第十卷，题为《重差》，所有问题都是利用两次或多次测望所得的数据来推算可望而不可及的目标的高、深、广、远，因首题测算海岛的高、远得名《海岛算经》，亦为地图学提供了数学基础．《海岛算经》中的第4道“望谷”的题目为：今有望深谷，偃矩岸上，令勾高六尺．从勺端望谷底，入下股九尺一寸．又设重矩于上，其矩间相去三丈，更从勺端望谷底，入上股八尺五寸．问谷深几何？大致意思是：望一个如图所示的深谷，深谷的底部为线段MN，在山谷边缘处放置一个直角三角尺ABC，∠ACB＝90°，AC＝6尺，A，C，N在一条直线上，CN⊥MN，从点A处望山谷底部M处时，视线经过BC上的点E处，测得EC长为9尺1寸；将三角尺沿着射线CA方向向上平移3丈得到△A'B'C'，从A'处望山谷底部M处时，视线经过B【题型2相似三角形的应用（影长问题）】【例2】（2022·浙江金华·九年级期末）如图，小明在8：30测得某树的影长为16m，13：00时又测得该树的影长为4m，若两次日照的光线互相垂直，则这棵树的高度为（

）A．10m B．8m C．6m D．4m【变式2-1】（2022·江苏徐州·中考真题）如图，公园内有一个垂直于地面的立柱AB，其旁边有一个坡面CQ，坡角∠QCN=30∘．在阳光下，小明观察到在地面上的影长为120cm，在坡面上的影长为180【变式2-2】（2022·江苏宿迁·九年级期末）如图，河对岸有一路灯杆AB，在灯光下，小明在点D处，自己的影长DF=4m，沿BD方向到达点F处再测自己的影长FG=5m，如果小明的身高为1.6m，求路灯杆【变式2-3】（2022·黑龙江·大庆市庆新中学八年级期末）如图,小华在晚上由路灯A走向路灯B，当她走到P点时,发现她身后影子的顶端刚好接触到路灯A的底部,当她向前再步行12m到Q点时，发现她身前影子的顶端刚好接触到路灯B的底部.已知小萌的身高是1.6m，两路灯的高度都是9.6m，且AP=QB=xm.(1)求两路灯之间的距离.(2)当小萌在A，B之间走动时，在两灯光下的影子长是变化的，那么两个影子的长的和变吗?请说明理由.【题型3相似三角形的应用（杠杆问题）】【例3】（2022·山东临沂·二模）如图，EF是一个杠杆，可绕支点O自由转动，若动力F动和阻力F阻的施力方向都始终保持竖直向下，当阻力F阻不变时，则杠杆向下运动时FA．越来越小 B．不变 C．越来越大 D．无法确定【变式3-1】（2019·全国·九年级专题练习）如图，是用杠杆撬石头的示意图，C是支点，当用力压杠杆的A端时，杠杆绕C点转动，另一端B向上翘起，石头就被撬动，现有一块石头，要使其滚动，杠杆B端必须向上翘10cm，已知杠杆上的AC与BC长度之比为5:1，则要使这块石头滚动，至少要将杠杆的A端向下压多少厘米？【变式3-2】一根均匀的木棒OA所受重力G=10N，小亮以木棒的一端O为支点，竖直向上将木棒的另一端A缓慢拉到如图所示的位置，保持不动，此时拉力为F，若点B为OA的中点，AC，BD分别垂直地面于点C，D，则根据杠杆平衡原理得拉力F的大小为（

）A．5N B．10N C．15N D．20N【变式3-3】（2021·甘肃白银·九年级期末）如图，以点O为支点的杠杆，在A端用竖直向上的拉力将重为G的物体匀速拉起，当杠杆OA水平时，拉力为F；当杠杆被拉至OA1时，拉力为F1，过点B1作B1C⊥OA，过点A1作A1D⊥OA，垂足分别为点C、D．在下列结论中：①△OB1C∽△OA1D；②OA•OC=OB•OD；③OC•G=OD•FA．①②④ B．②③④ C．①②③ D．①②③④【题型4相似三角形的应用（建筑物问题）】【例4】（2019·四川·成都市双流区立格实验学校九年级阶段练习）刘徽，公元3世纪人，是中国历史上最杰出的数学家之一．《九章算术注》和《海岛算经》是他留给后世最宝贵的数学遗产．《海岛算经》第一个问题的大意是：如图，要测量海岛上一座山峰A的高度AH，立两根高3丈的标杆BC和DE，两杆之间的距离BD＝1000步，点D、B、H成一线，从B处退行123步到点F处，人的眼睛贴着地面观察点A，点A、C、F也成一线，从DE退行127步到点G处，从G观察A点，A，E，G三点也成一线，试计算山峰的高度AH及BH的长（这里古制1步＝6尺，1里＝180丈＝1800尺＝300步，结果用步来表示）．【变式4-1】（2022·陕西·武功县教育局教育教学研究室一模）千佛铁塔位于陕西省咸阳市之北杜镇，用纯铁铸成，中空有梯可攀登，四角柱铸成金刚力士像，顶立层楼，各层环周铸铁佛多尊，故名“千佛塔”，此塔为中国现存铁塔中最高的一座．某数学兴趣小组本着用数学知识解决实际问题的想法，欲测量该塔的高度．如图，在点C处有一建筑物，小丽同学站在建筑物上，眼睛位于点D处，她手拿一支长0.5米的竹竿EF，边观察边移动竹竿（竹竿EF始终与地面垂直），当移动到如图所示的位置时，眼睛D与竹竿、塔的顶端E、A共线，同时眼睛D与它们的底端F、B也恰好共线，此时测得∠BDC=63°，小丽的眼睛距竹竿的距离为0.5米，小丽的眼睛距地面的高度CD=17米，已知AB⊥BC，DC⊥BC．请你根据以上测量结果计算该塔的高度AB．【参考数据：tan63°≈2【变式4-2】（2022·陕西·模拟预测）延安宝塔，是历史名城延安的标志，是革命圣地的象征，坐落在陕西省延安市主城东南的宝塔山景区内．周末，数学实践小组的同学带着测量工具测量延安宝塔的高度．测量方案如下：首先，在A处竖立一根高4m的标杆AB，发现地面上的点D、标杆顶端B与宝塔顶端M在一条直线上，测得AD=4.3m；然后，移开标杆，在A处放置测角仪，调整测角仪的高度，当测角仪高AC为1m时，恰好测得点M的仰角为45°已知MN⊥ND，AB⊥ND，点D、A、N在一条直线上，点A，C、B在一条直线上，求延安宝塔的高MN．【变式4-3】（2022·陕西西安·一模）“揽月阁”位于西安市雁塔南路最南端，是西安唐文化的标志性建筑，阳光明媚的一天，某校九年级一班的兴趣小组去测量揽月阁的高度．揽月阁前面有个高1米的平台，身高1.8米的小强在台上走动，当小强走到点C处，小红蹲在台下点N处，其视线通过边缘点M和小强头顶点D正好看到塔顶A点，测得CM=0.9米，然后小强从正前方跳下后，往前走到点E处，此时发现小强头顶F在太阳下的影子恰好和塔顶A在地面上的影子重合于点P处，测得NE=5米，EP=1米．请你根据以上数据帮助兴趣小组求出揽月阁的高度．【题型5相似三角形的应用（树高问题）】【例5】（2011·辽宁大连·中考真题）为了测量校园内一棵不可攀的树的高度，学校数学应用