专题4.8三角形的中位线大题专练（重难点培优30题）-【拔尖特训】2022-2023学年八年级数学下册尖子生培优必刷题（解析版）【浙教版】

【拔尖特训】2022-2023学年八年级数学下册尖子生培优必刷题【浙教版】专题4.8三角形的中位线大题专练（重难点培优30题）班级：___________________姓名：_________________得分：_______________注意事项：本试卷试题解答30道，共分成三个层组：基础过关题（第1-10题）、能力提升题（第11-20题）、培优压轴题（第21-30题），每个题组各10题，可以灵活选用．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、解答题1．（2022春·浙江金华·八年级校考阶段练习）已知：如图，在△ABC中，CF平分∠ACB，CA=CD，AE=EB．求证：EF=1【答案】见解析【分析】由等腰三角形的性质可证明F为AD的中点，可得EF为△ABD的中位线，可证得结论．【详解】证明：∵CA＝CD，CF平分∠ACB，∴CF为AD边上的中线，∴F为AD的中点，又AE＝EB，∴E为AB中点，∴EF为△ABD的中位线，∴EF＝12BD【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质和三角形中位线定理，利用等腰三角形“三线合一”的性质证得F为AD边的中点，是解题的关键．2．（2022春·浙江绍兴·八年级校联考期中）如图，等边△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，延长BC到点F，使CF＝12BC，连接DE，CD，EF(1)求证：四边形DCFE是平行四边形．(2)若AB=6，求四边形DCFE的周长．【答案】(1)详见解析(2)6+6【分析】（1）只要证明DE∥CF，DE=CF即可解决问题；（2）由四边形DCFE是平行四边形，可得EF=DC，由等边三角形的性质和勾股定理求出CD的长，即可得出答案．（1）证明：∵点D，E分别为AB，AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE∥BC，DE=12BC∵CF=12BC∴DE=CF，又∵DE∥CF，∴四边形DCFE是平行四边形．（2）解：由（1）得：四边形DCFE是平行四边形，∴EF=DC．∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC=6，∵D为AB的中点，∴CD⊥AB，在Rt△BCD中，BC=6，∴CD=B∴EF=DC=33∴四边形DCFE的周长=23+3【点睛】本题考查了平行四边形的性质，等边三角形的性质，三角形中位线定理、平行四边形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定与性质．3．（2022春·浙江舟山·八年级校考期中）如图，点E在□ABCD外，连接BE，DE，延长AC交DE于F，F为DE的中点．求证：AF//BE；【答案】见解析．【分析】连接BD交AC于点O，证明OF是△DBE的中位线，故可求解．【详解】证明：如图，连接BD交AC于点O，∵四边形ABCD是平行四边形，∴点O是BD的中点，∵F为DE的中点，∴OF是△DBE的中位线，∴OF//BE，∴AF//BE．【点睛】此题主要考查平行线的判定，解题的关键是熟知平行四边形的性质及中位线的判定定理．4．（2021春·浙江杭州·八年级期末）如图，点D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，连接BE，过点C作CF//BE，交DE的延长线于点F，若EF=3．（1）求证：四边形BCFE为平行四边形．（2）求DE的长．【答案】（1）见解析；（2）3【分析】（1）先证明DE为△ABC的中位线，即可证明四边形BCFE为平行四边形；（2）求出BC=EF=3，根据中位线定理即可求解．【详解】解：（1）∵D、E分别是△ABC的边AB、AC的中点，∴DE为△ABC的中位线，∴DE∥BC，DE=12BC∴EF∥BC，∵CF∥BE，∴四边形BCFE为平行四边形；（2）∵四边形BCFE为平行四边形，∴BC=EF=3，∴DE=12BC=3【点睛】本题考查了三角形中位线定理，平行四边形判定与性质，熟知三角形中位线定理是解题关键．5．（2022春·浙江绍兴·八年级嵊州市三界镇中学校联考期中）已知：D、E、F分别是△ABC三边的中点，求证：AD与EF互相平分．【答案】见解析【分析】连接DE、DF，利用三角形的中位线定理可以证得：四边形AEDF的两组对边分别平行，则是平行四边形，然后根据平行四边形的对角线互相平分即可证得结论．【详解】证明：连接DE、DF．∵D、F分别是BC，AC的中点，∴DF是△ABC的中位线．∴DF // AB，同理，DE // AC．∴四边形AEDF是平行四边形．∴AD与EF互相平分．【点睛】本题考查了三角形的中位线的判定与性质、平行四边形的判定与性质等知识点，熟知上述图形的判定与性质是解题的基础，根据题目特征，将AD与EF构造在一个四边形中是解题的关键．6．（2020春·浙江·八年级期中）在Rt△ABC中，∠BAC=90°，E、F分别是BC、AC的中点，延长BA到点D，使AB=2AD，连接DE、DF、AE、EF，AF与DE交于点O．（1）试说明AF与DE互相平分；（2）若AB=8,BC=12，求DO的长．【答案】（1）理由见详解；（2）OD=【分析】（1）由题意易得EF//AB，EF=12AB（2）由（1）可得∠EFA=90°，EO=OD，AO=OF，由勾股定理可得AC=45，进而可得EF=4,AF=2【详解】解：（1）∵E、F分别是BC、AC的中点，∴EF//AB，∵AB=2AD，∴EF∴四边形AEFD是平行四边形，∴AF与DE互相平分；（2）由（1）得：AF与DE互相平分，EF//AB，∵∠BAC=90°，∴∠EFA=90°，EO=OD，AO=OF，∵AB=8,BC=12，∴AC=B∴EF=4,AF=25∴AO=OF=5∴EO=E∴OD=21【点睛】本题主要考查三角形中位线、平行四边形的判定与性质及勾股定理，熟练掌握三角形中位线、平行四边形的判定与性质及勾股定理是解题的关键．7．（2020春·浙江·八年级期末）已知：如图，DE是△ABC的中位线，AF是BC边上的中线，DE和AF交于点O．求证：DE与AF互相平分．【答案】见解析【分析】连接DF、EF，根据DE是中位线、AF是中线证DF、EF是△ABC的中位线，据此知DF∥AC，EF∥AB，从而得出四边形ADFE是平行四边形，即可得证．【详解】解：证明：如图所示，连接DF、EF，∵DE是△ABC的中位线，∴点D是AB中点、点E是AC中点，又∵AF是BC边上的中线，∴F是BC中点，∴DF、EF是△ABC的中位线，∴DF∥AC，EF∥AB，∴四边形ADFE是平行四边形，∴DE与AF互相平分．【点睛】本题主要考查平行四边形的判定与性质，解题的关键是掌握平行四边形的判定与性质及三角形中位线定理的运用．8．（2021春·浙江杭州·八年级期中）如图，在△ABC中，AB=13，AC=23，点D在AC上，若BD=CD=10，AE平分∠BAC．（1）求AE的长；（2）若F是BC中点，求线段EF的长．【答案】（1）12；（2）5【分析】（1）先根据等腰三角形三线合一的性质得DE=5，根据勾股定理计算AE的长即可；（2）根据三角形的中位线定理可得结论．【详解】解：（1）∵AC=23，CD=10，∴AD=23-10=13，∵AB=13，∴AB=CD，∵AE平分∠BAC，∴DE=BE，AE⊥BD，∵BD=10，∴DE=5，∴AE=AD（2）∵E是BD的中点，F是BC中点，∴EF=12CD=12【点睛】本题考查了三角形的中位线定理和等腰三角形三线合一的性质，勾股定理的应用，熟练掌握这些性质是关键．9．（2022秋·浙江温州·八年级统考期中）如图，在△ABC中，AB=AC=210，AD是边BC上的高线，过点D作DE∥AC交AB(1)求证：△ADE是等腰三角形；(2)连接CE交AD于点H，若∠DCE=45°，求EH的长．【答案】(1)见解析；(2)2【分析】（1）利用等腰三角形三线合一的性质得出BD=CD，进而证得DE是三角形中位线，根据直角三角形斜边中线的性质得到结论．（2）作EG∥BC，交AD于G，根据三角形中位线的性质定理，平行线分线段成比例以及等腰直角三角形的性质，得出EH=12CH，AD=3DC，利用勾股定理求得CD【详解】（1）证明：在△ABC中，AB=AC，∴△ABC是等腰三角形，∵AD⊥BC，∴BD=CD，∵DE∥∴AE=BE，∴DE=1∴△ADE是等腰三角形；（2）作EG∥BC，交AD于∵AE=BE，∴AG=DG，∴EG=1∵EG∥∴GH∴GH=12DH∵AD⊥BC，∠DCE=45°，∴△CDH是等腰直角三角形，∴DH=DC，∴AD=3DC，∵AB=AC=210，A∴40=9DC∴DC=2，∴DH=DC=2，∴CH=2∴EH=1∴EH的长为2．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，直角三角形斜边中线的性质，平行线的性质，三角形中位线的判定和性质，平行线分线段成比例，勾股定理，熟练掌握知识点是解题的关键．10．（2022秋·浙江绍兴·八年级校联考期中）如图，△ABC中，BA=BC，CO⊥AB于点O，AO=2，BO=3．(1)求BC，AC的长；(2)若点D是射线OB上的一个动点，作DE⊥AC于点E，连接OE．当点D在线段OB上时，若△AOE是以AO为腰的等腰三角形，请求出所有符合条件的OD的长．【答案】(1)5，2(2)2或2【分析】（1）根据BA=BC可得BC的长，分别根据勾股定理可得OC和AC的长；（2）分两种情况：AO=OE和AO=AE时，分别画图，根据三角形的中位线定理和证明三角形全等可解决问题．【详解】（1）解：∵AO=2，BO=3，∴AB=5，∵BA=BC，∴BC=5，∵CO⊥AB，∴∠AOC=∠BOC=90°，由勾股定理得：CO=BAC=A（2）分两种情况：i)当AO=OE=4时，过O作ON⊥AC于N，如图1所示：∴AN=EN，∵DE⊥AC，∴ON∥∴ON是△ADE的中位线，∴OD=AO=2；ii)当AO=AE=4时，如图2所示：在△CAO和△DAE中，∠A=∠AAO=AE∴△CAO≌△DAE(ASA∴AD=AC=25∴OD=AD-AO=25综上所述，OD的长为2或25【点睛】本题是三角形的综合题，考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质、等腰三角形的判定和性质、勾股定理、分类讨论等知识；正确作出辅助线是等腰三角形是解题的关键．11．（2022春·浙江金华·八年级统考期末）如图1，在平行四边形ABCD中，点E、F分别为AD，BC的中点，点G，H在对角线BD上，且BG=DH．(1)求证：四边形EHFG是平行四边形．(2)如图2，连AC交BD于点O，若AC=6，HG=2BH，求HF的长．【答案】(1)见解析(2)HF=【分析】（1）利用平行四边形的性质证明△DEH≌△BFGSAS，可得EH=FG，∠EHD=∠FGB，再证明EH（2）证明HF是△OBC的中位线，从而可得答案．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC，AD∥∴∠EDH=∠FBG，∵E、F分别为▱ABCD的边AD、BC的中点，∴DE=BF，在△DEH与△BFG中，DE=BF∠EDH=∠FBG∴△DEH≌△BFGSAS∴EH=FG，∠EHD=∠FGB，∴∠EHG=∠FGH，∴EH∥∴四边形EHFG是平行四边形．（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，AC=6，∴OA=OC=3，OB=OD，∵BG=DH，∴BG-GH=DH-GH，即BH=DG，∴OB-BH=OD-DG，即OH=OG，∵HG=2BH，∴BH=OH，∵F为BC的中点，∴HF是△OBC的中位线，∴HF=1【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，三角形的中位线的定义与性质，熟练的利用平行四边形的性质进行证明是解本题的关键．12．（2022春·浙江温州·八年级统考期中）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，E、F分别是BC、AC的中点，延长BA到点D，使AB＝2AD，连接DE、DF、AE、EF，AF与DE交于点O．(1)试说明AF与DE互相平分；(2)若AB＝8，BC＝12，求DE的长．【答案】(1)证明见解析；(2)2【分析】（1）结合已知条件推知四边形AEFD是平行四边形，在该平行四边形的两条对角线互相平分；（2）根据勾股定理求得AC的长度，然后由平行四边形的性质和勾股定理来求DO的长度，即可求得DE的长．（1）证明：∵E、F分别是BC、AC的中点，∴EF是△ABC的中位线，∴EF∥AB且EF＝12AB又AB＝2AD，即AD＝12AB∴AD∥EF，AD＝EF，∴四边形AEFD是平行四边形，∴AF与DE互相平分；（2）∵在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝8，BC＝12，∴由勾股定理得AC=又由（1）知，OA＝OF，且AF＝CF，∴OA=1∴在△AOD中，∠DAO＝90°，AD＝12AB＝4，OA＝5∴由勾股定理得DO=D∴DE=2DO=221【点睛】本题考查了三角形中位线定理，勾股定理，平行四边形的判定与性质．三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半．13．（2022春·浙江杭州·八年级校考期中）如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，点M，N分别是AB，AD的中点．(1)求证：四边形AMON是平行四边形；(2)若AC=8，BD=6，∠AOB=90°，求四边形AMON的周长．【答案】(1)见解析(2)10【分析】（1）根据平行四边形的性质得到AO=CO，BO=DO，AB∥CD，AD∥BC，根据三角形中位线的性质得到MO∥BC,NO∥AB，根据平行四边形的判定可证得结论；（2）由勾股定理求得AB=5，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半得到OM=AM=MB=2.5，进而可求得结论．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO=OC，BO=OD，AB∥CD，AD∥BC，∵点M，N分别是AB，AD的中点，∴MO，NO分别是△ABC和△ADB的中位线，∴MO∥BC,NO∥AB，∴MO∥AN,NO∥AM∴四边形AMON是平行四边形；（2）解：∵∠AOB=90°，四边形ABCD是平行四边形,∴▱ABCD是菱形，AB=AD,∵AC=8，BD=6，∴AO=4，BO=3，∵∠AOB=90°，∴AB=A∴OM=AM=MB=2.5，ON=AN=ND=2.5,四边形AMON的周长为2.5×4=10．【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质和判定、菱形的性质与判定、三角形中位线的性质，直角三角形斜边的中线的性质，勾股定理等知识，灵活运用相关知识是解决问题的关键．14．（2022春·浙江宁波·八年级校联考期末）如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，BC的中点，点F，G是边AC的三等分点，DF，EG的延长线相交于点H．(1)求证：四边形FBGH是平行四边形．(2)求证：四边形ABCH是平行四边形．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）根据三角形中位线定理可得FH∥BG．GH∥BF，即可求证；（2）连结BH，交FG于点O，根据四边形FBGH是平行四边形．可得OB=OH,OF=OG．从而得到OA=OC，即可求证．（1）证明：∵点F，G是边AC的三等分点，∴F，G分别是AG，CF的中点．∵点D是AB的中点，∴DF∥BG，即FH∥BG．同理：GH∥BF，∴四边形FBGH是平行四边形．（2）证明：连结BH，交FG于点O，∵四边形FBGH是平行四边形，∴OB=OH,OF=OG．∵AF=CG，∴OA=OC，∴四边形ABCH是平行四边形．【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，三角形中位线定理，熟练掌握平行四边形的判定和性质，三角形中位线定理是解题的关键．15．（2022春·浙江金华·八年级校考期中）如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD交于点O，E、F分别是BO、DO的中点，G、H分别是AD、BC的中点，顺次连接G、E、H、F．(1)求证：四边形GEHF是平行四边形；(2)若BD＝2AB．①探究四边形GEHF的形状，并说明理由；②当AB＝2，∠ABD=60°时，求四边形GEHF的面积．【答案】(1)见解析(2)①四边形GEHF是矩形，理由见解析；②3【分析】（1）先根据平行四边形的性质可得OA=OC，再根据三角形中位线定理可得GF∥OA,GF=12OA,EH=（2）①连接GH，先根据平行四边形的判定证出四边形ABHG是平行四边形，再根据平行四边形的性质可得AB=GH，根据线段中点的定义可得BD=2EF，从而可得GH=AB=EF，然后根据矩形的判定即可得出结论；②先根据等边三角形的判定与性质可得OA=AB=2，则GF=1，再利用勾股定理可得GE=3（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，∵E、F分别为BO、DO的中点，G、H分别是AD、BC的中点，∴GF为△AOD的中位线，EH为△BOC的中位线，∴GF∥OA,GF=1∴EH∥GF,EH=GF，∴四边形GEHF是平行四边形．（2）解：①四边形GEHF是矩形，理由如下：如图，连接GH，∵四边形ABCD是平行四边形，∴OB＝OD，AD∥BC，AD＝BC，∵G、H分别是AD、BC的中点，∴AG＝BH，AG∥BH，∴四边形ABHG是平行四边形，∴AB＝GH，∵E、F分别是BO、DO的中点，∴BE＝OE＝OF＝DF，∴BD＝2EF，∵BD＝2AB，∴EF＝AB，∴GH＝EF，由（1）得：四边形GEHF是平行四边形，∴平行四边形GEHF是矩形；②由①得：GH＝EF＝OB＝AB＝2，四边形GEHF是矩形，∴∠EGF=90°，∵∠ABD=60°，∴△ABO是等边三角形，∴OA＝AB＝2，由（1）得：GF=1∴GE=E∴矩形GEHF的面积为GE⋅GF=3【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、矩形的判定与性质、三角形中位线定理、勾股定理等知识点，熟练掌握三角形中位线定理是解题关键．16．（江苏扬州市梅岭中学2018-2019学年八年级下学期第一次月考数学试题）已知，如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D、E分别是AB、AC的中点，F是BC延长线上的一点，且EF∥DC，（1）求证：四边形CDEF是平行四边形；（2）若EF＝2cm，求AB的长．【答案】（1）见解析；（2）4cm．【分析】（1）根据三角形中位线定理可得ED∥FC；结合已知条件EF∥DC，即可得结论；（2）根据直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半得到AB=2DC．【详解】（1）证明：如图，∵D、E分别是AB、AC的中点，F是BC延长线上的一点，∴ED是Rt△ABC的中位线，∴ED∥FC．又EF∥DC，∴四边形CDEF是平行四边形；（2）解：由（1）知，四边形CDEF是平行四边形，则DC＝EF＝2cm．∵点D是Rt△ABC斜边AB的中点，∴DC＝12AB∴AB＝2DC＝4cm．故答案为（1）见解析；（2）4cm．【点睛】本题考查平行四边形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线．解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定与性质以及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．17．（内蒙古巴彦淖尔市杭锦后旗四校联考2018-2019学年八年级下学期期末数学试题）如图，在△ABC中，点D、E分别是边BC、AC的中点，过点A作AF∥BC交DE的延长线于F点，连接AD、CF．（1）求证：四边形ADCF是平行四边形；（2）当△ABC满足什么条件时，四边形图ADCF是菱形？为什么？【答案】（1）见解析；（2）当△ABC是直角三角形，且∠BAC=90°时，四边形ADCF是菱形，理由见解析．【分析】（1）首先利用平行四边形的判定方法得出四边形ABDF是平行四边形，进而得出AF=DC，利用一组对边相等且平行的四边形是平行四边形，进而得出答案；（2）利用直角三角形的性质结合菱形的判定方法得出即可．【详解】（1）证明：∵点D、E分别是边BC、AC的中点，∴DE∥AB，BD=CD，∵AF∥BC，∴四边形ABDF是平行四边形，∴AF=BD，则AF=DC，∵AF∥BC，∴四边形ADCF是平行四边形；（2）解：当△ABC是直角三角形，且∠BAC=90°时，四边形ADCF是菱形，理由：∵△ABC是直角三角形，且∠BAC=90°又∵点D是边BC的中点，∴AD=DC，∴平行四边形ADCF是菱形．【点睛】本题考查平行四边形的判定与性质以及菱形的判定，熟练应用平行四边形的判定与性质是解题关键．18．（江苏省宿迁市宿城区钟吾初级中学2020-2021学年八年级下学期期中数学试题）如图，D、E分别是不等边三角形ABC（即AB≠BC≠AC）的边AB、AC的中点．O是△ABC内的动点，连接OB、OC，点G、F分别是OB、OC的中点，顺次连接点D、G、F、E．(1)求证：四边形DGFE是平行四边形；(2)若四边形DGFE是菱形，则OA与BC应满足怎样的数量关系？并说明理由.【答案】(1)证明见解析(2)OA＝BC，理由见解析【分析】（1）首先利用三角形中位线的性质得出DE∥BC，DE＝12BC，GF∥BC，GF＝12BC，从而得出DE∥GF，DE＝GF，即可证得四边形（2）由四边形DGFE是菱形，可得DG＝GF，再根据三角形中位线的性质可得DG＝12OA，GF＝12BC，从而得出OA＝（1）证明：∵D、E分别是边AB、AC的中点．∴DE∥BC，DE＝12BC∵点G、F分别是OB、OC的中点，∴GF∥BC，GF＝12BC∴DE∥GF，DE＝GF．∴四边形DEFG是平行四边形；（2）解：OA＝BC，理由如下：连接OA．∵四边形DEFG是菱形，∴DG＝GF，∵D是AB的中点，点G、F分别是OB、OC的中点，∴DG＝12OA，GF＝12∴OA＝BC．【点睛】本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，平行四边形的判定，菱形的判定以及平行四边形与菱形的关系，熟记相关的定理和性质是解题的关键．19．（江苏省泰州市泰州中学附属初级中学2021-2022学年八年级下学期3月月考数学试题）如图，在□ABCD中，点E是AB边的中点，(1)仅用一把无刻度的直尺画出CD边的中点F；(2)在（1）的条件下，求证：EF=BC．【答案】(1)见详解(2)见详解【分析】（1）连接AC、BD，两者交于点G，连接EG并延长交CD与点F，即可．（2）证明四边形ADFE是平行四边形即可．（1）作图如下：点F即为所求，证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥DC，CD=AB，对角线交点G平分对角线∴点G为AC、BD的中点，∵E点为AB中点，∴EG为△ABD的中位线，∴AD∥EG，即∵AB∥∴四边形ADFE是平行四边形，∴AE=DF，∵E点为AB中点，∴AE=BE=1∴DF=12AB∴F点为DC中点，即F点满足要求．（2）证明：在（1）中已证明有：四边形ADFE是平行四边形，∴AD=EF，∵AD=BC，∴EF=BC，结论得证．【点睛】本题主要考查了基本作图，平行四边形的判定与性质、中位线的判定与性质等知识，掌握平行四边形的性质是解答本题的关键．注意作图只能用无刻度直尺，并非尺规作图．20．（江苏省无锡市宜兴市丁蜀实验中学2022年八年级下学期3月月考数学试题）如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，AC=AD，M，N分别是AC，CD的中点，连接BM，MN，BN．(1)求证：BM=MN；(2)若∠BAD=60°，AC平分∠BAD，AC=2．①求∠BMN的度数；②求BN的长．【答案】(1)答案见解析(2)①∠BMN=90°；②BN=2【分析】（1）在△CAD中，由中位线定理得到MN∥AD，且MN=12AD，在Rt△ABC中，因为M是AC的中点，故BM=12（2）①由∠BAD=60°且AC平分∠BAD，得到∠BAC=∠DAC=30°，由（1）知，BM=12AC=AM=MC，得到∠BMC=60°，由平行线性质得到∠NMC=∠DAC=30°，故∠BMN=90°；②因为∠BMN=90°，由勾股定理得到，BN2=BM2+MN2，再由MN=BM=1，得到BN（1）解：在△CAD中，∵M、N分别是AC、CD的中点，∴MN∥AD，且MN=12AD在Rt△ABC中，∵M是AC的中点，∴BM=12AC又∵AC=AD，∴MN=BM；（2）①∵∠BAD=60°且AC平分∠BAD，∴∠BAC=∠DAC=30°，由（1）知，BM=12AC=AM=MC∴∠BMC=∠BAM+∠ABM=2∠BAM=60°，∵MN∥AD，∴∠NMC=∠DAC=30°，∴∠BMN=∠BMC+∠NMC=90°；②∵∠BMN=90°，∴BN2=BM2+MN2，而由（1）知，MN=BM=12AC=12∴BN==1【点睛】本题考查了三角形中位线定理、直角三角形斜边中线定理、三角形的外角、勾股定理等知识，解题的关键是灵活应用三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．21．（2022春·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨市第四十七中学校考阶段练习）在△ABC中，AD⊥BC，垂足为点D，点E是AB边的中点，DG∥AB，EG交AD于点F，EF=FG，连接DG．(1)如图1，求证：四边形BEGD是平行四边形；(2)如图2，连接DE、BF、CG，若AC=BF，CD=DF，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中长度为CG的2倍的线段．【答案】(1)见解析；(2)图2中长度为CG的2倍的线段是BD、EG、AD．【分析】（1）证明EF是△ABD的中位线，由三角形中位线定理得出BD=2EF，证出BD=EG，得出四边形BEGD是平行四边形；（2）由HL证明Rt△BDF和Rt△ADC，得出BD=AD，CD=DF=12AD，BD=EG=2FG，得出CD=FG【详解】（1）证明：∵DG∥AB，∴∠EAF=∠GDF，在△EAF与△GDF中，∠EAF=∠GDF∠AFE=∠DFG∴△EAF≌△GDF，∴AF=DF∴F是AD的中点，∵点E是AB边的中点，∴EF是△ABD的中位线，∴BD=2EF，BD∥EG∵EF=FG，∴BD=EG，∴四边形BEGD是平行四边形；（2）解：BD=EG=AD=2CG；理由如下：∵AD⊥BC，∴∠BDF=∠ADC=90°，在Rt△BDF和Rt△ADC∴Rt△BDF≌Rt△ADC∴BD=AD，∵CD=DF=12AD∴CD=FG，又∵FG∥CD，∴四边形CDFG是平行四边形，∴CG=DF=1∴BD=EG=AD=2CG，即图2中长度为CG的2倍的线段是BD、EG、AD．【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形中位线定理；熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明三角形全等是解决问题（2）的关键．22．（2023秋·山东烟台·八年级统考期末）已知：如图，在△ABC中，点D是边AB的中点，DE∥BC，交AC于点E，求证：AE=EC（请用两种方法进行证明）【答案】见解析【分析】方法一：过点B作BM∥AC，交ED的延长线于点M，证明△ADE≌△BDM，得出AE=BM，利用平行四边形的判定和性质解答即可；方法二：取BC中点M，连接DM，易知DM是△ABC的中位线，得到DM∥AC，DM=1【详解】证明：方法不唯一，答案仅供参考：方法一：过点B作BM∥AC，交ED的延长线于点M，∴∠A=∠DBM，∵点D是边AB的中点,∴AD=BD∵∠ADE=∠BDM∴△ADE≌△BDM（ASA），∴AE=BM∵BM∥AC，DE∥BC，∴四边形BCEM是平行四边形∴EC=BM∴AE=EC

方法二：取BC中点M，连接DM，∵点D是边AB的中点∴DM是△ABC的中位线，∴DM∥AC，DM=1∵DE∥BC，∴四边形DMCE是平行四边形∴DM=EC∴EC=12∴AE=EC，方法三：延长ED至M，使DM=DE，连接BM，（如图1，方法略）．方法四：过点D作DM∥AC，交BC于点M，（如图2，方法略）．【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形的中位线，熟练掌握平行四边形的判定和性质定理是解题的关键．23．（2023秋·山东淄博·八年级校考期末）求证：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半．已知：如图，点D、E分别是ΔABC的边AB、AC的中点，连接DE求证：DE∥BC，且（要求：尺规作图画出D点和E点，只保留作图痕迹，不写作法）【答案】见解析【分析】根据垂直平分线的作法，分别作线段AB和线段AC的垂直平分线，交点分别为点D和E，延长DE到F，使EF=DE，连接FC，证明△ADE≌△CFE(SAS)，得出∠ADE=∠F，AD=CF，再证明四边形【详解】证明：分别作线段AB和线段AC的垂直平分线，交点分别为点D和E，如图所示：∵D、E分别是AB、AC的中点，∴AD=BD，AE=CE，在△ADE与△CFE中，AE=CE∠AED=∠CEF∴△ADE≌△CFE(SAS∴∠ADE=∠F，AD=CF，∴CF∥AB，∴四边形BCFD是平行四边形，∴DF=BC，DF∥∴DE=1【点睛】本题主要考查了尺规尺规线段的垂直平分线，三角形中位线定理的证明，平行四边形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，解题的关键是熟练掌握尺规作线段的垂直平分线，平行四边形的判定方法．24．（2022秋·北京房山·八年级统考期末）如图，△ABC中，AB<AC，点D为BC边中点，∠BAD=α．作点B关于直线AD的对称点B'，连接BB'交AD于点E，过点C作CF∥AB(1)依题意补全图形，并直接写出∠AB'E和∠AFC(2)用等式表示线段AB，AF，CF之间的数量关系，并证明．【答案】(1)图见解析，∠AB'E=90°-α(2)AB+CF=AF，证明见解析．【分析】（1）根据题意，补全图形，再利用轴对称的性质以及平行线的性质，求解即可；（2）连接B'C，通过平行线的性质证明∠FB【详解】（1）解：如下图所示：由题意可得：AB=AB'，∴△ABB'为等腰三角形，∴∠AB'E=∠ABE=90°-∠BAD=90°-α∵CF∥∴∠BAF+∠AFC=180°，∴∠AFC=180°-∠BAF=180°-2α；（2）AB+CF=AF，证明如下：连接B'由题意可得：BE=B'E，∴DE∥∴∠BB∴∠B'∵CF∥∴∠ABC+∠FCB=180°，∴∠ABB又∵∠AB∴∠FB∴B'∵AB∴AB+CF=AF【点睛】此题考查了轴对称的性质，平行线的判定与性质，三角形中位线的性质，等腰三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握相关基本性质．25．（2022春·上海奉贤·八年级校考期末）已知：如图，在△ABC中，点D在AB上，BD=AC，E、F、G分别是BC、AD、CD的中点，EF、CA的延长线相交于点H．求证：(1)∠CGE=∠ACD+∠CAD；(2)AH=AF．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）由题目的已知条件可得EG是△BDC的中位线，所以EG∥BD，由此可得∠CGE=∠BDC，再根据三角形外角和定理即可证明（2）连接FG，易证△FGE是等腰三角形，所以∠GFE=∠GEF，再根据平行线的性质以及对顶角相等可证明∠H=∠AFE，进而可得：AH=AF，【详解】（1）证明∵E，G分别是BC，CD的中点，∴EG是△BDC的中位线，∴EG∥∴∠CGE=∠BDC，∵∠BDC=∠ACD+∠CAD，∴∠CGE=∠ACD+∠CAD；（2）解：连接FG，∵E，F，G分别是BC，AD，CD的中点，∴EG=12BD∵BD=AC，∴GE=GF，∴∠GFE=∠GEF，∵FG∥∴∠GFE=∠H，∵∠GEF=∠BFE=∠AFH，∴∠H=∠AFE，∴AH=AF．【点睛】本题考查了三角形的中位线定理，中位线是三角形中的一条重要线段，解题的关键是掌握中位线的性质．26．（2022秋·浙江宁波·八年级校联考期中）如图，△ABC中，BA=BC，CO⊥AB于点O，AO=2，BO=3．(1)求BC，AC的长；(2)若点D是射线OB上的一个动点，作DE⊥AC于点E，连结OE.当点D在线段OB上时，若△AOE是以AO为腰的等腰三角形，请求出所有符合条件的OD的长．【答案】(1)BC=5，AC=2(2)OD的长为2或2【分析】（1）由题意BA=BC=5，先由勾股定理求出CO的值，再根据勾股定理求出AC的值；（2）分两种情况AO=OE和AO=AE，根据三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半和证明△CAO≌△DAE，即可求出所有符合条件的OD的长．【详解】（1）解：∵AO=2，BO=3，∴AB=5，∵BA=BC，∴BC=5，∵CO⊥AB，∴∠AOC=∠BOC=90°，由勾股定理得：CO=BAC=A∴BC的长为5，AC的长为2（2）解：分两种情况：①当AO=OE时，过O作ON⊥AC于N，如图1所示：∴AN=EN，∵DE⊥AC，∴ON//DE，∴ON是△ADE的中位线，∴OD=AO=2；②当AO=AE时，如图2所示：在△CAO和△DAE中，∠A=∠AAO=AE∴△CAO≌△DAE(ASA∴AD=AC=25∴OD=AD-AO=2综上所述，OD的长为2或25【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，中位线定理，等腰三角形的判定和性质，以及勾股定理，牢固掌握其性质是解题的关键．27．（2022秋·福建厦门·八年级福建省厦门集美中学校考期中）如图1，在△ABC中，分别以AB，AC为直角边向△ABC外作等腰直角△ABD和等腰直角△ACE，其中，AB=AD，AC=AE，∠BAD=∠CAE=∠90°，连接DE．(1)求证：∠DAE=∠ABC+∠ACB；(2)如图2，若点M为BC中点，连接AM，判断AM与DE的数量与位置关系．【答案】(1)见解析(2)AM=12【分析】（1）根据三角形内角和定理得到∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°，又根据周角的性质得到∠BAC+∠DAE=180°等量代换即可得到结论；（2）延长CA至F，使FA=AC，并连接BF，证明△FBA≌△EDA，得出FB=DE，利用中位线的性质得出AM=12FB，从而得出AM=12DE，再延长MA交【详解】（1）证明：∵∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°，又∵∠BAC+∠DAE=360°-90°-90°=180°，∴∠DAE=∠ABC+∠ACB；（2）解：延长CA至F，使FA=AC，并连接BF，∵△ABD和△ACE为等腰直角三角形，∴AB=AD，AE=AC，

∵FA=AC，∴FA=AE，∵∠FAB=∠ABC+∠ACB，由（1）得∠DAE=∠ABC+∠ACB，∴∠FAB=∠DAE，在△FAB和△EAD中，FA=AE∠FAB=∠DAE∴△FBA≌△EDA，∴BF=DE，∠BFC=∠DEA，∵M为BC中点，A为FC中点，∴MA为△FBC的中位线，∴AM=12BF∴AM=1延长MA交DE于点G，∵∠BFC=∠DEA，∴∠MAC=∠DEA，∵∠EAC=90°，∴∠MAC+∠GAE=90°，∴∠DEA+∠GAE=90°，∴∠AGE=90°，∴MG⊥DE，即AM⊥DE，故AM与DE的数量与位置关系为：AM=12DE【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、中位线的性质以及三角形内角和定理，作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．28．（2022秋·浙江·八年级专题练习）如图1，在等腰Rt△ABC中，∠A=90°，点D、E分别在边AB、AC上，AD=AE，连接，点M、P、N分别为DE、DC、BC的中点．(1)观察猜想：图1中，线段PM与PN的数量关系是______，位置关系是______；(2)探究证明：把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN，BD，判断△PMN的形状，并说明理由；(3)拓展延伸：把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD=4，AB=10，求△PMN面积的最大值．【答案】(1)PM=PN，PM⊥PN(2)△PMN是等腰直角三角形，理由见解析(3)49【分析】（1）利用三角形的中位线定理得出PM=12CE，PN=12BD，进而得出BD=CE，即可得出结论，再利用三角形的中位线定理得出（2）先判断出△ABD≌△ACE(SAS)，得出BD=CE，同（1）的方法得出PM=12CE，PN=12BD，（3）由等腰直角三角形可知，当PM最大时，△PMN面积最大，而BD的最大值是AB+AD=14，即可得出结论．【详解】（1）解：∵P、N分别为DC、BC的中点，∴PN∥BD，PN=1∵点M、P分别为DE、DC的中点，∴PM∥CE，PM=1∵AB=AC，AD=AE，∴BD=CE，∴PM=PN，∵PN∥BD，PM∥CE，∴∠DPN=∠ADC，∠DPM=∠DCA，∵∠BAC=90°，∴∠ADC+∠ACD=90°，∴∠MPN=∠DPM+∠DPN=∠DCA+∠ADC=90°，∴PM⊥PN．故答案为：PM=PN，PM⊥PN．（2）解：△PMN是等腰直角三角形，理由如下．由旋转可知，∠BAD=∠CAE，∵AB=AC，AD=AE，∴△ABD≌△ACE(SAS∴∠ABD=∠ACE，BD=CE，由三角形的中位线定理得，PN=12BD，∴PM=PN，∴△PMN是等腰三角形，同（1）的方法可得，PM∥CE，PN∥BD，∠DPM=∠DCE，∠PNC=∠DBC，∵∠DPN=∠DCB+∠PNC=∠DCB+∠DBC，∴∠MPN=∠DPM+∠DPN=∠DCE+∠DCB+∠DBC，=∠BCE+∠DBC=∠ACB+∠ACE+∠DBC=∠ACB+∠ABD+∠DBC=∠ACB+∠ABC，∵∠ACB+∠ABC=90°，∴∠MPN=90°，∴△PMN是等腰直角三角形．（3）解：由（2）可知，△PMN是等腰直角三角形，PM=PN=1∴当PM最大时，△PMN面积最大，∴点D在BA的延长线上，∴BD=AB+AD=14