2025版高考数学一轮总复习第1章集合常用逻辑用语不等式第4讲一元二次不等式及其解法课件

第四讲一元二次不等式及其解法知识梳理·双基自测知

识

梳

理知识点一一元二次不等式的解法1．将不等式的右边化为零，左边化为二次项系数________零的不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)或ax2＋bx＋c<0(a>0)．2．计算相应的__________.3．当______时，求出相应的一元二次方程的根．4．利用二次函数的图象与x轴的______确定一元二次不等式的解集．大于判别式Δ≥0交点知识点二三个二次之间的关系判别式Δ＝b2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象两相异两相等没有{x|x>x2或x<x1}{x|x∈R且x≠x1}R{x|x1<x<x2}∅∅归

纳

拓

展1．ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立的充要条件是：a>0且b2－4ac<0(x∈R)．2．ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立的充要条件是：a<0且b2－4ac<0(x∈R)．注意：在题目中没有指明不等式为二次不等式时，若二次项系数中含有参数，应先对二次项系数为0的情况进行分析，检验此时是否符合条件．3．二次不等式解集的“边界值”是相应二次方程的根．4．一元高次不等式的解法，数轴穿根法：先因式分解再用穿根法，依据：从左至右，从上至下，依次穿根，奇过偶不过，注意x系数为正．如(x－1)2(x－2)(x－3)>0在数轴上标根穿线，点1处的线过而不穿．双

基

自

测题组一走出误区1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)不等式(x＋1)(2－x)<0的解集为(－1,2)．(

)(2)若不等式ax2＋bx＋c>0的解集为(x1，x2)，则a<0.(

)(3)若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c>0的解集为R.(

)×√×√×题组二走进教材2．(必修1P53T1改编)不等式－x2－5x＋6≥0的解集为(

)A．{x|－6≤x≤1} B．{x|2≤x≤3}C．{x|x≥3或x≤2} D．{x|x≥1或x≤－6}[解析]

不等式－x2－5x＋6≥0可化为x2＋5x－6≤0，即(x＋6)(x－1)≤0，解得－6≤x≤1，所以不等式的解集为{x|－6≤x≤1}．A3．(必修1P55T3改编)已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2＋bx＋c＝0的两个根，且x1＋x2＝5，x1x2＝6，则该一元二次方程是(

)A．x2＋5x＋6＝0 B．x2－5x＋6＝0C．x2－6x＋5＝0 D．x2－6x－5＝0B－145．(必修1P55T2)不等式mx2＋mx＋1>0对一切x∈R恒成立，则实数m的取值范围是________.[0,4)A7．(2019·天津高考)设x∈R，使不等式3x2＋x－2<0成立的x的取值范围是_______________.考点突破·互动探究一元二次不等式的解法——多维探究角度1不含参数的不等式

求下列不等式的解集．(1)x2－4x－5≤0；(2)－x2＋8x<3.(3)0<x2－x－2≤4.[解析]

(1)原不等式可化为(x－5)(x＋1)≤0，所以原不等式的解集为{x|－1≤x≤5}．名师点拨：解一元二次不等式的一般步骤1．化：把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式．2．判：计算对应方程的判别式．3．求：求出对应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程有没有实根．4．写：利用“大于取两边，小于取中间”写出不等式的解集．[引申1]把本例(1)中a<0改为a>0呢？[引申2]若再改为a∈R呢？再增加a＝0情况．名师点拨：含参数的不等式的求解往往需要分类讨论1．若二次项系数为常数，若判别式Δ≥0，可先考虑分解因式，再对根的大小分类讨论(分点由x1＝x2确定)；若不易分解因式，可考虑求根公式，以便写出解集，若Δ<0，则结合二次函数图象写出解集，若判别式符号不能确定，则需对判别式分类讨论(分点由Δ＝0确定)．2．若二次项系数为参数，则应先考虑二次项系数是否为零，然后讨论二次项系数大于零、小于零，以便确定解集形式．3．解简单分式不等式是通过移项、通分化为整式不等式求解，要注意分母不能为零．4．解简单的指数、对数不等式时，若底含有参数，则需对其是否大于1分类求解，注意对数的真数必须为正．【变式训练】1．(角度1)(多选题)下列四个不等式中，解集为∅的是(

)A．－x2＋x＋1≤0 B．2x2－3x＋4<0C．x2＋3x＋10≤0 D．x2－2x＋3<0[解析]

根据函数的开口方向和根的判别式，即可得出正确的选项．A选项，开口向下，不可能为空集，故A选项错误；B选项，开口向上，Δ＝9－4×2×4＝－23<0，解集为空集，故B选项正确；C选项，开口向上，Δ＝9－4×10＝－31<0，解集为空集，故C选项正确；D选项，开口向上，Δ＝4－4×3＝－8<0，解集为空集，故D选项正确．故选BCD.BCD2．(角度2)解不等式x2－(a＋1)x＋a<0(a∈R)．[解析]

由x2－(a＋1)x＋a＝0，得(x－a)(x－1)＝0，∴x1＝a，x2＝1，①当a>1时，x2－(a＋1)x＋a<0的解集为{x|1<x<a}，②当a＝1时，x2－(a＋1)x＋a<0的解集为∅，③当a<1时，x2－(a＋1)x＋a<0的解集为{x|a<x<1}.三个二次间的关系——师生共研[分析]

利用根与系数的关系求解．B[分析]

令f(x)＝x2＋ax－2，Δ＝a2＋8>0恒成立，又两根之积为负值，所以只要f(1)≥0或f(1)<0且f(5)>0，于是得解；思路二：“正难则反”，求x2＋ax－2≤0在区间[1,5]上恒成立的a的取值集合，只需f(5)≤0，再求其补集即可；思路三：分离参数．A[引申]若不等式x2＋ax－2<0在区间[1,5]上有解，则a的取值范围是____________.(－∞，1)名师点拨：已知不等式的解集，等于知道了与之对应方程的根，此时利用韦达定理或判别式即可求出参数的值或范围，为简化讨论注意数形结合，如本例(2)中对应的二次函数图象过点(0，－2)．【变式训练】1．若关于x的不等式ax2－6x＋a2<0的解集为{x|1<x<m}，则实数a的值为______，实数m的值为______.222．(2023·九江模拟)若关于x的不等式x2－4x－2－a>0在区间(1,4)内有解，则实数a的取值范围是(

)A．(－∞，－2) B．(－2，＋∞)C．(－6，＋∞) D．(－∞，－6)[解析]

解法一：由函数f(x)＝x2－4x－2－a图象的对称轴为x＝2.∴不等式x2－4x－2－a>0在区间(1,4)内有解⇔f(4)>0，即a<－2，故选A.解法二：(分离参数法)不等式x2－4x－2－a>0在区间(1,4)内有解等价于a<(x2－4x－2)max，令g(x)＝x2－4x－2，x∈(1,4)，∴g(x)<g(4)＝－2，∴a<－2.故选A.A一元二次不等式恒成立问题——师生共研2．在给定某区间上恒成立(1)当x∈[m，n]，f(x)＝ax2＋bx＋c≥0恒成立，结合图象，只需f(x)min≥0即可．(2)当x∈[m，n]，f(x)＝ax2＋bx＋c≤0恒成立，只需f(x)max≤0即可．3．解决恒成立问题一定要搞清谁是自变量，谁是参数．一般地，知道谁的范围，谁就是自变量，求谁的范围，谁就是参数．【变式训练】1．若不等式(a－3)x2＋2(a－3)x－4<0对一切x∈R恒成立，则实数a取值的集合为(

)A．(－∞，3) B．(－1,3)C．[－1,3] D．(－1,3]D2．(2024·山西忻州第一中学模拟)已知关于x的不等式x2－4x≥m对任意的x∈(0,1]恒成立，则有(

)A．m≤－3 B．m≥－3C．－3≤m<0 D．m≥－4[解析]

令f(x)＝x2－4x，x∈(0,1]，∵f(x)图象的对称轴为直线x＝2，∴f(x)在(0,1]上单调递减，∴当x＝1时，f(x)取得最小值－3，∴m≤－3，故选A.A3．已知对于任意的a∈[－1,1]，函数f(x)＝x2＋(a－4)x＋4－2a的值总大于0，则x的取值范围是(

)A．{x|1<x<3} B．{x|x<1或x>3}C．{x|1<x<2} D．{x|x<1或x>2}B名师讲坛·素养提升一元二次方程根的分布情况设方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0，Δ>0)有不相等的两根为x1，x2，且x1<x2，相应的二次函数为f(x)＝ax2＋bx＋c，方程的根即为二次函数的图象与x轴交点的横坐标，它们的分布情况见下面各表(每种情况对应的均是充要条件)．表一：(两根与0的大小比较即根的正负情况)分布情况两个负根即两根都小于0(x1<0，x2<0)两个正根即两根都大于0(x1>0，x2>0)一正根一负根即一个根小于0，一个根大于0(x1<0<x2)大致图象(a>0)得出的结论f(0)<0大致图象(a<0)得出的结论f(0)>0综合结论(不讨论a)a·f(0)<0表二：(两根与k的大小比较)分布情况两根都小于k即x1<k，x2<k两根都大于k即x1>k，x2>k一个根小于k，一个根大于k即x1<k<x2大致图象(a>0)得出的结论f(k)<0大致图象(a<0)得出的结论f(k)>0综合结论(不讨论a)a·f(k)<0表三：(根在区间上的分布)分布情况两根都在(m，n)内两根有且仅有一根在(m，n)内(图象有两种情况，只画了一种)一根在(m，