湖北省荆门市2023-2024学年高一上学期1月期末学业水平检测数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1湖北省荆门市2023-2024学年高一上学期1月期末学业水平检测数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知则()A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗，①当集合中的时，，，即，故此时，②当集合中的时，，，即，此时，综上所述，.故选：A.2.函数的定义域为（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗由，所以函数的定义域为：.故选：B.3.函数的零点所在的区间是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗函数在上单调递增，且在上连续，因为，，所以，所以函数的零点所在的区间是.故选：B.4.“”是“且”的（）A.必要不充分条件 B.充分不必要条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件〖答案〗A〖解析〗可令，，，则满足，但“且”不成立，所以“”不是“且”的充分条件；根据不等式的性质：由且，可得：，所以“”是“且”的必要条件.故选：A.5.“数摺聚清风，一捻生秋意”是宋朝朱翌描写折扇的诗句，折扇出人怀袖，扇面书画，扇骨雕琢，是文人雅士的宠物，所以有“怀袖雅物”的别号.当折扇所在扇形的圆心角为时，折扇的外观看上去是比较美观的，则此时折扇所在扇形的弦长与弧长之比为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗设扇形的弧长为，半径为，如图，取的中点，圆心角为，则，所以弦，又弧长，所以弦长与弧长之比为.故选：C.6.已知函数的值域为，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗当时，在上单调递增，且，所以函数在的值域是，因为函数的值域是，所以当时的函数值域应该包含，即.故选：B.7.古希腊科学家阿基米德在《论平面图形的平衡》一书中提出了杠杆原理，它是使用天平秤物品的理论基础，当天平平衡时，左臂长与左盘物品质量的乘积等于右臀长与右盘物品质量的乘积，某金店用一杆不准确的天平（两边臂不等长）称黄金，某顾客要购买黄金，售货员先将的砝码放在左盘，将黄金放于右盘使之平衡后给顾客；然后又将的砝码放入右盘，将另一黄金放于左盘使之平衡后又给顾客，则顾客实际所得黄金（）A.大于 B.小于 C.大于等于 D.小于等于〖答案〗A〖解析〗由于天平的两臂不相等，故可设天平左臂长为，右臂长为（不妨设），先称得的黄金的实际质量为，后称得的黄金的实际质量为，由杠杆的平衡原理：，，解得，，则，下面比较与10的大小：（作差比较法）因为，因为，所以，即，所以这样可知称出的黄金质量大于.故选：A.8.已知定义在R上的奇函数的图象关于直线对称，当时，，则方程在内的所有根之和为（）A12 B.6 C.4 D.2〖答案〗A〖解析〗定义在R上的奇函数的图象关于直线对称，，，函数的周期为4，又当时，，作出函数在上的图像如图所示：方程在内的所有根之和即为函数与函数的图像在上所有交点的横坐标之和，如图所示，两函数图像在上有四个交点，令横坐标分别为，且，，所以函数与函数的图像在上所有交点的横坐标之和为12.故选：A.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列计算结果为有理数的有（）A. B.C. D.〖答案〗ABC〖解析〗因为为有理数；为有理数；为有理数；为无理数.故选：ABC.10.已知，则下列结论正确的是（）A. B.C. D.〖答案〗AC〖解析〗由，故A正确；，故C正确；，故D错误；因为，所以为第一或第三象限角，若为第一象限角，则，所以；若为第三象限角，则，所以，所以B错误.故选：AC.11.关于函数，下列结论正确的有（）A.是偶函数 B.在区间单调递减C.的最大值为2 D.的周期为〖答案〗AC〖解析〗因为函数的定义域是，且，所以为偶函数，故A对；当时，，，所以；当时，，所以，所以函数的图象如下：所以函数在上单调递增，故B错；的最大值为，故C对；由图象可知，函数不是周期函数，故D错.故选：AC.12.生活经验告诉我们：克糖水中有克糖（，，且），若再添加克糖（）后，糖水会更甜.于是得出一个不等式：，趣称之为“糖水不等式”.根据“榶水不等式”判断下列命题一定正确的是（）A.若，，则B.C.若，，为三条边长，则D.若，，为三条边长，则〖答案〗BCD〖解析〗A：由糖水不等式得：，时，，故A错误；B：，故B正确；C：，故C正确；D：，，故D正确.故选：BCD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知幂函数是偶函数，则________.〖答案〗〖解析〗因为函数为幂函数，所以，解得或，当时，，函数为奇函数，不合题意；当时，，函数为偶函数，所以.故〖答案〗为：.14.若，，且，则的最小值是____________．〖答案〗〖解析〗因为（当且仅当时，等号成立），所以，所以，所以，所以，所以的最小值为.故〖答案〗为：.15.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，，已知函数，则函数的值域是__________〖答案〗〖解析〗依题意，由可得，即的值域为，所以函数的值域是.故〖答案〗为：.16.函数定义域为，满足，且当时，，若对任意的，都有，则的取值范围是________.〖答案〗〖解析〗由，当时，；设，则，所以；设时，则，所以，由，即或，由图象可得：，都有，故.故〖答案〗为：.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知函数的定义域为集合，集合.（1）若，求；（2）若，求实数的取值范围.解：（1）依题意：整理得，，当时，，∴.（2）∵，∴根据题意得：，解得：，则实数的取值范围是.18.已知.（1）化简；（2）若为第三象限角，且，求，.解：（1）.（2）∵为第三象限角，∴，又因为，故，.19.已知函数.（1）求的定义域，并判断其奇偶性；（2）判断函数在上的单调性，并用单调性的定义加以证明.解：（1）要使函数有意义，可得，解得且，故函数的定义域为，故，∴，又定义域关于原点对称，故为奇函数.（2）时，，判断：在单调递增，下用定义法证之：任取，且，，由得，，，故，即，故在单调递增.20.已知函数.（1）求在上的值域；（2），若对，，使得，求实数的取值范围.解：（1），，令，设，，函数在上单调递增，在上单调递减，∵，∴的值域为.（2）设的值域为集合，的值域为集合，根据题意可得：，由（1）有，又，所以在上单调递增，∵，，∴，由得，解得：，∴的取值范围是.21.环保生活，低碳出行，电动汽车正成为人们购车的热门选择.某型号电动汽车，在一段平坦的国道进行测试，国道限速.经多次测试得到，该汽车每小时耗电量（单位：）与速度（单位：）的下列数据：01040600132544007200为了描述国道上该汽车每小时耗电量与速度的关系，现有以下三种函数模型供选择：，，.（1）当时，请选出你认为最符合表格所列数据实际的函数模型，并求出相应的函数〖解析〗式；（2）现有一辆同型号汽车从地驶到地，前一段是的国道，后一段是的高速路，若已知高速路上该汽车每小时耗电量（单位：）与速度的关系是：（），则如何行驶才能使得总耗电量最少，最少为多少？解：（1）对于，当时，它无意义，所以不合题意；对于，它显然是个减函数，这与矛盾；故选择，根据提供的数据，有，解得，当时，.（2）国道路段长为，所用时间为，所耗电量为：，因为，当时，；高速路段长为，所用时间为，所耗电量为，当且仅当即时等号成立，所以，故当这辆车在国道上的行驶速度为，在高速路上的行驶速度为时，该车从地到地的总耗电量最少，最少为.22.已知函数.（1）当时，求不等式的解集；（2）对于函数，若，，，，，为某一三角形的三边长，则称为“