广西壮族自治区南宁市、河池市2024届高三教学质量监测二模数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1广西壮族自治区南宁市、河池市2024届高三教学质量监测二模数学试题一、选择题1.已知，若，且，则的取值范围是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由题意得且，解得．故选：A。2.已知复数，且，其中为实数，则（）A. B. C. D.4〖答案〗C〖解析〗因为复数，为实数，所以，所以，解得，所以.故选：C3.在倡导“节能环保”“低碳生活”的今天，新能源逐渐被人们所接受，进而青睐，新能源汽车作为新能源中的重要支柱产业之一取得了长足的发展．为预测某省未来新能源汽车的保有量，采用阻滞型模型进行估计．其中y为第t年底新能源汽车的保有量，r为年增长率，M为饱和量，为初始值（单位：万辆）．若该省2021年底的新能源汽车拥有量为20万辆，以此作为初始值，若以后每年的增长率为0.12，饱和量为1300万辆，那么2031年底该省新能源汽车的保有量为（精确到1万辆）（参考数据：，）（）A.62万 B.63万 C.64万 D.65万〖答案〗C〖解析〗根据题中所给阻滞型模型，代入有关数据，注意以2021年的为初始值，则2031年底该省新能源汽车的保有量为，因为，所以，所以故选：C。4.有2男2女共4名大学毕业生被分配到三个工厂实习，每人必须去一个工厂且每个工厂至少去1人，且工厂只接收女生，则不同的分配方法种数为（）A.12 B.14 C.22 D.24〖答案〗B〖解析〗按工厂接收的女生人数分类，第一类：工厂仅接收1名女生，从2名女生中选1人，有种选择，再把剩余的3人分为两组，和两工厂进行全排列，有种选择，故有种分配方法；第二类：工厂接收2名女生，则剩余的两个男生和两个工厂进行全排列，有种分配方法．综上，不同的分配方法有种．故选：。5.已知某棱长为的正四面体的各条棱都与同一球面相切，则该球的表面积为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗如图所示，在棱长为2的正方体中构造棱长为的正四面体，显然正四面体的棱切球即为正方体的内切球，故球的半径，则该球的表面积为．故选：A．6.已知函数，则满足不等式的的取值范围为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由，得的定义域为，又，故为偶函数，而当时，易知单调递增，而对于，在上恒成立，所以在上也单调递增，故在上单调递增，则由，得，解得或.故选：D.7.如图，四边形为正方形，平面，则三棱锥的体积为（）A.12 B.6 C. D.〖答案〗B〖解析〗如图所示，连接交于点，连接，因为四边形为正方形，所以，又因为平面平面，所以，因为平面，所以平面，又因为，过作于，可得四边形为矩形，则，所以，，，由余弦定理得，所以，所以，所以．故选：B．8.已知直线与轴和轴分别交于，两点，且，动点满足，则当，变化时，点到点的距离的最大值为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由，得，由，得，由，得，设，则，即，因此点C的轨迹为一动圆，设该动圆圆心为，即有，则代入，整理得：，即C轨迹的圆心在圆上（除此圆与坐标轴的交点外），点与圆上点连线的距离加上圆的半径即为点到点的距离的最大值，所以最大值为.故选：B二、选择题9.若，则下列结论正确的是（）A. B.C. D.〖答案〗ACD〖解析〗∵，则，，∴，即，A正确；例如，，，，，显然，B错误；由得，，∴，即，C正确；易知，，，，∴，D正确；故选：ACD．10.设分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆上第一象限内任意一点，分别表示直线的斜率，则（）A.存在点，使得 B.存在点，使得C.存在点，使得 D.存在点，使得〖答案〗ABD〖解析〗由已知得：对于A，由为椭圆上第一象限内任意一点可得，，A正确；对于B，由，得以为直径的圆与椭圆有4个交点，因而存在点使得，B正确；对于C，由为椭圆上第一象限内任意一点可得，又由可得，解得，与矛盾，C错误；对于D，由已知，因为，而，所以，所以存在点，使得，D正确．故选：ABD．11.已知函数，则下列说法正确的是（）A.的最小正周期为 B.的图象关于直线对称C.在上单调递增 D.的值域为〖答案〗BCD〖解析〗对于A项，因为，所以不是的最小正周期，故A项错误；对于B项，由A项知，的一个周期为，又因为，，所以，所以关于对称，故B项正确；对于C项，由题意知，，当时，，则，即：，所以，所以在上单调递增，故C项正确；对于D项，由A项知，的一个周期为，由C项知，，当时，，则，即：，所以，所以在上单调递减，又因为，，，所以，，所以的值域为，故D项正确.故选：BCD.三、填空题12.已知向量满足，则在上的投影向量的坐标为______．〖答案〗〖解析〗因为，可得，又因为，可得，解得，所以在上的投影向量为．故〖答案〗为：.13.在中，内角的对边分别是，且，平分交于，，则面积的最小值为______；若，则的面积为______．〖答案〗〖解析〗由题意，平分交于且，可得，即，整理得，所以，所以，当且仅当时，等号成立，所以面积的最小值，因为，即，又因为，所以，即，因为，解得，因此．故〖答案〗为：；.14.已知，分别为双曲线（，）的左、右焦点，P为双曲线右支上任意一点，若的最小值为2c，，则该双曲线的离心率是______．〖答案〗〖解析〗设，则，由双曲线的定义知，∴，，当，即时，，不符合题意；当，即时，，在上单调递增，所以当时取得最小值，故，化简得，即，解得（舍）或，满足.综上所述，该双曲线的离心率是.故〖答案〗为:.四、解答题15.记为公比不为1等比数列的前项和，，．（1）求的通项公式；（2）设，若由与的公共项从小到大组成数列，求数列的前项和．（1）解：设等比数列的公比为，因为，即，即，所以，又，即，解得，所以.（2）解：由（1）可得，则数列为、、、、，偶数组成的数列，又，令，则为正偶数，所以，，，，，所以为以为首项，为公比等比数列，所以.16.如图，在三棱锥中，与都为等边三角形，平面平面分别为的中点，且在棱上，且满足，连接．（1）求证：平面；（2）设，求直线与平面所成角的正弦值．（1）证明：连接，如图所示．在中，因为分别为的中点，，所以为的重心，所以，又，所以，又平面平面，所以平面．（2）解：连接，因为为等边三角形，为的中点，所以，又平面平面，平面平面平面，所以平面，又平面，所以．因为为等边三角形，为的中点，所以．以为坐标原点，所在的直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图所示．则，所以．设平面的法向量，则令，解得，所以平面的一个法向量，．设直线与平面所成角的大小为，则，即直线与平面所成角的正弦值为．17.为降低工厂废气排放量，某厂生产甲、乙两种不同型号的减排器，现分别从甲、乙两种减排器中各抽取100件进行性能质量评估检测，综合得分的频率分布直方图如图所示：减排器等级及利润率如下表，其中．综合得分的范围减排器等级减排器利润率一级品二级品三级品（1）若从这100件甲型号减排器中按等级用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取10件，再从这10件产品中随机抽取5件，求抽取的5件中至少有3件一级品的概率；（2）将频率分布直方图中的频率近似地看作概率，用样本估计总体，则：①若从乙型号减排器中随机抽取4件，记为其中二级品的个数，求的分布列及数学期望；②从数学期望来看，投资哪种型号的减排器利润率较大？解：（1）由已知及频率分布直方图中的信息知，甲型号减排器中的一级品的频率为，按等级用分层抽样的方法抽取10件，则抽取一级品为（件），记“抽取的5件中至少有3件一级品”为事件，则．（2）①由已知及频率分布直方图中的信息知，乙型号减排器中的一级品的概率为，二级品的概率为，三级品的概率为，由题意，的所有可能的取值为，所以，，，，分布列如下表：01234所以；②由题意知，甲型号减排器的利润率的平均值：；乙型号减排器的利润率的平均值：；，又，则，所以投资乙型号减排器的平均利润率较大．18.已知抛物线，是轴下方一点，为上不同两点，且的中点均在上.（1）若的中点为，证明：轴；（2）若在曲线上运动，求面积的最大值.（1）证明：设，，，则的中点在抛物线上，所以，化简得，同理由的中点在抛物线上可得，因为，所以是关于的一元二次方程的两个不等实根，所以，，所以的中点的横坐标为，它与的横坐标相同，所以轴.（2）解：不妨设，则，由轴，得，因为在曲线上运动，是轴下方一点，所以，且，所以，因为的中点的纵坐标为，所以，又，所以，令，因为，所以，所以，因为在上为增函数，所以当时，取最大值.19.记函数在上的导函数为,若（其中）恒成立，则称在上具有性质．（1）判断函数（且）在区间上是否具有性质？并说明理由；（2）设均为实常数，若奇函数在处取得极值，是否存在实数，使得在区间上具有性质？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由；（3）设且，对于任意的，不等式成立，求的最大值．（1）解：令，则，当时，；当时，，所以当时，函数在区间上具有性质；当时，函数在区间上不具有性质．（2）解：因为，所以，因为在处取得极值，且为奇函数，所以在处也取得极值，