广东省广州市2024届普通高中毕业班综合测试（一）数学试卷（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1广东省广州市2024届普通高中毕业班综合测试（一）数学试卷一､选择题1.设集合，，若，则（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由，得，即，此时，由，得，而，所以.故选：A.2.已知复数满足，则在复平面内对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限〖答案〗D〖解析〗令，由，得，点在以为圆心，1为半径的圆上，位于第四象限，故选：D.3.记为等比数列的前项和，若，则（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗根据题意，设等比数列的公比为，若，即，故．故选：C．4.已知正四棱台的上､下底面边长分别为和，且，则该棱台的体积为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗对正四棱台，连接，取中点分别为，连接，如下所示：因为为正四棱台，则四边形均为正方形，且垂直于上下底面，，易知//，，故四边形为平行四边形，则//，且，因为，则，又，且，由，即，解得；由面，面，则；则，又正方形的面积为，正方形的面积为，故正四棱台的体积.故选：B.5.设，分别是椭圆的右顶点和上焦点，点在上，且，则的离心率为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗令椭圆半焦距为c，依题意，，由，得，则，而点在椭圆上，于是，解得，所以的离心率为.故选：A.6.已知函数的部分图像如图所示，则的〖解析〗式可能是（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗观察图象可知函数为偶函数，对于A，，为奇函数，排除；对于B，，为奇函数，排除；同理，C、D选项为偶函数，而对于C项，其定义域为，不是R，舍去，故D正确.故选：D7.已知，，，则（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由题意得，，因为，即，，即，因为，所以，故．故选：C．8.已知是函数在上的两个零点，则（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗令，得，，，因为是函数在上的两个零点，则是在上的两个根，故，故，则.故选：A．二､多选题9.已知向量，不共线，向量平分与的夹角，则下列结论一定正确的是（）A. B.C.向量，在上投影向量相等 D.〖答案〗BC〖解析〗作向量，在中，，，由向量平分与的夹角，得是菱形，即，对于A，与不一定垂直，A错误；对于B，，即，B正确；对于C，在上的投影向量，在上的投影向量，C正确；对于D，由选项A知，不一定为0，则与不一定相等，D错误.故选：BC10.甲箱中有个红球和个白球，乙箱中有个红球和个白球（两箱中的球除颜色外没有其他区别），先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，分别用事件和表示从甲箱中取出的球是红球和白球；再从乙箱中随机取出两球，用事件表示从乙箱中取出的两球都是红球，则（）A. B.C. D.〖答案〗ABD〖解析〗依题意可得，，，，所以，故A正确、B正确、C错误；，故D正确.故选：ABD.11.已知直线与曲线相交于不同两点，，曲线在点处的切线与在点处的切线相交于点，则（）A B. C. D.〖答案〗ACD〖解析〗令，则，故时，递增；时，递减，所以的极大值，且，，因为直线与曲线相交于､两点，所以与图像有2个交点，所以，故A正确；设，且，可得，在点处的切线程为，得，即，因为，所以，即，故B错误；因为，所以，因为为两切线的交点，所以，即，所以，所以，故C正确；因为，所以，所以，同理得，得，即，因为，所以，故D正确.故选：ACD.三､填空题12.已知数列的前项和，当取最小值时，___________.〖答案〗3〖解析〗因为，则当时，，又当时，，满足，故；则，又在单调递减，在单调递增；故当时，取得最小值，也即时，取得最小值.故〖答案〗为：.13.某校数学建模兴趣小组收集了一组恒温动物体重（单位：克）与脉搏率（单位：心跳次数/分钟）的对应数据，根据生物学常识和散点图得出与近似满足（为参数）.令，，计算得，，.由最小二乘法得经验回归方程为，则的值为___________；为判断拟合效果,通过经验回归方程求得预测值,若残差平方和，则决定系数___________.（参考公式：决定系数）〖答案〗〖解析〗因为，两边取对数可得，又，，依题意回归直线方程必过样本中心点，所以，解得，所以，又.故〖答案〗为：；14.已知曲线是平面内到定点与到定直线的距离之和等于的点的轨迹，若点在上，对给定的点，用表示的最小值，则的最小值为___________.〖答案〗2〖解析〗设，当时，，则，化简得：，即；当时，，则，化简得，，即，对于曲线上的任意一点，，当且仅当是线段与曲线的交点时取等号，而，当且仅当，即点时取等号，因此，当且仅当点重合于时取等号，所以的最小值为2.故〖答案〗为：2四､解答题15.记的内角，，的对边分别为，，，的面积为.已知.（1）求；（2）若点在边上，且，，求的周长.解：（1）由，则，又，故.（2）由（1）可知，，又，则；由题可知，，故，所以，因为，所以，，在中，，故的周长为.16.如图，在四棱锥中，底面是边长为的菱形，是等边三角形，，点，分别为和的中点.（1）求证：平面；（2）求证：平面平面；（3）求与平面所成角的正弦值.（1）证明：取中点，连接，由为中点，为中点，得，又，则，因此四边形为平行四边形，于是，而平面平面，所以平面.（2）证明：过作于点，连接，由，得≌，则，即，而，因此，又平面，则平面，平面，所以平面平面.（3）解：由（2）知，直线两两垂直，以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，则，，设平面的一个法向量，则，令，得，设与平面所成角为，，所以与平面所成角的正弦值是.17.已知函数，.（1）求的单调区间和极小值；（2）证明：当时，.（1）解：函数，，求导得，当时，单调递增；当时，单调递减；当时，单调递增；当时，单调递减，所以的递增区间为；递减区间为，的极小值为.（2）证明：当时，令，求导得，令，求导得，函数在上单调递增，则，在上单调递增，因此，所以.18.已知为坐标原点，双曲线的焦距为，且经过点.（1）求的方程：（2）若直线与交于，两点，且，求的取值范围：（3）已知点是上动点，是否存在定圆，使得当过点能作圆的两条切线，时（其中，分别是两切线与的另一交点），总满足？若存在，求出圆的半径：若不存在，请说明理由.解：（1）由题意可得，解得，故双曲线方程为（2）当直线斜率不存在时，设,将其代入双曲线方程，又，解得，此时，当直线斜率存在时，设其方程为，设,联立，故，则，化简得，此时，所以，当时，此时，当时，此时，，故，因此，综上可得.（3）解法一：当直线与相切时，圆心到直线的距离，设设,类似（2）中的计算可得，所以，由双曲线的对称性，延长交双曲线于另一点,则，且，根据轴对称性可得,且直线与也相切，即即为,符合题意，当或斜率不存在时，此时，，显然满足题意，故存在这样的圆，半径为解法二：设，，由于为圆的切线，平分，且,所以,设过点与圆相切的直线方程为（直线斜率存在时），，将两根记为，，同理可得故，，故存在这样的圆，半径为当或斜率不存在时，此时，，显然满足题意，故存在这样的圆，半径为19.某校开展科普知识团队接力闯关活动，该活动共有两关，每个团队由位成员组成，成员按预先安排的顺序依次上场，具体规则如下：若某成员第一关闯关成功，则该成员继续闯第二关，否则该成员结束闯关并由下一位成员接力去闯第一关；若某成员第二关闯关成功，则该团队接力闯关活动结束，否则该成员结束闯关并由下一位成员接力去闯第二关；当第二关闯关成功或所有成员全部上场参加了闯关，该团队接力闯关活动结束.已知团队每位成员闯过第一关和第二关的概率分别为和，且每位成员闯关是否成功互不影响，每关结果也互不影响.（1）若，用表示团队闯关活动结束时上场闯关的成员人数，求的均值；（2）记团队第位成员上场且闯过第二关的概率为，集合中元素的最小值为，规定团队人数，求.解：（1）依题意，的所有可能取值为，，，所以的分布列为：1