北京市东城区2024届高三下学期综合练习（一）（一模）数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1北京市东城区2024届高三下学期综合练习（一）（一模）数学试题第一部分（选择题）一、选择题1.如图所示，是全集，是的子集，则阴影部分所表示的集合是（）A. B. C. D.〖答案〗D 〖解析〗由韦恩图可知阴影部分所表示的集合是.故选：D.2.已知，且，则（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗当时，，故AD错误；当时，，故B错误；对于C，因为，所以，因为，所以且，则，所以，故C正确.故选：C.3.已知双曲线的离心率为2，则（）A.3 B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由双曲线可得：，，所以，故选：B.4.设函数，则（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗函数的定义域为，对于A，，故A正确；对于B，，故B错误；对于CD，当时，，故CD错误.故选：A.5.已知函数的最小正周期为，最大值为，则函数的图象（）A.关于直线对称B.关于点对称C.关于直线对称D.关于点对称〖答案〗C〖解析〗，其中，因为函数的最小正周期为，所以，解得，因为函数的最大值为，所以，解得（舍去），所以，因为，所以函数图象不关于直线对称，也不关于点对称，故AB错误；因，所以函数图象关于直线对称，不关于点对称，故C正确，D错误.故选：C.6.已知，若，则的取值可以为（）A.2 B.1 C. D.〖答案〗A〖解析〗令，有，即或.

故选：A.7.《天工开物》是我国明代科学家宋应星所著的一部综合性科学技术著作，书中记载了一种制造瓦片的方法.某校高一年级计划实践这种方法，为同学们准备了制瓦用的粘土和圆柱形的木质圆桶，圆桶底面外圆的直径为，高为.首先，在圆桶的外侧面均匀包上一层厚度为的粘土，然后，沿圆桶母线方向将粘土层分割成四等份（如图），等粘土干后，即可得到大小相同的四片瓦.每位同学制作四片瓦，全年级共500人，需要准备的粘土量（不计损耗）与下列哪个数字最接近.（参考数据：）（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由条件可得四片瓦的体积（）所以500名学生，每人制作4片瓦共需粘土的体积为（），又，所以共需粘土的体积为约为，故选：B.8.设等差数列的公差为，则“”是“为递增数列”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件〖答案〗A〖解析〗由等差数列的公差为，得，则，当时，，而，则，因此，为递增数列；当为递增数列时，则，即有，整理得，不能推出，所以“”是“为递增数列”的充分不必要条件.故选：A9.如图1，正三角形与以为直径的半圆拼在一起，是弧的中点，为的中心.现将沿翻折为，记的中心为，如图2.设直线与平面所成的角为，则的最大值为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗取中点，连接，，由三角形为正三角形，故在线段上，且，即，由题意可得，，、平面，，故平面，又平面，故直线在平面投影为直线，即，则有，整理可得，，令，，故当时，，当时，，令，且，则，则在上单调递增，在上单调递减，即有最大值，即有最大值，则有最大值.故选：C.10.已知是定义在上的函数，其图象是一条连续不断的曲线，设函数，下列说法正确的是（）A.若在上单调递增，则存在实数，使得在上单调递增B.对于任意实数，若在上单调递增，则在上单调递增C.对于任意实数，若存在实数，使得，则存在实数，使得D.若函数满足：当时，，当时，，则为的最小值〖答案〗D〖解析〗函数表达的是函数图象上两点割线的斜率，当时，表示的为切线斜率；所以对于A：因为是定义在上的函数，其图象是一条连续不断的曲线，且在上单调递增，所以设，则，此时为常数，即任意两点割线的斜率为常数，故A错误；对于B：设，由图象可知，当时，随增大，点与点连线的割线斜率越来越大，即单调递增，但在不是单调函数，故B错误；对于C：因为对于任意实数存在实数，使得，说明为有界函数，所以设，但割线的斜率不一定有界，如图当时，割线的斜率趋于正无穷，故C错误；对于D：因为函数满足：当时，，即，因为，，所以；同理，当时，，即，因为，，所以；所以为的最小值，故D正确；故选：D.第二部分（非选择题）二、填空题11.若复数，则_________.〖答案〗〖解析〗，因此，.故〖答案〗为：.12.设向量，且，则______.〖答案〗〖解析〗设的夹角为，，故，又，故，方向相同，又，则，解得，满足题意.故〖答案〗为：.13.已知角的终边关于直线对称，且，则的一组取值可以是______，______.〖答案〗（〖答案〗不唯一，符合题意即可）（〖答案〗不唯一，符合题意即可）〖解析〗因为角的终边关于直线对称，则，，则，因为，所以，所有或，，解得：或，，取，的一个值可以为，的一个值可以为.故〖答案〗为：（〖答案〗不唯一，符合题意即可）；（〖答案〗不唯一，符合题意即可）.14.已知抛物线的焦点为，则的坐标为______；抛物线的焦点为，若直线分别与交于两点；且，则______.〖答案〗〖解析〗由抛物线，可得，设，则，故，所以，所以.故〖答案〗为：；.15.已知数列的各项均为正数，满足，其中常数.给出下列四个判断：①若，则；②若，则；③若，则；④，存在实数，使得.其中所有正确判断的序号是______.〖答案〗②③④〖解析〗对于①：若，则，当时，，与矛盾，①错误；对于②：若，则，所以，又，若，该不等式恒成立，即，由由于，所以，所以，所以时，，累加得，所以，所以，综合得，②正确；对于③：若，，假设，则，与矛盾，故，③正确；对于④：当时，若，则，此时，根据二次函数可得其在上单调递增，并增加得越来越快，但是函数在上单调递增，但增加速度恒定，故在的情况下，必成立，即存在实数，使得，④正确，故〖答案〗为：②③④.三、解答题16.中，.（1）求；（2）若为边的中点，且，求的值.（1）解：因为，由正弦定理可得，即，，又因为，所以，解得，又因为，所以；（2）解：因为为边的中点，，所以,设,在中，由正弦定理可得，即，解得，又因为，所以，在中，，在中，，由余弦定理可得：，所以，即.17.某中学为了解本校高二年级学生阅读水平现状，从该年级学生中随机抽取100人进行一般现代文阅读速度的测试，以每位学生平均每分钟阅读的字数作为该学生的阅读速度，将测试结果整理得到如下频率分布直方图：（1）若该校高二年级有1500人，试估计阅读速度达到620字/分钟及以上的人数；（2）用频率估计概率，从该校高二学生中随机抽取3人，设这3人中阅读速度达到540字/分钟及以上的人数为，求的分布列与数学期望；（3）若某班有10名学生参加测试，他们的阅读速度如下：506，516，553，592，617，632，667，693，723，776，从这10名学生中随机抽取3人，设这3人中阅读速度达到540字/分钟及以上的人数为，试判断数学期望与（2）中的的大小.（结论不要求证明）解：（1），故可估计阅读速度达到620字/分钟及以上的人数为人；（2）从中任取一人，其阅读速度达到540字/分钟及以上的概率为：，的可能取值为、、、，，，，，则其分布列为：其期望为：；（3），理由如下：这10名学生中，阅读速度达到540字/分钟及以上的人数为人，的可能取值为、、，，，，则，故.18.如图，在五面体中，底面为正方形，.（1）求证：；（2）若为的中点，为的中点，，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线与平面所成角的正弦值.条件①：；条件②：.注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分（1）证明：底面为正方形,则，又平面，平面，则平面，又平面平面，平面，故.（2）解：选①，取中点G,连接，因为，所以，易知为梯形的中位线，则，又平面，故平面，平面，则平面，且必相交，故平面，延长GM交BC于P,则P为中点，易得，故为矩形.以M为原点，所在直线为z轴，MG所在直线为x轴，过M作CB平行线为y轴，建立空间直角坐标系如图：则，则，，，设平面的法向量为，则，即，令，则，设直线与平面所成角为.选②：取中点G,连接，易知为梯形的中位线，，则，由题，，则，故又平面，故平面，延长GM交BC于P,则P为中点，易得，故为矩形.以M为原点，所在直线为z轴，MG所在直线为x轴，过M作CB平行线为y轴，建立空间直角坐标系如图：则，则，，，设平面的法向量为，则，即，令，则，设直线与平面所成角为..19.已知函数.（1）求曲线在处的切线方程；（2）设，求函数的最小值；（3）若，求实数的值.解：（1），则，所以曲线在处的切线方程为，即；（2），，当时，，当时，，所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以；（3）函数的定义域为，当时，，则，即，即，由（2）得，令，则，所以在上单调递增，又当时，，因为，所以，此时不恒成立，故不符题意；当时，若，则，则，即，即，由上可知函数在上单调递增，所以，所以，解得①，若，则，即，即，由上可知函数在上单调递增，所以，所以，解得②，由①②可得，综上所述，.20.已知椭圆的短轴长为，离心率.（1）求椭圆的方程；（2）设为坐标原点，直线是圆的一条切线，且直线与椭圆交于两点，若平行四边形的顶点恰好在椭圆上，求平行四边形的面积.解：（1）由题意可得，解得，所以椭圆的方程为；（2）当圆的切线斜率不存在时，切线方程为，当切线方程为时，由椭圆的对称性可得，因为，所以点不在椭圆上，不符题意，当切线方程为时，由椭圆的对称性可得，因为，所以点不在椭圆上，不符题意，所以切线的斜率存在，设切线方程为，则，所以①，联立，整理得，则，解得，设，则，故，所以线段的中点坐标为，因为四边形为平行四边形，所以，又因为点在椭圆上，所以②，将①代入②得，解得，所以，所以，所以.21.有穷数列中，令()，（1）已知数列，写出所有的有序数对，且，使得；（2）已知整数列为偶数，若，满足：当为奇数时，；当为偶数时，.求的最小值；（3）已知数列满足,定义集合A={.若且为非空集合，求证：.（1）解：为时，，为时，，为时，，为时，，故，且使得的有序数