2023-2024学年江苏省南京市高二年级上册期末数学模拟试题1(含解析)

2023-2024学年江苏省南京市高二上册期末数学模拟试题

一、单选题

1.椭圆《+乙=i的短轴的长是（）

169

A.3B.4C.6D.8

【正确答案】C

【分析】根据椭圆方程确定其焦点位置，再根据短轴长的定义确定其短轴长.

【详解】椭圆《+片=1的a=4,b=3,且焦点在x轴上，

169

所以椭圆的短轴长为26=6,

故选：C.

2.过抛物线_/=4x的焦点作直线/交抛物线于/,8两点，若线段43中点的横坐标为3,

则|明等于（）

A.2B.4C.6D.8

【正确答案】D

【分析】根据抛物线方程得它的准线为/：x=-l,从而得到线段中点区到准线的距离等

于4.过A、B分别作月C、8。与/垂直，垂足分别为C、D,根据梯形中位线定理算出

\AC\+\BD\=2\MN\=S,结合抛物线的定义即可算出48的长.

【详解】解：抛物线方程为好=4x,.•.抛物线的焦点为尸（1,0）,准线为/:x=-l

设线段48的中点为河（3,盟），则M到准线的距离为：也N|=3-（-l）=4,

过A、8分别作/C、80与/垂直，垂足分别为C、D,

根据梯形中位线定理，可得|/C|+|80=2|MN|=8,

再由抛物线的定义知：\AF^AC\,\BF\=\BD\,

:.\AB\=\AF\+\BF\^AC\+\BD\=8.

故选：D.

)

A.8B.7C.6D.4

【正确答案】A

【分析】结合等比数列性质化简已知条件，由此可求S3.

【详解】已知｛4｝为等比数列，.••％/=崎，且电=2,

111a,+a,1S.-

所以一+—+—=」~-+—=-~:2,则邑=8.

%“2a3a\a3a2a24

故选：A.

4.若曲线y=4x—l)-lnx在x=2处的切线垂直于直线y=-2x+2,则。=()

A.2B.1C.4D.3

【正确答案】B

【分析】求导，利用导函数的几何意义得到切线斜率，根据两直线垂直得到斜率乘积为-1,

列出方程，求出。的值.

【详解】•/(x)=a广⑵="；,

由题意得：=解得：a=\

故选：B

5.我国古代数学著作《张丘建算经》记载如下问题：“今有与人钱，初一人与三钱，次一人

与四钱，次一人与五钱，以次与之，转多一钱，与讫，还敛聚与均分之，人得一百钱，问人

几何？”意思是："某人赠与若干人钱，第一人赠与3钱，第二人赠与4钱，第三人赠与5钱,

继续依次递增1钱赠与其他人，若将所赠钱数加起来再平均分配，则每人得100钱，问一共

赠钱给多少人？''在上述问题中，获得赠与的人数为()

A.191B.193C.195D.197

【正确答案】C

【分析】利用等差数列前〃项和公式求解.

【详解】设有“人，第〃人赠与钱数为也,｝是等差数列，％=3,公差d=l,

贝ij5„=3〃+?"丁)=100n,”=195,

故选：C.

【正确答案】A

【分析】令g(x)=x2sinx+J易知g(x)是奇函数，则/(x)的图象关于点(0,-曰对称,

排除部分选项，然后再利用特殊值法确定.

1

【详解】因为g(-x)=fsin(-x)+春丑…

-x

所以g(x)是奇函数，

所以/(x)=g(x)-5的图象关于点(0，-：口寸称，排除B、C两个选项，

又/(1)=0，当xw(0,%)时，x2sinx>0,—>—,

x7t

所以〃x)>0,排除D.

故选：A

本题主要考查函数的图象和性质，还考查了理解辨析，转化求解问题的能力，属于中档题.

7.若双曲线十方=1(〃>0吠0)的一条渐近线被圆(x+3)2+/=4所截得的弦长为2,过右

焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于48两点.设Z,8到双曲线的同一条渐近线的距

离之和为8,则双曲线的方程为()

2

X/人1

A.7=1B.c/D.

54201632161632

【正确答案】C

【分析】不妨设双曲线的一条渐近线方程为bx-ay=0,根据被圆(x+3了+/=4所截得的弦

长为2,利用弦长公式求得a,b的关系，再根据48到双曲线的同一条渐近线的距离之和

为8,由右焦点到渐近线的距离为48到双曲线的同一条渐近线的距离的中位线求解.

【详解】不妨设双曲线1-片

=l(a>0,h>0)的一条渐近线方程为bx-"=0,

a~b2

3b3b

圆(x+3)2+/=4的圆心到渐近线的距离为d=

\ja2+b2

因为被圆(x+3)2+/=4所截得的弦长为2,

2

所以+1=4,即3/=。2,BP2h2=a2,

cb

右焦点到渐近线的距离〃=6+万=b,

因为48到双曲线的同一条渐近线的距离之和为8,

且右焦点到渐近线的距离为/,8到双曲线的同一条渐近线的距离的中位线,

所以I,贝暇=32,

所以双曲线的方程为工-^=1,

3216

故选：C

8.已知a=2.F°」,b=1.2⑷,c=2.r02,则b,c的大小关系为()

A.b>c>aB.b>a>cC.a>b>cD.a>c>h

【正确答案】B

【分析】由于。=2.1心=4.4「。」，进而结合基函数y=在(0,+e)上单调递减比较大小即

可.

【详解】解：。=2.16=[(2.1)2「'=4.41如，

因为基函数y=在(0,+8)上单调递减，1.2<2.1<4.41,

所以1.2«/>2,r0J>4.41如，即b>a>c.

故选：B

二、多选题

9.设函数y=/(x)在尺上可导，其导函数为y=/'(x),且函数y=(i-x)/'(x)的图象如图

所示，则下列结论中一定成立的是()

A.函数^=/卜)在(-8,-2)上递减，在(2,+8)上递减

B.函数V=/(x)在(7,-2)上递增，在(2,+8)上递增

C.函数V=/(x)有极大值/⑵和极小值/(-2)

D.函数)，=/(x)有极大值/(-2)和极小值/(2)

【正确答案】BD

【分析】结合函数图象，对x分区间讨论了‘(X)与0大小关系，从而推导出/(X)在区间上的

单调性即可；

【详解】解：由图可知：当广一2时y>0,l-x>0^.f(x)>0,故/(x)在(-8,-2)上单调递

增；

当时y<0,l-x>0=/，(x)<0,故/(x)在(-2,1)上单调递减;

当l<x<2时y>0,l-x<0n/"(x)<0,故/(x)在(1,2)上单调递减；

当x>2时"0,l-x<0n/"(x)>0,故“X)在(2,+8)上单调递增;

故函数/(x)在》=-2时取得极大值，在x=2时取得极小值，

即函数y=/(x)有极大值/'(-2)和极小值/⑵;

故选：BD.

10.等差数列加“｝中，前〃项和为S,,,若SgVS-S*ASu，则下列命题中真命题的是()

A.公差"<0

B.St5<S]2

C.@是各项中最大的项

D.&是S,,中最大的值

【正确答案】ABD

【分析】由52<，3，，3>64得：«,3>0,a14<0,进而结合等差数列的性质逐个判断即可

【详解】因岳？<S|3，S|?>S|4，所以卬3>°，卬4<。，

所以公差d<0成立，所以A正确，

因为公差d<0,所以等差数列｛。“｝为递减数列，所以各项中％是最大的项，C错误，

因为凡-*2=%5+%4+43=344<0,所以S15Vsi2,B成立.

设等差数列氏的前4项的和最大，则。，故，

又等差数列｛《,｝为递减数列，且>0，《4<。，

所以左=13,即又是S”中最大的值，D正确.

故选：ABD.

11.下列命题中是真命题有()

A.若/”小)=0,则不是函数“X)的极值点

B.函数y=/(x)的切线与函数可以有两个公共点

C.函数y=/(x)在x=l处的切线方程为2x-y=0,则当Axf0时，‘⑴二,斓=1

2Ax

D.若函数y=/(x)的导数/'(x)<l,且“1)=2,则不等式〃x)>x+l的解集是(-8,1)

【正确答案】BD

【分析】利用极值点的定义，举例判断A；举例判断B；利用导数的极限定义判断C;构造函

数，利用单调性解不等式.

【详解】A：例如在x=0处导数/'(0)=0,但当x<0时，函数/(x)单调递增，

当x>0时，函数/(x)也单调递增，故0不是函数/(x)的极值点，故A选项错误；

B：例如/(x)=sinx,xe[0,3^-],在点)的切线V=1与/(力有两个交点，故正确；

C：根据导数的定义可知AxfO,/”⑴=/。少)二川)=2,即AxfO,

/⑴一/(1+©)=_],故错误；

2Ax

D：令g(x)=/(x)-x-l,则有g'(x)=/'(x)-l<0,g(l)=/(l)-l-l=O,故g(x)>0的

解集是(-8,1),故/(x)>x+l的解集是(-00,1),正确；

故选：BD.

12.已知｛《,｝是公比为夕的等比数列，且4=1,曲线C“：/+户=屋〃eN*.()

A.若4>0且"1,则C,是椭圆

B.若存在〃eN*,使得£,表示离心率为■的椭圆，则[=]

C.若存在〃eN*,使得G表示渐近线方程为x±2y=0的双曲线，则[=-！

D.若9=-2,%表示双曲线C“的实轴长，则[+优+…+%=6138

【正确答案】ACD

【分析】由等比数列的定义判断项的正负，并结合椭圆、双曲线的方程及其几何性质，逐项

判定，即可求解.

【详解】因为4>0且4",所以。”>0,。,川>0且%+产。,，所以G表示椭圆，所以A正

确.

当C,表示椭圆时，显然《>。且4二1,若9>1,则

令小一工=；,解得q=

若0<«<1,则%>。的，e=令g=；,解得g=[,所以故

B错误.

若C,表示双曲线.显然。<0,故双曲线C的一条渐近线方程为『=（『=与，

令日解得g=-J,所以C正确.

24

若4=-2,当〃为偶数时，an<0,«„+|>0,双曲线C”的焦点在》轴上，则b,=2历;当〃

为奇数时，%>0,a„+l<0,双曲线G的焦点在x轴上，则〃=2疯，

所以

4+&+…+怎=2（&~+6-+…+卜2

（区+限+…+版=+y[a^+■■■+-2+2y[a^

1_2IO

=4x—--2+2xlx2'°=3x2"-6=6138，所以D正确.

1-2

方法点睛：解决本题的关键有两个：（1）能根据公比"的取值情况判断…。”的正负；（2）

能根据椭圆、双曲线的方程和几何性质建立的数量关系.

三、填空题

13.写出一个满足以下三个条件的椭圆的方程：.①中心为坐标原点；②焦点在

坐标轴上：③离心率为1

【正确答案】1+《=1（答案不唯一）

【分析】根据题干要求得到椭圆方程，要满足8/=9〃，答案不唯一

2222

【详解】只要椭圆方程形如工+工=1（〃?>0）或匕+三=1（加>0）即可.

9m8/w9m8加

故答案为.[+?=1（答案不唯一）

14.现有一根长为81米的圆柱形铁棒，第1天截取铁棒长度的;，从第2天开始每天截取

前一天剩下长度的"，则第5天截取的长度是米.

【正确答案】y

【分析】设第"天截取铁棒的长度与原铁棒长度的比值为。“，由等比数列计算牝，进而可

求解出答案.

【详解】设第〃天截取铁棒的长度与原铁棒长度的比值为%,

由题意，数列｛《,｝是首项为:，公比为|的等比数列，

则牝=+图=竽,故第5天截取的长度是竽x81号米.

故答案为•日

15.已知函数〃x)=gx2+/"x+m-e)x在(g,+8)上是增函数，则实数。的取值范围是

【正确答案】［e-2,+8)

【分析】由题意得到/'(x)=x+』+a-e0(x＞。)恒成立，利用分离参数法和基本不等式即可求

出。的取值范围.

【详解】解：=+/x+(a-e)x在(；,+co)上是增函数，

?.f'(x)=x+-+a-e0(x＞；),

+e(x+-),

xinin

由基本不等式得：X+-2(当且仅当x=L即x=l时取“=”)，

XX

・•.(X+3min=2,

X

-a-\-e2,解得ae-2,

故［e-2,+力)，

16.如图，抛物线E：_/=4x的焦点为尸，点〃与尸关于坐标原点O对称，过尸的直线与抛

物线交于48两点，使得48J.BM,又A点在x轴上的投影为C,则

|/可+|/q一忸8一忸q=.

【正确答案】4

【分析】由题意结合抛物线的性质和点的坐标分别求得MH-忸尸|的值和|/C|-忸。的值即

可确定卜。卜忸尸卜忸q的值.

【详解】设”（玉,乂）,8（右％）,

对于一般的抛物线方程丁=2必和过焦点的直线方程x=，町+称，

222

联立直线方程与抛物线方程有：y2-2py-p2=0,则%%=-/，

m2p2P4

据此可得本题中不々=1,又ABLBM,得5在以ME为直径的圆上，

故+%?=1，而W=4々，

得1-xJ=4X2,

又MF|一|8E|=1+X]-（1+工2）=/一欠2=——x2=-~^=4,

X,X?工2

由1一1=4》2,可得：X2=75-2（负值舍去），

则看=（=6+2,从而可得：/（6+2,2依+2,8（石-2,-2J石-2卜

注意到。（石+2,0）,据此可得：\ACf-\BC[-4（75+2）-[42+42）]=0,

则|力。一忸C|=0,

故-忸F|-忸c|=4.

本题主要考查抛物线的性质，抛物线定义的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求

解能力.

四、解答题

17.在等差数列｛%｝中，已知q=12,4=36.

（1）求数列｛%｝的通项公式。“；

（2）若,求数列也｝的前〃项和S”.

4

在①2=----,②。=（-1）”,"，③b,,=2"”■这三个条件中任选一个补充在第（2）问中,

并对其求解.

【正确答案】（1）a“=2n,〃wN*；（2）答案见解析.

【分析】（1）设等差数列｛对｝的公差为"，然后根据条件建立方程组求解即可；

（2）若选条件①，用裂项相消法求解，若选条件②，用分组求和法求解，若选条件③，用

错位相减法求解.

【详解】（1）由题意，设等差数列｛4｝的公差为d,则

（4+54=12fa,=2

',解得:

[%+177a=36[a=2

:.an=2+（w-l）x2=2n,WGN*.

（2）方案一：选条件①

由（1）知，加

%%2〃*(〃+1)n(n+1)

s〃=4+4+・・・+"

=-------4------------F>•'+

1x22x3《〃+1)

=11------F..H--------

223nn+{

n+\

方案二：选条件②

由(1)知，2=(T)"・“=(7)"时,

Sn=b,+%+…+b”=-2+4-6+8-…+(―1)"事?，

⑴当〃为偶数时，

S“=4+&+•••+”

=-2+4-6+8-...+(-1)"•),

=(-2+4)+(-6+8)+...+[-20-1)+31]

=2+2+...+2

，x2

2

=〃，

(，)当〃为奇数时，n-1为偶数，

=—2+4—6+8—...+(-1)"・7,

=(-2+4)+(-6+8)+...+[-2(n-2)+2(w-l)]-2/?

=2+2+...+2—2〃

n—\_

=---X2-2H

2

=—n—\f

=[〃,〃为偶数，

,•为奇数.；

方案三：选条件③

由(1)知,b„=2a-9„=22"9n=2n9',

2

:.Sn=/>,+h2+...+hn=2x4'+4x4+6x4'+...+2nx4",

4S“=2x42+4x43+...+2(n-l)x4n+2nx4"*',

两式相减，可得

-3S„=2x4'+2x42+2x4'+…+2x4"-2”X4"M

=8x(l+4'+42+...+4,-,)-2nx4"*'

=8x1-一!4"--2wx4M+t,

1-4

二2(1-3〃)**8

33,

2(3〃-1.田।8

99,

本题考查的是等差数列的基本运算和数列求和的方法，考查了学生对基础知识的掌握情况,

较简单.

18.已知函数/(X)=X3-3X.

(1)求曲线在x=0处的切线方程；

(2)求函数/(x)的单调区间与极值.

【正确答案】(1))，=-3x：⑵增区间(70,-1),(l,^o),减区间(-1,1),函数y=/(x)的

极大值为2,极小值为-2.

(1)求出/(0)和/'(0)的值，利用点斜式可得出所求切线的方程；

(2)求出函数N=/(x)的极值点，列表分析函数y=/(x)的单调性以及导数符号的变化，

即可得出函数y=/(x)的单调区间和极值.

【详解】(1)/(x)=xJ3x,.-.f\x)=3x2-3,则40)=0,/”(0)=-3.

因此，曲线N=/(x)在x=0处的切线方程为y=-3x；

⑵令r(x)=3f—3=0,得》=±1,列表如下:

XS'T)-1(-1,1)10，+8)

/'(X)+0-0+

/(X)极大值极小值

所以，函数y=/(x)的增区间为(L+8),减区间(-1,1),

极大值为/(-1)=2,极小值为/。)=-2.

本题考查利用导数求函数的切线方程，同时也考查了利用导数求函数的单调区间和极值，考

查计算能力，属于基础题.

19.如图，圆加1：(X-2)2+J?=I,点p(Tj)为直线/：x=-l上一动点，过点P引圆M的两

条切线，切点分别为45.

(1)若，=-1,求切线所在直线方程;

(2)求用的最小值.

【正确答案］⑴y=-l或31…=0

⑵竽

【分析】(1)假设切线方程，由圆心到直线距离等于半径可构造方程求得斜率，由此可得切

线方程；

(2)设NMPA=NMAN=9,可得Ma=2cose,结合sin6=/闭V；可求得ga最小值.

【详解】(1)由题意知：切线的斜率存在，可设切线方程为V+l=Mx+l),即日-y+%-i=o,

由圆的方程知：圆心为(2,0),半径厂=1,

则圆心〃到切线的距离4=^^1=1,解得：左=0或4=：,

“2+14

，所求切线方程为：y=-l或3x—4y-l=0.

(2)连接尸”,交于点N,

设/MPA=/MAN=6,则\AB\=2MMeos。=2cos。,

\AM\1

在RfMZP中，.。=蜀=画,

Q倒牛3,...(sin叽=g,二际叽,二月二半，凡=孚

20.已知数列｛凡｝的各项均为正数，前〃项和为S“，囚=1,a,4M=2S“+1.

(1)求数列MJ的项％,T；

(2)求数列｛《,｝的前2〃项和$2”.

2

【正确答案】(1)a2„.,=2«-l(2)S2„=2n+2n

【分析】(1)由递推关系式确定数列的特征，然后结合等差数列通项公式可得数列｛“,｝的项

«2„-1；

(2)结合题意和(1)的结论首先确定数列的通项公式，然后分组求和即可确定数列的前2〃项

和用“.

【详解】⑴由%%=2S“+1得,%+口.+2=2鼠|+1,

两式相减得。向(。“+2-%)=2%+1,因为数列｛《,｝为正项数列，

所以%+2一。“=2，又q=1，

故数列｛々“-J是以4=1为首项，公差为2的等差数列，

所以生,1=1+("-1)义2=2〃-1.

(2)由(1)知，。"+2一”"=2,由q=1及a"。”*]=2S“+1得出=3

故数列｛。2“｝是以生=3为首项，公差为2的等差数列,

所以。2"=3+（"-1）x2=2”+1-

所以$2“=4+。2+”3++4』+%,

（l+2n-l）x/?（3+2n+\）xn222

~22—n

本题主要考查数列通项公式的求解，等差数列前〃项和公式及其应用等知识，意在考查学生

的转化能力和计算求解能力.

r22

21.已知椭圆C：・+q=I（a>6>0）,右焦点尸的坐标为（2,0）,且点（2,五）在椭圆C上.

ab

（1）求椭圆C的方程及离心率；

（2）过点厂的直线交椭圆于48两点（直线不与x轴垂直），已知点A与点尸关于x轴对称,

证明：直线尸8恒过定点，并求出此定点坐标.

【正确答案】（1）—+^-=1.—（2）答案见解析.

842

【分析】（1）由题意得到关于a,b,c的方程组，求解方程组确定a,b,c的值即可确定椭圆方程

和椭圆的离心率；

⑵设尸（为,必），8@2，必），/（布-必），联立直线方程与椭圆方程，由题意可得力"=既”

结合韦达定理和直线斜率的定义得到机与k的关系，代入直线PB的方程即可证得直线过定

点.

42।

----2-=12

【详解】（1）由已知得（二;（I*，解得｛：2=1

｛a=b+c6=4

c=2

22

・,・椭圆。的标准方程二+2=1,

84

：.椭圆C的离心率e=£=3=交.

a2V22

（2）设P（x"J