2023年湖南省衡阳市初中学业水平考试数学真题试卷

2023年湖南省衡阳市初中学业水平考试中考数学真题试卷

一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，满分36分.在每小题给出的

四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1.（3分）中国是最早采用正负数表示相反意义的量、并进行负数运算的国家，

若收入500元记作+500元，则支出237元记作（）

A.+237元B.-237元C.0元D.-474元

2.（3分）下列长度的各组线段能组成一个三角形的是（）

A.1cm,2cm,3cmB.3cm,8c加,5cmC.4cm,5cm9

10cmD.4cm,5cm,6cm

3.（3分）下面四种化学仪器的示意图是轴对称图形的是（）

'

E-l-l

=-

Ie_

三

1

1

=

J

4.（3分）作为中国非物质文化遗产之一的紫砂壶，成型工艺特别，造型式样丰

富，陶器色泽古朴典雅，从一个方面鲜明地反映了中华民族造型审美意识.如图

是一把做工精湛的紫砂壶“景舟石瓢”，其左视图的大致形状是（）

5.（3分）计算（gx）的结果正确的是（）

A.x6B.-x6C.-X5D./

44

6.（3分）据共青团中央2023年5月3日发布的中国共青团团内统计公报，截

至2022年12月底，全国共有共青团员7358万.数据7358万用科学记数法表示

为（）

A.7.358x1（）7B.7.358xlO3C.7.358xl04D.7.358xlO6

7.（3分）对于二次根式的乘法运算，一般地，有6.必=J茄.该运算法则成

立的条件是（）

A.a>0,b>0B.a<0,b<0C.,区0D.Q20,b20

8.（3分）如图，在四边形中,已知/£>//8c.添加下列条件不能判定四

边形/8C。是平行四边形的是（）

C.AB=DCD.NA=NC

9.（3分）《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡免同笼，上有三十五头,

下有九十四足，问鸡免各几何

设有x只鸡，夕只兔，依题意，可列方程组为（）

A.卜+%35x+y=94

B.

[4x+2y=944x+2y=35

C[x+y=35x+y=94

D.

12x+4y=942x+4y=35

10.（3分）某射击运动队进行了五次射击测试，甲、乙两名选手的测试成绩如

下表.甲、乙两名选手成绩的方差分别记为。和S3则症和舐的大小关系是（

测试次数12345

甲510938

乙86867

A.&>黑B.SHC.琳=5：D.无法确定

11.（3分）我们可以用以下推理来证明“在一个三角形中，至少有一个内角小

于或等于60。”.假设三角形没有一个内角小于或等于60。，即三个内角都大于

60°.”,则三角形的三个内角的和大于180。.这与“三角形的内角和等于180。”

这个定理矛盾，所以在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60。.上述推

理使用的证明方法是（）

A.反证法B.比较法C.综合法D.分析法

12.（3分）已知机>〃>0,若关于x的方程X,+2x-3-加=0的解为q,x,（x,<x2）,

关于X的方程x2+2x-3-〃=0的解为z，x4a<匕）.则下列结论正确的是（）

A.》3<±<工2<匕B.x,<x,<x4<x2C.王<丫2<》3<%D.<x,<x2

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分.）

13.（3分）在平面直角坐标系中，点尸（-3,-2）所在象限是第一象限.

14.（3分）一个布袋中放着3个红球和9个黑球，这两种球除了颜色以外没有

任何其他区别.布袋中的球已经搅匀，从布袋中任取1个球，取出红球的概率

是—.

15.（3分）已知x=5,则代数式〃——3—的值为_.

x-4f-16

16.（3分）已知关于x的方程/+,如一20=0的一个根是-4,则它的另一个根

是•

17.（3分）如图，在R3ABC中，4c8=90。，AC=8,BC=6.以点。为圆心，

r为半径作圆，当所作的圆与斜边所在的直线相切时，r的值为—.

18.（3分）如图，用若干个全等的正五边形排成圆环状，图中所示的是其中3

个正五边形的位置.要完成这一圆环排列，共需要正五边形的个数是—.

0

三、解答题（本大题共8个小题，19〜20题每题6分，21〜24题每题8分，25

题10分，26题12分，满分66分，解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤.）

19.（6分）计算：|-3|+"+（-2）xl.

20.（6分）解不等式组：节%会.

2（x+l）<3x@

21.（8分）2023年3月27日是第28个全国中小学生安全教育日，为提高学生

安全防范意识和自我防护能力，某学校举行了校园安全知识竞赛活动.现从八、

九年级中各随机抽取15名学生的竞赛成绩（百分制）进行整理、描述和分析（成

绩得分用x表示，80分及以上为优秀，共分成四组，4:60令<70；8:70/<80；

C:80G<90；0:90^100）,并给出下面部分信息：

八年级抽取的学生竞赛成绩在C组中的数据为：84,84,88

九年级抽取的学生竞赛成绩为：68,77,75,100,80,100,82,86,95,91,

100,86,84,94,87.八、九年级抽取的学生竞赛成绩统计表

年级平均数中位数众数优秀率

八87a9860%

九8786bC

根据以上信息，解答下列问题:

（1）填空：a=,b=

（2）该校八、九年级共500人参加了此次竞赛活动，请你估计该校八、九年级

参加此次竞赛活动成绩达到90分及以上的学生人数.

八年级抽取的学生竞赛成绩频数分布直方图

t人数

6

5

4

3

2

uABCD成绩

22.（8分）如图，正比例函数＞工的图象与反比例函数歹=乜。＞0）的图象相

3x

交于点A.

（1）求点”的坐标.

（2）分别以点0、4为圆心，大于。”一半的长为半径作圆弧，两弧相交于点8

和点C,作直线8C,交x轴于点。.求线段。。的长.

0D

23.（8分）随着科技的发展，无人机已广泛应用于生产生活，如代替人们在高

空测量距离和高度，圆圆要测量教学楼"的高度，借助无人机设计了如下测量

方案：如图，圆圆在离教学楼底部24石米的C处，遥控无人机旋停在点。的正

上方的点。处，测得教学楼”的顶部5处的俯角为30。，CD长为49.6米.已知

目高CE为1.6米.

（1）求教学楼48的高度.

（2）若无人机保持现有高度沿平行于。1的方向，以米/秒的速度继续向前

匀速飞行.求经过多少秒时，无人机刚好离开圆圆的视线”.

飞行方向

24.（8分）如图，Z8是。。的直径，ZC是一条弦，。是弧/C的中点，DEL4B

于点£,交4c于点F,交O。于点，，DB交4c于点G.

(1)求证：AF=DF.

(2)若力尸=2,sinZABD=—,求°。的半径.

25

25.（10分）［问题探究］

（1）如图1,在正方形/8C。中，对角线4C、8。相交于点O.在线段4。上任

取一点P（端点除外），连接尸。、PB.

①求证：PD=PB；

②将线段。尸绕点尸逆时针旋转，使点。落在瓦1的延长线上的点。处.当点尸在

线段/。上的位置发生变化时，乙DP。的大小是否发生变化？请说明理由；

③探究N0与OP的数量关系，并说明理由.

［迁移探究］

（2）如图2,将正方形"C。换成菱形且N/8C=60。，其他条件不变.试

探究N。与CP的数量关系，并说明理由.

26.(12分)如图，已知抛物线歹=加_2"+3与x轴交于点4(-1,0)和点5,与y轴

交于点C,连接ZC,过8、C两点作直线.

(1)求a的值.

(2)将直线BC向下平移皿〃〉0)个单位长度，交抛物线于夕、C两点.在直线

8c上方的抛物线上是否存在定点。，无论用取何值时，都是点。到直线夕C的

距离最大.若存在，请求出点。的坐标；若不存在，请说明理由.

(3)抛物线上是否存在点尸，使/抬。+44。0=45。，若存在，请求出直线8P的

解析式；若不存在，请说明理由.

2023年湖南省衡阳市中考数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题(本大题共12个小题，每小题3分，满分36分.在每小题给出的

四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)

1.【解答】解：收入500元记作+500元，则支出237元应记作-237元，

故选：B.

2.【解答】解：/、,.•1+2=3,

，长度为1的，2cm,3a〃的三条线段不能组成三角形，本选项不符合题意；

B、丁3+5=8,

，长度为3c〃z,8cm,5c机的三条线段不能组成三角形，本选项不符合题意；

C、•・•4+5<10,

・•・长度为4C〃7,5cm,10cm的三条线段不能组成三角形，本选项不符合题意；

D>4+5>6,

长度为4加，5cm,6CTH的三条线段能组成三角形，本选项符合题意；

故选：D.

3.【解答】解：A.B,。选项中的图形都不能找到一条直线，使图形沿一条直

线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；

。选项中的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够

互相重合，所以是轴对称图形；

故选：C.

4.【解答】解：从左边看，紫砂壶的壶嘴在正中间，只有选项8符合题意.

故选：B.

5.【解答】解：原式=(')2.

244

故选：B.

6.【解答】解：7358万=73580000=7.358x101

故选：A.

7.【解答】解：对于二次根式的乘法运算，一般地，有=而.该运算法

则成立的条件是a》0,以0,

故选：D.

8.【解答]解：A>因为/O//8C,AD=BC,因此由一组对边平行且相等的四

边形是平行四边形，能判定四边形”8是平行四边形，故/不符合题意；

B、因为4O//BC,AB//DC,因此由两组对边分别平行的四边形是平行四边形,

能判定四边形是平行四边形，故8不符合题意；

C、AB=DC,但力B和CD不一定平行，因此不能判定四边形48CD是平行四边

形，故C符合题意；

D、因为/。//8c得至UZADB=ZCBD,又N4=NC,BD=DB,因此

\ABD=\CDB(AAS),得至U4D=C8,能判定四边形是平行四边形，故。不

符合题意；

故选：C.

9.【解答】解：由题意可得，

卜+歹=35

[2x+4y=94?

故选：C.

10•【解答】解：图表数据可知，

甲数据在3至10之间波动，偏离平均数数据较大；乙数据在6至8之间波动，

偏离平均数数据较小；

即甲的波动性较大，即方差大，

s：,>S3

故选：A.

11•【解答】解：证明“在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60。”.

假设三角形没有一个内角小于或等于60。，即三个内角都大于60。.”，则三角形的

三个内角的和大于180。.

这与“三角形的内角和等于180。”这个定理矛盾，所以在一个三角形中，至少有

一个内角小于或等于60。，这种证明方法是反证法，

故选：A.

12•【解答】解:关于x的方程f+2x-3-加=0的解为抛物线y=f+2x-3与直线

y=〃?的交点的横坐标,

关于x的方程x2+2x-3i=0的解为抛物线N=/+2X_3与直线y=〃的交点的横

坐标,

故选：B.

二、填空题(本大题共6个小题，每小题3分，满分18分.)

13.【解答】解：点尸(-3,-2)在第三象限,

故答案为：三.

14•【解答】解：•.•一个布袋中放着3个红球和9个黑球,

二从布袋中任取I个球，取出红球的概率是捻j

故答案为：

4

3x+1224

15•【解答】解：原式=

(x+4)(x—4)(x+4)(x-4)

312

(x+4)(x-4)

3(1)

(x+4)(x-4)

3

x+4

当X=5时，原式=—-—=—r

5+43

故答案为：--

3

16•【解答】解：设方程的另一个解为/,

根据根与系数的关系得-4f=-20,

解得t=5,

即方程的另一个根为5.

故答案为：5.

17.【解答】解：设。C与48所在的直线相切，切点为点。，连接CD,

••・C。是。C的半径，48与。C相切于点。，

AB1CD,

•••ZACB=90°,AC=8,BC=6,

AB=y/AC2+BC2=A/82+62=10,

-ABCD=-ACBC=S.loli,

22"IUB

-xl0CD=-x8x6,

22

解得CD=g,

18•【解答】解：•.•多边形是正五边形，

正五边形的每一个内角为：1xl80°x(5-2)=108°,

Z0=180°-(180°-108°)x2=36°,

正五边形的个数是360。+36。=10.

故答案为：10.

三、解答题（本大题共8个小题，19〜20题每题6分，21〜24题每题8分，25

题10分，26题12分，满分66分,解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤.）

19.【解答］解：原式=3+2+（-2）

=3+2-2

x-4@①

20.【解答】解:

2（x+l）＜3x②

解不等式①得：试4,

解不等式②得：x>2,

.•.原不等式组的解集为：2<运4.

21•【解答】解：（1）八年级的竞赛成绩从小到大排列后，处在中间位置的一个

数是84,因此中位数是84,即“=84；

九年级的竞赛成绩出现次数最多的是100,共出现3次，因此众数是100,即6=100；

九年级的竞赛成绩中80分及以上的共有12人，因此优秀率为100%=80%,

即c=80%;

故答案为：84,100,80%；

（2）500x-6-6-=200（人），

答：估计该校八、九年级参加此次竞赛活动成绩达到90分及以上的学生人数约

200人.

22•【解答】解：（1）解方程组

.•.点Z的坐标为（3,4）；

（2）设点。的坐标为（x,0）.

由题意可知，8c是04的垂直平分线,

AD=0D,

：.（x-3）2+42=%2,

x=—，

2525

£>（y,0）,O£）=y.

23.【解答】解：（1）过点8作于点M,则NZMM=NBZW30°,

在RtABDMC^,BA/=/C=24b米,ZDBM=30°,

:.DM=BM-tanZDBM=24瓜与=24（米），

AB=CM=CD-DM=49.6-24=25.6（米）.

答：教学楼Z8的高度为25.6米；

（2）延长E8交。N于点G,则乙DGE=NA/BE,

CA

在RtAEMB1^,8M=4C=24VJ米,EM=CM-CE=24米,

EM24_

/.tan4MBE=

BM-24百一3

z./MBE=30°=/DGE,

•・•NEDG=90°,

Z£>£G=90°=30°=60°,

在RtAEDG中，£D=CE-C£=48米，

£»G=£Dtan60°=48V3（米），

48行+46=12（秒），

，经过12秒时，无人机刚好离开了小明的视线.

24.【解答】（1）证明：•.•。是弧我的中点，

/.AD=CD,

vAB1DH9且是。。的直径，

AD=AH,

CD=AH9

NADH=Z.CAD,

AF=DF.

(2)解：•・•力8是。0的直径，

・•・乙WB=90°,

NDAB+N8=90°,

•••ZDAE+ZADE=90°,

:・NADE=NB,

sin/ADE=,

5

tan/ADE=一,

2

设/E=x,则。£=2x,

•••DF=AF=~,

2

:.EF=2x--,

2

•/AE2+EF2=AF2,

..x=2，

AJTr—

.・.AD=-------------=2亚,

sinZADE

4D

/.AB=--------,

sin/8

AB=10,

OO的半径为5.

25•【解答】(1)①证明：•••四边形/8CD是正方形,

CD=CB,Z.DCA=NBCA=45°

•・•CP=CP,

\DCP?bBCP,

...PD=PB；

②解：/。尸。的大小不发生变化，NDPQ=9。。;

理由：作PN1AD,垂足分别为点"、N,如图,

•・•四边形43CQ是正方形，

...NDAC=Z.BAC=45°,/DAB=90°,

.•・四边形4MPN是矩形，PM=PN,

/.ZMPN=90°

•・・PD=PQ,PM=PN,

RtADPN=RtAQPM(HL),

ZDPN=ZQPM,

,/QPN+/QPM=90。

ZQPN+/DPN=90°,即ZDPQ=90°;

③解：AQ=42OP;

理由：作PEL4。交于点E,作物，04于点尸，如图,

•・•四边形是正方形，

・•.ABAC=45°,ZAOB=90°,

.•.4EP=45。，四边形OPE/7是矩形,

NPAE=NPEA=45°,EF=OP,

PA=PE,

•;PD=PB，PD=PQ，

PQ=PB,

作于点M,

则QM=BM,AM=EM,

AQ=BE,

•・・NEFB=90°,ZEBF=45°,

:.AQ=42OP;

(2)解：AQ=CP；

理由：四边形MCC是菱形，ZABC=60°,

AB=BC,AC1BD,DO=BO,

.,.A/l8c是等边三角形，ZC垂直平分8。，

ABAC=60°,PD=PB,

•：PD=PQ,

PQ=PB,

作PE//BC交AB于点E,EG///C交8c于点G,如图,

则四边形PEGC是平行四边形，2GEB=ABAC=60°,乙4EP=NABC=60°,

EG=PC,&4PE,A8EG都是等边三角形，

BE=EG=PC,

作于点则AM=EM,

QA=BE9

:.AQ=CP.

26.【解答】解：(1)•.■抛物线产亦2_2ax+3与x轴交于点义-1,0),

。+2。+3=0，

:.a=-1•

(2)存在定点。，无论加取何值时，都是点。到直线的距离最大.

,/y=-x2+2x+3,

当x=0时，y=39

C(0,3),

当y=0时，一/+2工+3=0,

解得：X,=-1,*2=3，

8(3,0),

设直线5c的解析式为y=b+6,则产二'=°,

[b=3

解得：

[6=3

二.直线BC的解析式为尸-x+3,

••・将直线8c向下平移制加＞0)个单位长度，交抛物线于夕、。两点，

二.直线BC的解析式为y=-x+3-机，

设+2/+3)1

过点。作。E//y轴，交夕。于点E,作。尸J.8C于点尸，设直线8G交y轴于点

G,如图，

+3—/w)9

DE=—t~+21+3—(T+3-/H)=—t~+3,+m,

・・・。6=。。=3,ZBOC=90°,

N8CO=NG5O=45。，

・・・BfCI/BC，

ZB，GO=ZBCO=45°,

••・£)£//y轴，