复数的加减法

1复数的加减法2复数的加法与减法第2页,共25页，2024年2月25日，星期天3一、复数加法与减法的运算法则复数的加法与减法(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i

很明显，两个复数的和仍然是一个复数

容易验证：对于任意，，

∈C，有Z1Z2Z3+=+，Z1Z2Z2Z1Z3(+)+=+(+).Z1Z2Z3Z1Z21、复数加法的运算法则第3页,共25页，2024年2月25日，星期天4(a+bi)－(c+di)=x+yi，2、复数减法的运算法则复数减法规定是加法的逆运算(c+di)+(x+yi)=a+bi

，

由复数相等定义，有c+x=a，

d+y=b

由此，x=a－c

，

y=b－d∴(a+bi)－(c+di)=(a－c)

+(b－d)i

(a+bi)±(c+di)=(a±c)

+(b±d)i一、复数加法与减法的运算法则第4页,共25页，2024年2月25日，星期天5例1、计算(2－3i)+(-8－3i)－(3－4i)解：(2－3i)+(-8－3i)－(3－4i)=(2－8－3)+(-3－3+4)i

=-9－2i.一、复数加法与减法的运算法则第5页,共25页，2024年2月25日，星期天6一、复数加法与减法的运算法则思考：设Z

=a+bi

(a,b∈R)

Z+

=?

ZZ－

=?

Z第6页,共25页，2024年2月25日，星期天7证明：设=，=Z1a+bi11Z2a+bi22a1b1a2b2(,

,

,

)∈R，则

例2、设,∈C，求证：Z1Z2Z1Z2+=+

，=-Z1Z2Z1Z2-Z1Z2Z1Z2+=()+()a+bi11a+bi22=()+()ia+a12b+b12=()－()ia+a12b+b12=(i)+(i)a－b11a－b22=+

Z1Z2一、复数加法与减法的运算法则同理可证：=－

Z1Z2-Z1Z2.第7页,共25页，2024年2月25日，星期天8二、复数加法与减法运算的几何意义1、复数加法的运算的几何意义设：，分别对应复数a+bi与c+di,oz1oz2第8页,共25页，2024年2月25日，星期天9二、复数加法与减法运算的几何意义(1)，不共线oz1oz2xy0Q

PRSZ1Z2

ZZSOQ，Z1~=Z2且PRS是矩形，因此Z1OR=OP+PR=OP+SZ

1=OP+OQ=a+c

RZ=RS+SZ=P+Q=b+d

Z

1Z

2∴点Z(a+c,b+d),

就是与复数(a+c)+(b+d)i

对应的向量.oz第9页,共25页，2024年2月25日，星期天10二、复数加法与减法运算的几何意义(2)，共线oz1oz2画出一个“压扁”了的平行四边形，并据此画出它的对角线来表示,的和.oz1oz2复数的加法可以按照向量的加法法则来进行，这就是复数加法的几何意义.第10页,共25页，2024年2月25日，星期天11二、复数加法与减法运算的几何意义2、复数减法的运算的几何意义xyZ1Z2

Z

0(1)xyZ1Z2

0(2)复数Z－Z

差所对应的向量：-=

1oz1oz2ozozzz∵=21oz1∴-=

ozzz11两个复数的差Z－Z

与连接两个向量终点并指向被减数的向量对应.第11页,共25页，2024年2月25日，星期天12二、复数加法与减法运算的几何意义Z=a+biZ+

=2aZZ-

=2biZxyB

0AZZC2aaxyB

0AZZab-b第12页,共25页，2024年2月25日，星期天13例3、已知复平面内一个平行四边形的三个顶点对应的复数是0,5+2i,-3+i

，求第三个顶点对应的复数.解：设,对应的复数分别为5+2i,-3+i

OAOB∴

对应的复数是OC(5+2i)+(-3+i

)=2+3i

如图(1)，在OACB中,=+OAOCOBxyB

0CA(1)二、复数加法与减法运算的几何意义第13页,共25页，2024年2月25日，星期天14∴

对应的复数是OC(-3+i)-(5+2i)=-8-i

如图(2)，在OACB中,==-OAOCOBABxyB

0CA(2)二、复数加法与减法运算的几何意义第14页,共25页，2024年2月25日，星期天15(5+2i)-(-3+i)=8+i

∴

对应的复数是CO如图(3)，在OBAC中,==-OBOCOABAxyB

0CA(3)所以第三顶点C对应的复数是2+3i,-8-i

,8+i.二、复数加法与减法运算的几何意义第15页,共25页，2024年2月25日，星期天16二、复数加法与减法运算的几何意义3、复平面内两点间距离xyZ1Z2

0设Z=+i

,=

+i

它们在复平面内分别1x

1y

1Z2x

2y

2对应于点,

,则d=|-|Z1Z2Z2Z1x

2证明：|-|=|(+i)-

(+i)|Z2Z1y

2x

1y

1x

1y

2x

2=|(-

)+(-

)i|y

1=d=(-

)²+

(-

)²x

1y

2x

2y

1第16页,共25页，2024年2月25日，星期天17二、复数加法与减法运算的几何意义例4、用复数表示圆心在点P，半径为r的圆的方程。解：如图，设圆心P对应的复数是P=a+bi，圆的半径为r，圆心任一点Z与复数P对应的复数Z=a+bi

对应，那么|Z-P|=r这就是复平面内的圆的方程利用复数的减法法则，把圆的方程|Z-P|=r化成用实数表示的一般形式为：(x-a)²+(y-b)²=r²xyZ

0P第17页,共25页，2024年2月25日，星期天18二、复数加法与减法运算的几何意义例5、如果复数Z满足|Z+2-2i|≤1，求|Z|的最大值与最小值及相应的复数Z。xy

0CZ2Z1解:∵Z+2-2i=Z-(-2+2i)直线OC的方程是y=-x，圆C的方程是∴满足|Z+2-2i|≤1

所对应的点Z，径的圆的内部（如图），|Z|就是圆C及其内部各点到圆点的距离，使|Z|取得最大值与最小值的点就是OC与圆C的两个交点。组成以C(-2,2)点为圆心，以r为半(x+2)²+(y+2)²=1第18页,共25页，2024年2月25日，星期天19二、复数加法与减法运算的几何意义解方程组y=-x(x+2)²+(y+2)²=1(-,)得点的坐标是(-,)，点的坐标是Z1322322Z2

22

22∴当Z=-+

i

时，|Z|=3；322322max

当Z=-+

i

时，|Z|=1；min

22

22第19页,共25页，2024年2月25日，星期天20二、复数加法与减法运算的几何意义思考题1、已知复Z满足|Z|=1，求|Z+1-2i|的最大值与最小值。分析：∵|Z+1-2i|=|Z-(-1-2i)|xyB-101PAM(1,2)如图，求得|OM|

=

5∴|Z+1-2i|=|MB|=+1max

5|Z+1-2i|=|MA|=-1min

5第20页,共25页，2024年2月25日，星期天21二、复数加法与减法运算的几何意义2、设复平面内的点,分别对应复数为,，Z

1Z

2Z

1Z

2则线段

,垂直平分线的方程是：Z

1Z

2|Z-

|=|Z-

|Z

2Z

1例如|Z+1|=|Z-i|是连结复数-1,i在复平面内对应点的线段的垂直平分线方程。xy1

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