广西钦州四中学2024年八年级数学第二学期期末监测试题含解析

广西钦州四中学2024年八年级数学第二学期期末监测试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2．答题时请按要求用笔。3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题（每题4分，共48分）1．如图，矩形的对角线与交于点，过点作的垂线分别交、于、两点，若，，则的长度为（）A．1 B．2 C． D．2．下列交通标志中、既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A． B． C． D．3．若a＞b，则下列式子正确的是（）A．a+2＜b+2 B．﹣2a＞﹣2b C．a﹣2＞b﹣2 D．a4．对点Q（0，3）的说法正确的是（）A．是第一象限的点 B．在轴的正半轴C．在轴的正半轴 D．在轴上5．点P（﹣1，2）关于y轴对称的点的坐标是（）A．（1，2） B．（﹣1，2） C．（1，﹣2） D．（﹣1，﹣2）6．已知反比例函数，下列结论中不正确的是（）A．图象经过点(-1,-1) B．图象在第一、三象限C．当时， D．当时，y随着x的增大而增大7．下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（）．A． B． C． D．8．计算：=（）（a＞0，b＞0）A． B． C．2a D．2a9．某中学书法兴趣小组10名成员的年龄情况如下表：年龄/岁14151617人数3421则该小组成员年龄的众数和中位数分别是（）A．15，15 B．16，15 C．15，17 D．14，1510．在一次“爱心互助”捐款活动中，某班第一小组7名同学捐款的金额(单位：元)分别为6，3，6，5，5，6，9.这组数据的中位数和众数分别是()A．5，5 B．6，6 C．6，5 D．5，611．一元二次方程的根的情况为（）A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根12．一个直角三角形的两边长分别为5和12，则第三边的长为（）A．13 B．14 C．119 D．13或119二、填空题（每题4分，共24分）13．若关于x的方程－3有增根，则a＝_____．14．如图，在菱形中，，，点E，F分别是边，的中点，是上的动点，那么的最小值是_______.15．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC，对角线AC、BD相交于点O，现将一个直角三角板OEF的直角顶点与O重合，再绕着O点转动三角板，并过点D作DH⊥OF于点H，连接AH.在转动的过程中，AH的最小值为_________．16．如图，在中，为边延长线上一点，且，连结、.若的面积为1，则的面积为____.17．在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若∠AOB=60°，AB=5，则BC=_____．18．已知一次函数的图象如图，根据图中息请写出不等式的解集为__________．三、解答题（共78分）19．（8分）（1）计算：（2）解方程：.20．（8分）（1）如图，已知矩形中，点是边上的一动点（不与点、重合），过点作于点，于点，于点，猜想线段三者之间具有怎样的数量关系，并证明你的猜想；（2）如图，若点在矩形的边的延长线上，过点作于点，交的延长线于点，于点，则线段三者之间具有怎样的数量关系，直接写出你的结论；（3）如图，是正方形的对角线，在上，且，连接，点是上任一点，与点，于点，猜想线段之间具有怎样的数量关系，直接写出你的猜想.21．（8分）如图，在中，，请用尺规过点作直线，使其将分割成两个等腰三角形．（保留作图痕迹，不写作法．并把作图痕迹用黑色签字笔加黑）．22．（10分）在平面直角坐标系中,规定：抛物线y=a(x−h)+k的关联直线为y=a(x−h)+k.例如：抛物线y=2(x+1)−3的关联直线为y=2(x+1)−3，即y=2x−1.(1)如图,对于抛物线y=−(x−1)+3.①该抛物线的顶点坐标为___，关联直线为___，该抛物线与其关联直线的交点坐标为___和___；②点P是抛物线y=−(x−1)+3上一点,过点P的直线PQ垂直于x轴,交抛物线y=−(x−1)+3的关联直线于点Q.设点P的横坐标为m,线段PQ的长度为d(d>0)，求当d随m的增大而减小时，d与m之间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围。(2)顶点在第一象限的抛物线y=−a(x−1)+4a与其关联直线交于点A,B(点A在点B的左侧)，与x轴负半轴交于点C，直线AB与x轴交于点D，连结AC、BC．①求△BCD的面积(用含a的代数式表示).②当△ABC为钝角三角形时，直接写出a的取值范围。23．（10分）八年级（3）班同学为了解2020年某小区家庭1月份天然气使用情况，随机调查了该小区部分家庭，并将调查数据进行如下整理：月均用气量x（）频数（户）频率0＜x≤1040.0810＜x≤20a0.1220＜x≤30160.3230＜x≤4012b40＜x≤50100.2050＜x≤6020.04（1）求出a，b的值，并把频数分布直方图补充完整；（2）求月均用气量不超过30的家庭数占被调查家庭总数的百分比；（3）若该小区有600户家庭，根据调查数据估计，该小区月均用气量超过40的家庭大约有多少户？24．（10分）综合与实践如图，为等腰直角三角形，，点为斜边的中点，是直角三角形，．保持不动，将沿射线向左平移，平移过程中点始终在射线上，且保持直线于点，直线于点．（1）如图1，当点与点重合时，与的数量关系是__________．（2）如图2，当点在线段上时，猜想与有怎样的数量关系与位置关系，并对你的猜想结果给予证明；（3）如图3，当点在的延长线上时，连接，若，则的长为__________．25．（12分）如图，反比例函数y=的图象与一次函数y=kx+b的图象交于A，B两点，点A的坐标为（2，6），点B的坐标为（n，1）．（1）求反比例函数与一次函数的表达式；（2）点E为y轴上一个动点，若S△AEB=10，求点E的坐标．（3）结合图像写出不等式的解集；26．已知：如图，在菱形ABCD中，AC、BD交于点O，菱形的周长为8，∠ABC=60°，求BD的长和菱形ABCD的面积．

参考答案一、选择题（每题4分，共48分）1、B【解析】

先根据矩形的性质，推理得到OF=CF，再根据Rt△BOF求得OF的长，即可得到CF的长．【详解】解：∵EF⊥BD，∠AEO=120°，∴∠EDO=30°，∠DEO=60°，∵四边形ABCD是矩形，∴∠OBF=∠OCF=30°，∠BFO=60°，∴∠FOC=60°-30°=30°，BF=2OF，∴OF=CF，又∵BO=BD=AC=2，∴在Rt△BOF中，BO2+OF2=(2OF)2，∴(2)2+OF2=4OF2，∴OF=2，∴CF=2，故选：B．【点睛】本题主要考查了矩形的性质，含30°角的直角三角形的性质，以及勾股定理的运用，解决问题的关键是掌握：矩形的对角线相等且互相平分．2、A【解析】

根据中心对称图形和轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．【详解】A、既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项正确；B、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项错误；C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项错误；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误．故选：A．【点睛】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义是解答本题的关键.在平面内，一个图形经过中心对称能与原来的图形重合，这个图形叫做叫做中心对称图形；一个图形的一部分，以某条直线为对称轴，经过轴对称能与图形的另一部分重合，这样的图形叫做轴对称图形.3、C【解析】

依据不等式的基本性质进行判断，即可得出结论．【详解】解：若a>b，则a+2>b+2，故A选项错误；若a>b，则-2a<-2b，故B选项错误；若a>b，则a-2>b-2，故C选项正确；若a>b，则12a>1故选：C．【点睛】本题主要考查了不等式的基本性质，在不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数时，一定要改变不等号的方向．4、B【解析】

根据横坐标为0可知点Q在y轴上，纵坐标大于0，则点在正半轴．【详解】点Q(0，3)在y轴的正半轴，故选B．【点睛】本题考查坐标系中的点坐标特征，熟记坐标轴上的点横纵坐标的特征是解题的关键．5、A【解析】

解：根据关于y轴对称，横坐标互为相反数，纵坐标不变．故应选A考点：关于x轴、y轴对称的点的坐标6、D【解析】

根据反比例函数的性质，利用排除法求解．【详解】解：A、x=-1，y==-1，∴图象经过点（-1，-1），正确；B、∵k=1＞0，∴图象在第一、三象限，正确；C、∵k=1＞0，∴图象在第一象限内y随x的增大而减小，∴当x＞1时，0＜y＜1，正确；D、应为当x＜0时，y随着x的增大而减小，错误．故选：D．【点睛】本题考查了反比例函数的性质，当k＞0时，函数图象在第一、三象限，在每个象限内，y的值随x的值的增大而减小．7、D【解析】

只含有1个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式方程就是一元二次方程，依据定义即可判断．【详解】A、是关于x的一元一次方程，不符合题意；B、为二元二次方程，不符合题意；C、是分式方程，不符合题意；D、只含有一个未知数，未知数的最高次数是2，二次项系数不为1，是一元二次方程，符合题意；故选D．【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程只含有一个未知数，未知数的最高次数是2，为整式方程；特别注意二次项系数不为1．8、C【解析】

根据二次根式的除法法则计算可得．【详解】解：原式，故选C．【点睛】本题主要考查二次根式的乘除法，解题的关键是掌握二次根式的除法运算法则．9、A【解析】

10名成员的年龄中，15岁的人数最多，因此众数是15岁，从小到大排列后，处在第5，6位两个数的平均数是15岁，因此中位数是15岁.【详解】解：15岁出现的次数最多，是4次，因此众数是15岁，从小到大排列后处在第5、6位的都是15，因此中位数是15岁.故选：A.【点睛】本题考查中位数、众数的意义及求法，出现次数最多的数是众数，从小到大排列后处在中间位置的一个或两个数的平均数是中位数.10、B【解析】

根据中位数的概念：是按顺序排列的一组数据中居于中间位置的数，将这一组数据进行排列，即可得出中位数；根据众数的定义：是一组数据中出现次数最多的数值，即可判定众数.【详解】解：将这一组数按照从高到低的顺序排列，得3,5,5,6,6,6,9，则其中位数为6；这组数中出现次数最多的数是6，即为众数，故答案为B.【点睛】此题主要考查对中位数和众数的理解，熟练掌握其内涵，即可解题.11、B【解析】

求出△的值，利用根的判别式与方程根的关系即可判断．【详解】一元二次方程中，a=2，b=3，c=-5，△=49，∴方程有两个不相等的实数根，故选B．【点睛】本题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：(1)方程有两个不相等的实数根；(2)方程有两个相等的实数根；(3)方程没有实数根．12、D【解析】

本题已知直角三角形的两边长，但未明确这两条边是直角边还是斜边，因此两条边中的较长边12既可以是直角边，也可以是斜边，所以求第三边的长必须分类讨论，即12是斜边或直角边的两种情况，然后利用勾股定理求解．【详解】当12和5均为直角边时，第三边=122+当12为斜边，5为直角边，则第三边=122-5故第三边的长为13或119．故选D．【点睛】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．二、填空题（每题4分，共24分）13、1【解析】

去分母后把x=2代入，即可求出a的值.【详解】两边都乘以x-2，得a=x-1，∵方程有增根，∴x-2=0，∴x=2，∴a=2-1=1.故答案为：1.【点睛】本题考查的是分式方程的增根，在分式方程变形的过程中，产生的不适合原方程的根叫做分式方程的增根.增根使最简公分母等于0，不适合原分式方程，但是适合去分母后的整式方程．14、5【解析】

设AC交BD于O，作E关于AC的对称点N，连接NF，交AC于P，则此时EP+FP的值最小，根据菱形的性质推出N是AD中点，P与O重合，推出PE+PF=NF=AB，根据勾股定理求出AB的长即可．【详解】设AC交BD于O，作E关于AC的对称点N，连接NF，交AC于P，则此时EP+FP的值最小，∴PN=PE，∵四边形ABCD是菱形，∴∠DAB=∠BCD,AD=AB=BC=CD,OA=OC,OB=OD,AD∥BC，∵E为AB的中点，∴N在AD上，且N为AD的中点，∵AD∥CB，∴∠ANP=∠CFP，∠NAP=∠FCP，∵AD=BC，N为AD中点，F为BC中点，在△ANP和△CFP中∵，∴△ANP≌△CFP(ASA)，∴AP=CP，即P为AC中点，∵O为AC中点，∴P、O重合，即NF过O点，∵AN∥BF，AN=BF，∴四边形ANFB是平行四边形，∴NF=AB，∵菱形ABCD，∴AC⊥BD,OA=AC=4,BO=BD=3，由勾股定理得：AB==5，故答案为：5.【点睛】此题考查轴对称-最短路线问题，菱形的性质，解题关键在于作辅助线15、1﹣1【解析】

取OD的中点G，过G作GP⊥AD于P，连接HG，AG，依据∠ADB=30°，可得PGDG=1，依据∠DHO=90°，可得点H在以OD为直径的⊙G上，再根据AH+HG≥AG，即可得到当点A，H，G三点共线，且点H在线段AG上时，AH最短，根据勾股定理求得AG的长，即可得出AH的最小值．【详解】如图，取OD的中点G，过G作GP⊥AD于P，连接HG，AG．∵AB=4，BC=4AD，∴BD8，∴BD=1AB，DO=4，HG=1，∴∠ADB=30°，∴PGDG=1，∴PD，AP=3．∵DH⊥OF，∴∠DHO=90°，∴点H在以OD为直径的⊙G上．∵AH+HG≥AG，∴当点A，H，G三点共线，且点H在线段AG上时，AH最短，此时，Rt△APG中，AG，∴AH=AG﹣HG=11，即AH的最小值为11．故答案为11．【点睛】本题考查了圆和矩形的性质，勾股定理的综合运用，解决问题的关键是根据∠DHO=90°，得出点H在以OD为直径的⊙G上．16、3【解析】

首先根据平行四边形的性质，可得AD=BC，又由，可得BE=3BC=3AD，和的高相等，即可得出的面积.【详解】解：∵，∴AD=BC，AD∥BC，∴和的高相等，设其高为，又∵，∴BE=3BC=3AD，又∵，∴故答案为3.【点睛】此题主要考查利用平行四边形的性质进行等量转换，即可求得三角形的面积.17、5；【解析】

根据矩形性质得出AC=2AO，BD=2BO，AC=BD，推出AO=OB，得出等边三角形AOB，利用勾股定理即可得出答案．【详解】∵四边形ABCD是矩形，∴AC=BD，AC=2AO，BD=2BO，∠ABC=90°，∴AO=OB，∵∠AOB=60°，∴△AOB是等边三角形，∴AO=AB=5，∴AC=2AO=10，在Rt△ABC中，由勾股定理得，BC=.故答案为：5.【点睛】本题考查了矩形的性质及勾股定理.根据矩形的性质及∠AOB=60°得出△AOB是等边三角形是解题的关键.18、x≤1【解析】

观察函数图形得到当x≤1时，一次函数y=ax+b的函数值小于2，即ax+b≤2【详解】解：根据题意得当x≤1时，ax+b≤2，

即不等式ax+b≤2的解集为：x≤1．

故答案为：x≤1．【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=ax+b的值大于（或小于）1的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．三、解答题（共78分）19、（1）；（2）x1＝0，x2＝﹣1．【解析】

（1）先算乘法，根据二次根式化简，再合并同类二次根式即可；（2）分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．【详解】（1）原式＝＝；（2）x2+1x＝0，x（x+1）＝0，x＝0，x+1＝0，x1＝0，x2＝﹣1．【点睛】本题考查二次根式的混合运算和解一元二次方程，能正确运用运算法则进行化简是解（1）的关键，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解（2）的关键．20、（1），见解析；（2）或者，见解析；（3）.【解析】

（1）过点作于,先得出四边形是矩形，再证明四边形是矩形，证明，求出即可；（2）过C点作CO垂直EF,可得矩形HCOF,因为HC=FO,只要证明EO=EG，最后根据AAS证明.（3）连接AC交BD于O,过点E作EH⊥AC,证明矩形FOHE,证明EG=CH,根据AAS证明.【详解】（1）答：证明：如图1，过点作于．，四边形是矩形．．．四边形是矩形，，且互相平分∴∠DBC=∠ACB，，又，．∴EG=CN；即；（2）或者；过C点作CO垂直EF,∵，CO⊥EF，∴矩形COHF∴CE∥BD，CH=DO∴∠DBC=∠OCE∵矩形ABCD∴∠DBC=∠ACB∵∠ECG=∠ACB∴∠ECG=∠OCE∵CO⊥EF，∴∠G=∠COE∵CE=CE∴∴EO=EG∴或者；（3）.连接AC交BD于O,过点E作EH⊥AC,∵正方形ABCD∴FO⊥AC,∵EH⊥AC∴矩形FEOH,∠EHC=90°∵EG⊥BC，EF=OH∴∠EGC=90°=∠EHC∴EH∥BD∴∠HEC=∠FLE∵BL=BC∴∠GCE=∠FLE∴∠GCE=∠HEC∵EC=EC∴∴HC=GE∴【点睛】本题考查的是矩形的综合运用，熟练掌握全等三角形是解题的关键.21、见解析【解析】

作斜边AB的中垂线可以求得中点D，连接CD，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得CD＝AD＝DB．【详解】解如图所示：，△ACD和△CDB即为所求．【点睛】此题主要考查了应用设计与作图，关键在于用中垂线求得中点和运用直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，把Rt△ABC分割成两个等腰三角形．22、（1）①(1,3),y=−x+4,(1,3)和(2,2)；②当m<1,d=m−3m+2;⩽m<2时,d=−m+3m−2；;（2）①9a;②0<a<或a>1.【解析】

（1）①利用二次函数的性质和新定义得到抛物线的顶点坐标和关联直线解析式；然后解方程组得该抛物线与其关联直线的交点坐标；②设P（m，-m+2m+2），则Q（m，-m+4），如图1，利用d随m的增大而减小得到m<1或1<m<2，当m<1时，用m表示s得到d=m-3m+2；当1<m<2时，利用m表示d得到d=-m+3m-2，根据二次函数的性质得当m≥，d随m的增大而减小，所以≤m<2时，d=-m+3m-2；（2）①先确定抛物线y=-a（x-1）+4a的关联直线为y=-ax+5a，再解方程组得A（1，4a），B（2，3a），接着解方程-a（x-1）+4a=0得C（-1，0），解方程-ax+5a=0得D（5，0），然后利用三角形面积公式求解；②利用两点间的距离公式得到AC=2+16a，BC=3+9a，AB=1+a，讨论：当AC+AB<BC，∠BAC为钝角，即2+16a+1+a<3+9a；当BC+AB<AC，∠BAC为钝角，即3+9a+1+a<2+16a，然后分别解不等式即可得到a的范围．【详解】(1)①抛物线的顶点坐标为(1,3),关联直线为y=−(x−1)+3=−x+4,解方程组得或，所以该抛物线与其关联直线的交点坐标为(1,3)和(2,2)；故答案为(1,3),y=−x+4,(1,3)和(2,2)；②设P(m,−m+2m+2),则Q(m,−m+4)，如图1，∵d随m的增大而减小，∴m<1或1<m<2，当m<1时,d=−m+4−(−m+2m+2)=m−3m+2；当1<m<2时,d=−m+2m+2−(m+4)=−m+3m−2,当m⩾，d随m的增大而减小，综上所述,当m<1,d=m−3m+2;⩽m<2时,d=−m+3m−2；(2)①抛物线y=−a(x−1)+4a的关联直线为y=−a(x−1)+4a=−ax+5a，解方程组得或，∴A(1,4a),B(2,3a)，当y=0时,−a(x−1)+4a=0,解得x=3,x=−1,则C(−1,0)，当y=0时,−ax+5a=0,解得x=5,则D(5,0)，∴S△BCD=×6×3a=9a；②AC=2+16a,BC=3+9a,AB=1+a，当AC+AB<BC,∠BAC为钝角,即2+16a+1+a<3+9a,解得a<；当BC+AB<AC,∠BAC为钝角,即3+9a+1+a<2+16a，解得a>1，综上所述,a的取值范围为0<a<或a>1【点睛】此题考查二次函数综合题，解题关键在于利用勾股定理进行计算23、（1）6，，图见解析；（2）；（3）1．【解析】

（1）先求出随机调查的家庭总户数，再根据“频数频率总数”可求出a的值，根据“频率频数总数”可求出b的值，然后补全频数分布直方图即可；（2）根据总户数和频数分布表中“月均用气量不超过的家庭数”即可得；（3）先求出“小区月均用气量超过的家庭”的占比，再乘以600即可得．【详解】（1）随机调查的家庭总户数为（户）则补全频率分布直方图如下所示：（2）月均用气量不超过的家庭数为（户）则答：月均用气量不超过30的家庭数占被调查家庭总数的百分比为；（3）小区月均用气量超过的家庭占比为则（户）答：该小区月均用气量超过40的家庭大约有1户．【点睛】本题考查了频数分布表和频数分布直方图，掌握理解频数分布表和频数分布直方图是解题关键．24、（1）；（2），，见解析；（3）【解析】

（1）根据等腰直角三角形的性质证明OA=OC，∠A=∠C,然后证明≌即可得到OE=OF；（2）根据等腰直角三角形的性质证明OA=OB，∠A=∠OBF，利用矩形的判定证明PEBF是矩形，从而得到BF=AE，于是可证明≌，即可得到，；（3）同（2）类似，证明，，然后根据勾股定理即可求出EF的长.【详解】解：（1）=，理由如下：∵为等腰直角三角形，，点为斜边的中点，∴OA=OC，∠A=∠C,∵，，∴,∴≌,∴.故答案是：.（2），，理由如下：如图2，连接OB，∵为等腰直角三角形，点为斜边的中点，∴OA=OB，∠A=∠OBF=,∠AOB=，∵，∴∠A=∠APE=，∴AE=PE，∵，，，∴PEBF是矩形，∴BF=PE，∴BF=AE，在和中，，∴≌,∴，，∴,∴.故答案是：，.（3）如图3，连接EF、OB，∵为等腰