专题04 平行线模型之M型解题方法专练（解析版）-【考点培优尖子生专用】2021-2022学年七年级数学下册专题训练（浙教版）

编者小k君小注：本专辑专为2022年初中浙教版数学第二学期研发，供中等及以上学生使用。思路设计：重在培优训练，分选择、填空、解答三种类型题，知识难度层层递进，由中等到压轴，基础差的学生选做每种类型题的前4题；基础中等的学生必做前4题、选做5-8题；尖子生全部题型必做，冲刺压轴题。专题04平行线模型之M型解题方法专练（解析版）错误率：___________易错题号：___________一、单选题1．如图，已知AB∥DE，∠1＝30°，∠2＝35°，则∠BCE的度数为（）A．70° B．65° C．35° D．5°【标准答案】B【思路指引】作CF∥AB，根据平行线的性质可以得到∠1＝∠BCF，∠FCE＝∠2，从而可得∠BCE的度数，本题得以解决．【详解详析】作CF∥AB，∵AB∥DE，∴CF∥DE，∴AB∥DE∥DE，∴∠1＝∠BCF，∠FCE＝∠2，∵∠1＝30°，∠2＝35°，∴∠BCF＝30°，∠FCE＝35°，∴∠BCE＝65°，故选：B．【名师指路】本题考查平行线的性质，解答本题的关键是明确题意，利用平行线的性质解答．2．如图，已知，将直角三角形如图放置，若∠2=40°，则∠1为（）A．120° B．130° C．140° D．150°【标准答案】B【思路指引】过A作AB∥a，即可得到a∥b∥AB，依据平行线的性质，即可得到∠5的度数，进而得出的度数．【详解详析】解：标注字母，如图所示，过A作AB∥a，∵a∥b，∴a∥b∥AB，∴∠2=∠3=40°，∠4=∠5，又∵∠CAD=90°，∴∠4=50°，∴∠5=50°，∴∠1=180°-50°=130°，故选：B．【名师指路】本题考查了平行线的性质，平行公理，熟记性质并作出辅助线是解题的关键．3．如图，已知AB∥DE，∠1＝30°，∠2＝35°，则∠BCE的度数为（）A．70° B．65° C．35° D．50°【标准答案】B【思路指引】根据平行线的性质和∠1=30°，∠2=35°，可以得到∠BCE的度数，本题得以解决．【详解详析】解：作CF∥AB，∵AB∥DE，∴CF∥DE，∴AB∥DE∥CF，∴∠1=∠BCF，∠FCE=∠2，∵∠1=30°，∠2=35°，∴∠BCF=30°，∠FCE=35°，∴∠BCE=65°，故选：B．【名师指路】本题考查平行线的性质，解答本题的关键是明确题意，利用平行线的性质解答．4．如图，直线a//b，一块含60°角的直角三角板ABC（∠A=60°）按如图所示放置．若∠1=43°，则∠2的度数为（）

A．101° B．103° C．105° D．107°【标准答案】B【思路指引】如图，首先证明∠AMO=∠2；然后运用对顶角的性质求出∠ANM=43°，借助三角形外角的性质求出∠AMO即可解决问题．【详解详析】解：如图，∵直线a∥b，

∴∠AMO=∠2；

∵∠ANM=∠1，∠1=43°，

∴∠ANM=43°，

∴∠AMO=∠A+∠ANM=60°+43°=103°，

∴∠2=∠AMO=103°．

故选：B．【名师指路】该题主要考查了平行线的性质、对顶角的性质、三角形的外角性质等几何知识点及其应用问题；牢固掌握平行线的性质、对顶角的性质等几何知识点是灵活运用、解题的基础．5．如图,ABEF,∠D=90°,则,,的大小关系是（）A． B．C． D．【标准答案】D【思路指引】通过作辅助线,过点C和点D作CGAB,DHAB,可得CGDHAB,根据ABEF,可得ABEFCGDH,再根据平行线的性质即可得γ+β-α=90°,进而可得结论．【详解详析】解：如图,过点C和点D作CGAB,DHAB,

∵CGAB,DHAB,∴CGDHAB,

∵ABEF,

∴ABEFCGDH,∵CGAB,

∴∠BCG=α,

∴∠GCD=∠BCD-∠BCG=β-α,

∵CGDH,

∴∠CDH=∠GCD=β-α,

∵HDEF,

∴∠HDE=γ,

∵∠EDC=∠HDE+∠CDH=90°,

∴γ+β-α=90°,

∴β=α+90°-γ．

故选：D．【名师指路】本题考查了平行线的性质,解决本题的关键是掌握平行线的性质．6．如图所示，如果AB∥CD，则∠α、∠β、∠γ之间的关系为（）A．∠α+∠β+∠γ＝180° B．∠α－∠β+∠γ＝180°C．∠α+∠β－∠γ＝180° D．∠α－∠β－∠γ＝180°[【标准答案】C【思路指引】过E作EF∥AB，由平行线的质可得EF∥CD，∠α+∠AEF=180°，∠FED=∠γ，由∠β=∠AEF+∠FED即可得∠α、∠β、∠γ之间的关系．【详解详析】解：过点E作EF∥AB，

∴∠α+∠AEF=180°（两直线平行，同旁内角互补），

∵AB∥CD，

∴EF∥CD，

∴∠FED=∠EDC（两直线平行，内错角相等），

∵∠β=∠AEF+∠FED，

又∵∠γ=∠EDC，

∴∠α+∠β-∠γ=180°，

故选：C．【名师指路】本题主要考查了平行线的性质，正确作出辅助线是解答此题的关键．7．如图，，点在上，，，则下列结论正确的个数是（）（1）；（2）；（3）；（4）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【标准答案】B【思路指引】利用平行线的性质和三角形的性质依次判断即可求解．【详解详析】解：∵AB∥CD，∴∠A+∠C＝180°，又∵∠A＝110°，∴∠C＝70°，∴∠AED＝∠C+∠D＝85°，故（2）正确，∵∠C+∠D+∠CED＝180°，∴∠D+∠CED＝110°，∴∠A＝∠CED+∠D，故（3）正确，∵点E在AC上的任意一点，∴AE无法判断等于CE，∠BED无法判断等于45°，故（1）、（4）错误，故选：B．【名师指路】本题考查了平行线的性质，三角形的外角的性质，掌握平行线的性质是本题的关键．8．如图，∠BCD＝70°，AB∥DE，则∠α与∠β满足（）A．∠α+∠β＝110° B．∠α+∠β＝70° C．∠β﹣∠α＝70° D．∠α+∠β＝90°【标准答案】B【思路指引】过点C作CF∥AB，根据平行线的性质得到∠BCF＝∠α，∠DCF＝∠β，由此即可解答．【详解详析】如图，过点C作CF∥AB，∵AB∥DE，∴AB∥CF∥DE，∴∠BCF＝∠α，∠DCF＝∠β，∵∠BCD＝70°，∴∠BCD=∠BCF+∠DCF＝∠α+∠β＝70°，∴∠α+∠β＝70°．故选B．【名师指路】本题考查了平行线的性质，正确作出辅助线，熟练掌握平行线的性质进行推理证明是解决本题的关键.9．如图，AB∥CD，点E，P在直线AB上（P在E的右侧），点G在直线CD上，EF⊥FG，垂足为F，M为线段EF上的一动点，连接GP，GM，∠FGP与∠APG的角平分线交与点Q，且点Q在直线AB，CD之间的区域，下列结论：①∠AEF+∠CGF＝90°；②∠AEF+2∠PQG＝270°；③若∠MGF＝2∠CGF，则3∠AEF+∠MGC＝270°；④若∠MGF＝n∠CGF，则∠AEF∠MGC＝90°．正确的个数是（）

A．4 B．3 C．2 D．1【标准答案】A【思路指引】①过点F作FH∥AB，利用平行线的性质以及已知即可证明；②利用角平分线的性质以及平行线的性质得到∠3=2∠2，∠CGF+2∠1+∠3=180°，结合①的结论即可证明；③由已知得到∠MGC＝3∠CGF，结合①的结论即可证明；④由已知得到∠MGC＝(n+1)∠CGF，结合①的结论即可证明．【详解详析】解：①过点F作FH∥AB，如图：

∵AB∥CD，∴AB∥FH∥CD，∴∠AEF=∠EFH，∠CGF=∠GFH，∵EF⊥FG，即∠EFG=∠EFH+∠GFH=90°，∴∠AEF+∠CGF=90°，故①正确；②∵AB∥CD，PQ平分∠APG，GQ平分∠FGP，

∴∠APQ=∠2，∠FGQ=∠1，∴∠3=∠APQ+∠2=2∠2，∠CGF+∠FGQ+∠1+∠3=∠CGF+2∠1+∠3=180°，即2∠1=180°-2∠2-∠CGF，∴2∠2+2∠1=180°-∠CGF，∵∠PQG=180°-(∠2+∠1)，∴2∠PQG=360°-2(∠2+∠1)=360°-(180°-∠CGF)=180°+∠CGF，∴∠AEF+2∠PQG=∠AEF+180°+∠CGF=180°+90°=270°，故②正确；③∵∠MGF＝2∠CGF，∴∠MGC＝3∠CGF，∴3∠AEF+∠MGC＝3∠AEF+3∠CGF＝3(∠AEF+∠CGF)=390°＝270°；3∠AEF+∠MGC＝270°，故③正确；

④∵∠MGF＝n∠CGF，∴∠MGC＝(n+1)∠CGF，即∠CGF=∠MGC，∵∠AEF+∠CGF=90°，∴∠AEF∠MGC＝90°，故④正确．综上，①②③④都正确，共4个，故选：A．【名师指路】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义等知识点，作辅助线求得∠AEF+∠CGF=90°，是解此题的关键．10．如图，已知直线、被直线所截，，E是平面内任意一点（点E不在直线、、上），设，．下列各式：①，②，③，④，的度数可能是（）A．②③ B．①④ C．①③④ D．①②③④【标准答案】D【思路指引】由题意根据点E有6种可能位置，分情况进行讨论，依据平行线的性质以及三角形外角性质进行计算求解即可．【详解详析】解：（1）如图1，由AB∥CD，可得∠AOC=∠DCE1=β，

∵∠AOC=∠BAE1+∠AE1C，

∴∠AE1C=β-α．

（2）如图2，过E2作AB平行线，则由AB∥CD，可得∠1=∠BAE2=α，∠2=∠DCE2=β，

∴∠AE2C=α+β．

（3）如图3，由AB∥CD，可得∠BOE3=∠DCE3=β，

∵∠BAE3=∠BOE3+∠AE3C，

∴∠AE3C=α-β．

（4）如图4，由AB∥CD，可得∠BAE4+∠AE4C+∠DCE4=360°，

∴∠AE4C=360°-α-β．

（5）（6）当点E在CD的下方时，同理可得∠AEC=α-β或β-α．

综上所述，∠AEC的度数可能为β-α，α+β，α-β，360°-α-β，即①②③④．

故选：D．【名师指路】本题主要考查平行线的性质的运用，解题时注意两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等以及分类讨论．二、填空题11．已知直线a∥b，将一块含30°角的直角三角板ABC按如图所示方式放置（∠BAC＝30°），并且顶点A，C分别落在直线a，b上，若∠1＝22°，则∠2的度数是_____．【标准答案】38°【思路指引】过点B作BD∥a，可得∠ABD=∠1=22°，a∥b，可得BD∥b，进而可求∠2的度数．【详解详析】如图，过点B作BD∥a，

∴∠ABD=∠1=22°，

∵a∥b，

∴BD∥b，

∴∠2=∠DBC=∠ABC-∠ABD=60°-22°=38°．

故答案为：38°．【名师指路】本题考查了平行线的性质，解决本题的关键是掌握平行线的性质．12．如图，，则____________________．【标准答案】【思路指引】过点做的平行线，利用平行线的性质，即可证明．【详解详析】过点做的平行线，又又.故答案为：．【名师指路】本题考查了通过平行线的性质求解角度问题，解题关键在于过中间的点作已知直线的平行线．13．如图，已知：AB∥CD，∠1=50°，∠2=113°，则∠3=___度．【标准答案】63【思路指引】如图，易知∠3＝∠2－∠1，计算即可.【详解详析】如图所示，根据平行线的性质易知∠3＝∠2－∠1＝113°－50°＝63°.【名师指路】本题主要考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解答的关键.14．请阅读小明同学在学习平行线这章知识点时的一段笔记，然后解决问题.小明:老师说在解决有关平行线的问题时，如果无法直接得到角的关系，就需要借助辅助线来帮助解答，今天老师介绍了一个“美味”的模型一“猪蹄模型”.即已知:如图1，，为、之间一点，连接，得到.求证:小明笔记上写出的证明过程如下:证明:过点作，∴∵，∴∴.∵∴请你利用“猪蹄模型”得到的结论或解题方法，完成下面的两个问题.（1）如图，若，，则___________.（2）如图，，平分，平分，，则___________.【标准答案】240°51°【思路指引】（1）作EM∥AB，FN∥CD，如图，根据平行线的性质得AB∥EM∥FN∥CD，所以∠B=∠1，∠2=∠3，∠4+∠C=180°，然后利用等量代换计算∠B+∠F+∠C；（2）分别过G、H作AB的平行线MN和RS，根据平行线的性质和角平分线的性质可用∠ABG和∠DCG分别表示出∠H和∠G，从而可找到∠H和∠G的关系，结合条件可求得∠H．【详解详析】（1）解：作EM∥AB，FN∥CD，如图，AB∥CD，∴AB∥EM∥FN∥CD，∴∠B=∠1，∠2=∠3，∠4+∠C=180°，∴∠B+∠CFE+∠C=∠1+∠3+∠4+∠C=∠BEF+∠4+∠C=∠BEF+180°，∵，∴∠B+∠CFE+∠C=60°+180°=240°；（2）解：如图，分别过G、H作AB的平行线MN和RS，∵平分，平分，∴∠ABE=∠ABG，∠SHC=∠DCF=∠DCG，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥RS∥MN，∴∠RHB=∠ABE=∠ABG，∠SHC=∠DCF=∠DCG，∠NGB+∠ABG=∠MGC+∠DCG=180°，∴∠BHC=180°-∠RHB-∠SHC=180°-(∠ABG+∠DCG)，∠BGC=180°-∠NGB-∠MGC=180°-(180°-∠ABG)-(180°-∠DCG)=∠ABG+∠DCG-180°，∴∠BGC=360°-2∠BHC-180°=180°-2∠BHC，又∵∠BGC=∠BHC+27°，∴180°-2∠BHC=∠BHC+27°，∴∠BHC=51°．故答案为：（1）240°；（2）51°．【名师指路】本题考查了平行线的性质和判定的应用，能运用平行线的性质和判定进行推理是解此题的关键，注意：①两直线平行，同位角相等，②两直线平行，内错角相等，③两直线平行，同旁内角互补，反之亦然．15．如图，，平分，，，则__________．【标准答案】【思路指引】过E点作EM∥AB，根据平行线的性质可得∠BED=∠B+∠D，利用角平分线的定义可求得∠B+3∠D=132°，结合∠B-∠D=28°即可求解．【详解详析】解：过E点作EM∥AB，∴∠B=∠BEM，∵AB∥CD，∴EM∥CD，∴∠MED=∠D，∴∠BED=∠B+∠D，∵EF平分∠BED，∴∠DEF=∠BED，∵∠DEF+∠D=66°，∴∠BED+∠D=66°，∴∠BED+2∠D=132°，即∠B+3∠D=132°，∵∠B-∠D=28°，∴∠B=54°，∠D=26°，∴∠BED=80°．故答案为：80°．【名师指路】本题主要考查平行线的性质，角平分线的定义，作出辅助线证出∠BED=∠B+∠D是解题的关键．16．如图，AB//CD，则______【标准答案】40°【思路指引】首先过点作，由，即可得，然后根据两直线平行，内错角相等，即可求得的度数．【详解详析】解：过点作，，，，，．故答案为：．【名师指路】此题考查了平行线的性质．此题比较简单，解题的关键是注意两直线平行，内错角相等定理的应用与辅助线的作法．17．如图，已知ABCD，易得∠1+∠2+∠3=360°，∠1+∠2+∠3+∠4=540°，根据以上的规律求∠1+∠2+∠3+…+∠n=__________°．【标准答案】【思路指引】过点P作平行于AB的直线，运用两次两条直线平行，同旁内角互补即可得到三个角的和；分别过点P，Q作AB的平行线，运用三次平行线的性质，即可得到四个角的和；同样作辅助线，运用（n-1）次平行线的性质，则n个角的和是．【详解详析】解：（1）如图，过点P作一条直线PM平行于AB，∵AB∥CD，AB∥PM∵AB∥PM∥CD，∴∠1+∠APM=180°，∠MPC+∠3=180°，∴∠1+∠APC+∠3=360°；（2）如图，过点P、Q作PM、QN平行于AB，∵AB∥CD，∵AB∥PM∥QN∥CD，∴∠1+∠APM=180°，∠MPQ+∠PQN=180°，∠NQC+∠4=180°；∴∠1+∠APQ+∠PQC+∠4=540°；根据上述规律，显然作（n-2）条辅助线，运用（n-1）次两条直线平行，同旁内角互补．即可得到∠1+∠2+∠3+…+∠n=180°（n-1）．故答案为：【名师指路】此题考查了平行线的性质．注意掌握辅助线的作法是解此题的关键．三、解答题18．直线AB∥CD，M为AB上一定点，N为CD上一定点，E为直线AB和直线CD之间的一点．（1）当点E在MN上时，如图1所示，请直接写出∠MEN，∠CNE，∠AME之间的数量关系；（2）当点E在MN左侧时，如图2所示，试猜想∠MEN，∠CNE，∠AME之间的数量关系，并证明；（3）当点E在MN右侧时，如图3所示，试猜想∠MEN，∠CNE，∠AME之间的数量关系，并证明．【标准答案】（1）∠MEN＝∠CNE+∠AME；（2）∠MEN＝∠CNE+∠AME，证明见解析；（3）∠MEN+∠CNE+∠AME＝360°，证明见解析．【思路指引】（1）由平行线的性质及平角的定义即可得解；（2）过点E作直线EF∥AB，则EF∥CD，由平行线的性质即可得解；（3）过点E作直线EG∥AB，则EG∥CD，由平行线的性质即可得解．【详解详析】解：（1）如图1，∠MEN＝∠CNE+∠AME，证明如下：∵AB∥CD，∴∠CNE+∠AME＝180°，∵∠MEN＝180°，∴∠MEN＝∠CNE+∠AME；（2）如图2，∠MEN＝∠CNE+∠AME，证明如下：过点E作直线EF∥AB，则EF∥CD，∴∠AME＝∠MEF，∠CNE＝∠NEF，∵∠MEN＝∠MEF+∠NEF，∴∠MEN＝∠CNE+∠AME；（3）如图3，∠MEN+∠CNE+∠AME＝360°，证明如下：过点E作直线EG∥AB，则EG∥CD，∴∠AME+∠MEG＝180°，∠CNE+∠NEG＝180°，∴∠AME+∠MEG+∠CNE+∠NEG＝360°，∵∠MEG+∠NEG＝∠MEN，∴∠MEN+∠CNE+∠AME＝360°．【名师指路】此题考查了平行线的性质，熟记“两直线平行，内错角相等”及“两直线平行，同旁内角互补”是解题的关键．19．请在横线上填上合适的内容．（1）如图（1）已知//，则．解：过点作直线//．∴（）．（）∵//，//，∴（）//（）．（如果两条直线和第三条直线平行，那么这两直线平行）∴（）．（）．∴．∴．（2）如图②，如果//，则（）【标准答案】（1）∠B，两直线平行，内错角相等，EF，CD，∠D，两直线平行，内错角相等；

（2）360°【思路指引】（1）过点E作直线EF∥AB，则∠FEB=∠B，继而由EF∥CD可得∠FED=∠D．所以∠B+∠D=∠BEF+∠FED，即∠B+∠D=∠BED；

（2）过点E作直线EF∥AB，则∠FEB+∠B=180°，继而由EF∥CD可得∠FED+∠D=180°．所以∠B+∠D+∠BEF+∠FED=360°，即∠B+∠BED+∠D=360°．【详解详析】解：（1）解：过点E作直线EF∥AB．

∴∠FEB=∠B．（两直线平行，内错角相等）

∵AB∥CD，EF∥AB，

∴EF∥CD（如果两条直线和第三条直线平行，那么这两直线平行）．

∴∠FED=∠D（两直线平行，内错角相等）．

∴∠B+∠D=∠BEF+∠FED．

∴∠B+∠D=∠BED．

故答案为：∠B，两直线平行，内错角相等，EF，CD，∠D，两直线平行，内错角相等；

（2）解：过点E作直线EF∥AB，如图．

∴∠FEB+∠B=180°．两直线平行，内错角相等）．

∵AB∥CD，EF∥AB，

∴EF∥CD（如果两条直线和第三条直线平行，那么这两直线平行）．

∴∠FED+∠D=180°（两直线平行，内错角相等）．

∴∠B+∠D+∠BEF+∠FED=360°．

∴∠B+∠BED+∠D=360°．

故答案为：360°．【名师指路】本题考查了平行线的判定与性质，平行公理及其推论，熟练掌握平行线判定、性质说理是关键．20．如图1，，，，求的度数．小明的思路是：如图2，过作，通过平行线性质可求的度数．

（1）请你按小明的思路，写出度数的求解过程；（2）如图3，，点在直线上运动，记，．①当点在线段上运动时，则与、之间有何数量关系？请说明理由；②若点不在线段上运动时，请直接写出与、之间的数量关系．【标准答案】（1）见解析；（2）①，见解析；②【思路指引】（1）过作，利用平行线的性质即可得出答案；（2）①过作，再利用平行线的性质即可得出答案；②分在延长线上和在延长线上两种情况进行讨论，结合平行线的性质即可得出答案【详解详析】解：（1）如图2，过作，，，，，，，，．（2）①、，理由：如图3，过作，，，，，；②、．如备用图1，当在延长线上时，；

理由：如备用图1，过作，，，，，；如备用图2所示，当在延长线上时，；理由：如备用图2，过P作，，，，，；综上所述，．【名师指路】本题考查的是平行线的性质，解题的关键是过作．21．如图，直线AB//CD，点M、N分别在直线AB、CD上，点E为直线AB与CD之间的一点，连接ME、NE，且∠MEN=80°，∠AME的角平分线与∠CNE的角平分线交于点F，则∠MFN的度数为______________．【标准答案】40°或140°【思路指引】分两种情况画图讨论：分别过点E和点F作EG∥AB，FH∥AB，可得EG∥FH∥AB，根据AB∥CD，可得EG∥FH∥AB∥CD，情况一根据平行线的性质可得∠MFN=∠MFH+∠NFH=∠AMF+∠CNF=40°；情况二根据平行线的性质可得∠MFN=∠MFH+∠NFH=∠AMF+∠CNF=140°．进而得到结论．【详解详析】解：分两种情况画图讨论：分别过点E和点F作EG∥AB，FH∥AB，∴EG∥FH∥AB，∵AB∥CD，∴EG∥FH∥AB∥CD，如图，∵EG∥AB∥CD，∴∠AME=∠MEG，∠CNE=∠NEG，∴∠AME+∠CNE=∠MEG+∠NEG=∠MEN=80°，∵∠AME的角平分线与∠CNE的角平分线交于点F，∴∠AMF=∠AME，∠CNF=∠CNE，∴∠AMF+∠CNF=（∠AME+∠CNE）=40°，∵FH∥AB∥CD，∴∠MFH=∠AMF，∠NFH=∠CNF，∴∠MFN=∠MFH+∠NFH=∠AMF+∠CNF=40°，如图，∵EG∥AB∥CD，∴∠BME=∠MEG，∠DNE=∠NEG，∴∠BME+∠DNE=∠MEG+∠NEG=∠MEN=80°，∴∠AME+∠CNE=360°-（∠BME+∠DNE）=280°∵∠AME的角平分线与∠CNE的角平分线交于点F，∴∠AMF=∠AME，∠CNF=∠CNE，∴∠AMF+∠CNF=（∠AME+∠CNE）=140°，∵FH∥AB∥CD，∴∠MFH=∠AMF，∠NFH=∠CNF，∴∠MFN=∠MFH+∠NFH=∠AMF+∠CNF=140°．综上所述：∠MFN的度数为40°或140°．故答案为：40°或140°．【点评】本题主要考查了平行线的性质，解决本题的关键是掌握平行线的性质．22．已知直线l1//l2，A是l1上的一点，B是l2上的一点，直线l3和直线l1，l2交于C和D，直线CD上有一点P．（1）如果P点在C，D之间运动时，问∠PAC，∠APB，∠PBD有怎样的数量关系？请说明理由．（2）若点P在C，D两点的外侧运动时（P点与C，D不重合），试探索∠PAC，∠APB，∠PBD之间的关系又是如何？（请直接写出答案，不需要证明）【标准答案】（1）；（2）当点在直线上方时，；当点在直线下方时，．【思路指引】（1）过点作，由“平行于同一条直线的两直线平行”可得出，再由“两直线平行，内错角相等”得出、，再根据角与角的关系即可得出结论；（2）按点的两种情况分类讨论：①当点在直线上方时；②当点在直线下方时，同理（1）可得、，再根据角与角的关系即可得出结论．【详解详析】解：（1）．过点作，如图1所示．，，，，，，．（2）结论：当点在直线上方时，；当点在直线下方时，．①当点在直线上方时，如图2所示．过点作．，，，，，，．②当点在直线下方时，如图3所示．过点作．，，，，，，．【名师指路】本题考查了平行线的性质以及角的计算，解题的关键是根据“两直线平行，内错角相等”找到相等的角．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据平行线的性质得出相等（或互补）的角是关键．23．如图，，点E在直线AB，CD内部，且．（1）如图1，连接AC，若AE平分，求证：平分；（2）如图2，点M在线段AE上，①若，当直角顶点E移动时，与是否存在确定的数量关系?并说明理由；②若（为正整数），当直角顶点E移动时，与是否存在确定的数量关系?并说明理由．【标准答案】（1）见解析；（2）①∠BAE+∠MCD=90°，理由见解析；②∠BAE+∠MCD=90°，理由见解析.【思路指引】（1）根据平行的性质可得∠BAC+∠DCA=180°，再根据可得∠EAC+∠ECA=90°，根据AE平分∠BAC可得∠BAE=∠EAC,等量代换可得∠ECD+∠EAC=90°，继而求得∠DCE=∠ECA；（2）①过E作EF∥AB，先利用平行线的传递性得出EF∥AB∥CD，再利用平行线的性质及已知条件可推得答案；②过E作EF∥AB，先利用平行线的传递性得出EF∥AB∥CD，再利用平行线的性质及已知条件可推得答案.【详解详析】（1）解：因为，所以∠BAC+∠DCA=180°，因为，所以∠EAC+∠ECA=90°，因为AE平分∠BAC，所以∠BAE=∠EAC，所以∠BAE+∠DCE=90°，所以∠EAC+∠DCE=90°，所以∠DCE=∠ECA，所以CE平分∠ACD；（2）①∠BAE与∠MCD存在确定的数量关系：∠BAE+∠MCD=90°，理由如下：过E作EF∥AB，∵AB∥CD，∴EF∥AB∥CD，∴∠BAE=∠AEF，∠FEC=∠DCE，∵∠E=90°，∴∠BAE+∠ECD=90°，∵∠MCE=∠ECD，∴∠BAE+∠MCD=90°；②∠BAE与∠MCD存在确定的数量关系：∠BAE+∠MCD=90°，理由如下：过E作EF∥AB，∵AB∥CD，∴EF∥AB∥CD，∴∠BAE=∠AEF，∠FEC=∠DCE，∵∠E=90°，∴∠BAE+∠ECD=90°，∵∠MCE=∠ECD，∴∠BAE+∠MCD=90°.【名师指路】本题主要考查平行线的性质和角平分线的定义，解决本题的关键是要添加辅助线利用平行性质.24．（1）已知：如图（a），直线．求证：；（2）如图（b），如果点C在AB与ED之外，其他条件不变，那么会有什么结果？你还能就本题作出什么新的猜想？【标准答案】（1）见解析；（2）当点C在AB与ED之外时，，见解析【思路指引】（1）由题意首先过点C作CF∥AB，由直线AB∥ED，可得AB∥CF∥DE，然后由两直线平行，内错角相等，即可证得∠ABC+∠CDE=∠BCD；

（2）根据题意首先由两直线平行，内错角相等，可得∠ABC=∠BFD，然后根据三角形外角的性质即可证得∠ABC-∠CDE=∠BCD．【详解详析】解：（1）证明：过点C作CF∥AB，

∵AB∥ED，

∴AB∥ED∥CF，

∴∠BCF=∠ABC，∠DCF=∠EDC，

∴∠ABC+∠CDE=∠BCD；

（2）结论：∠ABC-∠CDE=∠BCD，

证明：如图：

∵AB∥ED，

∴∠ABC=∠BFD，

在△DFC中，∠BFD=∠BCD+∠CDE，

∴∠ABC=∠BCD+∠CDE，

∴∠ABC-∠CDE=∠BCD．若点C在直线AB与DE之间，猜想,∵AB∥ED∥CF，∴∴.【名师指路】本题考查的是平行线的性质及三角形外角的性质，熟练掌握平行线的性质是解答本题的关键，注意掌握辅助线的作法．25．已知AB∥CD，线段EF分别与AB，CD相交于点E，F．（1）请在横线上填上合适的内容，完成下面的解答：如图1，当点P在线段EF上时，已知∠A＝35°，∠C＝62°，求∠APC的度数；解：过点P作直线PH∥AB，所以∠A＝∠APH，依据是；因为AB∥CD，PH∥AB，所以PH∥CD，依据是；所以∠C＝（），所以∠APC＝（）+（）＝∠A+∠C＝97°．（2）当点P，Q在线段EF上移动时（不包括E，F两点）：①如图2，∠APQ+∠PQC＝∠A+∠C+180°成立吗？请说明理由；②如图3，∠APM＝2∠MPQ，∠CQM＝2∠MQP，∠M+∠MPQ+∠PQM＝180°，请直接写出∠M，∠A与∠C的数量关系．【标准答案】（1）两直线平行，内错角相等；平行于同一条直线的两条直线平行；∠CPH；∠APH，∠CPH；（2）①∠APQ+∠PQC＝∠A+∠C+180°成立，理由见解答过程；②3∠PMQ+∠A+∠C＝360°．【思路指引】（1）根据平行线的判定与性质即可完成填空；（2）结合（1）的辅助线方法即可完成证明；（3）结合（1）（2）的方法，根据∠APM＝2∠MPQ，∠CQM＝2∠MQP，∠PMQ+∠MPQ+∠PQM＝180°，即可证明∠PMQ，∠A与∠C的数量关系．【详解详析】解：过点P作直线PH∥AB，所以∠A＝∠APH，依据是两直线平行，内错角相等；因为AB∥CD，PH∥AB，所以PH∥CD，依据是平行于同一条直线的两条直线平行；所以∠C＝（∠CPH），所以∠APC＝（∠APH）+（∠CPH）＝∠A+∠C＝97°．故答案为：两直线平行，内错角相等；平行于同一条直线的两条直线平行；∠CPH；∠APH，∠CPH；（2）①如图2，∠APQ+∠PQC＝∠A+∠C+180°成立，理由如下：过点P作直线PH∥AB，QG∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥PH∥QG，∴∠A＝∠APH，∠C＝∠CQG，∠HPQ+∠GQP＝180°，∴∠APQ+∠PQC＝∠APH+∠HPQ+∠GQP+∠CQG＝∠A+∠C+180°．∴∠APQ+∠PQC＝∠A+∠C+180°成立；②如图3，过点P作直线PH∥AB，QG∥AB，MN∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥PH∥QG∥MN，∴∠A＝∠APH，∠C＝∠CQG，∠HPQ+∠GQP＝180°，∠HPM＝∠PMN，∠GQM＝∠QMN，∴∠PMQ＝∠HPM+∠GQM，∵∠APM＝2∠MPQ，∠CQM＝2∠MQP，∠PMQ+∠MPQ+∠PQM＝180°，∴∠APM+∠CQM＝∠A+∠C+∠PMQ＝2∠MPQ+2∠MQP＝2（180°﹣∠PMQ），∴3∠PMQ+∠A+∠C＝360°．【名师指路】考核知识点：平行线的判定和性质．熟练运用平行线性质和判定，添加适当辅助线是关键．26．已知直线AM、CN和点B在同一平面内，且AM∥CN，AB⊥BC．（1）如图1，求∠A和∠C之间的数量关系；（2）如图2，若BD⊥AM，垂足为D，求证：∠ABD＝∠C；（3）如图3，已知点D、E、F都在直线AM上，且∠ABD＝∠NCB，BF平分∠DBC，BE平分∠ABD．若∠FCB+∠NCF＝180°，∠BFC＝3∠DBE，请直接写出∠EBC的度数．

【标准答案】（1）∠A+∠C=90°；（2）见解析；（3）∠EBC=105°．【思路指引】（1）通过平行线性质和直角三角形内角关系求解．（2）画辅助平行线找角的联系．（3）利用（2）的结论，结合角平分线性质求解．【详解详析】解：（1）如图1，∵AM∥CN，∴∠C=∠AOB，∵AB⊥BC，∴∠ABC=90°，∴∠A+∠AOB=90°，∠A+∠C=90°，故答案为：∠A+∠C=90°；（2）如图2，过点B作BG∥DM，∵BD⊥AM，∴DB⊥BG，∴∠DBG=90°，∴∠ABD+∠ABG=90°，∵AB⊥BC，∴∠CBG+∠ABG=90°，∴∠ABD=∠CBG，∵AM∥CN，∴∠C=∠CBG，∴∠ABD=∠C；（3）如图3，过点B作BG∥DM，∵AM∥CN，∴CN∥BG，∴∠CBG=∠BCN，∵BF平分∠DBC，BE平分∠ABD，∴∠DBF=∠CBF，∠DBE=∠ABE，∵∠ABD=∠NCB，∴∠ABD=∠CBG，∴∠ABF=∠GBF，设∠DBE=α，∠ABF=β，则∠ABE=α，∠ABD=2α=∠CBG，∠GBF=∠AFB=β，∠BFC=3∠DBE=3α，∵BG∥DM，∴∠DFB=∠GBF=β，∴∠AFC=∠BFC+∠DFB=3α+β，∵∠AFC+∠NCF=180°，∠FCB+∠NCF=180°，∴∠FCB=∠AFC=3α+β，△BCF中，由∠CBF+∠BFC+∠BCF=180°得：2α+β+3α+3α+β=180°，∵AB⊥BC，∴β+β+2α=90°，∴α=15°，∴∠ABE=15°，∴∠EBC=∠ABE+∠ABC=15°+90°=105°．【名师指路】本题考查平行线性质，三角形内角和定理，角平分线的定义，画辅助线，找到角的关系是求解本题的关键．27．已知AB∥CD，∠ABE与∠CDE的角分线相交于点F．（1）如图1，若BM、DM分别是∠ABF和∠CDF的角平分线，且∠BED＝100°，求∠M的度数；（2）如图2，若∠ABM＝∠ABF，∠CDM＝∠CDF，∠BED＝α°，求∠M的度数；（3）若∠ABM＝∠ABF，∠CDM＝∠CDF，请直接写出∠M与∠BED之间的数量关系【标准答案】（1）65°；（2）；（3）2n∠M+∠BED=360°【思路指引】（1）首先作EG∥AB，FH∥AB，连结MF，利用平行线的性质可得∠ABE+∠CDE=260°，再利用角平分线的定义得到∠ABF+∠CDF=130°，从而得到∠BFD的度数，再根据角平分线的定义和三角形外角的性质可求∠M的度数；（2）先由已知得到∠ABE=6∠ABM，∠CDE=6∠CDM，由（1）得∠ABE+∠CDE=360°-∠BED，∠M=∠ABM+∠CDM，等量代换即可求解；（3）由（2）的方法可得到2n∠M+∠BED=360°．【详解详析】解：（1）如图1，作，，连结，，，，，，，，，，和的角平分线相交于，，，、分别是和的角平分线，，，，；（2）如图1，，，，，与两个角的角平分线相交于点，，，，，，；（3）由（2）结论可得，，，则．【名师指路】本题主要考查了平行线的性质和四边形的内角和，关键在于掌握两直线平行同位角相等，内错角相等，同旁内角互补的性质．28．已知，AB∥CD．点M在AB上，点N在CD上．（1）如图1中，∠BME、∠E、∠END的数量关系为：；（不需要证明）如图2中，∠BMF、∠F、∠FND的数量关系为：；（不需要证明）（2）如图3中，NE平分∠FND，MB平分∠FME，且2∠E＋∠F＝180°，求∠FME的度数；（3）如图4中，∠BME＝60°，EF平分∠MEN，NP平分∠END，且EQ∥NP，则∠FEQ的大小是否发生变化，若变化，请说明理由，若不变化，求出∠FEQ的度数．【标准答案】（1）∠BME＝∠MEN﹣∠END；∠BMF＝∠MFN＋∠FND；（2）120°；（3）不变，30°【思路指引】（1）过E作EH∥AB，易得EH∥AB∥CD，根据平行线的性质可求解；过F作FH∥AB，易得FH∥AB∥CD，根据平行线的性质可求解；

（2）根据（1）的结论及角平分线的定义可得2（∠BME+∠END）+∠BMF-∠FND=180°，可求解∠BMF=60°，进而可求解；

（3）根据平行线的性质及角平分线的定义可推知∠FEQ=∠BME，进而可求解．【详解详析】解：（1）过E作EH∥AB，如图1，∴∠BME＝∠MEH，∵AB∥CD，∴HE∥CD，∴∠END＝∠HEN，∴∠MEN＝∠MEH＋∠HEN＝∠BME＋∠END，即∠BME＝∠MEN﹣∠END．如图2，过F作FH∥AB，∴∠