第2课时商品利润最大问题课件北师大版数学九年级下册

第二章二次函数第2课时商品利润最大问题2.4

二次函数的应用最值问题几何面积最大问题面积

S=ax2+bx+c利润最大问题利润

y=ax2+bx+c利润

=

收入

-

成本总收入

=

销售单价×销量总成本

=

进货单价×销量总利润

=

销售单价×销量

-

进货单价×销量

=(销售单价

-

进货单价)×销量

=单利润×销量

求最大值类比几何问题求最值，想一想如何求利润问题的最大值？1利润最大问题

例1服装厂生产某品牌的T恤衫成本是每件10元.根据市场调查，以单价13元批发给经销商，经销商愿意经销5000件，并且表示单价每降价0.1元，愿意多经销500件.

请你帮助分析，厂家批发单价是多少时可以获利最多?总利润=(销售单价

-

成本单价)×销量=单利润×销量

10

13

5000

3

假设批发单价12.812.8

-10

5000+500×

=－5000(x－12)2+20000①

设未知数，用含未知数的代数式表示相关量解：设厂家批发单价是为

x

元，获利

y

元.②

根据题意，求出自变量的取值范围③

将二次函数解析式化为顶点式∵13−x≥0，且

x＞10，∴

10＜x≤13.故厂家批发单价为12

元时，获利最多，为20000元.还有其他的设未知数方法吗？解：设每件降价a元，获利

y

元.∵

a＜13−10，且

a≥0，∴

0≤a＜3.=－5000(a－1)2+20000故厂家批发单价为

12

元时，获利最多，为

20000元.∴批发单价为

13－1=12(元).方法二：解决了上述关于服装销售的问题，请你谈一谈怎样设因变量更好？∴当

a

=1时，

y最大=20000.

例2某旅馆有客房120间，每间房的日租金为160元时，每天都客满.经市场调查发现，如果每间客房的日租金增加10元，那么客房每天出租数会减少6间.不考虑其他因素，旅馆将每间客房的日租金提高到多少元时，客房日租金的总收入最高?最高总收入是多少?日租金(元)出租数(间)总收入(元)正常销售涨价销售160120160+10x120

-6xy=(160+10x)(120-6x)19200设每间客房的日租金提高

x个10元.解：设每间客房的日租金提高10x元，则每天客房出租数会减少6x间.设客房日租金总收入为y元，则∵x≥0，且120－6x＞0，∴0≤x＜20.当

x=2时，

y最大=19440.这时每间客房的日租金为160+10×2=180(元)因此，每间客房的日租金提高到180元时，客房总收入最高,最高收入为19440元.y=(160+10x)(120

-

6x)

=-60(x

-

2)2+19440归纳总结求解最大利润问题的一般步骤(1)建立利润与价格之间的函数关系式：

运用“总利润

=

单件利润×总销量”

或“总利润

=

总售价

-

总成本”；(2)结合实际意义，确定自变量的取值范围；(3)在自变量的取值范围内确定最大利润：可以利用配方法或公式求出最大利润；

也可以画出函数的简图，利用简图和性质求出.议一议还记得本章一开始的“种多少棵橙子树”的问题吗？我们得到表示增种橙子树的数量

x(棵)与橙子总产量

y(个)的二次函数表达式

y=(100+

x)(600

-

5x)=-5x²+

100x+

60000.（1）利用函数图象描述橙子的总产量与增种橙子树的棵树之间的关系.（1）利用函数图象描述橙子的总产量与增种橙子树的棵树之间的关系.（2）增种多少棵橙子树，可以使橙子的总产量在60400个以上？∴增种6~14棵橙子树可以使橙子的总产量在60400个以上.链接中考1.(泰兴市期末)

一水果店售卖一种水果，以

8

元/千克的价格进货，经过往年销售经验可知：以

12

元/千克售

卖，每天可卖

60

千克：若每千克涨价

0.5

元，每天要少卖

2

千克；若每千克降价

0.5

元，每天要多卖

2

千克，但不低于成本价.设该商品的价格为

x

元/千克时，一天销售总质量为

y

千克.(1)

求

y

与

x

的函数关系式.解：(1)由题意可得，(2)

若水果店货源充足，每天以固定价格

x

元/千克销售

(

x

>

8

)，试求出水果店每天利润

W

与单价

x

的函数关系式，并求出当

x

为何值时，利润达到最大.(2)由题意可得，w=y(x

−8)

=

(−4x

+108)(x

−8)=−4x2+140x−864

∴当

时，利润

w有最大值，最大值为361.答：当

时，利润最大.最大利润问题建立函数关系式总利润=单件利润×销售量或总销量=总售价-总成本.确定自变量的取值范围涨价:要保证销售量≥0；降价：要保证单件利润≥0.确定最大利润利用配方法或公式求最大值或利用函数简图和性质求出.1.某种商品每件的进价为

20元，调查表明：在某段时间内若以每件

x

元（20≤x≤30)出售，可卖出（600－20x）件，为使利润最大，则每件售价应定为

元.252.某种商品的成本是

120

元，试销阶段每件商品的售价

x（元）与产品的销售量

y（件）满足当

x=130

时，y=70，当

x=150

时，y=50，且

y

是

x

的一次函数，为了获得最大利润

S（元），每件产品的销售价应定为

（）A．160元 B．180元 C．140元 D．200元A3.某种商品每天的销售利润

y（元）与销售单价

x(元）之间满足关系：y=ax2+bx-75.其图象如图.（1）销售单价为多少元时，该种商品每天的销售利润最大？最大利润是多少元？解：(1)由题中条件可求

y=-x2+20x-75∵-1<0，对称轴

x=10，∴当x=10时，y