三角函数的定义课件高一下学期数学人教B版

三角函数的定义问题情境新知探究问题2由什么定义媒介替代原定义中的直角三角形？新知探究问题3在平面直角坐标系中，如何定义锐角的三角函数？新知探究问题4点P的位置是否会影响三角函数值？这种定义方式是否适用于任意角？新知探究当α是锐角时，它的终边在第一象限内，如图所示，在α终边上任取一个不同于坐标原点的点P（x，y），MxyOαP(x,y)作PM垂直于Ox于点M，记则△OMP是一个直角三角形，且OM＝x，PM＝y，OP＝r，xyr由此可知：新知探究任意角的正弦、余弦与正切的定义新知探究xyOP(x,y)α的终边任意角的正弦、余弦与正切的定义对于任意角α来说，设P（x，y）是α终边上异于原点的任意一点，r＝

，称

为角α的正弦，记作sinα；称

为角α的余弦，记作cosα，因此sinα＝

，cosα＝

．角α的正弦、余弦、正切都称为α的三角函数．当角α的终边不在y轴上时，称

为角α的正切，记作tanα，即tanα＝

．【练一练】若角α的终边上有一点（2，0），则sinα＝______；cosα＝______；tanα＝______．020新知探究问题5

任意角的正弦、余弦、正切的值可能正、可能负，还可能为0．那么它们的符号与什么有关？你能总结出任意角的正弦、余弦与正切符号的规律吗？当且仅当α的终边在第一、二象限，或y轴正半轴上时，sinα＞0；当且仅当α的终边在第三、四象限，或y轴负半轴上时，sinα＜0．当且仅当α的终边在第一、四象限，或x轴正半轴上时，cosα＞0；当且仅当α的终边在第二、三象限，或x轴负半轴上时，cosα＜0．当且仅当α的终边在第一、三象限时，tanα＞0；当且仅当α的终边在第二、四象限时，tanα＜0．xyO＋＋－－sinαxyO－＋－＋sinαxyO－＋＋－tanα如图所示新知探究练若△ABC的两内角A、B满足sinA·cosB＜0，则此三角形的形状为_____________．解析：三角形的两内角A、B的终边一定落在第一、二象限或y轴正半轴上，sinA·cosB＜0，所以sinA＞0，cosB＜0，所以角B为钝角，此三角形为钝角三角形．钝角三角形新知探究【做一做】当α为第三象限时，

＝____________．－2解析：因为α为第三象限角，所以所以初步应用例1

已知角α的终边经过点P（2，－3），求sinα，cosα，tanα．解答：设x＝2，y＝－3，则于是初步应用利用定义求三角函数值的步骤：取点；求r；代入公式．初步应用例2

求下列各角的正弦、余弦、正切．（1）角0的终边在x轴正半轴上，在x轴的正半轴上取点（1，0），（1）0

（2）

（3）π

（4）所以因此：初步应用例2

求下列各角的正弦、余弦、正切．（1）0

（2）

（3）π

（4）所以因此：不存在；（2）角

的终边在y轴的正半轴上，在y轴的正半轴上取点（0，1），初步应用例2

求下列各角的正弦、余弦、正切．（3）角π的终边在x轴的负半轴上，在x轴的负半轴上取点（－1，0），（1）0

（2）

（3）π

（4）所以因此：初步应用例2

求下列各角的正弦、余弦、正切．（1）0

（2）

（3）π

（4）所以因此：不存在．（4）角的终边在y轴的负半轴上，在y轴的负半轴上取点（0，－1），初步应用例3

求

的正弦、余弦和正切．解答：如图所示，在

的终边上取点P，使得OP＝2，作PM⊥Ox，MxyOP则在Rt△OMP中，因此MP＝1，OM＝

，从而可知P的坐标为（

，1），因此初步应用例4

确定下列各值的符号解答：（1）因为260°是第三象限角，所以cos260°＜0；（2）由－672°20′＝47°40′＋（－2）×360°，可知－672°20′是第一象限角，所以tan（－672°20′）＞0；（1）cos260°

（2）tan（－672°20′）

（3）（3）由

，可知

为第三象限角，所以初步应用例5

设sinθ＜0且tanθ＞0，确定θ是第几象限角．解答：因为sinθ＜0，所以θ的终边在第三、四象限，或y轴负半轴上；又因为tanθ＞0，所以θ的终边在第一、三象限．因此满足sinθ＜0且tanθ＞0的θ是第三象限角．初步应用例6

已知角θ的终边上有一点P（x，3）（x≠0），且cosθ＝

，求sinθ＋tanθ的值．又y＝3＞0，所以θ是第一或第二象限角．解答：因为

，又，所以又x≠0，所以x＝±1，所以r＝

．当θ为第一象限角时，sinθ＝

，tanθ＝3，则sinθ＋tanθ＝当θ为第二象限角时，sinθ＝

，tanθ＝－3．则sinθ＋tanθ＝练习练