822高等代数试题A答案_第1页
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2016年硕士研究生招生考试试题A参考答案及评分标准科目代码及名称：822高等代数适用专业：070104应用数学1、（20）如果，求。解设,则，由题设知，故为与的公因式，从而1为与的公共根，即有解之得2、（20）计算下列级行列式。1)2)解1)将行列式按第行展开,那么.------------------------------------------6由于,,------------------------------8利用上述递归关系,则有,。---------------------102)将行列式进行扩边,则有(假设,否则另讨论)-------------6---------------103、（20）为何值时，线性方程组有解？解时，求一般解.解对增广矩阵做初等行变换：所以当时方程组有解，有无穷多解，这时方程组的一般解为：4、（15）求正交矩阵使成对角形,其中为:1)解：1）由可得的特征值为对应的特征向量为将其正交单位化，可得标准正交基为故所求正交矩阵为且5、（15）证明：如果，那么的根只能是零或单位根。证设是的任一个根，由知，也是的根，即所以也是的根。以此类推下去，则都是的根。若是次多项式，则最多只可能有个相异的根，于是存在使因此的根或者为0，或者为单位根。6、（15）设是矩阵，有秩，证明：存在可逆矩阵使的后行全为零。证明秩，存在可逆矩阵使得（为阶单位矩阵）设，故7、（15）设与分别是齐次方程组的解空间，证明：。证由于的解空间是你维的，其基为而由知其解空间是1维的，令则其基为且即为的一组基，从而又，故。8、（15）设是线性空间上的可逆线性变换.1)证明:的特征值一定不为0;2)证明:如果是的特征值,那么是的特征值.证1)设可逆线性变换对应的矩阵是,则矩阵可逆,的特征多项式为可逆,故又因为的特征值是的全部根,其积为,故的特征值一定不为0.2)设是的特征值,那么存在非零向量,使得，用作用之，得，于是，即是的特征值。9、（15）证明：正交矩阵的实特征根为.证 设正交矩阵,是任一实特征值是,

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