二次函数的值域

关于二次函数的值域一、定义域为R的二次函数的值域另外也可以从函数的图象上去理解。第2页,共18页，2024年2月25日，星期天21-121-13021-121-130第3页,共18页，2024年2月25日，星期天二、定义域不为R的二次函数的值域练习322++-=xxy、的值域当x∈(2,3]时,求函数例1[)3,0]3,2(ÎÎyx时从图象上观察得到当)4,1[)1(-Îx322+-=xxy的值域在下列条件下求函数)11,2[)1(Îy答3-1第4页,共18页，2024年2月25日，星期天求函数的值域变式1解：由已知得∴当x=1时∴当x=时∴函数的值域为第5页,共18页，2024年2月25日，星期天变式2设点p(x,y)是椭圆C:上的动点，求x2+y2的最值解得解：由已知得∴当时，取最小值0∴当时，取最大值16设计意图：利用简单的原理解决复杂的问题第6页,共18页，2024年2月25日，星期天解:函数图象的对称轴为直线x=1,抛物线开口向上例2求函数y=x2-2x+3在区间[0，a]上的最值，并求此时x的值。2yxo13a

∴当x=0时，ymax=3

当x=a时，ymin=a2-2a+31.当0<a≤1时，函数在[0，a]上单调递减，三、定函数动区间的二次函数的值域第7页,共18页，2024年2月25日，星期天

∴当x=0时，ymax=3

当x=a时，ymin=a2-2a+3

,函数在[0,1]上单调递减,在[1,a]上单调递增,∴当x=1时,ymin=2

当x=0时，ymax=3yxo1322a解:函数图象的对称轴为直线x=1,抛物线开口向上例2求函数y=x2-2x+3在区间[0，a]上的最值，并求此时x的值。2.当1<a<2时1.当a≤1时，函数在[0，a]上单调递减，第8页,共18页，2024年2月25日，星期天

,函数在[0,1]上单调递减,在[1，a]上单调递增,∴当x=1时,ymin=2,

当x=a时,ymax=a2-2a+3yxo132a2例2求函数y=x2-2x+3在区间[0，a]上的最值，并求此时x的值。3.当a≥2时2.当1<a<2时,函数在[0,1]上单调递减,在[1,a]上单调递增,∴当x=1时,ymin=2;当x=0时，ymax=3解:函数图象的对称轴为直线x=1,抛物线开口向上1.当a≤1时，函数在[0，a]上单调递减，∴当x=0时，ymax=3;当x=a时，ymin=a2-2a+3第9页,共18页，2024年2月25日，星期天变式

设函数f(x)=x2－2x－2在区间[t，t+1]上的最小值是g(t)，求g(t)的解析式。

解：由已知可知函数f(x)对称轴为x=1(1)当t＞1时，f(x)在区间[t，t+1]上是增函数，

∴g(t)=f(t)=t2－2t－2(2)当t≤1≤t+1，即0≤t≤1时，g(t)=f(1)=－3(3)当t+1＜1，即t＜0时，f(x)在区间[t，t+1]上是减函数，

∴g(t)=f(t+1)=t2－3综上，得g(t)=

t2－2t－2(t＞1)－3(0≤t≤1)

t2－3(t＜0)第10页,共18页，2024年2月25日，星期天四、动函数定区间的二次函数的值域例3、求在上的最值。1、由图（1）得：当，即时，2、由图（2）得：当，即时，0a³图（1）10图（2）10第11页,共18页，2024年2月25日，星期天例3、求在上的最值。3、由图（3）得：当，即时，4、由图（4）得：当，即时，0图（3）1图（4）1第12页,共18页，2024年2月25日，星期天第13页,共18页，2024年2月25日，星期天例4求函数y=-x(x-a)在x∈[-1,a]上的最大值解:函数图象的对称轴方程为x=,又x∈[-1,a]故a>-1,>-,∴对称轴在x=-的右边.∴(1)当-1<≤a时,即a≥0时,由二次函数图象可知:ymax=f()=xyo-1a五、动函数动区间的二次函数的值域(2)当a<时,即-1<a<0时,

第14页,共18页，2024年2月25日，星期天综上所述:当-1<a<0时,ymax=0

当a≥0时,ymax=

例4求函数y=-x(x-a)在x∈[-1,a]上的最大值解:函数图象的对称轴方程为x=,又x∈[-1,a]故a>-1,>-,∴对称轴在x=-的右边.∴(1)当-1<≤a时,即a≥0时,由二次函数图象可知:ymax=f()=(2)当a<时,即-1<a<0时,

axyo-1由二次函数的图象可知:ymax=f(a)=0第15页,共18页，2024年2月25日，星期天课堂小结：对于求有限闭区间上的二次函数的最值问题，关键抓住二次函数图象的开口方向，对称轴及定义区间，应用数形结合法求解。第16页,共18页，2024年2月25日，星期天总结提炼1、二次函数在闭区间的最值的求法（两看法）①、看开口方向②、看对称轴在闭区间的相对位置3