复变函数与积分变换课后习题答案

复变函数与积分变换

（修订版）

课后习题答案

习题一

1.用复数的代数形式。+仍表示以下复数

④解:

e-讥/4(2+0(4+3z)；-+

7z+li1+i

①解el'-cos(*+isM

{4J2[2)22

②解：3+5i=(3+5i)(l-7i)=_16+13.

7i+l(l+7i)(l-7i)2525

③解：(2+i)(4+3i)=8-3+4i+6i=5+10i

13_3(l-i)35.

④解:--1-----——1-------------1

i1+i222

2.求以下各复数的实部和虚部（z=x+iy）

二(aeR);Z3，T+S]卜-附];巴

z+4I2八2J:・当〃=2左时'Re(i")=(—l)JIm(i")=0；

①：,.,设z=x+iy

当〃=2左+1时,Re(i")=0

那么

z-a_(%+»)_〃_(%_q)+iy_[(二_.)+»][(%+〃)-》]Hi")=(-!/•

z+a(x+iy)+a(x+a)+iy(x+a)2+y2

3.求以下复数的模和共辗复数

c\222

...RJF=X——y,①解：卜2+i|=J4+1=.

\z+a)(1+〃)+y2

②解：卜3|=3石=-3

(z-a\2xy

TIm----=------1----.

+a)(%+Q)+y2③角麻|(2+i)(3+2i)|=|2+i||3+2i|=^-V13=A/65.

②解：设z=x+iy

322

*z=(x+iy)3=(1+(％+»)=^x-y+2孙i)(%+iy)

=x^x2-y2)-2xy2+[y,-y2)+2x2y]i

=X3-3xy2+(3%2y-y3)i4、证明：当且仅当z==时，z才是实数.

Re卜3)=尤3-3孙2,Im(z3)=3jv2y_y3证明：彳段设Z=Z,设2=%+»,

③解：

那么有x+iy=x-iyf从而有（2y）i=0,即y=0

\丁)=总-1-3-(-力(@]+卜(-以.6-(间1

•\z=x为实数.

彳段设z三x,那么z=x=x.

..Z-Z(

8.计算：(1"的三次根；⑵-1的三次根;⑶右+而

命题成立.

的平方根.

5、设z,w，C,证明:|z+w|^|z|+|w|

(Di的三次根.

解：

证明V|z+w|2=(z+vv).(z+M=(z+vv)(z+w)

71..71V31.

|z+w||z|+|w|.4=cos—+isin—=-----F—i

16622

6、设z,w£C,证明以下不等式.5..5A/31.

并给出最后一个等式的几何解释.26622

证明：|z+w12Tzl2+2Re(z・w)+|w|2在上面第五题⑵-1的三次根

解：

的证明已经证明了.•兀..兀1.

••z,=cos_-1-1sin—=—H-----1

1

23322

下面证匕_间2=|z|—2Re(z.w)+|vv|2.

⑶百+6i的平方根.

V|z-w|2=(z-w)•(z-w)=(z-w)(z-w)

=|z|2-z-w-w-z+|w|2解：上+屈.1=底

122J

=|z|2-2Re(z・2+时.从而得证.

•_______/&1|2kli-\—2,kjiH—|

,・+J=6^-Icos—24+isin—】，J(A:=0,1)

|z+w|2+|z-w|2二2(|z「+|w|2j

/\12Ei

4=64•cos—+isin—=6"/

几何意义：平行四边形两对角线平方的和等于各边1I88j

的平方的和.-(9.•9、1-ni

z=64-cos—7i+isin—7i=64-e8.

7.将以下复数表示为指数形式或三角形式29I88)

.2it

2M3+5-1-7i)9.设z=e".证明：l+z++z"T=0

7i+l(l+7i)(l-7i)

.2兀

证明：：z=e'：；.z"=l,即z"-l=0.

38-16i19-8i#7甘+八8

=----------=---------=-------e其中8=兀_arctan—.

5025519

/.(z—l)(l+z++z"T)=0

②解：其中6=4.

2又》.

③解：-1=0沅=/从而l+z+z?+.+z"T=0

④解：卜8兀(1+6。|=16兀9=一三兀.11.设厂是圆周｛z:|z—c|=r｝，〉0,a=c+re'".令

_2.

一8兀(1+6)=16公晨铲’

3

2兀..2兀

⑤解:cos-----i-isin——

99其中人=eG求出与在。切于圆周厂的关于夕的充

分必要条件.

解：如下图.

因为L,={z:=0}表示通过点a且方

向与b同向的直线，要使得直线在a处与圆相切，

71

那么CALL.过C作直线平行与，那么有/_i(p0<6><—,0<r<2

p⑵记w=°e,那么4映成了w平

BCD=/3,ZACB=90°71

0<夕v4,O<0<一.

故a/=90。面上扇形域，即2

(3)记坟="+得，那么将直线x=a映成了

所以与在a处切于圆周T的关于4的充要条件

u=a2-y2,v=lay.即v2=4/-是以原点为焦

是a/=90。.

12.指出以下各式中点z所确定的平面图形，并作出点，张口向左的抛物线将y=b映成了

草图.

u=X2-b2,v=2xb.

解：

⑴、argz-it.表示负实轴.即/=4后("+编是以原点为焦点，张口向右抛物

(2)、|z-l|=|z].表示直线2=』.

2线如下图.

(3)、l<|z+i|<23.求以下极限.

解：表示以-i为圆心，以1和2为半径的周圆所组成

lim—

的圆环域。(1)ZT81+Z；

(4)、Re(z)>Imz.1

z——

解：表示直线产龙的右下半平面解：令f,那么zf0°JfO.

5、Imz>l,且|z|<2.1-产

解：表示圆盘内的一弓形域。lim----=lim-=0

于是z-8]+z1+r

习题二

1Re(z)

lim-----

1.求映射Z下圆周|z1=2的像.(2)zf。z；

解：设2=》+正吁"+N那么Re(z)_x

解：设2=*+如那么zx+iy有

,53.

2,2ju+iv=—x+—yi

因为1+y=4,所以44显然当取不同的值时f(z)的极限不同

53所以极限不存在.

u=—xv=Hy

所以4,4一

..z-i

lim------

J上=2=1⑶fz(l+z)；

所以(斤GF即(犷(k,表示椭圆.

解；

2「z-i「z-i」11

2.在映射停=z下，以下z平面上的图形映射为wlim------lim-----------=lim-------=——

Zfiz(l+Z)=Zfiz(i+z)(z-，)Zf，z(i+z)2

平面上的什么图形，设叩二外"或•=〃+».

「zz+2z-z-2

JTlim------------

2

O<r<2,0=-⑷ZflZ-l

(1)4；(2)

0<r<2,0<6^<-zz+2z—z—2(z+2)(z—1)z+2

解：因为z2—l(z+l)(z-l)Z+l

(3)x=a,y=b.(a,b为实数)

解.^.w=u+iv=(x+iy)2=x2-y2+2xyi

所以Zfiz2-1Zfiz+l2

所以-9#=2孙

4.讨论以下函数的连续性：

TT

_i(p0<r<2,0=—(1)

⑴记卬=小，那么4映射成w平面内

虚轴上从O到4i的一段，即

⑴/(z)=xy2+ix2y.

lim/(z)=lim2

解：因为(工，》)，。，。)％+y

解：==在全平面上可微.

UmJ」

所以要使得

假设令y=kx,那么a,L'x+yl+k,

du_dvdu_8v

因为当k取不同值时，f(z)的取值不同，所以f(z)在

dxdydydx

z=0处极限不存在.

从而f(z)在z=0处不连续，除z=0外连续.只有当z=O时，

(2)从而f(z)在z=O处可导，在全平面上不解析.

尤为<团>小

(2)/(z)=Y+iy：

解：因为无4+了22Mly12

解：“(x,y)=/,v(x,y)=y2在全平面上可微.

r3v

lim4-彳=0=/(0)

所以(即(。.。)》+ydu_dvdu_dv

只有当z=O吐即(0,0)处有&8，dydy.

所以f(Z)在整个Z平面连续.

5.以下函数在何处求导？并求其导数.所以f(z)在z=0处可导，在全平面上不解析.

33

(1)f(z)=(zT严(n为正整数)；(3)f(z)=2x+3iy.

解：因为n为正整数，所以f(z)在整个z平面上可导.

解："(X,y)=2丁,v(x,y)=3y3在全平面上可微.

/⑵=心-1尸

所以只有当0x=±6y时，才满足C-R方程.

z+2

/(z)=

(z+l)(z2+l)从而f(z)在缶±6丫=°处可导，在全平面不解析.

(2)

解:因为f(z)为有理函数，所以f(z)在(Z+l)(z?+1)=°⑷f(z)=z-z\

处不可导.

解:设z3那么

从而f(z)除2=-1*=±1外可导.

所以只有当z=0时才满足C-R方程.

3z+8从而f(z)在z=0处可导，处处不解析.

f(^)=---

(3)5Z-77.证明区域D内满足以下条件之一的解析函数必为

7常数.

z=—

解：f(z)除5外处处可导，且

⑴—)=0；

3(5z-7)-(3z+8)561

-⑵=

(5z-7)2(5z-7)2dudu°Sv_Sv_

证明：因为尸⑶=0,所以小一a一，去一为一

、x+y.无一y

/(z)=2,所以u,v为常数，于是f(z)为常数.

(4)x+y-x+y

(2)”z)解析.

解：因为

x+y+i(x-y)_%-iy+i(%-iy)_(x-iy)(l+i)_z(l+i)1+i

〃z)=证明：设/.)="-”在D内解析，那么

l<z

(1+i)

尸(z)=-du_dudu_dv

z2

所以f(z)除z=O外处处可导，且而f(z)为解析函数，所以改②’9y8x

6.试判断以下函数的可导性与解析性.

dv_dvdv_dvdu_du_dv_dv解：因为f(z)解析，从而满足C-R条件.

所以&dx,dy②’即drdydxdy

从而V为常数，u为常数，即f(z)为常数.

(3)Ref(z)=常数.9.试证以下函数在z平面上解析，并求其导数.

(1)f(z)=x3+3x2yi-3xy2-y3i

证明：因为Ref(z)为常数，即"5,改dy证明：u(x,y)=x3-3xy2,v(x,y)=3x2y-y3在全平面可微,

且

因为f(z)解析，C-R条件成立。故小办即u=C2所以f(z)在全平面上满足C-R方程，处处可导，处处

从而f(z)为常数.解析.

⑷Imf(z)=常数.

于'⑶=-+i—=3--3y之+6xyi=3(x2-y1+2xyi)=3z2

_加_0dxdx

证明：与⑶类似，由丫=。得&9y

(2)/⑶=ex(xcosy-ysiny)+*(ycosy+xsiny)

dudu

—=—=0证明：

因为f(z)解析，由C-R方程得/8，即u=C2

w(x,y)=ex(xcosy—ysiny),v(x,y)=e%ycosy+xsiny)

所以f(z)为常数.

5.|f(z)|=常数.处处可微，且

证明：因为|f(z)|=C,对C进行讨论.

——=ex(-xsiny-siny—ycosy)=ex(-xsiny-siny—ycosy)

假设C=0,那么u=O,v=O,f(z)=O为常数.

假设Cr0,那么f(z)H0,但/⑵"(z)=C2,即——=ex(jcosy+xsiny)+ex(siny)=ex(ycosy+%siny+siny)

dx

u2+v2=C2

——=ex(cosy+y(-siny)+xcosy)=ex(cosy-ysiny+%cosy)

那么两边对x,y分别求偏导数，有dy-

利用C-R条件，由于f(z)在D内解析，有

du_dvdu_dv

dudv八

u----Fv----0所以dydydx

<dxdx

dudv_dudv

v----u---=0——=0,—=0所以f(z)处处可导，处处解析.

所以〔dxdx所以&dx

f'(z)=—+i—=ex(xcosy—ysiny+cosy)+i(ex(ycosy+xsiny+siny))

dxdx

即u=Cl,v=C2,于是f(z)为常数.=excosy+iexsiny+x(e*cosy+iexsiny)+iy(e*cosy+iexsiny)

(6)argf(z尸常数.=ez+xez+iyez=ez(l+z)

10.设

求证：(1)f(z)在z=0处连续.

证明：argf(z)二常数,即

(2)f(z)在z=0处满足柯西一黎曼方程.

(3)f'(0)不存在.

八(“0〜生)/吟-嘤)

(y!u)'limf(z)=limu(x,y)+iv(x,y)

证明.⑴・・•z"(x,y)W。，。)\J，\〃

得龙3_3

limu(x,y)=lim-----

0§<而(x,y)->(0,0)X2+y

V二0

ax■包¥

av—=(「)(+

一

V办

=0孙

办Y+y2

C-R条件一,,x+yI

du_dv_du_dvI4-

Ow

解得dxdxdydy，即u,v为常数，于是f(z)x2+y221

为常数.

limX~y=0

8.设f(z)=my3+nx2y+i(x3+lxy2)在z平面上解析，求.(x,yH0,0)x+y

m,n,l的值.

14.设z沿通过原点的放射线趋于8点，试讨论

lim4±4=0

f(z)=z+ez的极限.

同理("MT。，。)x+y

解：令z二rei。，

lim/(z)=O=/(O)对于D。，Z—8时，］f8.

(x,y)f(O,O)

lim(d+ere")=lim(d+e,<cose+isine))=oo

・・・f(z)在z=0处连续.r—^xir—>oo

limf(z)=8

Hu/—所以3°

⑵考察极限Z

15.计算以下各值.

当Z沿虚轴趋向于零时，z=iy,有(1)

⑵

理，"iy)T⑻］=理，•一［：-)=1+iln(3-后)=ln26+iarg(3—信)=ln2布+i［q)=ln2月一［i

当z沿实轴趋向于零时，z=x,有(3)ln(ei)=ln1+iarg(ei)=ln1+i=i

du.dvdv.du(4)

------F1-----,--------1-----16.试讨论函数f(z)=|z|+lnz的连续性与可导性.

它们分别为&dxdydy

解：显然g(z)=|z|在复平面上连续，Inz除负实轴及原

点外处处连续.

du_dvdu_dv

•dxdy,dydx设z=x+iy,g⑵=|Z1=&+二=y)+M%y)

・•・满足条件.

C-R"(X,y)=次+Uy)=0在复平面内可微.

⑶当z沿y=x趋向于零时，有

故g(z)=|z|在复平面上处处不可导.

lrim—V

ZT)Az不存在.即f(z)在z=0处不可导.从而f(x)=|z|+lnz在复平面上处处不可导.

11.设区域D位于上半平面，D1是D关于x轴的对f(z)在复平面除原点及负实轴外处处连续.

17.计算以下各值.

称区域,假设f(z)在区域D内解析,求证/⑵=f(z)

(1)

在区域D1内解析.(2)

证明：设f(z)=u(x,y)+iv(x,y),因为f(z)在区域D内解i-iclnL-i-(lnl+i-0+2jbri)

1=e=e八一ilnl=e

析.

⑶=『*)=e?麻

所以u(x,y),v(x,y)在D内可微且满足C-R方程，即

18.计算以下各值

du_dvdu_dv

dxdy"dydx(1)

⑵

/(z)=w(x,-y)-iv(x,-y)=y)+iy),得(3)

GC(3-i)—cC—i(3-i)

故(p(x,y),\|/(x,y)在DI内可微且满足C-R条件tan(3_i)_sin(3-i)_2i_Sin6-isin2

(一丁+严(加)

dcp_dy/dcp_di//''-cos3-i)21-sin?3

dxdy,dydx2i

从而/(z)在Dl内解析(4)

2尤•2

13.计算以下各值|sinz|=—■(e->+H—e'")=|sinx-chy+icosshy|

2i

(1)e2+i=e2-ei=e2-(cos1+isin1)

=sin2x-ch2y+cos2x-sh2y

⑵

=sin2x•(ch2y-sh2y)+(cos2x+sin2x)-sh2y

=sin2x+sh2y

(3)(5)

(4)(6)

artan(l2i)=-llnl±^±|221.

C+-—•In---F—1解设直线段的方程为y=x，那么z=x+%.

2,55.

0<%<1

fai+—arctan2+—•In5

24故

19.求解以下方程

(1)sinz=2.

解：

(2)ez—1—=0

f(1-z)dz

解：ez=l+^i即

2.计算积分c，其中积分路径C为

(3)(1)从点0到点1+i的直线段；

⑵沿抛物线y=x2,从点0到点1+i的弧段.

Inz=­i-i

解：2即z=e2=i

解(1)设2=%+比.0<%<1

(4)z-ln(l+i)=0

(2)设z=x+ix[0<x<l

解：

z-ln(l+i)=lnA/2+i~+2faii=In®+(2左+疝J|z|dz

3.计算积分。，其中积分路径C为

20.假设z=x+iy,求证(1)从点-i到点i的直线段；

(1)sinz=sinxchy+icosx-shy(2)沿单位圆周|z|=l的左半圆周，从点-i到点i;

证明：(3)沿单位圆周|z|=l的右半圆周，从点-i到点i.

(2)cosz=cosxchy-isinxshy

解⑴设z=y-""I

证明：

(3)|sinz|2=sin2x+sh2y

3%n

证明：

(2)设2=6”,。从2到2

(4)|cosz|2=cos2x+sh2y

证明.cosz=cos%chy-isinxshy3TIn

⑶设2=6".6从2到2

21.证明当yf8时，|sin(x+iy)|和|cos(x+iy)|都趋于无

穷大.6.计算积分1。(忖—e-sinz.淇中,为心

证明：

解,。(闫一才・sinz悭二/。上也一/。片.sinzdz

尻112|=!1二+'』-小耳

2

...匕"』=尸|e^|=evVe：sinz在、="所围的区域内解析

Isinz|>-(|e-y+%iI」ef)=’(门-e>).^ez-sinztfe=0

而22

当y-+8时，e-y—0,ey—+8有|sinz|-8.从而

当y--8时，e-yf+8,ey-0有|sinz|-8.故Jc(“，"112悭=。

Icos(x+iy)|=—le^+e)」"|'—(e-y-e，)

同理得।122

所以当y―8时有|cosz|f8.

7.计算积分J°z(z2+1)，其中积分路径c为

习题三

[(元一y+比2)dz

⑴。：曾=；⑵C[z|=(⑶C3：lZ+；'l=2

1.计算积分。，其中C为从原点到点1+i2：

的直线段.

-dz=17ii--=-Tie1

c(z+i)(z-i)

(2)Iz-i

]

1ei-io•,i

解：（1〕在曰=2所围的区域内，Z（Z?+1）只有一个+———az-Tie-Tie-2TIIsin1

⑶GJz2+l

16.求以下积分的值,其中积分路径C均为|z|=l.

奇点z=0.

z

tan—1

cosz.-----2—6?Z,|z|<—

(---7---dz=((―-—•----—•—^—)dz=27ri-0-0=27ri,2z——az101

3C(z-z0)22

Jc2Czcz

z(z+1)Jqz2z-i2z+i(1)⑵⑶