2022-2023学年北京市西城区铁路二中九年级（上）期中数学试卷

2022-2023学年北京市西城区铁路二中九年级（上）期中数学试

卷

一、选择题（共8道小题，每题2分，共16分.）

1.（2分）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）

2.（2分）一元二次方程-3/+2x-4=0的一次项系数是（）

A.-3B.2C.3D.0

3.（2分）抛物线y=2（x+7）2-5的顶点坐标是（）

A.(7,-5)B.(-7,-5)C.(7,5)D.(-7,5)

4.（2分）在平面直角坐标系中，点P（-1,-2）关于原点对称的点的坐标是（）

A.(1,-2)B.(-1,2)C.(1,2)D.(-2,-1)

5.（2分）如图，将正方形图案绕中心。逆时针旋转180°后，得到的图案是（)

6.（2分）下列一元二次方程中，没有实数根的是（）

A.A2-x+1—0B.x（x-1）—0C.x2+⑵=0D.W+x=l

7.（2分）抛物线y=-7+2和y=-（x+2）2的对称轴分别是（）

A.y轴，直线x—2,B.直线%—2,x--2

C.直线x=-2,直线x=2D.y轴，直线x=-2

8.（2分）已知二次函数、=口?+法+。中，函数y与自变量x的部分对应值如表:

X......-10123......

y......105212......

则当y>5时，x的取值范围是（）

A.0<x<4B.l<x<3C.x<0或x>4D.x<0或x>5

二、填空题（共8道小题，每题2分，共16分.）

9.（2分）已知点4（2,a）和点B（b,1）关于原点对称，则.

10.（2分）将一元二次方程--10x+24=0配方写成（x+"）2=机的形式为.

11.（2分）请写出一个有最小值，并且对称轴为直线x=l的二次函数的解析

式.

12.（2分）二次函数y=o?（«<0）的图象对称轴右侧上有两点A（xi，》），B（犯，）2），

若则XL及0.（填或“=”）

13.（2分）如图，△A8C中N8=50°,在同一平面内，将△A8C绕点A逆时针旋转到△

ADE,使AQ_LBC,连接CE,则NACE=°.

14.（2分）某种植物的主干长出若干个分支，每个支干又长出同样个数的小分支，主干、

支干、小分支的总数是241,每个支干长出小分支的个数是.

15.（2分）如图，E为正方形A8C。内的一点，AAEB绕点3按顺时针旋转90°后成为△

CFB,连接EF,若4、E、尸三点在同一直线上，则NAEB的度数为.

16.（2分）如图一段抛物线：y=-x（x-3）（0WxW3）,记为。，它与x轴交于点。和

Ai；将Ci绕Ai旋转180°得到C2，交x轴于A2;将C2绕A2旋转180°得到C3，交x

轴于A3,如此进行下去，直至得到Ci”若点P（31,相）在第11段抛物线Cu上，则，"

三、解答题(共8道题，共68分.第17题12分；第18,19,20题，每题8分；第21,22

题，每题6分；第23,24题，每题10分.)

17.(12分)解下列方程：

(1)用公式法解一元二次方程：x2-2%-2=0；

(2)用适当的方法解方程(x+4)2=5(x+4).

18.(8分)已知二次函数y=/+2x-3.

(1)抛物线的顶点坐标是;

(2)在平面直角坐标系中，利用五点法画出该函数图象(列表)

%・・・•••

y••••••

(3)当x时，y随x的增大而增大；

(4)当x满足时，y>0；

(5)当-3<xV0时，函数y的取值范围为；

(6)若/+2犬-3-m=0有两个不相等的实数根，加的取值范围为.

x

II

LUJJ

一-

19.(8分)如图在等边△ABC中，点。为△ABC内的一点，2408=120°,NA£»C=90°,

将绕点A逆时针旋转60°得△ACE,连接QE.

（1）求证：AD=DE；

（2）求NOCE的度数.

20.（8分）已知关于x的方程，-（〃？-3）x+m-4=0.

（1）求证：方程总有两个实数根;

（2）若方程有一个根大于4且小于8,求机的取值范围.

21.（6分）如图，关于x的二次函数的图象与x轴交于4、8两点，其中点

A的坐标为（-3,0）,与y轴交于点C,设直线AC的表达式为”=日+4

（1）求二次函数川的表达式；

（2）求直线AC的表达式：

22.（6分）中国在2022年北京冬奥会上向全世界展示了“胸怀大局，自信开放，迎难而上,

追求卓越，共创未来”的北京冬奥精神.跳台滑雪是北京冬奥会的比赛项目之一，如图

是某跳台滑雪场地的截面示意图.平台长1米（即AB=1）,平台AB距地面18米.以

地面所在直线为x轴，过点3垂直于地面的直线为y轴，取1米为单位长度，建立平面

直角坐标系，已知滑道对应的函数为y4x2-4x+c（xNl），运动员（看成点）在BA

5

方向获得速度V米/秒后，从A处向右下飞向滑道，点M是下落过程中的某位置（忽略空

气阻力）.设运动员飞出时间为，秒，运动员与点A的竖直距离为〃米，运动员与点A的

水平距离为1米，经实验表明：h—br1,l—vt.

（1）求滑道对应的函数表达式：

(2)当v=5,，=1时，通过计算判断运动员此时是否已落在滑道上；

(3)在试跳中，运动员从A处飞出，运动员甲飞出的路径近似看做函数

y=1x2,x号图象的一部分，着陆时水平距离为力，运动员乙飞出的路径近似看做

函数+y=[x2,x若■图象的一部分，着陆时水平距离为d2,则由“2,(填

23.(10分)如图，抛物线》=0?+芯+。(a#0)经过点A(2,0),8(-2,4),C(-4,

0),直线AB与抛物线的对称轴交于点E.

(1)求抛物线的表达式；

(2)点M在直线AB上方的抛物线上运动，当的面积最大时，求点M的坐标；

(3)若点F为平面内的一点，且以点8,E,C,F为顶点的四边形是平行四边形，请写

24.(10分)(1)问题背景.

如图1,在四边形4BC£>中，AB=AD,ZB+ZD=180°,E、尸分别是线段BC、线段

CQ上的点.若NBAQ=2NE4凡试探究线段BE、EF、FQ之间的数量关系.

小明同学探究此问题的方法是，延长">到点G.使。G=BE.连接AG,先证明aABE

^/\ADG.再证明△/!£：/丝ZsAGF,可得出结论，他的结论应是.

（2）猜想论证.

如图2,在四边形ABCZ）中，AB=AD,ZB+ZADC=180°,E在线段BC上、F在线段

CD延长线上.若NBAD=2NEAF,上述结论是否依然成立？若成立说明理由；若不成

立，试写出相应的结论并给出你的证明.

（3）拓展应用.

如图3,在四边形ABCQ中，ZBDC=45°,连接8C、AD,AB：AC：BC=3：4：5,

AD=4,且NABD+NC8Z）=180°.则△AC。的面积为.

四、附加题（共2道题，共10分.第1题2分，第2题8分.）

25.（2分）己知二次函数y=o?+bx+c（aWO）的图象如图，有下列结论:

①“<0②〃<0③c>0④/-4«c>0

@b=-2a®9a+3b+c>0⑦3a+c<0

正确的结论是.（填序号）

26.（8分）定义：若两个函数的图象关于某一点Q中心对称，则称这两个函数关于点Q互

为“对称函数”.例如，函数y=7与y=-7关于原点0互为“对称函数”.

(1)函数y=-x+1关于原点。的“对称函数”的函数解析式为，函数y

=(x-2)2-1关于原点0的“对称函数”的函数解析式为；

(2)已知函数y=/-2x与函数G关于点。(0,1)互为“对称函数”，若函数y=f-

2x与函数G的函数值y都随自变量x的增大而减小，求x的取值范围；

(3)已知点A(0,1),点B(4,1),点C(2,0),二次函数(a>0),

与函数N关于点C互为“对称函数”，将二次函数y=a?-2ax-3a(a>0)与函数N的

图象组成的图形记为W,若图形W与线段A8恰有2个公共点，直接写出。的取值范围.

2022-2023学年北京市西城区铁路二中九年级（上）期中数学试

卷

参考答案与试题解析

一、选择题（共8道小题，每题2分，共16分.）

1.（2分）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）

【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念，把一个图形绕某一点旋转180°,如果

旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，如果一个图

形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，进行判

断即可.

【解答】解：A.不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；

B.是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；

C.是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；

D.既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意；

故选：D.

【点评】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念，正确掌握相关定义是解题关

键.

2.（2分）一元二次方程-37+2x-4=0的一次项系数是（）

A.-3B.2C.3D.0

【分析】一元二次方程的一般形式是y=o?+bx+c（a、b、c为常数，。#0）,根据一元二

次方程的一般形式得出答案即可.

【解答】解：一元二次方程-3f+2x-4=0的一次项系数是2,

故选：B.

【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式，①一元二次方程的一般形式是y=

cu?+hx+c（a、h、c为常数，aWO）,②找项的系数时带着前面的符号.

3.（2分）抛物线y=2（x+7）2-5的顶点坐标是（）

A.(7,-5)B.(-7,-5)C.(7,5)D.(-7,5)

【分析】由顶点式二次函数表达式y=aCx-h)2+%可知：顶点坐标为(h,k),可得问

题答案.

【解答】解：•••>=(x+7)2-5,

.••顶点坐标是(-7,-5),

故选：B.

【点评】本题考查了二次函数的性质，熟记顶点式y=a(x-/z)2+k的顶点坐标和开口

方向是解题的关键.

4.(2分)在平面直角坐标系中，点P(-1,-2)关于原点对称的点的坐标是()

A.(1,-2)B.(-1,2)C.(1,2)D.(-2,-1)

【分析】根据平面直角坐标系中任意一点P(x,y),关于原点的对称点是(-x,-y),

然后直接作答即可.

【解答】解：根据中心对称的性质，可知：点P(-1,-2)关于原点0中心对称的点

的坐标为(1,2).

故选：C.

【点评】此题主要考查了关于原点对称的点的坐标特点，关键是掌握点的坐标的变化规

律.

5.(2分)如图，将正方形图案绕中心。逆时针旋转180°后，得到的图案是()

【分析】根据中心对称的定义进行判定即可.

【解答】解：将正方形图案绕中心。逆时针旋转180°后，得到的图案是:

【点评】本题考查了中心对称图形，旋转的性质，熟练掌握中心对称图形的性质是解题

的关键.

6.（2分）下列一元二次方程中，没有实数根的是（）

A.7-x+l=OB.x（x-1）=0C./+12x=0D.，+x=l

【分析】利用根的判别式和简单一元二次方程求解作答即可.

【解答】解：A选项，△=1-4=-3<0,故/-x+l=0没有实数根，符合题意；

8选项，xi=0,X2=l,不符合题意；

C选项，Xi—0,Xi--12,不符合题意；

。选项，X|=0,JC2=-1，不符合题意.

故选：A.

【点评】本题考查根的判别式，能够快速求出一元二次方程的解是解答本题的关键.

7.（2分）抛物线y=-7+2和y=-（x+2）2的对称轴分别是（）

A.y轴，直线x—2,B.直线X—2,x--2

C.直线x=-2,直线x=2D.y轴，直线x=-2

【分析】已知解析式为抛物线的顶点式，可直接写出对称轴.

【解答】解：抛物线y=-/+2的对称轴为y轴，抛物线y=-（x+2）2的对称轴为直线

X--2,

故选：D.

【点评】此题主要考查了求抛物线的顶点坐标的方法.利用解析式化为y=a（x-h）2+k,

顶点坐标是（h,k）,对称轴是直线x="得出是解题关键.

8.（2分）已知二次函数y=/+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如表:

X......-10123......

y......105212......

则当y>5时，x的取值范围是（）

A.0<x<4B.\<x<3C.x<0或x>4D.x<0或x>5

【分析】根据表格数据，利用二次函数的对称性判断出x=3时与x=l时的函数值相同，

观察表格发现：当x<2时，)，随着x的增大而减小，当x>2时，y随着x的增大而增大，

即可得出当y>5时，x的取值范围是xVO或x>4.

【解答】解：I.根据表格可知抛物线经过点(1,2),(3,2),

.♦.对称轴为》=工§=2,

2

设抛物线经过点(“，5),

贝！］：上包=2,解得：a—4,

2

观察表格发现：当x<2时，y随着x的增大而减小，当x>2时，y随着x的增大而增大，

.,.当>>5时，x的取值范围是x<0或x>4,

故选：C.

【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的

关键.

二、填空题(共8道小题，每题2分，共16分.)

9.(2分)已知点A(2,a)和点BCb,1)关于原点对称，则2.

【分析】直接利用关于原点对称点的性质得出m〃的值进而得出答案.

【解答】解：•.,点A(2,a)、点、B(b,1)关于原点对称，

:.b=-2,a--1,

贝ijab=(-2)X(-1)=2.

故答案为：2.

【点评】此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确记忆横纵坐标的符号关系是解题

关键.

10.(2分)将一元二次方程/-10x+24=0配方写成(x+〃)2="的形式为(x-5)2

=1.

【分析】利用解一元二次方程-配方法，进行计算即可解答.

【解答】解：x2-10x+24=0,

x2-10x=-24,

x2-10x+25=-24+25,

(x-5)2=1,

故答案为：(x-5)2=1.

【点评】本题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握解一元二次方程-配方法是解

题的关键.

11.（2分）请写出一个有最小值，并且对称轴为直线x=l的二次函数的解析式y=（x

-1）2（答案不唯一）.

【分析】有最小值，二次项系数为正，对称轴为直线x=l,可根据顶点式写出满足条件

的函数解析式.

【解答】解：依题意可知，抛物线解析式中二次项系数为正，已知对称轴为直线x=l,

根据顶点式，得抛物线解析式为y=（X-1）2（答案不唯一）.

故答案为：y=（x-1）2（答案不唯一）.

【点评】主要考查了抛物线的对称轴、开口方向与抛物线顶点式的关系：顶点式y=”（x

-h）2+k,顶点坐标是（〃，k）,对称轴是直线x=/z.”>0时，开口向上，”<0时，开

口向下.

12.（2分）二次函数y=o?（“VO）的图象对称轴右侧上有两点A（xi，yi）,B（也，）2）,

若yi>”,贝ijxi-x2<0.（填或“=”）

【分析】根据题意可知图象开口向下，对称轴是y轴，对称轴右侧y随x的增大而减小；

然后根据得出结果即可.

【解答】解：根据二次函数的性质可知：二次函数（a<0）的图象开口向下，对

称轴为：x=0,

.♦.当x>0时，y随x的增大而减小，

•.,二次函数（a<0）的图象对称轴右侧上有两点A（xi,yi）,B（m,”），

.,.当时，x\<xi.

.'.xi-X2<O.

故答案为：<.

【点评】本题考查的是二次函数图象上点的坐标特征，掌握二次函数图象的性质是解决

此题的关键.

13.（2分）如图，△ABC中N8=50°,在同一平面内，将△HBC绕点A逆时针旋转到△

ADE,使A£>_LBC,连接CE,则/ACE=700.

【分析】由旋转的性质可得4E=AC,ND4B=/EAC=40°,由等腰三角形的性质可求

解.

【解答】解：*.NO_LBC,ZB=50°,

：.ZDAB=40°,

•.•将△48C绕点A逆时针旋转到△AZ）E,

：.AE^AC,/D4B=/E4C=40°,

NACE=NAEC=70°,

故答案为：70.

【点评】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，掌握旋转的性质是解题的关键.

14.（2分）某种植物的主干长出若干个分支，每个支干又长出同样个数的小分支，主干、

支干、小分支的总数是241,每个支干长出小分支的个数是」

【分析】设每个支干长出小分支的个数是x,根据主干、支干、小分支的总数是241,即

可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论.

【解答】解：设每个支干长出小分支的个数是X,

依题意得：l+x+/=241,

整理得：?+%-240=0,

解得：xi=15,Xi--16（不符合题意，舍去），

.•.每个支干长出小分支的个数是15.

故答案为：15.

【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解

题的关键.

15.（2分）如图，E为正方形A8C£＞内的一点，△AEB绕点8按顺时针旋转90°后成为△

CFB,连接EF,若A、E、尸三点在同一直线上，则NAE8的度数为135°.

D

㈡

F

【分析】由旋转的性质知△8EF为等腰三角形，根据AAEB绕点8按顺时针旋转90。后

成为△CF8,得屣转角NEBF=90°,即△BEF为等腰直角三角形，根据三角形的一个

外角等于和他不相邻的内角和.即可求得.

【解答】解：由旋转可知，

BE=BF,NEBF=90°,

二ABEF是等腰直角三角形，

；.NBEF=45°,

：A、E、F三点在同一直线上

AZA£fi=180°-45°=135°,

故答案为：135°.

【点评】本题考查了旋转的性质和等腰三角形的性质.灵活运用旋转的性质和等腰三角

形的性质这些知识进行推理是解本题的关键.

16.(2分)如图一段抛物线：y=-x(x-3)(0WxW3),记为Ci，它与x轴交于点。和

Ai；将Ci绕4旋转180°得到C2，交x轴于A2；将C2绕42旋转180°得到C3，交x

轴于A3,如此进行下去，直至得到Cu,若点P(3I,〃?)在第11段抛物线Cu上，则，"

的值为2.

【分析】求出抛物线Ci与x轴的交点坐标，观察图形可知第偶数号抛物线都在x轴下方,

然后求出到抛物线平移的距离，再根据向右平移以及沿x轴翻折，表示出抛物线C”的

解析式，然后把点P的坐标代入计算即可得解.

【解答】解：令y=0,则-x(x-3)=0,

解得xi=O,M=3,

."1(3,0),

由图可知，抛物线Cu在x轴上方，

相当于抛物线Ci向右平移3X10=30个单位，再沿x轴翻折得到，

二抛物线Cu的解析式为y=-(x-30)(x-30-3)=-(x-33)(x-30),

,:P(31,m)在第11段抛物线CH上，

.•.，〃=-(31-33)(31-30)=2.

故答案为：2.

【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，利用点的变化确定函数图象的变化更简

便，平移的规律：左加右减，上加下减.

三、解答题(共8道题，共68分.第17题12分；第18,19,20题，每题8分；第21,22

题，每题6分；第23,24题，每题10分.)

17.(12分)解下列方程：

(1)用公式法解一元二次方程：x2-2%-2=0；

(2)用适当的方法解方程(x+4)2=5(x+4).

【分析】(1)先计算出根的判别式的值，然后利用求根公式得到方程的解；

(2)先移项得到(x+4)2-5(x+4)=0,再利用因式分解法把方程转化为x+4=0或x+4

-5=0,然后解一次方程.

【解答】解：(1)7-2X-2=0,

a=l,b=-2,c=-2,

△=(-2)2-4X1X(-2)=12>0,

x=-b'"b4ac=Z±2"3=1+^3,

2a2X1

所以加=1+愿，X2=l-V3：

(2)(x+4)2=5(x+4),

(x+4)2-5(x+4)=0,

(x+4)(x+4-5)=0,

x+4=0或x+4-5=0,

所以xi=-4,X2=l.

【点评】本题考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出

方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法.也考查了公式

法.

18.(8分)已知二次函数y=W+2r-3.

(1)抛物线的顶点坐标是(-1,-4)；

(2)在平面直角坐标系中，利用五点法画出该函数图象(列表)

X.・・-3-2-10]•••

.・・・・・

y0-3-4-30

(3)当xx>-1时,y随x的增大而增大；

(4)当x满足x>l或尤<-3时,y>0；

(5)当-3<xV0时，函数v的取值范围为-4Wy<0；

(6)若7+2%-3-m=Q有两个不相等的实数根，m的取值范围为心-4.

【分析】(1)把抛物线解析式化为顶点式即可求出顶点坐标;

(2)根据五点法列表，描点，连线做出函数图象；

(3)根据(2)中图象和函数的性质即可得出结论；

(4)根据(2)中图象和函数的性质即可得出结论；

(5)根据(2)中图象和函数的性质即可得出结论；

(6)根据判别式△>0,求出加的取值范围即可.

【解答】解：⑴Vy=?+2x-3=(x+1)2-4,

顶点坐标为(7,-4),

故答案为：(-1,-4)；

(2)列表：

X・・・-3-2-101•••

y…0-3-4-30•••

描点，连线:

故答案为：-3,0；-2,-3；-1,-4；0,-3；1»0；

(3)由图象可知，当尤>-1时，y随x的增大而增大，

故答案为：x>-1；

(4)由图象可知，当x满足x>l或x<-3时，y>0,

故答案为：x>l或xV-3；

(5)由图象可知，当-3<x<0时，函数y的取值范围为-4Wy<0,

故答案为：-4WyV0；

(6)；/+2x-3-%=0有两个不相等的实数根，

二△=启-4ac^22-4X1X(-3-巾)=16+4机>0,

解得m>-4,

故答案为：机>-4.

【点评】本题考查抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，关键是对二次函数性质的应

用.

19.(8分)如图在等边△ABC中，点。为△ABC内的一点，ZADB=nO°,ZADC=90°,

将△AB。绕点A逆时针旋转60°得△ACE,连接OE.

(1)求证：AD=DE；

(2)求/OCE的度数.

【分析】（1）证明三角形AOE是等边三角形即可得出AO=OE；

（2）由四边形的内角和为360°即可得出答案.

【解答】解：（1）证明：：将△ABO绕点A逆时针旋转60°得△ACE,

：.AD=AE,/£）AE=60°,

三角形4DE是等边三角形，

：.AD=DE；

（2）由（1）知NAEC=120°,N£>4E=60°,

又,.,NADC=90°,

AZDCE=360°-ZADC-ZDAE-ZAEC=360°-90°-120°-60°=90°.

【点评】本题主要考查旋转的性质，关键是要牢记旋转前后的两个图形全等，牢记四边

形的内角和为360°.

20.（8分）己知关于x的方程--（/??-3）x+m-4=0.

（1）求证：方程总有两个实数根；

（2）若方程有一个根大于4且小于8,求机的取值范围.

【分析】（1）先计算判别式的值得到4=2,利用非负数的性质得△》（），然后

根据判别式的意义判断根的情况；

（2）利用求根公式解方程得到川=帆-4,垃=1,再利用方程有一个根大于4且小于8

得4〈根-4<8,然后解不等式组即可.

【解答】（1）证明：△=（加-3）2-4。〃-4）

=w2-lO/n+25

=Cm-5）2,

'：(w-5)220,即△》(),

...方程总有两个实数根;

(2)1=生二］土」1n七得xi=，〃-4,X2=l，

2

•••方程有一个根大于4且小于8,

.\4<772-4<8,

.,.8<w<12.

【点评】本题考查了一元二次方程/+〃x+c=O(a¥0)的根的判别式-4s当

△>0,方程有两个不相等的实数根；当△=(),方程有两个相等的实数根；当△<(),方

程没有实数根.

21.(6分)如图，关于x的二次函数的图象与x轴交于A、B两点，其中点

A的坐标为(-3,0),与y轴交于点C,设直线AC的表达式为”=区+4

(1)求二次函数yi的表达式；

(2)求直线AC的表达式；

(3)当yi-”>0时，直接写出x的取值范围.

【分析】(1)将4(-3,-0)代入yi=a/+4or+3,解方程即可；

(2)首先得出点C的坐标，将点4、C坐标代入”=依+&,解方程组即可;

(3)直接根据图象可得答案.

【解答】解：(1)将A(-3,0)代入”=o?+4ax+3得，

9a-12a+3=0,

♦♦4=1,

・•・二次函数yi的表达式为yi=/+4x+3；

(2)在yi=/+4x+3中，当x=0时，y=3,

：.C(0,3),

将点A、C坐标代入得，

fb=3,

l-3k+b=o'

解得我=1,

lb=3

直线AC的表达式为”=x+3；

（3）当yi-y2>0时，即yi>”，

有图象可知，*<-3或犬>0.

【点评】本题主要考查了二次函数与不等式，待定系数法求函数解析式等知识，利用数

形结合思想是解题的关键.

22.（6分）中国在2022年北京冬奥会上向全世界展示了“胸怀大局，自信开放，迎难而上，

追求卓越，共创未来”的北京冬奥精神.跳台滑雪是北京冬奥会的比赛项目之一，如图

是某跳台滑雪场地的截面示意图.平台A8长1米（即48=1）,平台AB距地面18米.以

地面所在直线为x轴，过点8垂直于地面的直线为y轴，取1米为单位长度，建立平面

直角坐标系，已知滑道对应的函数为y」x2-4x+c运动员（看成点）在BA

5

方向获得速度v米/秒后，从A处向右下飞向滑道，点M是下落过程中的某位置（忽略空

气阻力）.设运动员飞出时间为/秒，运动员与点A的竖直距离为"米，运动员与点A的

水平距离为1米，经实验表明：h=62,l=vt.

（1）求滑道对应的函数表达式；

（2）当丫=5,7=1时，通过计算判断运动员此时是否已落在滑道上；

（3）在试跳中，运动员从A处飞出，运动员甲飞出的路径近似看做函数

y=」x2』x但图象的一部分，着陆时水平距离为由，运动员乙飞出的路径近似看做

555

函数+y=_^2卷图象的一部分，着陆时水平距离为"2,则力（填

“=”或

【分析】(1)把A(1,18)代入解析式求出c即可；

(2)先把u=5,r=l代入力=6P，/=%再把x=6代入(1)中解析式，比较即可；

(3)令y=[x2+|x号和y=-^x2+|x」|工与滑道方程联立，求出无，即可得出

结论.

【解答】解：(1)由题意得：A(b18),

把A(1,18)代入解析式得：JLX12-4X1+。=18,

5

解得：c=21.8,

...滑道对应的函数表达式为-4x+21.8；

5

(2)当口=5,1=1时，〃=6及=6,/=vr=5,

当x=6时，y=Ax62-4X6+21.8=5,

-5

而18-力=18-6=12>5,

运动员此时未落在滑道上；

2

(3)4-y=-^-x4,|--4x+21.8,

解得x=l(舍去)或x=10,

解得x=i(舍去)或x=ai2，

11

11

•；di=10,42=1I。，

11

・"1〈血

故答案为：V.

【点评】本题考查二次函数的应用，关键是根据函数的性质进行解答.

23.(10分)如图，抛物线y=o?+bx+c(。/0)经过点4(2,0),8(-2,4),C(-4,

0),直线AB与抛物线的对称轴交于点E.

(1)求抛物线的表达式；

(2)点M在直线AB上方的抛物线上运动，当△A8M的面积最大时，求点M的坐标；

(3)若点尸为平面内的一点，且以点8,E,C,尸为顶点的四边形是平行四边形，请写

出符合条件的点尸的坐标.

【分析】(1)用待定系数法求函数的解析式即可；

(2)过点M作MG//y轴交直线AB于点G,设M(m,-Xn2-m+4),则G(m,-

2

m+2),可得SAABM=-/+4,当机=o时，AAB用的面积最大，此时M(0,4)；

(3)设尸(x,y),求出E(-1,3),再根据平行四边形对角线的情况分三种情况讨论,

利用中点坐标公式求F点坐标即可.

【解答】解：(1)将A(2,0),8(-2,4),(-4,0)代入y=o?+bx+c,

4a+2b+c=0

16a_4b+c=0»

4a-2b+c=4

c=4

；.y=--kr2-x+4；

2

(2)过点用作何6〃卜轴交直线AB于点G,

设直线AB的解析式为y=kx+b,

,f2k+b=0,

1-2k+b=4'

解得小=2,

lk=-l

•-x+2f

设-L%2_m+4),则G(〃?，-m+2),

2

：.MG=--Lm2+2,

2

.".SAABM=—X4X(-Xjrr+2)=-OT2+4,

22

...当m=0时，△ABM的面积最大，

此时M(0,4)；

(3)设F(x,y),

,-y—~-lx2-x+4=-A(x+1)2+—,

222

抛物线的对称轴为直线1=-1,

：.E(-1,3),

①当BE为对角线时，「1-2=X-4,

13+4=y

解得［x=L

Iy=7

：.F(1,7)；

②当8c为对角线时，［-2~4=X~1,

14=3+y

解得fx=-5,

Iy=l

:.F(-5,1)；

③当3F为对角线时，1-2+X=-1-4

14号=3

解得X-0,

ly=-l

：.F(-3,-1)；

【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，利用轴对

称求最短距离，平行四边形的性质，分类讨论是解题的关键.

24.(10分)(1)问题背景.

如图1,在四边形ABC£>中，AB=AD,ZB+Z£>=180°,E、F分别是线段BC、线段

上的点.若凡试探究线段BE、EF、FD之间的数量关系.

小明同学探究此问题的方法是，延长FQ到点G.使£>G=BE.连接AG,先证明△ABE

^/XADG.再证明AAE/部ZiAGF,可得出结论，他的结论应是.EF=BE+DF.

(2)猜想论证.

如图2,在四边形A8C。中，AB=AD,ZB+ZADC=180°,E在线段8c上、F在线段

CD延长线上.若NBAO=2NEAF,上述结论是否依然成立？若成立说明理由；若不成

立，试写出相应的结论并给出你的证明.

(3)拓展应用.

如图3,在四边形ABCO中，ZBDC=45°,连接BC、AD,AB：AC：BC=3：4：5,

AO=4,5.ZABD+ZCBD=lS0°.则△AC。的面积为

【分析】(1)延长尸。到点G.使DG=8E.连接4G,即可证明名ZMOG(S4S),

可得AE=AG,再证明AAE/出Z\AGF(SAS),可得EF=FG,即可解题；

(2)在3E上截取BG,使8G=QF,连接AG.根据(1)的证法，我们可得出QF=BG,

GE=EF,那么EF=GE=BE-BG=BE-DF.

(3)如图3中，如图3中，过点。作。H_LAB交AB的延长线于“，DK_LAC交AC的

延长线于K,D/LBC于J.证明四边形A”QK是正方形即可解决问题.

【解答】解：延长FD到点G.使。G=BE,连接AG,

VZB+ZADF=180°,ZADF+ZADG=\S00,

NADG=NB,

在△ABE和△AOG中，

'BE=DG

<ZB=ZADG>

AB=AD

/.AABE^AADG(SAS),

：.AE=AG,ZBAE^ZDAG,

■:NBAD=2NEAF,

：.ZGAF=ZDAG+ZDAF=ZBAE+ZDAF=NBAD-ZEAF=ZEAF,

：.ZEAF=ZGAF,

在△4EF和aAGF中，

'AE=AG

-NEAF=/GAF，

AF=AF

A/\AEF^/\AGF(SAS),

：.EF=FG,

'：FG=DG+DF=BE+DF,

：.EF=BE+DF；

故答案为：EF=BE+DF.

(2)结论不成立，结论：EF=BE-FD.

理由如下：证明：如图2中，在BE上截取BG,使BG=DF,连接4G.

图2

VZB+ZADC=180°,ZADF+ZADC=180°,

・・・NB=NADF.

・・•在△ABG与尸中，

'AB=AD

<NABG二NADF，

BG=DF

AAABG^AADF(SAS).

：.ZBAG=ZDAF,AG=AF.

：.ZBAD=ZBAG+ZGAD=ZDAF+ZGAD=ZGAF.

*//BAD=2/EAF,

：.ZGAF=2ZEAFt

：.ZGAE=ZEAF.

'：AE=AEf

：.AAEG^AAEF(SAS).

：.EG=EF

•:EG=BE-BG

：.EF=BE-FD.

(3)如图3中，如图3中，过点。作Z)H_LA3交4?的延长线于H,£>K_1_AC交AC的

延长线于K,DJ1.BC于J.

B

：AB：AC：BC=3：4：5,

•.可以假设A8=3k,AC=4七BC=5k,

212

\AB+AC=BCf

\ZBAC=90°,

：ZH=ZK=9O0,

,•四边形AHOK是矩形，

・.NHDK=90°,

：ZBDC=45°,

ZBDH+ZCDK=45°,

・・/A8O+NC8D=180°,NABD+NDBS1800,

♦・NDBH=NDBC,

:NH=NDJB=90°,DB=DB,

••△BDH义/\BDJ(AAS),

・.DH=DJ,NBDH=NBDJ,BH=BJ,

:NBDJ+NCDJ=45°,NBHH+/CDK=NBDJ+/CDK=45°,

•・/CDJ=/CDK,

:/K=/DJC=9S,CD=CD,

••△CDgACDJ(A4S),

♦・DJ=DK,CJ=CK,

♦・DH=DK,

，四边形AHDK是正方形,

：.BH+CK=BJ+CJ=5k,

：.AH+AK^nk,

：.AK=KD=6k,

"：AD=4,

:.AK=DK=2近=6k,

"=亚，

3_

；.AC=_^反，

3_

•••SAACD=2，AU£>K=」・J^_X2亚=B.

2233

故答案为B.

3

【点评】本题考查了四边形综合题，三角形全等的判定和性质；本题中通过全等三角形

来实现线段的转换是解题的关键，没有明确的全等三角形时，要通过辅助线来构建与己

知和所求条件相关联全等三角形.

四、附加题（共2道题，共10分.第1题2分，第2题8分.）

25.（2分）已知二次函数y=o?+6x+c（a#0）的图象如图，有下列结论：

①a<0②b<0③c>0④y-4ac>0

®b=-2a®9a+3b+c>0⑦3〃+c<0

正确的结论是②④@@.（填序号）

【分析】根据抛物线的开口方向判断①；根据对称轴的位置判断②；根据抛物线与y轴

的交点位置判断③；根据抛物线与x轴的交点情况判断④；根据对称轴判断⑤；根据横

坐标为3的抛物线上的点的纵坐标正负情况判断⑥;根据横坐标为-1的抛物线上的点的

纵坐标取值范围判断⑦.

【解答】解：由于抛物线的开口向上，则>0,故①错误；

由于抛物线的对称轴在y轴右边，则a、b异号,所以〃<0,故②正确；

由于抛物线与y轴的交点在），轴负半轴，则c<0,故③错误；

由于抛物线与x轴有两个交点，则廿-4“c>0,故④正确；

因为对称轴为x=-工=1，贝！）8=-2。，故⑤正确；

2a

当x=3时，y^9a+3b+c<0,故⑥错误；

当x=-l时，y=a-b+c<0,则a+