2022-2023学年山东省潍坊市六县区高一年级下册数学期中试题【含答案】

2022-2023学年山东省潍坊市六县区高一下学期数学期中试题

一、单选题

1.sin77gr的值为（）

A.-且B.|C.立

222

【答案】C

【分析】由诱导公式进行求解.

【详解】sin—=sinf2n+—=sin—=—.

3V3J32

故选：C

2.“角a是第三象限角”是“sina-tana<（T^（）.

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分又不必要条件

【答案】A

【分析】结合角所在象限的性质及充分不必要条件进行判断即可.

【详解】当角。是第三象限角时，

sina<0,tancr>0,

于是sinatanacO,

所以充分性成立；

当sina•tana-5亩-^<0,即cosa<0时,

cosa

角a是第二或第三象限角，

所以必要性不成立，

故选：A.

3.为了得到函数y=gsin（2x-l）的图像，只需把y=（sin2x的图像上的所有点（）

A.向左平移3个单位B.向右平移3个单位

C.向左平移1个单位D.向右平移1个单位

【答案】B

【分析】由;（）

sin2x—l=gsin2即可比较判断.

【详解】y=：sin（2x—l）=：sin2,故只需把y=；sin2x的图像上的所有点向右平移g个

单位.

故选：B

(的对称中心的是()

4.下列是函数〃x)=tan2x-iJ

一％°

A.B.C.（0,0）D.

【答案】D

【分析】先求出函数的对称中心，逐个检验即可得出答案.

■、“ArTl■C兀kit.—_I•,口兀kit._

【洋解】由2x—7=二/wZ可得，x=-+—-,kGZ,

4284

所以，函数/(x)=tan(2x-：J的对称中心的是兀kit八、

8+fceZ-

对于A项，由三+"可得人=一］比Z,故A项错误;

8442

对于B项，由［+竺=三，可得左=(£Z,故B项错误；

8442

对于C项，由三+”=0,可得左=一:走2,故C项错误；

842

对于D项，由三+”=三，可得&=0@Z,故D项正确.

848

故选：D.

5.已知。是ABC的边8c上的点，且8c=38。，则向量AO=().

A.AB-ACB.-AB--AC

33

C.-AB+-ACD.AB+AC

33

【答案】C

【分析】根据向量的加减法以及数乘的运算，可得答案.

【详解】由题意作图如下:

A

B

DC

1

由3c=38。，则

11>>i

AD=AB+BD=AB+-BC=AB+-(AC-AB]=-AB+-AC.

33、>33

故选：C.

6.函数/(x)=2x-tanx(-14x41)的图象大致是()

【答案】B

【分析】根据题意，先分析函数的奇偶性，排除AC,再判断函数在(0,1)上的符号，排除D,即可

得答案.

【详解】定义域［T,1］关于原点对称,且/(-x)=2x-tanx=f(x),

.7Ax)为偶函数，图像关于了轴对称，故AC不符题意；

在区间(0,1)上，x>0,tanx>0,则有/(x)>0,故D不符题意，B正确.

故选:B.

7.向量6=(1,2)在向量。=(-1,1)上的投影向量的坐标为()

【答案】B

【分析】根据投影向量的求解公式即可求解.

(a.b)a(—1+2)(—1,1)

【详解】匕=(1,2)在向量。=(-1,1)上的投影向量为三一=i~~L=

故选：B

8.某数学兴趣小组设计了一种螺线，作法如下：在水平直线加上取长度为1的线段A3,并作等边

三角形48C,然后以点8为圆心，R4为半径逆时针画圆弧，交线段。5的延长线于点3；再以点C

为圆心，CD为半径逆时针画圆弧，交线段AC的延长线于点E；再以点A为圆心，AE为半径逆时

针画圆弧，交线段84的延长线于点尸；再以点8为圆心，W■、为半径逆时针画圆弧，：以此类

推，得到的螺线如图所示.当螺线与直线机有4个交点（不含A点）时，则螺线长度为（）

A.14KB.307r

【答案】A

【分析】根据题意，找到螺线画法的规律，确定每次划线时圆弧的半径以及圆心角，结合扇形的弧

长公式可求得结果.

【详解】第1次画线：以点B为圆心，扇形半径为r=l,旋转整，划过的圆弧长为心日=年；

第2次画线：以点C为圆心，扇形半径为r=2,旋转胃，

划过的圆弧长为2、今27r=：4兀,交加累计1次；

33

第3次画线：以点A为圆心，扇形半径为r=3,旋转年，

划过的圆弧长为3x,=亨=2兀，交机累计2次；

第4次画线：以点5为圆心，扇形半径为r=4,旋转与，

划过的圆弧长为4、；=竽；

33

第5次画线：以点C为圆心，扇形半径为/*=5,旋转2宁兀，

2兀107r

划过的圆弧长为5x^=手，交〃2累计3次；

*「、加国、1K•加、2兀4兀67r87110K

刖5次累计画线丁+彳+7+7+―^-二10兀；

第6次画线：以点A为圆心，扇形半径为厂=6,旋转行,

戈ij过的圆弧长为6乂7=-^-=4兀，交〃?累计4次，累计画线1（次+4兀=14兀.

故选：A.

二、多选题

9.以下各式化简结果正确的是()

sincos八

A.---------------=cos0B.J1-2sin20°cos20°=cos200-sin20°

tan0-1

D.5111仁-6+0$6+6)=$吊88$6

C.sin(-36°)+cos54°=0

【答案】ABC

【分析】根据三角函数的同角基本关系和诱导公式逐一判断即可.

sin0-cos0_sin0-cos0_

【详解】tan0-1=sin0,=C^U,故A正确；

cos。

V1-2sin20°cos20°=^(sin20°-cos20°)2=cos200-sin20°,故B正确；

sin(-36°)+cos54°=-sin360+cos54°=-sin360+sin36°=0,故C正确；

sin^-0^cos^+0^=cos0-(-sin0)=一sinOcos。,故D错误；

故选：ABC

10.下列说法埼堡的是()

A.若。包=6.C，则q=WB.若Q〃b，则存在唯一实数％使得d=2b

C.若a"b，bHc，则a〃cD.与非零向量d共线的单位向量为喻

【答案】ABC

【分析】由数量积定义可知A错误；通过反例可确定BC错误；根据单位向量和共线向量定义可确

定D正确.

【详解】对于A,若a.b=b,c，则同cos<〃,/?>=k|cosvb,c>,无法得到。=c,A错误；

对于B,若8=0，则4〃。，此时不存在满足q=助的实数丸，B错误；

对于C,若匕=0，则a〃b，bile，无法得到C错误；

对于D,〃工0，由单位向量和共线向量定义可知与。共线的单位向量为±百，D正确.

故选：ABC.

11.已知函数f(x)=sin(s+：)在(0,兀)上是单调函数，则下列结论中正确的有()

A.当0>0时，。的取值范围是0<。乂：

B.当69<0时，①的取值范围是一：工0<。

2

C.当<y>0时，。的取值范围是

2

D.当<y<0时，。的取值范围是

【答案】AD

【分析】根据题意，结合正弦函数图像的周期性与单调性，即可求解.

【详解】根据题意，易知兀，即722万，因此阿=臣41.

当0>0时，0<6941,因为Ovxv兀，所以5<5+5<防+5，

666

又因为函数/（x）=sin"+£）在（0,兀）上是单调函数，所以的+专建，

解得故A正确，C错误；

当G<（）时，一140<0,因为OvxVTT,所以工>5+2>口4+工，

666

又因为函数/（》）=%（5+弓）在（0,兀）上是单调函数，所以如r+^z-],

解得故B错误，D正确.

故选：AD.

12.小说《三体》中的“水滴”是三体文明派往太阳系的探测器，由强相互作用力材料制成，被形容

为“像一滴圣母的眼泪小明是《三体》的忠实读者，他利用几何作图软件画出了他心目中水滴的轴

截面（如图），该水滴轴截面由线段AB,AC和优弧8c围成，设优弧8c所在圆的圆心为O,半径

3

为R,其中BCLAO,AB,AC与圆弧相切，己知水滴轴截面的水平宽度与竖直高度之比为；，则

2

（）

A.优弧BC的长度B.OA=2R

C.sin4A0=gD.“水滴”的轴截面的面积为（G+芝

【答案】BCD

【分析】根据条件可得4O+R=]3-2R,即可求出A。的长度，然后在,回。中可得NBA。的大小,

然后可算出优弧BC的长度、"水滴''的轴截面的面积，即可选出答案.

B.

［详解］

连接A。,80,CO,

3

因为水滴轴截面的水平宽度与竖直高度之比为彳，水平宽度为AO+R,竖直高度为2R,

2

所以AO+R=g-2K,所以AO=2R,故B正确，

2

TT

因为AB,AC与圆弧相切，所以=

7T7T

在.480中，AABO=~,A0=2R,BO=R,所以可得NBAO=^,故C正确，

26

471

所以优弧8c的长度把R,故A错误，

3

“水滴”的轴截面的面积为2S.BO+|兀R2=］8+g）R2,故D正确，

故选：BCD

三、填空题

13.已知向量〃=（一1,2）,Z?=（m,l）.若向量a+b与a平行，则加=.

【答案】-:

【解析】运用向量加法公式和向量平行公式即可.

【详解】向量。=（-1,2）,/?=（九1）,所以〃+/?=（加-1,3）,

若向量a+6与a平行，可得-Ix3-2（"I）=O,解得,*=_；.

故答案为:-；

14.已知tana=-g,且。耳0,司，贝！J2sina-cosa=.

【答案】y/2.2

【分析】由tana=-g,且。£［0,乃］,得至Ijsina=±cosa=-1求解.

【详解】解：因为tanc=T,且。«0,司，

43

所以sina=g,cosa=一弓,

jTFf|^2sincr-cosa==-y,

故答案为：—

15.已知/(x)=2023sinx+2024tanx-l,/(-2)+/(-1)+/(0)+/(1)+/(2)=.

【答案】-5

【分析】根据三角函数的奇偶性，结合奇函数的性质，可得答案.

【详解】令g(x)=2023sinx+2024tanx,

由丫=$山工与丫=1@11》为奇函数，贝ijg(-x)=_g(x),

则/(-2)+止1)+/⑼+/⑴+〃2)

=g(-2)-l+g(-1)-l+g(O)-1+g⑴-l+g(2)-1

=-g⑵+g⑵-g(l)+g⑴+g(O)-5=-5.

故答案为：-5.

四、双空题

16.设正八边形A44的外接圆半径为1,圆心是点o,点尸在边4人上，则

8___

0尸2。4=；若尸在线段44上，且A/=x44+y4A»，则的取值范围

1=1

为.

【答案】o[1,72]

8

【分析】分析可知。为线段444=1,2,3,4)的中点，可化简得出2。4=0,再利用平面向量数量

;=1

积的定义可求得。。之。4的值；以点。为坐标原点，的方向分别为x、丫轴的正方向建

/=!

立平面直角坐标系，利用平面向量的坐标运算可出x-y关于几的线性表达式，即可得出x-y的取值

范围.

【详解】由正八边形的对称性可知，。为线段44"1=1，2,3,4)的中点，

8

则OA+OA=<M+04=04+04=2+。4=0，所以，Z。4=°，

8

故。22。4=0；

»=1

在正八边形A44中，乙4,。4=幽=45,plljZAOA3=2ZAOA=90,

8

以。为坐标原点，。4,、的方向分别为x、轴的正方向建立如下图所示的平面直角坐标系,

则A（i，。）、A、A,(0,1),A,

\7

所以，A&=A3A2=,A3A4=

\/\/\/

设4夕=丸4&，其中Xw[o』],则4尸=4A+A/=4A+4A4=(i,—1)+4

=I1+I--2--1J14,—2A-1),

因为”=“4+)44,即卜+住-i卜¥小卜隹孝一)+)卜率

=争X-)'),孝一1卜+),),

"iL-

x—y),即x-y=>/5+(lw.

所以，1+l2J

故答案为：0；[1,夜].

五、解答题

17.已知点P（G〃z）（其中mwO）在角a的终边上，sina=£,且a是第一象限角.从①一，②二,

③三，④四，这四个选项中选择一个你认为恰当的选项填在上面的横线上，并据此解答以下问题：

⑴求机、cosa,tana的值；

⑵在（1）的条件下化简并求值：sin（-a）cos（27r+a）tan（20237r+a）.

【答案】（1）条件选择见解析，答案见解析

(2)北

【分析】（1）根据三角函数的定义结合Sina=£可求得加的值，根据机的取值确定角a终边的位置,

再结合三角函数的定义可求得cosa、tana的值；

（2）利用诱导公式结合切化弦可求得所求代数式的值.

【详解】⑴解：因为点尸（6，m）（其中mHO）在角a的终边上，

.mm

由三角函数的定义可得s】na==不,解得加=±i,

./QiL

故a为第一或第四象限角，

若选①：若a为第一•象限角，则机=1,则cosa=/=昱，tana=~^==—

V3+12733

若选④：若a为第四象限角，则机=一1,则cosa=*==且，tana=^L=—正.

'3+12

(2)解：sin(-a)cos(2n+a)tan(2023元+a)=-sinacosatana=-sinacosa•

cosa

=-sin2a=-

18.设G,%是平面内不平行的非零向量，a=g+e?,b=el-2e2.

⑴证明：a,8组成平面上向量的一组基底；

⑵请探究是否存在实数左，使得Aq+6和相+履2平行？若存在，求出&的值；若不存在，请说明

理由.

【答案】（1）证明见解析；

（2）k=±5/3.

【分析】（1）证明不共线即可；

（2）设Aq+e；=〃（3q+Aej,然后可建立方程组求解即可.

【详解】（1）假设a,b共线，设4=又入

则et+e2=-2e2\=Aet-2Ae2,

[\=A

因为4,%是平面内不平行的非零向量，所以।无解，

1=-2X

所以。力不共线，所以a，。组成平面上向量的一组基底,

(2)假设存在实数化使得攵q+/和招+平行，

设4q+/=〃(3q+3)，则ke}+62=3jLie1+/.ike2,

因为q,e2是平面内不平行的非零向量，所以，：：：，解得忆=±力，

所以存在实数晨使得Zq+e2和34+入2平行，k=±6

19.在一次研究性学习中，小华同学在用“五点法”画函数/(x)=Acos®x+s)(0>O,|d<，在某一

周期内的图像时，列表并填入的部分数据如下表：

Tt7兀

X

A2T

n3n

CDX+(p0n2兀

2~2

COS(5+0)10-101

/(x)及0%0代

(1)请利用上表中的数据，写出玉的值，并求函数/(x)的单调递减区间；

(2)将函数/(x)的图像向右平移;个单位，再把所得图像上各点的横坐标缩小为原来的3,纵坐标不

变，得到函数g(x)的图像，若|g(x)-*2在罟上恒成立，求实数2的取值范围.

【答案】⑴占=—],函数f(x)的单调递减区间为4^-1,4A-7T+y,k€Z；

(2)-l</l<2+—

2

【分析】(1)根据表格中的数据求出/(x)的解析式即可；

(2)首先根据函数图像的变换求出g(x)的解析式，然后求出g(x)的值域，然后由|g(x)-4<2可

得2-2<g(x)<2+2,然后可得答案.

A=y/2

A=6

乎+9=0

7171<

【详解】(1)由表格中数据可得,}CO'—+(P=—解得71

22(P=~

7兀。

C0'—+(P=2TI

所以f(x)=Acos(gx+：}

所以〃x)=&cos(gx+：),

ITVTV37r

令2kn<—x+—<2kn+n,kGZ,解得4E——<x<4EH---、keZ,

2422

Ji37r

所以函数〃X)的单调递减区间为4far--,4far+y#eZ,

(2)将函数/(x)的图像向右平移5个单位,得至|Jy=0=0cos却勺图像,

再把所得图像上各点的横坐标缩小为原来的〜纵坐标不变，得到函数g(x)=&cosx的图像,

由|g(x)—'|<2可得九一2<g(x)<<1+2,

.兀兀।/\

当xe时，g(x)G

「1I.-9且r

因为|g(x)-4<2在上恒成立，所以T，解得_1<彳<2+义.

L」"+2>12

20.已知向量a=(cos1,。=(cos。,一sin8).

⑴求口、M和的值；

(2)令m=(r+4)。+6,n=ta-kb，若存在正实数k和乙使得“JL”，求此时:的最小值.

【答案】U)卜卜W=l,a-b-0

⑵当4=16,f=2时，机_1,〃，且p'的最小值为4

【分析】(1)化简平面向量”的坐标，利用平面向量的模长公式可求得口、w的值，利用平面向量

数量积的坐标运算可求得4力的值;

b4k

(2)由加_L拉可得出“〃=0,化简可得出告=/+—,利用基本不等式可求得下的最小值，利用基本

rtv

不等式成立的条件可求得&、/的值.

【详解】(1)解：由题意可得4=(8$(]-0"1总一，1]=($皿。,8$。)，

则,卜Vsin204-cos20=1,|/?|=Jcos?6+(-sine)~=1,

。•〃=sin0cos0-cos6sin。=0.

(2)解：因为“=(广+4)，+。，n—ta—kb^且加_L〃，

则根•/2=/(产+4)J—历+[1—々(/+4)]〃/="产+4)一女=0,

二匚I、1kt2+44

ttt

若存在正实数人和，，使得W_L〃，

由基本不等式可得：=t+2旧=4,

当且仅当，麻时，等号成立，此时，与的最小值为4.

A：=16r

21.北方某养殖公司有一处矩形养殖池A8CD,如图所示，AB=50米，BC=25石米，为了便于冬

天给养殖池内的水加温，该公司计划在养殖池内铺设三条加温带OE,E尸和。凡考虑到整体规划,

要求。是边A8的中点，点E在边2c上，点F在边AD上，且NEOF=90。.

⑴设/80E=a,试将一0所的周长/表示成a的函数关系式，并求出此函数的定义域；

(2)在(1)的条件下，为增加夜间水下照明亮度，决定在两条加温带0E和OF上按装智能照明装置,

经核算，两条加温带每米增加智能照明装置的费用均为400元，试问如何设计才能使新加装的智能

照明装置的费用最低？并求出最低费用.

（备用公式：sina+cosa=&sin（a+E],$山乂="+应）

I4；124

25（1+sina+cosa）n兀

【答案】(1)/=-------------------------,aG

sinacosa6?3

⑵当BE=AF=25米时，照明装置费用最低，最低费用为200(X)72元.

【分析】(1)根据三角函数定义及勾股定理，可表示出.OE尸三边，进而周长/表示成a的函数关系

式，根据点瓜尸的极限位置求出函数的定义域；

(2)利用三角函数换元法，令sina+cosa=/,,再利用函数单调性求出OE+O尸的范围，可解此题.

25

【详解】(1)在中，由=可得0E=-------,

cosa

25

在R,AO产中，由NAFO=a,可得。产=——，

sina

又在心△石O尸中，由勾股定理得

EF=ylOE2+OF2=J(-^-)2+(-^-)2=————，

Vcosasinasinacosa

LL~,25252525(1+sina+cosa)

所以/=----+--+--------=-----:-----------，

cosasincrsinacosasinacosa

当点下在点。时，此时a的值最小，a=y,

o

当点E在点C时，此时a的值最大，a=p

故函数的定义域为(mA］；

o3

(2)根据题意，要使费用最低，只需OE+OF最小即可，

,,、,0八厂cl25(sina+cosa)「兀兀

由(1)得0E+0/--------------二aw,

sinacosa\_63_

、.t2_1

设sina+cosa-t,则sina•cosa=------,

2

o八口_25(sina+cosa)_25/_50/_50

CzrL+(.Jr=z=~~z=~

则sinacosat~-1r-1+1,

------i—

2t

f5兀/冗,7元足石+1r-

由五1耘’得yWa，

令易知/«)=一；在(0,+8)上为增函数，

所以当f=应时，OE+OF最小，且最小值为50底，此时々=：,

所以当BE=AF=25米时，照明装置费用最低，最低费用为20000底元.

22.已知函数〃x)=sin®x+9)(o>0,网<的图象相邻两条对称轴间的距离为(且过点(0,；).

⑴若函数y=/(x+m)是偶函数，求网的最小值；

⑵令g(x)=3/(x)+l,记函数g(x)在-py上的零点从小到大依次为为、々、L、X,,,求

X|+2X2+2玉++2x„_t+X”的值;

(3)设函数y=e(x),XGD,如果对于定义域。内的任意实数x,对于给定的非零常数P,总存在非

零常数T,若恒有必了+7卜卜奴制成立，则称函数e(x)是。上的尸级周期函数，周期为厂是否存

在非零实数儿，使函数力(犬)=(；)](；〃-1)是R上的周期为T的T级周期函数？请证明你的结

论.

【答案】⑴

0

(2)4兀

(3)存在，且兀=竿(〃?€2)满足题意，其中7满足T"=1,证明见解析

【分析】(1)根据题意求出函数/(%)的最小正周期，可求得。的值，再根据函数/(x)的图象过点

结合夕的取值范围，可求得夕的值，求出丫=/(犬+加)的表达式,根据该函数为偶函数可得出

加的等式，即可求得帆的最小值；

(2)由已知可得sin(2x+.!，令"=2X+F，则“e，作出直线与函数N=sin"

36223

TT7兀

在-于耳上的图象，利用对称性可求得%+2%+2毛++2%„_,+怎的值;

(3)分析可知VxeR,恒有sin(/U+4T)=，2rsinQ:成立，且有义工0,分析可得7"=±1，分别

讨论关于T的方程7.27=1或，2,=-1的解是否存在，在第一种情况下，可得出sin(尢v+4T)=sin尢t

恒成立，可得出2的值；在第二种情况下，利用数形结合可得出结论.

【详解】(1)解：因为函数f(x)图象的相邻两对称轴间的距离为!■,

所以，函数/(x)的最小正周期为7=2X5=兀