2023-2024学年山东省青岛市高二年级上册期末数学模拟试题（含解析）

2023-2024学年山东省青岛市高二上册期末数学模拟试题

一、单选题

1.圆/+/-2了-3=0的半径是()

A.1B.2C.3D.4

【正确答案】B

【分析】将圆的一般式化为标准式即得.

【详解】由》2+「一2”3=0,可得x2+(y-l)2=4,

所以圆一+丁―2y—3=0的半径是2,

故选：B.

2.已知直线4的方程为2x+(5+m)y=8,直线乙的方程为(3+〃?)x+4y=5-3m,若弧,

则m=()

A.-1或-3B.-7C.—1D.-3

【正确答案】B

【分析】根据两直线平行可得4与-小用=0,解之即可，注意重合.

【详解】由4〃4,得(5+加)(3+〃?)一8=0,化为：/+8加+7=0,解得母=-1或-7.

经过验证加=T时，两条直线重合，舍去..•.机=-7.

故选：B.

3.圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是

A.(x-l)'+(y-l)2=1

B.(x+l)2+(j；+l)2=l

C.(x+iy+(y+l)2=2

D.(x-l)2+(y-l)2=2

【正确答案】D

【详解】试题分析：设圆的方程为(x-l)2+(y-l)2=，"(〃?>0),且圆过原点，即

(0-1)"+(0-l)2=m(m>0),Wm=2,所以圆的方程为(x—l)-+(y—l)-=2.故选D.

圆的一般方程.

4.数列-（，£1

…的通项公式可能是对=（)

7，9111

A.4B.c-tinD.

3/7+22〃+32/7+33〃+2

【正确答案】C

【分析】由分母构成等差数列即可求出.

【详解】数列的分母5,7,9,…形成首项为5,公差为2的等差数列，则通项公式为

5+（〃-1）x2=2〃+3,

所以a

"2/7+3

故选：C.

5.若1,加,9三个数成等差数列，则圆锥曲线V-叩2=］的离心率为（）

A4逐R6逐

55

「2小n同

55

【正确答案】D

【分析】先根据等差中项求出“，再套用离心率公式即可求解.

【详解】因为1,加,9,所以2〃?=1+9,解得，"=5,

所以x?-5y2=1,

所以e*粤

故选：D

6.已知椭圆C:二+《■=1的左、右顶点分别为45,点P在椭圆C上，直线尸4心的斜率

64

分别为尢，右，则勺•勺=（）

21V69

A.--B.——Lr•----D.——

424

【正确答案】A

【分析】由椭圆方程得到48的坐标，再结合斜率公式即可求解

【详解】由题意知/卜孤0),耳灰,0).

设则八卡他=台

尸为椭圆C上一点，

.比a=2

x0+^6xQ-y/63

即4•《=-,.

故选：A

7.若等差数列｛叫与等差数列他,｝的前〃项和分别为E,和7；,且率=等;，则鲁=()

in初一4

21c13-35n37

A.—■B.—C.•—D.—

23114447

【正确答案】C

【分析】根据等差数列的性质和求和公式，得到台=养，即可求解.

【详解】由等差数列的性质和求和公式，可得

153+每)

。8_%+%5_2_S15_2xl5+535

兀―4+1―15(4+九)一元-3X15-1=44'

2

故选：C.

8.若方程x+b=67有两个实数解，则实数6的取值范围为()

A.[-2,2向B.(0,2。C.(-2仓2伪D.[2,2扬

【正确答案】D

【分析】题目转化为函数y="^与y=x+6有两个公共点，画出函数图像，根据图像计

算得到答案.

【详解】方程》+/)=牛£有两个实数解即函数了=6^'与V=x+6有两个公共点，

曲线了="^^表示以（0,0）为圆心，半径为2的圆的上半部分（包括端点）,

如图所示.

由图形知，当直线y=x+6经过点（0,2）时，直线与曲线有2个公共点，此时有b=2；

当直线与圆相切时.，可得£=2,解得6=2近或6=-2应（舍去）.

结合图形可得实数b的取值范围是［2,20）.

故选：D

二、多选题

9.下列关于双曲线片-2=1说法正确的是（）

32

A.实轴长为26B.与椭圆片+二=1有同样的焦点

49

C.与双曲线6/-9x2=1有相同的渐近线口.焦点到渐近线距离为2

【正确答案】AC

【分析】根据双曲线方程求出〃，仇c的值，即可判断A项；求出双曲线与椭圆的焦点可判断

B项：分别求出两条双曲线的渐近线，可判断C项；根据点到直线的距离即可判断D项.

【详解】由已知可得，a=®，b=0，c=亚.

所以，实轴长为24=26，A项正确；

双曲线的焦点坐标为（0,逐）、（0,-75）,在V轴上.椭圆的焦点为（右,0）、（-75,0）,在x轴

±.B项错误;

:=1的渐近线与6V-9X2=1的渐近线均为尸土*x，C项正确;

取｝：=1的一个焦点仅典，一条渐近线方程为y=*x,即如_2y=o,可知点（0,右）

V6xO-2V5l=

d

到渐近线46x-2y=0的距离=.__L=6D项错误.

,(旬2+(-以

故选：AC.

10.下列说法中，正确的有（）

A.直线3x-y-2=0在夕轴上的截距为一2B.直线®_y+l=0的倾斜角为120。

C.直线mx+y+BMO5GR）必过定点（0,一3）D.点（5,-3）到直线>2=0的距离为7

【正确答案】AC

【分析】根据一般式直线方程，结合公式，分别判断直线的纵截距，斜率，定点，点到直线

的距离.

【详解】A.直线3x-y-2=0中，当x=0时，y=~2,故A正确；

B.直线岳-y+l=0的斜率/=6，所以倾斜角为60°,故B错误；

C.直线〃?x+y+3=0（〃?eR）,当x=0时，尸-3,所以直线恒过定点（0,-3）,故C正确;

D.点（5,-3）到直线y+2=0的距离d=卜3-（-2）|=1,故D错误.

故选：AC

11.数列｛%｝的前〃项和为E,,已知5,=-〃2+7〃，则下列说法正确的是（）

A.｛%｝是递增数列

B.aw=-12

C.当〃>4时，a„<0

D.当〃=3或4时，S“取得最大值

【正确答案】BCD

【分析】根据S,,表达式及〃22时，a,=S,-S,z的关系，算出数列｛对｝通项公式，即可判断

每个选项的正误.

【详解】当“22时，％=S“-S,i=—2〃+8,

又q=S=6=-2xl+8,所以〃“=-2〃+8,

则｛4｝是递减的等差数列，故A错误；

%o=-12,故B正确;

当〃>4时，。“=8-2〃<0,故C正确；

7

因为5“=-/+7〃的对称轴为〃=5,开口向下，

而〃是正整数，且〃=3或4距离对称轴一样远，

所以当〃=3或4时，S,取得最大值，故D正确.

故选：BCD.

12.已知直线/：米-夕+4-4左=0与圆四：X2+/-4X-4J，+4=0,则下列说法中正确的是

()

A.直线/与圆加■一定相交

B.若人=0,则直线/与圆M相切

C.当％=1时，直线/被圆M截得的弦最长

D.圆心收到直线/的距离的最大值为2立

【正确答案】BCD

【分析】A.由直线/过(4,4),再判断(4,4)与圆的位置关系即可；B.利用圆心到直线的距离

和半径的关系判断；C.由直线/的方程为x-N=0,判断是否过圆"的圆心即可；D.结合圆

的性质分析出何时取得最大值，再结合两点间的距离公式即可求出结果.

[W1M-.x2+y2-4x-4y+4=0,ER(x-2)2+(y-2)2=4,是以(2,2)为圆心，以2为半

径的圆，

22

A.因为直线/：a-y+4-4〃=0,直线/过(4,4),4+4-4x4-4x4+4>0.则(4,4)在圆

外，所以直线/与圆M不一定相交，故A错误；

B.若％=0,则直线/：y=4,直线/与圆M相切，故B正确：

C.当4=1时，直线/的方程为x-y=0,过圆”的圆心，即直线/是直径所在直线，故C正

确：

D.由圆的性质可知当直线/与过点(4,4)的直径垂直时，圆心M到直线/的距离的最大，此

时最大值为J（2-4p+（2-盯=2五.故。正确,

故选：BCD.

三、填空题

13.等差数列｛《,｝的前〃项和为5,,若。②，%是方程/+2x-3=0的两实根，则怎=.

【正确答案】-5

【分析】根据题意，结合韦达定理可得。3=7,然后再由等差数列的前〃项和公式，代入计

算，即可得到结果.

【详解】因为数列｛%｝为等差数列，且出，%是方程x2+2x-3=0的两实根，

2

贝IJ%+。4=力=一2，且2〃3=〃2+。4，所以为=-1，

则s5色+©=5x2^=5%=5

故答案为:-5

14.已知抛物线/=2川（。>0）的焦点为尸，点加（2,2夜）为抛物线上一点，则

\MF\=.

【正确答案】3

【分析】先求出抛物线标准方程，求出焦点坐标，即可求出|旭日.

【详解】因为点/（2,20）为抛物线/=20M0>0）上一点，所以（2&『=2px2,解

得.P=2

所以焦点厂（1,0）.

所以\MF\=^（2-1）2+（2>/2-0）2=3.

故3

15.点（0,2）到直线y=Mx+2）距离的最大值.

【正确答案】2近

先得到直线过点（-2,0）,求出点（-2,0）与（0,2）之间距离，结合图形，即可求出最大值.

【详解】因为直线产Mx+2)显然过点(-2,0),即/(-2,0),8(0,2),

连接43,若4B",则点(0,2)到直线y="x+2)的距离为4=»卸=2立;

若AB不垂直/,则点(0,2)到直线y=k(x+2)的距离d必小于|/理,

综上，点(0,2)到直线y=k(x+2)距离的最大值人=\AB\=20.

故答案为.2夜

16.已知双曲线鸟的左、右焦点分别为耳，F”离心率为由，若O为坐标

a2

原点，点P为双曲线上一点，且P在第一象限，比尸|+内P卜5,则10Pl=.

【正确答案】立1##!&1

22

【分析】由已知和双曲线的离心率公式可求得双曲线的标准方程，再根据双曲线的定义和勾

股定理可得答案.

【详解】由双曲线的方程及其离心率为由，得如士1=好得/=4,c=有,

2a2

故双曲线的标准方程为二=1.

4

,9

'\F,P\-\F,P\=4内p1=5',.厂

由题叫M+1M=5所以；又第卜2君,

'2'-2，

在△耳尸鸟中

所以N石行P=90。，所以|0尸|=5尸£『+|0闻2=卜］=冬

故答案为.叵

2

四、解答题

17.在等差数列｛%｝中，%+4+牝=84,%=73.求：

⑴%;

(2)求数列｛4｝的通项公式.

【正确答案】(1)28

(2)an=9»-8

【分析】(1)应用基本量运算把条件转化为方程组计算即可

(2)基本量运算分别得到首项和方差，再应用通项公式即可.

【详解】(1)因为｛%｝等差数列且4+4+%=84,,

所以q+2d+q+3d+q+4d=84

即3(%+3")=84,3g=84

所以%=28

(2)因为｛对｝等差数列且4+4+4=84,%=73,

一jq+2d+q+3d+q+4d=84

所以jq+8"=73

解得［黑

得a“=%+(n-l)<7=1+9("-1)=9〃-8

所以a,=9〃-8

18.已知直线4：3x-4y+6=0,直线£3x-4y+c=0.

(1)若自4之间的距离为3,求c的值：

(2)求直线4截圆C：x2+y2-4x-4y+7=0所得弦长|“回.

【正确答案】⑴c=21或c=-9

(2)1

【分析】(1)根据两条平行直线的距离公式列方程，化简求得C的值.

(2)利用弦长公式求得为耳.

【详解】(1)因为两条平行直线4：3x-4y+6=0与4：3x-4y+c=0间的距离为3,

解得c=21或c=-9.

(2)圆C：x2+/-4x-4y+7=0^>(x-2)2+(^-2)2=1,

圆心为(2,2),半径为1.

|3-2-4-2+6|_4

6

所以弦长[AB]=2x

5

19.

(1)若实数〃?满足的方程二=+二=1表示焦点在y轴上的椭圆，求机的取值范围;

m—i2-m

22

(2)若实数〃?满足的方程上」+上一=表示双曲线，求实数机的取值范围.

2-mm-1

、3

【正确答案】(1)(1,5)

(2)(-8,1)U(2,+＜»)

【分析】利用对椭圆与双曲线的标准方程的理解得到关于”的不等式组，解之即可.

M7—1＞0

3

【详解】(1)由题意得2-机＞0，解得1＜加＜：,

2-m>m~\

故实数m的取值范围是(1,；3).

(2)由题意得即(〃L2乂"L1)＞0,解得加＜1或心2,

故实数m的取值范围是(-8,l)u(2,+oo).

20.已知双曲线请从①②③中选取两个作为条件补充到题中，并完

成下列问题.①6=百；②离心率为2；③与椭圆a+V=1的焦点相同.

(1)求C的方程；

⑵直线/f=x-3与C交于4B两点,求»到的值.

【正确答案】=1

。)|/8|=病

【分析】⑴选①②，可得b=6,解得。=1即可：选①③，可得6=百，解得。=1即可;

选②③，可得之Q=4,解得“=I,〃=3即可：

a~

P-£=i

(2)联立3,消掉乃整理得炉+3工-6=0,利用韦达定理、弦长公式可得答案.

y=x-3

【详解】(1)选①②，可得6=百，《娑=4,解得。=1,所以C的方程为V-乙=1；

。3

2

选①③，可得6=若，/+/=5-1=4,解得。=1,所以C的方程为/-匕=1；

3

选②③，可得《三2=4,=5-1=4,解得/=1,从=3,所以C的方程为/-±=1；

〃3

b_£=1

(2)设/(项,必)，8(%,%)，联立，3,消掉y,整理得X2+3X-6=0,

y=x-3

[X,+x=—3

所以''9’,因为

=-6

2

\AB\=\/\+1|x,-x2|=收J(X]+x?)--4中2=3)'+4x6=V66,

所以|力8|=而.

21.已知数列｛4"｝中，q=l,《向=*1.

(1)求证：数列是等差数列；

(2)求数列｛a“｝的通项公式.

【正确答案】(1)证明见解析；

⑵勺=

3n-2

【分析】（1）根据题意，将原式两边同时取倒数，即可得到证明；

（2）由（1）可得数列的通项公式，从而求得数列｛/｝的通项公式.

【详解】（1）因为4=1,〃向=7^一，所以1-=^+3,即」一一上=3,

1+3%a,l+ia„an+lan

所以L=l,即数列［工］是首项为1,公差为3的等差数列.

qlan\

（2）由（1）可知，数列是首项为1,公差为3的等差数列，

所以上=1+（"T）X3=3〃-2,所以对二二二.

an