新定义问题（4个知识点）-中考复习讲义及练习（解析版）

模块三重难点题型专项训练

专题40新定义问题(4大考点)

考查类型一定义新运算

考查类型二新概念的理解与应用

考查类型

考查类型三几何新定义问题

考查类型四函数新定义问题

新题速递

考点类型一定义新运算

D氟题鉴究

1.(2022・内蒙古・中考真题)对于实数a,I定义运算“软'为=必,例如382=2?-3x2=-2,则

关于X的方程(&-3)g)x=A-1的根的情况，下列说法正确的是()

A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根

C.无实数根D.无法确定

【答案】A

【分析】先根据新定义得到关于刀的方程为丁-(％-3)x+l-Z=O,再利用一元二次方程根的判别式求解即

可.

【详解】解：∙∙∙(A-3)③X=Z-1,

.*.X2—(⅛-3)x=⅛-1,

χ2—(4—3)x+l-k=b,

.∙.Δ=⅛2-4αc=(⅛-3)2-4(l-⅛)=fe2-6⅛+9-4+4⅛=(⅛-l)2+4>0,

.∙.方程f一仅一3)x+l-Z=0有两个不相等的实数根，

故选A.

【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，新定义下的实数运算，正确得到关于X的方程为

V—(&-3)x+lT=O是解题的关键.

2.(2022.黑龙江大庆.统考中考真题)函数y=[x]叫做高斯函数，其中X为任意实数，㈤表示不超过X的

最大整数.定义{χ}=χ-[χ],则下列说法正确的个数为()

①[-4J=-4;

②{3.5}=0.5;

③高斯函数y=5中，当y=-3时，X的取值范围是—34X<-2；

④函数y={x}中，当2∙5<X≤3.5时，0≤y<l.

A.0B.1C.2D.3

【答案】D

【分析】根据[X]表示不超过X的最大整数，即可解答.

【详解】解：@[-4.1]=-5,故原说法错误：

②{3.5}=3.5-[3.5]=3.5-3=0.5,正确，符合题意；

③高斯函数y=[x]中，当y=-3时，X的取值范围是-3≤X<-2,正确，符合题意；

④函数y={x}中，当2∙5<X≤3.5时，O≤y<l,正确，符合题意；

所以，正确的结论有3个.

故选：D.

【点睛】本题考查了有理数的混合运算，解决本题的关键是明确⑶表示不超过X的最大整数.

3.(2022•黑龙江绥化•统考中考真题)定义一种运算；sin(α+∕?)=sinacos∕?+cos«sin/?,

sin(a-∕?)=sinacosβ-cosa^∖nβ,例如：当a=45。，,=30。时，sin(45o+30o)=

包XB他XL=戈+五,则SinI5。的值为.

22224

[答案]限H

4

【分析】根据sin(α-/?)=SinCCOs∕-cosαsin∕7代入进行计算即可.

【详解】解：sinl5o=sin(45o-30°)

=sin45ocos30°-cos45osin30o

ɪʌ/ðʌ/ɪ

^44^

-√6-√2

4

故答案为：在二也.

4

【点睛】此题考查了公式的变化，以及锐角三角函数值的计算，掌握公式的转化是解题的关键.

4.(2021•内蒙古呼和浩特•统考中考真题)若把第”个位置上的数记为乙,则称外，x2,⅞........X“有限

个有序放置的数为一个数列A∙定义数列A的“伴生数列”8是：X,%，％…K其中y”是这个数列中第〃

[Ox„,=x,,4.,

个位置上的数，〃=1,2,…A且％=,"T""并规定%=%,⅞+l=-r,∙如果数列A只有四个数，且七，

[lX".ι≠x向

X”当，4依次为3,1,2,1,则其“伴生数列"B是.

【答案】0,L0,1

【分析】根据定义先确定XO=X4=1与X5=X∕=3,可得皿Xi,X2,⅞,x4,X5依次为1,3,ɪ,2,1,3,根

据定义其“伴生数列"B是y/,用”，内；依次为0,1,0,1即可.

【详解】解：；4，4，⅞.匕依次为3,1,2,I,

.,.Xθ=X√=l,X5=X∣=3,

•∙X0tA,X?，尢3，*4，X5依次为1,3,1,2,1,3,

'M=Z=I,y∕=0;Xl≠X3,>2=1；巧=X4=1，A=O;⅞≠X5,*=]；

・・.其“伴生数列，方是V，匕”，W；依次为0，L0,1.

故答案为：0,1,0»1.

【点睛】本题考查新定义数列与伴生数列,仔细阅读题目，理解定义,抓住“伴生数列”中如与数列A中X…Xe

关系是解题关键.

5.(2021•江苏南通・统考中考真题)定义：若一个函数图象上存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个

函数图象的“等值点例如，点(U)是函数y=gχ+g的图象的"等值点

(1)分别判断函数y=χ+2,y=Y-X的图象上是否存在“等值点”？如果存在，求出“等值点”的坐标；如果

不存在，说明理由；

3

(2)设函数y='(x>O),y=-x+6的图象的“等值点”分别为点48,过点8作BC_LX轴,垂足为C.当ABC

X

的面积为3时，求6的值；

(3)若函数>=r-2(》力〃)的图象记为叱，将其沿直线X=，”翻折后的图象记为叫.当叱，吗两部分组成

的图象上恰有2个“等值点”时，直接写出m的取值范围.

【答案】⑴函数y=x+2没有“等值点”；函数>=/一X的"等值点”为(0,0),(2,2)；⑵6=或-2√L

9

(3)m<——或一l<m<2..

8

【分析】（I）根据定义分别求解即可求得答案;

（2）根据定义分别求4（6，√3）,β（∣,I）,利用三角形面积公式列出方程求解即可；

（3）由记函数y=∕-2（x>m）的图象为明，将M沿广翻折后得到的函数图象记为叼，可得W/与卬2

的图象关于x=m对称，然后根据定义分类讨论即可求得答案.

【详解】解：（1）:函数y=x+2,令y=x,则x+2=x,无解，

・♦・函数产x+2没有“等值点”；

Y函数y=χ2-χ,令）=%，则一—X二%,即X（X-2）=。，

=

解得：石=2,X2θ»

・•・函数y=∕-χ的"等值点,,为（0,0）,（2,2）；

a

（2）函数y=±,令y=x,则Y=3,

X

解得：X=6（负值己舍），

二函数y=士的“等值点”为A（石，√3）;

X

:函数y=-χ+0,令y=χ,则x=-x+b,

h

解得：X=］，

.∙.函数y=r+b的”等值点，，为展,冬）；

22

ABC的面积为∣BC∙∣XB-^∣=^∙∣∙∣-√3=3,

BP⅛2-2√3⅛-24=0,

解得：6=46或-2百;

（3）将W/沿x=〃?翻折后得到的函数图象记为W2.

:∙W∕与卬2两部分组成的函数W的图象关于x=〃2对称,

y=x2-2(x≥"?)

•••函数W的解析式为

y=[2m-x)'-2(x<m)

令)=x,则f一2=χ,即X2-X-2=0,

解得：Xl=2,x2=-∖

，函数y=d-2的“等值点”为(-1,-1),(2,2)；

令)=X,则(2,"-x)2-2=X,β∣JX2-(4w+l)x+4∕n2-2=0,

当m≥2时，函数W的图象不存在恰有2个“等值点''的情况;

当-l<m<2时•，观察图象，恰有2个“等值点”；

的图象上恰有2个，等值点”(-1,-1),(2,2),

二函数卬2没有“等值点”，

2

i=[-(4∕n+l)]-4×1×^4>Π-2)<0,

整理得：8w÷9<0,

9

解得：∕∏<-J.

O

9

综上，"7的取值范围为"2<-7或T2.

8

【点睛】本题属于二次函数的综合题，考查了二次函数、反比例函数、一次函数的性质以及函数的对称性.解

答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件.

厚命题自限

一、新定义问题介绍

新定义的题目大概可分为两个问题的综合：模型化问题&变量问题

大部分问题都是两者兼有之的，不过总会偏向某一方面。

二、新定义的结构：“新定义”=定义条件+名称与表述

题干——新定义一一顶点选点/求值——单变量——多变量

解决这类问题的核心就是提取模型

提取模型就是把定义条件用我们已知的几何基本模型

（有一些特殊的题提取出的模型可能是代数模型）运用所给的内容联系学过的内容。进行提取分析。

而这就是所谓“提取模型”的含义

三、新定义的类型与作用

第一问：简单，一般是给出点并选点，用于发现模型

第二问：偏难，一般是单变量问题（即只有一个变化图形），用于验证模型/初步实践模型

第三问：很难，一般是多变量问题（很多图形同时变化），用于应用/实践模型

或者

题干：得到模型，第一问：检验模型，第二问：实践模型，第三问：进一步实践模型

或者：题干：，第一问：发现模型，第二问：验证模型，第三问：实践模型

四、解决思路：

第一问：题目一般会给出几个特殊点，通过这些特殊点将能够发现某些关系（点的轨迹是个圆？可行的点

在圆内还是圆上还是圆外？），帮助构建模型。

第二问：运用第一问构建出来的模型，进行关系间的操作以求得范围边界（例如相切相交之类），并且以

此来验证模型是否正确且完善（例如圆上能不能取，线段端点能不能取等等），用订正后的模型再次订正

这道题。

第三问：运用第二问完善得到的模型，通过对变量的处理以及几何图形的关系得到结果。

五、核心与主旨

核心：将题干中复杂的语言翻译学生的便于操作的语言

主旨：没有无缘无故的第一问，三问联动处理，逐渐递进，相互依存

a2-ah(a≥h}

1.(2021•内蒙古鄂尔多斯•统考一模)定义新运算：对于任意实数〃、〃，都有炉⅛={八小;例如：

ah-h^[a<b)

4*2,因为4>2,所以4*2=42-4x2=8.若为，X2是一元二次方程x2+x-6=0的两个根，则无/*巧的值为

()

A.10或-IOB.10C.-10D.3或-3

【答案】A

[a2-ab(a≥b)

【分析】首先解方程N+x-6=0,再根据运算a*。=分两种情况进行讨论求出制*及的值即

∖abl-b~ya<b)

可.

【详解】解：•."/，X2是一元二次方程/+x-6=0的两个根，

.∙.(X-2)(x+3)=0,

解得：x—2或-3,

①当x∕=2,A⅛=-3时，X∣*X2=22-2×(-3)=10；

2

②当xl=-3,刈=2时，x∣*x2=-3x2-2=-10.

故选：A.

【点睛】此题考查了解一元二次方程，己知字母的值求代数式的值，正确掌握解一元二次方程的方法求出

X/,X2以及利用新定义计算是解题的关键.

2.(2022・湖南永州•统考二模)定义运算：把1X2X3X…X〃缩写为〃！，〃！叫做”的阶乘，如3!=1X2X3=6,

4!=1×2×3×4=12.请你化简1!×l+2!×2+3!×3+...+n!x”，得()

A.(n+1)!—1B.n!—1

C.(”+1)!D.(«+1)!+1

【答案】A

【分析】利用乘法分配律计算求值即可；

【详解】解：1!xl+2!x2+3!x3+…+”!×n

=1!×l+2!X(3-1)+3!X(4-1)+...+n!X(n+1-l)

=1!+3!-2!+4!-3!+...+(n+l)!-n∖

=1!-2!+(n+l)!

=(n+l)!—1

故选：A.

【点睛】本题考查了数字规律的探索，利用乘法分配律变形求值是解题关键.

3.(2022・湖北恩施・统考二模)定义：若IOx=N,则x=logιW,x称为以10为底的N的对数，简记为IgM

其满足运算法则:IgMHgN=Ig(MW)(Λ∕>0,N>0).例如:因为B=IOO,所以2=lgl00,亦即IgWO

=2；Ig4+lg3=lgl2.根据上述定义和运算法则，计算(Ig2)2+lg2∙lg5+lg5的结果为

【答案】1

【分析】根据题意，按照题目的运算法则计算即可.

【详解】解：∙∙∙10∣=10,

IJglO=I,

，原式=(⅛2)2+lg2∙lg5+lg5

=⅛2(⅛2+⅛5)+⅛5

=⅛2×⅛10+∕g5

=lg2+lg5

=IgIo

=1.

故答案为1.

【点睛】本题考查学生的材料阅读理解能力，正确理解对数运算法则是解题的关键.

4.(2022・湖北十堰•校联考一模)对有理数X,y定义运算：x×y^ax+by,其中α,b是常数.如果2※(-1)=4,

3^2>1,那么“，6的取值范围为

【答案】a>-l,b>2

f2X(-1)=2α—b=-4]_3ab_41_2b

【分析】根据新定义的运算法则可得"“1，即得出2α+4>γ,一>二丝，解出“、

[3X2=3α+2⅛>l223

b的取值范围即可.

【详解】根据题意可知If23※(M—1)==320a+—b2=g—4'

b-4C/l-2bl-3a

CI=------,bl=2α+4,a>--------,bj>--------

232

,_1—3〃

•・2a+4>-------

223

解得：b>2.

故答案为：a>-l,b>2.

【点睛】本题考查新定义下的实数运算，二元一次方程和解一元一次不等式.理解题意掌握新定义的运算

法则是解题关键.

5.(2023•重庆黔江•校联考模拟预测)阅读以下材料：指数与对数之间有密切的联系，它们之间可以互化.

对数的定义：一般地，若"=N(α>0且，那么X叫做以“为底N的对数，记作X=Iog比如指

数式2'=16可以转化为对数式4=k>g∕6,对数式2=logs25,可以转化为指数式5?=25.

我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：

k>g∕M∙N)=log,,M+log“N(α>0,a≠∖,M>0,N>0),理由如下：

n

设IOg“M=机，IoguTV=n,则M=N=a,

.∙.M-N=am-α"=am+",由对数的定义得m+n=log„(M∙N)

又"7+〃=IogtiM+TOgaN,

■,.log,,(M-N)=IogttM+logn7V.

请解决以下问题：

(1)将指数式34=81转化为对数式一；

M

(2)求证:Iog—=IogAf-IogN(α>0,a≠∖,M>0,N>0)；

uNfla

(3)拓展运用：计算log69+1嗝8-1嗝2=.

【答案】⑴4=log∕l

(2)见解析

(3)2

【分析】(1)根据指数与对数的关系求解即可；

(2)根据指数与对数的关系求证即可；

(3)利用对数运算法则求解即可.

【详解】(1)解：根据指数与对数关系得：4=log381.

故答案为：4=log3815

(2)解：设log/=，”，Iog“N=〃，则M=N=a"

,Mam

..—=—=a，

Na,t

M

.∙log”—=log,"""=m-n=IOgaM-IogrtTV.

.M.....

・•.log.R=1Iog.M-IOgaN∙

（3）W：log69+log68-log62

=log6(9×8÷2)

=Iog(,36

=2.

故答案为：2.

【点睛】本题考查用新定义的知识解题，理解新定义，找到指数和对数的关键是求解本题的关键.

6.(2022.湖北黄石.黄石十四中校考模拟预测)xl,X2是一元二次方程“+⅛r+c=O(α≠0)的两个实数根,

若满足M-X2∣=1,则此类方程称为“差根方程根据"差根方程’'的定义，解决下列问题：

(1)通过计算，判断下列方程是否是“差根方程”：

φx2-4χ-5=0；

②2χ2-2GX+1=0；

(2)已知关于X的方程x2+2ax=0是“差根方程”，求a的值；

(3)若关于X的方程α√+⅛x+l=0(d人是常数，a>0)是“差根方程”，请探索α与%之间的数量关系式.

【答案】(1)①不是；②是

⑵

(3)b2=a2+4a

【分析】(1)根据“差根方程”定义判断即可.

(2)根据/+2ɑγ=0是“差根方程"，且制=O,X2=-2α得至∣J2α=±l,从而得到4=±g;

(3)设“/,X2是•元二次方程以2+加+1=0(小〃是常数，α>0)的两个实数根，根据根与系数的关系得

到JH4」=1,整理即可得到b2=a2+4a.

(1)

解：①设X/,X2是一元二次方程V-4χ-5=0的两个实数根,

.*.X∕+X2=4,X∣∙X2=-5,

2

∙*∙∣Λ7^X21=y∣(yci+x2)"-4X1X2=^4-4×(-5)=6，

・•・方程X2-4X-5=0不是差根方程；

②设《，X2是一元二次方程2χ2-2jL+l=0的两个实数根，

.*.X∕+X2=g，X∣9X2~ɪ，

2

∙*∙∖x∣-X2∖=ʌ/(ɪ1+x2)-4X1X2=j(ʌ/ʧ_4X；=1,

・・・方程2X2-2√3X+∣=0是差根方程；

(2)

x2+2Or=0,

因式分解得：X(x+2α)=0,

解得：x∕=0,X2=-2a,

・・・关于X的方程x2+2Or=O是“差根方程”，

∙∖24=±l,即4=±g;

(3)

设X/，X2是一元二次方程加+法+1=0(m是常数，6Z>0)的两个实数根，

.ɪb1

.∙X1+X2=----,X∣*X2=-,

aa

Y关于X的方程加+法+1=0(〃，b是常数,a>0)是“差根方程”，

•∙lɪ/-X2l^^~11

二㈤-X2∣=J(XI+/)2_4x∣∕=1,即_4x』=l,

.'.b2=a2+4a.

【点睛】本题考查了一元二次方程的解，根与系数的关系，根的判别式，一次函数图象上点的坐标特征,

正确的理解“差根方程”的定义是解题的关键.

考点类型二新概念的理解与应用

取氟题揩究

1.（2021•山东济南•统考中考真题）新定义：在平面直角坐标系中，对于点尸（，","）和点尸'（加,〃’），若满足

∕n≥0时,n'=n-4；nt<O时,n,--n,则称点P'（九〃'）是点P（<"）的限变点.例如：点耳（2,5）的限变点

是月（2,1）,点2（—2,3）的限变点是月（-2,-3）.若点P（八〃）在二次函数y=r2+4x+2的图象上,则当

-1<%≤3时，其限变点P，的纵坐标〃，的取值范围是（）

A.-2<n'≤2B.l≤n'<3

C.l<rt'≤2D.-2≤n'<3

【答案】D

【分析】根据题意,当0≤x≤3时,y=-x2+4x+2的图象向下平移4个单位,当-1≤x<0时，，y=-x2+4x+2

的图象关于X轴对称，据此即可求得其限变点P'的纵坐标"’的取值范围，作出函数图像，直观的观察可得

到"'的取值范围

t详解】点P（w,"）在二次函数y=-∕+4χ+2的图象上，则当TWmW3时，其限变点P，的图像即为图

中虚线部分，如图，

当0≤m≤3时，y=-犬+4x+2的图象向下平移4个单位，当-14m<0时，，y=-x?+4x+2的图象关于X轴

对称，

从图可知函数的最大值是当m=T时，"'取得最大值3,

最小值是当初=0时，〃'取得最小值-2,

-2≤n'≤3.

故选D.

【点睛】本题考查了新定义，二次函数的最值问题，分段讨论函数的最值，可以通过函数图像辅助求解，

理解新定义，画出函数图像是解题的关键.

2.(2021・湖南永州•统考中考真题)定义:若10,=N,则X=IogK)N,X称为以10为底的N的对数，简记

为IgN,其满足运算法则：lgM+lgN=lg(M∙N)(M>0,N>0).例如：因为U=100,所以2=IglOO,

亦即Igloo=2；Ig4+lg3=lgl2.根据上述定义和运算法则,计算(lg2>+Ig2∙lg5+lg5的结果为()

A.5B.2C.1D.O

【答案】C

【分析】根据新运算的定义和法则进行计算即可得.

【详解】解：原式=lg2∙(lg2+lg5)+lg5,

=lg2∙lglθ+lg5,

=lg2+lg5,

=IglO,

=1,

故选：C.

【点睛】本题考查了新定义下的实数运算，掌握理解新运算的定义和法则是解题关键.

3.(2022.上海.统考中考真题)定义：有一个圆分别和一个三角形的三条边各有两个交点，截得的三条弦

相等，我们把这个圆叫作“等弦圆”，现在有一个斜边长为2的等腰直角三角形，当等弦圆最大时，这个圆的

半径为.

【答案】2-√2*⅛-√2+2

【分析】如图，当等弦圆。最大时，则经过等腰直角三角形的直角顶点C,连接C。交A3于凡连接

OE,DK,再证明。K经过圆心，CFIAfi,分别求解4C,8C,C尸，设&。的半径为八再分别表示OF,OE,

再利用勾股定理求解半径r即可.

【详解】解：如图，当等弦圆。最大时，则<O经过等腰直角三角形的直角顶点。，连接C。交A8于F,

连接OE,DK,

QCD=CK=EQ,?ACB90?,

∖?COD?COK90?,OK过圆心O,CFIAB,

QAC=BC,?ACB90?,AB2,

∖AC=BC=几AF=BF=CF=LAB=1,

2

设《O的半径为八

∙*∙CD=>∕r2+r2=V2r=EQ,OF=1-r,OE-r,

CF±A3,

∖EF=QF=J^-r,

整理得：r2-4r+2=0,

解得：/;-2+y∣2,n,-2-λ∕2,

QOC<CF,

∖r=2+0不符合题意，舍去，

当等弦圆最大时，这个圆的半径为2-&.

故答案为：2-√Σ

【点睛】本题考查的是等腰直角三角形的性质，直角三角形斜边上的中线的性质，弦，弧，圆心角之间的

关系，圆周角定理的应用，勾股定理的应用，一元二次方程的解法，掌握以上知识是解本题的关键.

4.（2022•江苏苏州•统考中考真题）定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫做“倍

长三角形若等腰AABC是“倍长三角形"，底边BC的长为3,则腰AB的长为.

【答案】6

【分析】分类讨论：A8=AC=2BC或8C=2A8=2AC,然后根据三角形三边关系即可得出结果.

【详解】解：YZXABC是等腰三角形，底边BC=3

：.AB=AC

当AB=AC=2BC时，△ABC是“倍长三角形”；

当8C=2A8=2AC时，AB+AC=BC,根据三角形三边关系，止匕时A、B、C不构成三角形，不符合题意；

所以当等腰AABC是“倍长三角形"，底边BC的长为3,则腰AB的长为6.

故答案为6.

【点睛】本题考查等腰三角形，三角形的三边关系，涉及分类讨论思想，结合三角形三边关系，灵活运用

分类讨论思想是解题的关键.

5.(2022•湖南湘西•统考中考真题)定义：由两条与X轴有着相同的交点，并且开口方向相同的抛物线所围

成的封闭曲线称为“月牙线”，如图①，抛物线C/：y=∕+2x-3与抛物线C2：y=αr2+2ar+c组成一个开口向

上的“月牙线”，抛物线C/和抛物线C2与X轴有着相同的交点A(-3,0)、B(点B在点A右侧)，与y

轴的交点分别为G、H(0,-1).

(1)求抛物线C2的解析式和点G的坐标.

⑵点M是X轴下方抛物线G上的点，过点M作MNJ轴于点N,交抛物线C2于点。，求线段MN与线段

DW的长度的比值.

(3)如图②，点E是点，关于抛物线对称轴的对称点，连接EG,在X轴上是否存在点F,使得AEFG是以

EG为腰的等腰三角形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由.

12

【答案】(l)y=§/+；x-1,G(0,-3)

⑵1

⑶存在，(77-2,0)或(-√7-2,0)

【分析】(1)将A(-3,0)、4(0,-1)代入y=0√+20x+c中，即可求函数的解析式.

12

(2)设MC,P+2f-3),则Z)(f,-t2+-t-l),N(t,0),分别求出DM,再求比值即可.

33

(3)先求出E(-2,-1),设F(x,0),分来两种情况讨论：①当EG=E/时，2。=J(X+2>+l，

可得F(√7-2,0)或(-万-2,0)；②当EG=FG时，2√2=√9+χ2.F点不存在.

【详解】⑴解：将A(-3,0)、”(0,-1)代入y=Οr2+20x+c中，

.^9a-6a+c=0

c=-l

ɪ

解得“二§，

c=-l

・1

，，y=ɜɪ3x^1,

在y=f+2χ-3中，令X=0,贝IJy=-3,

：.G(0,-3).

12

(2)设M(r,r2+2∕-3)，则D(/,-∕2+-r-l),N(30),

33

：,NM=-t2-2∕t+3,DM=J产+21-1一(/+2，-3)=-2/一9「+2,

3333

λ^λ7—(广+2/—3)3

"~DM~∣(?+2/-3)2-

(3)存在点F,使得AEFG是以EG为腰的等腰三角形，理由如下:

由(1)可得y=f+2x-3的对称轴为直线x=-l,

；E点与〃点关于对称轴X=-1对称，

：.E(-2,-1),

设尸(x,0),

①当EG=EF时，

VG(0,-3),

.∙.EG=20,

••25/2=J(X+2)-+1，

解得X—-2或X=-λ∕7-2,

：.F(√7-2,0)或(-√7-2,0)；

②当EG=FG时，2√5=j9+i,

此时X无解；

综上所述：尸点坐标为(√7-2,0)或(-S'-2,0).

【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，等腰三角形的性质，分类讨

论是解题的关键.

1.(2022・江苏苏州・苏州高新区实验初级中学校考三模)新定义：在平面直角坐标系中，对于点P(m,")

和点尸‘(加，"'),若满足论O时,n'=n-4;mVo时，n'=-n,则称点P'(相，〃')是点P(tn,n)的限变点.例

如：点B(2,5)的限变点是77(2,1),点巳(-2,3)的限变点是Pi(-2,-3).若点P(m,n)在

二次函数产-W+4x+2的图象上，则当-13n≤3时，其限变点严的纵坐标〃'的取值范围是()

A.-2≤√≤2B.1≤√≤3C.l≤n,<2D.-2≤√≤3

【答案】D

【分析】根据新定义得到当论0时,n'=-m2+4m+2-4=-(.m-2)2+2,在0≤m≤3时,得到-2≤"≤2;当，”V。时，

n'=m2-4m-2=(m-2)2-6,在-13n<0时，得至∣J-2≤"W3,即可得到限变点尸'的纵坐标〃'的取值范围是-2≤∕f≤3.

【详解】解：由题意可知，

当ffi>O时，"'=-"P+4,〃+2-4=-(m-2)2+2,

,当OWmW3时，-2<n,<2,

当/nVO时，n'=m2-4m-2-(w-2)2-6,

二当-l≤∕nV0时,-2<n,<3,

综上，当-Isn≤3时，其限变点P的纵坐标”的取值范围是-2刍《3,

故选：D.

【点睛】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是根据限变点的定义得到〃’关于N的

函数.

2.(2021•湖南长沙.长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校校考一模)定义:对于给定的一次函数y=αx+∕7(a'

b为常数,且“RO,把形如y=L么的函数称为一次函数y=aχ+6的“相依函数”，已知一次函数

-ax-b[x<0)

y=χ+ι,若点P(-2,m)在这个一次函数的“相依函数”图象上，则，”的值是()

A.1B.2C.3D.4

【答案】A

【分析】找出一次函数y=%+ι的“相依函数”,再利用一次函数图象上点的坐标特征,即可求出我的值.

x+l(x≥0)

【详解】解：一次函数y=χ+ι的“相依函数”为y=；：、，

-x-l(x<0)

・・・点户(-2,m)在一次函数的“相依函数”图象上,

工"?=TX(-2)-1=1.

故选：A.

t点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，根据“相依函数''的定义，找出一次函数y=χ+ι的“相依

函数''是解题的关键.

3.（2023•江苏苏州•统考一模）定义：如果三角形的一个内角是另一个内角的2倍，那么称这个三角形为“倍

角三角形”.若45C是“倍角三角形"，ZA=90。，BC=4,则45C的面积为.

【答案】26或4

【分析】分情况讨论，当/A是（或∕C）2倍时，AABC为等腰直角三角形；当NC=2ZB或ZS=2NC

时，利用含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理求解即可.

【详解】解：当NA=2N8=90°时，则NC=NB=45。，

AB^AC,

VBC=4,AB2+AC242,

AB=AC=2√2.

.ABC的面积为LXABXAC=4；

2

同理，当NA=2NC=90°时，ABC的面积为4；

当NC=2NB时，

,/NC+NB=90°,

则NC=60°,ZB=30°,

,/8C=4,

,∙AC=2>AB=∖∣42—2~=2∙∖∕3`

.ABC的面积为JXAB*AC=2G;

2

当ZB=2NC时，

∙/ZC+ZB=90o,

则/8=60°,ZC=30°,

,.∙BC=A,

•■AB=2,ΛC=√42-22=2√3-

.∙..ABC的面积为,XA8XAC=2G;

2

综上，.ABC的面积为2代或4；

故答案为：2&或4.

【点睛】本题考查了勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，正确理解“倍角三角形”的概念，分类讨论

是解题的关键.

4.(2022・四川成都・校联考模拟预测)定义：由”,人构造的二次函数丫=加+(。+人•+6叫做一次函数y

=4x+6的“滋生函数”，一次函数y=θx+人叫做二次函数y=αχ2+(α+b)x+b的“本源函数”(小b为常数，

且“wθ).若一次函数y=αx+6的“滋生函数"是y=αχ2-3χ+α+l,那么二次函数y=α√-3x+α+l的“本

源函数”是.

【答案】y=-2x-∖

【分析】由“滋生函数''和"本源函数''的定义，运用待定系数法求出函数y=αr2-3x+α+l的本源函数.

f-3=a+Z?

【详解】解：由题意得,,

[a+∖=b

[a=-2

解得A1

W=-1

函数y=，涓-3x+α+l的本源函数是y=-2x-l.

故答案为：y=-2χ-∖.

【点睛】本题考查新定义运算下的一次函数和二次函数的应用，解题关键是充分理解新定义“本源函数

5.(2023•河北秦皇岛•统考一模)定义：如果二次函数y="*+3+J,(q≠0,《、〃、Cl是常数)与

1

y=a2x+b2x+c2a2≠0,七、仇、是常数)满足4+4=。，/=瓦,cl+c2=0,则这两个函致互为“旋

2

转函数”.例如：求函数y=2x-3x+l的“旋转函数”，由函数y=2∕-3x+l可知，a,=2,ht=3,C1=I.根

据q+%=0,b∖=h1,G+c?=。求出4、%、Q就能确定这个函数的“旋转函数

请思考并解决下面问题：

(1)写出函数y=χ2-4x+3的“旋转函数”；

⑵若函数y=5x2+-l)x+”与y=-5Λ,-“X-3互为“旋转函数"，求(〃?+〃户”的值；

(3)已知函数y=2(x-D(x+3)的图象与X轴交于4、B两点,与y轴交于点C,点A、B、C关于原点的对称

点分别是4、B-C1,试求证：经过点4、4、G的二次函数与y=2(x-l)(x+3)互为“旋转函数”.

【答案】(l)y=-f-4x-3;

⑵1;

(3)见解析.

【分析】(1)根据“旋转函数''的定义求出另一个函数的“、b、C的值，从而得出函数解析式：

(2)根据定义得出m和”的二元一次方程组，从而得出答案；

(3)首先求出A、B、C三点的坐标，然后得出对称点的坐标，从而求出函数解析式，然后根据新定义进

行判定.

1+47=0

【详解】(1)根据题意得6=-4,

3+c=0

解得件-4

C=-3

故解析式为：y=-x2-4x-3.

{m-∖=-n

(2)根据题意得Q八

[M-3=0

∖m=-2

"[«=3

Λ(m+n)2023=(-2+3)2°23=1≡3=1.

(3)根据题意得41,0),3(3,0),C(0,-6)

ΛA1(-1,0),1(-3,0),C1(0,6)

Xγ=2(x-l)(x+3)=2x2+4x-6

且经过点A,4，G的二次函数为y=—2(x+l)(x—3)=—2必+以+6

4+”,=2+(—2)=0

∙.∙-ft1=⅛2=4

cl+c2=-6+6=0

.∙.两个函数互为“旋转函数”.

【点睛】本题考查了二次函数，新定义型；涉及了待定系数法，关于原点对称的点的坐标等知识，正确理

解题意，熟练运用相关知识是解题的关键.

6.(2022.山东济宁.校考二模)【定义】如图l,Λ,B为直线/同侧的两点，过点A作关于直线/的对称点A,

连接AB交直线/于点P,连接AP,则称点尸为点A,B关于直线/的“等角点”.

【运用】

/

,√3,∣≡

(1)如图2,在平面直角坐标系XQy中，已知A(2,l),B(-2,-1)两点.C3,,D3,

点中，点是点A,8关于直线尤=3的等角点;

(2)已知I：如图3,矩形OABC的顶点A,C分别在X轴、＞轴上，O(0,0),8(4,2),矩形QABC的对角线相

交于点〃，点N为点M和点6关于X轴的“等角点”.求MNB的面积.

【答案】⑴E

【分析】(1)点A关于直x=3的对称点为A(4,l),得到直线A方的解析式为y=9T，进而得出结论

(2)延长B4至B',使A?=S4,得到直线MB'的解析式为y=-∣x+4,从而得出结论.

【详解】(1)解：点A关于直线x=3的对称点为A(4,l),

直线AB的解析式为y=gχ-；,

当尤=3时，y=∣∙,

故答案为：E-,

(2)解：如图，延长BA至B',使ABz=54,

∙.∙O(0,0),8(4,2),

ΛΛ∕(2,l),β,(4,-2),

3

・・・直线M8'的解析式为y=-^χ+4,

,N加，

X-

SMNB=SMBBLS.NBB'=~M)~⅞)=^×4×(4-2)--×4×^4--^=—.

【点睛】本题主要考查了待定系数法求直线解析式、对称点的性质，正确理解题意是解题的关键.

考点类型三几何新定义问题

I.(2021•湖南岳阳•统考中考真题)定义：我们将顶点的横坐标和纵坐标互为相反数的二次函数称为“互异

二次函数”.如图，在正方形ORC中，点A(0,2),点C(2,0),则互异二次函数y=(x-m)2—机与正方形04BC

有交点时〃?的最大值和最小值分别是()

D.史晅，八

2

【答案】D

【分析】分别讨论当对称轴位于y轴左侧、位于)，轴与正方形对称轴ml之间、位于直线ml和x=2之间、

位于直线42右侧共四种情况，列出它们有交点时满足的条件，得到关于切的不等式组，求解即可.

【详解】解：由正方形的性质可知：B(2,2)；

若二次函数y=勺正方形。43C有交点,则共有以下四种情况：

f∕π≤O

当机≤0时•，则当A点在抛物线上或上方时，它们有交点，此时有，八，

[m--m<2

解得：-l<mvθ;

0<zn≤1

当0<m≤l时，则当C点在抛物线上或下方时，它们有交点，此时有小、2八，

(2-/77)-7%≥O

解得：O<m≤l;

[l<m≤2

当lvm≤2时，则当。点位于抛物线上或下方时，它们有交点，此时有ɔ八，

[m-m>O

解得：lvm≤2;

m>2

当机>2时，则当。点在抛物线上或下方且3点在抛物线上或上方时，它们才有交点,此时有“2_,让0,

(2-ι∏y^-m<2

解得：2V≤5+;

2

综上可得：，〃的最大值和最小值分别是把叵，-1.

2

故选：D.

【点睛】本题考查了抛物线与正方形的交点问题，涉及到列一元一次不等式组等内容，解决本题的关键是

能根据图像分析交点情况，并进行分类讨论，本题综合性较强，需要一定的分析能力与图形感知力，因此

对学生的思维要求较高，本题蕴含了分类讨论和数形结合的思想方法等.

2.(2020•山东潍坊・中考真题)定义H表示不超过实数X的最大整数，如[1.8]=1,[-1.4]=-2,[-3]=-3.函数

A.。或石B.O或2

C.1或-石D.J∑或-Ji

【答案】B

【详解】试题分析：根据新定义和函数图象讨论：

ɪ

2

当l≤x≤2时，2X=I,解得XI=J=，X2=-6；

2

当-l<x<0时，2x=0,解得Xi=X2=O;

ɪ

当-2≤X<-I时，2χ2=-1,方程没有实数解；

ɪ

所以方程[X]=2X2的解为0或上.

故选B

考点：1、解一元二次方程-因式分解法；2、实数大小比较；3、函数的图象

3.（2021・上海・统考中考真题）定义：在平面内，一个点到图形的距离是这个点到这个图上所有点的最短

距离，在平面内有一个正方形，边长为2,中心为O,在正方形外有一点P,OP=2,当正方形绕着点。旋

转时，则点P到正方形的最短距离d的取值范围为.

【答案】2-√2≤J≤l

【分析】先确定正方形的中心O与各边的所有点的连线中的最大值与最小值，然后结合旋转的条件即可求

解.

【详解】解：如图1,设Ao的中点为£连接。4,OE,则A£=。£=1,NAEo=90。，OA=五.

二点。与正方形ABC。边上的所有点的连线中，

OE最小，等于1,QA最大，等于血.

∙.∙OP=2,

∙∙.点P与正方形ABCD边上的所有点的连线中，

如图2所示，当点£落在OP上时，最大值PE=Po-E0=2-1=1；

如图3所示，当点A落在OP上时，最小值PA=PO-AO=2-应.

.∙.当正方形ABCD绕中心O旋转时，点P到正方形的距离d的取值范围是2-后≤d<∖.

故答案为：2-√Σ≤d41

【点睛】本题考查了新定义、正方形的性质、勾股定理等知识点，准确理解新定义的含义和熟知正方形的

性质是解题的关键.

4.（2021・四川成都•统考中考真题）我们对一个三角形的顶点和边都赋给一个特征值，并定义：从任意顶

点出发，沿顺时针或逆时针方向依次将顶点和边的特征值相乘，再把三个乘积相加，所得之和称为此三角

形的顺序旋转和或逆序旋转和如图1,