排列综合问题高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

排列综合问题目录特殊元素或特殊位置问题“相邻”与“不相邻问题”定序问题有限制条件的排列、组合问题多面手问题分组、分配问题特殊元素或特殊位置问题PART01例1从包括甲、乙两名同学在内的7名同学中选出5名同学排成一列，求解下列问题.(1)甲不在首位的排法有多少种？(2)甲既不在首位也不在末位的排法有多少种？(3)甲与乙既不在首位也不在末位的排法有多少种？(4)甲不在首位，同时乙不在末位的排法有多少种？例1从包括甲、乙两名同学在内的7名同学中选出5名同学排成一列，求解下列问题.(1)甲不在首位的排法有多少种？方法一把元素作为研究对象.解：例1从包括甲、乙两名同学在内的7名同学中选出5名同学排成一列，求解下列问题.(1)甲不在首位的排法有多少种？方法二把位置作为研究对象.方法二(间接法)先不考虑限制条件，从7人中选出5人进行排列，然后把不满足条件的排列去掉.解：解：例1从包括甲、乙两名同学在内的7名同学中选出5名同学排成一列，求解下列问题.(2)甲既不在首位也不在末位的排法有多少种？把位置作为研究对象.解：例1从包括甲、乙两名同学在内的7名同学中选出5名同学排成一列，求解下列问题.(3)甲与乙既不在首位也不在末位的排法有多少种？解：把位置作为研究对象.例1从包括甲、乙两名同学在内的7名同学中选出5名同学排成一列，求解下列问题.(4)甲不在首位，同时乙不在末位的排法有多少种？解：间接法.练习：

5名学生和1位老师站成一排照相，问老师不排在两端的排法有多少种？480种“相邻”与“不相邻”问题PART02例2

3名男生，4名女生，这7个人站成一排，下列情况下，各有多少种不同的站法？(1)男、女各站在一起；(2)男生必须排在一起；(3)男生不能排在一起；(4)男生互不相邻，且女生也互不相邻.定序问题PART03例3将A，B，C，D，E这5个字母排成一列，要求A，B，C在排列中的顺序为“A，B，C”或“C，B，A”(可以不相邻)，则有多少种不同的排列方法？5个不同元素中部分元素A，B，C的排列顺序已定，这种问题有以下两种常用的解法.方法一

(插空法)若字母A，B，C的排列顺序为“A，B，C”，将字母D，E插入形成的4个空中，分两类：同理，若字母A，B，C的排列顺序为“C，B，A”，也有20种不同的排列方法.因此满足条件的排列有20＋20＝40(种).例3将A，B，C，D，E这5个字母排成一列，要求A，B，C在排列中的顺序为“A，B，C”或“C，B，A”(可以不相邻)，则有多少种不同的排列方法？5个不同元素中部分元素A，B，C的排列顺序已定，这种问题有以下两种常用的解法.练习某电视节目的主持人邀请年龄互不相同的5位嘉宾逐个出场亮相.(1)其中有3位老者要按年龄从大到小的顺序出场，出场顺序有多少种？(2)3位老者与2位年轻人都要分别按从小到大的顺序出场，顺序有多少种？解：设符合条件的排法共有x种，有限制条件的排列、组合问题PART04例4课外活动小组共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女生各有一名队长，现从中选5人主持某项活动，依下列条件各有多少种选法？(1)至少有一名队长当选；(2)至多有两名女生当选；(3)既要有队长，又要有女生当选.解：分两类：所以共有495＋295＝790(种)选法.多面手问题PART05例5某外语组有9人，每人至少会英语和日语中的一门，其中7人会英语，3人会日语，从中选出会英语和日语的各一人到边远地区支教，有多少种不同的选法？解：由题意知，有1人既会英语又会日语，6人只会英语，2人只会日语.方法一分两类.第一类：从只会英语的6人中选1人教英语，有6种选法，则教日语的有2＋1＝3(种)选法.此时共有6×3＝18(种)选法.第二类：从不只会英语的1人中选1人教英语，有1种选法，则选会日语的有2种选法，此时有1×2＝2(种)选法.所以由分类加法计数原理知，共有18＋2＝20(种)不同的选法.方法二解：设既会英语又会日语的人为甲，则甲有入选、不入选两类情形，入选后又要分两种：(1)教英语；(2)教日语.第一类：甲入选.(1)甲教英语，再从只会日语的2人中选1人，由分步乘法计数原理知，有1×2＝2(种)选法；(2)甲教日语，再从只会英语的6人中选1人，由分步乘法计数原理知，有1×6＝6(种)选法.故甲入选的不同选法共有2＋6＝8(种).第二类：甲不入选，可分两步：第一步，从只会英语的6人中选1人，有6种选法；第二步，从只会日语的2人中选1人，有2种选法.由分步乘法计数原理知，有6×2＝12(种)不同的选法.综上，共有8＋12＝20(种)不同的选法.练习某车间有11名工人，其中5名钳工，4名车工，另外2名既能当车工又能当钳工，现在要从这11名工人中选4名钳工，4名车工修理一台机床，则共有多少种不同的选法？由分类加法计数原理得，共有75＋100＋10＝185(种)不同的选法.分组、分配问题PART06例3

6本不同的书，分为3组，在下列条件下各有多少种不同的分配方法？(1)每组2本(平均分组)；(2)一组1本，一组2本，一组3本(不平均分组)；(3)一组4本，另外两组各1本(局部平均分组).例7将6个相同的小球放入4个编号为1,2,3,4的盒子，求下列方法的种数.(1)每个盒子都不空；(2)恰有一个空盒子.练习

(1)某社区服务站将5位志愿者分成3组，其中两组各2人