2024年中考数学复习（全国版）专题23 图形的相似与位似【十四大题型】（举一反三）（原卷版）

专题23图形的相似与位似【十四大题型】TOC\o"1-3"\h\u【题型1利用比例的性质求值】 4【题型2黄金分割】 4【题型3由平行线分线段成比例判断式子正误】 5【题型4平行线分线段成比例（A型）】 6【题型5平行线分线段成比例（X型）】 8【题型6平行线分线段成比例与三角形中位线综合】 9【题型7平行线分线段成比例的常用辅助线之平行线】 10【题型8平行线分线段成比例的常用辅助线之垂线】 11【题型9相似多边形的性质】 12【题型10画已知图形放大或缩小n倍后的位似图形】 14【题型11求位似图形的坐标】 16【题型12求位似图形的线段长度】 17【题型13求位似图形的周长】 18【题型14求位似图形的面积】 19【知识点图形的相似与位似】1.比例线段的概念与性质线段的比的定义：两条线段的比是两条线段的长度之比．比例线段的定义：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们的长度的比)与另两条线段的比相等，如ab=cd（即ad=bc），我们就说这四段线段是成比例线段，简称比例线段.其中a、b、c、d叫组成比例的项；a、d叫比的外项，【补充】当比的内项相等时，即ab=bd或a：b=b：d，线段b叫做线段a【解题思路】1）判断四条线段是否成比例，需要将这四条线段从小到大依次排列，再判断前两条线段的比与后两条线段的比是否相等即可；2）成比例的线段是有顺序的，比如：a、b、c、d是成比例的线段，则成比例线段只能写成ab=cd（即：比例的性质：1）基本性质：ab=2）变形：ab=c3）合、分比性质：a【补充】实际上，比例的合比性质可扩展为：比例式中等号左右两个比的前项，后项之间发生同样和差变化比例仍成立．如：a4）等比性质：如果ab=cd=【补充】根据等比的性质可推出，如果ab=c5）黄金分割：点C把线段AB分割成AC和CB两段,如果ACAB=BCAC,那么线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC【注意】1）AC=5-12AB≈0.648AB(52）一条线段的黄金分割点有两个.【扩展】作一条线段的黄金分割点：如图，已知线段AB，按照如下方法作图：①经过点B作BD⊥AB，使BD=12②连接AD，在DA上截取DE=DB.③在AB上截取AC=AE.则点C为线段AB的黄金分割点.6）平行线分线段成比例定理平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所截得的对应线段成比例.①已知l3∥l4∥l5,可得ABBC①把平行线分线段成比例的定理运用到三角形中，会出现下面的两种情况：

推论：平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例．2.相似多边形的性质：1）相似多边形的对应角相等，对应边成比例.2)相似多边形的周长比等于相似比，相似三角形的面积比等于相似比的平方.3.位似图形位似图形的定义:如果两个图形不仅是相似图形,且对应点连线相交于一点,对应线段相互平行,那么这样的两个图形叫做位似图形,位似图形对应点连线的交点是位似中心.常见的位似图形：画位似图形的方法：两个位似图形可能位于位似中心的两侧，也可能位于位似中心的同侧.（即画位似图形时，注意关于某点的位似图形有两个.）判断位似图形的方法：首先看这两个图形是否相似，再看对应点的连线是否经过位似中心.位似图形的性质：1)位似图形的对应顶点的连线所在直线相交与一点；2）位似图形的对应边互相平行或者共线.3)位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比.4)在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或–k.画位似图形的步骤：1）确定位似中心,找原图形的关键点.2）确定位似比.3）以位似中心为端点向各关键点作射线.【题型1利用比例的性质求值】【例1】（2023·浙江·统考中考真题）小慧同学在学习了九年级上册“4.1比例线段”3节课后，发现学习内容是一个逐步特殊化的过程，请在横线上填写适当的数值，感受这种特殊化的学习过程．图中横线处应填

【答案】2【变式1-1】（2023·四川甘孜·统考中考真题）若xy=2，则x【变式1-2】（2023·湖南岳阳·校考一模）已知x2=y3=z5【变式1-3】（2023·浙江·模拟预测）用“▲”，“●”，“◆”分别表示三种物体的重量，若▲●=●-◆▲=◆●A．2:3:4 B．2:4:3 C．3:4:5 D．3:5:4【题型2黄金分割】【例2】（2023·广东云浮·统考一模）如图，在△ABC中，∠A=36°，AB=AC，以点B为圆心任意长为半径画弧，分别交AB，BC于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于12MN的长为半径画弧，两弧交于点A．5-1 B．3-5 C．5【变式2-1】（2023·上海杨浦·统考一模）已知P是线段AB的黄金分割点，且AP>BP，那么下列等式能成立的是（A．ABAP=APC．APBP=5【变式2-2】（2023·四川达州·统考中考真题）如图，乐器上的一根弦AB=80cm，两个端点A,B固定在乐器板面上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点，支撑点D是靠近点A的黄金分割点，【变式2-3】（2023·安徽·统考模拟预测）如图，AB为半圆O的直径，点O为圆心，点C是弧上的一点，沿CB为折痕折叠BC交AB于点M，连接CM，若点M为AB的黄金分割点（BM>AM），则

A．5-12 B．5+12 C【题型3由平行线分线段成比例判断式子正误】【例3】（2023·青海西宁·统考中考真题）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，分别以点A和点C为圆心，大于12AC的长为半径作弧，两弧相交于P，Q两点，作直线PQ交AB，AC于点D，E

A．直线PQ是AC的垂直平分线 B．CDC．DE=12【变式3-1】（2023·黑龙江哈尔滨·统考模拟预测）如图，在△ABC中，D、E分别为AB、AC边的中点，连接DE，点F为BC边上一点，BF=2FC，连接AF

A．ANAF=12 B．DNDE=【变式3-2】（2023·黑龙江哈尔滨·统考模拟预测）如图，△ABC中，D是AB边上一点，DE∥BC交AC于点E，连接BE，DF∥BE交AC于点F

A．ADBD=AEEC B．AFAE=【变式3-3】（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨德强学校校考模拟预测）如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是AD、CD边上的点，连接BE、AF，它们相交于点G，延长BE交CD的延长线于点H，下列结论错误的是（

）A．AEED=BEEH B．EHEB=【题型4平行线分线段成比例（A型）】【例4】（2023·湖北恩施·统考中考真题）如图，在△ABC中，DE∥BC分别交AC，AB于点D，E，EF∥AC交BC于点F

A．165 B．167 C．2 D【变式4-1】（2023·辽宁沈阳·校考一模）如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，连接DE，DE∥BC，AE

A．1.5 B．2 C．3 D．2【变式4-2】（2023·湖北武汉·校联考模拟预测）如图，某一时刻太阳光从窗户射入房间内，与地面的夹角∠DPC=30°，已知窗户的高度AF=2m，窗外水平遮阳篷的宽AD=0.8m，则洒在地面上光线EP的宽度为

【变式4-3】（2023·全国·一模）剪纸是中国的传统文化之一．如图1，将长为12cm，宽为5cm的矩形纸片剪成4张小纸片、分别记为“①，②，③，④”．若这四张小纸片恰好能拼成如图2所示的矩形，则在“小纸片①”中，较长直角边=cm．

【题型5平行线分线段成比例（X型）】【例5】（2023·广西贵港·统考一模）如图，F是矩形ABCD的边CD上一点，射线BF交AD的延长线于点E，已知DE=2BC=4，CD=6，求A．22 B．3 C．13 D．【变式5-1】（2023·北京·统考中考真题）如图，直线AD，BC交于点O，AB∥EF∥CD.若AO=2，OF=1，FD

【变式5-2】（2023·安徽滁州·统考二模）如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC的反向延长线上，且DE∥BC．若AE【变式5-3】（2023·重庆渝中·统考一模）已知▱ABCD，点E是BA延长线上一点，CE与AD，BD分别相交于点G，F．求证：C

【题型6平行线分线段成比例与三角形中位线综合】【例6】（2023·安徽滁州·统考二模）如图，G为△ABC的重心，AG=12，则AD=．【变式6-1】（2023·湖南湘潭·模拟预测）如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，OE∥AB交AD于点E．若OA=2，△AOE周长为A．16 B．32 C．36 D．40【变式6-2】（2023·宁夏银川·校考一模）如图，在▱ABCD中，AB=5，BC=8.E是边BC的中点，F是▱ABCD内一点，且∠BFC=90°.连接AF并延长，交CD于点GA．52 B．32 C．3 D【变式6-3】（2023·山东聊城·统考二模）如图，在正方形ABCD中，按如下步骤作图：①连接AC，BD相交于A点O；②分别以点B，C为圆心、大于12BC的长为半径画弧，两弧相交于点E；③连接OE交BC于点F；④连接AF交BO于点G．若AD=4

A．1 B．2 C．43 D．【题型7平行线分线段成比例的常用辅助线之平行线】【例7】（2023·湖北武汉·校考模拟预测）△ABC中，∠BAC=90°，D、E分别是AB、AC上的点，CE=2，CA=5，AD=4，BD

【变式7-1】（2023·广东深圳·统考模拟预测）如图，在△ABC中，D为BC边的中点，点E在线段AD上，BE的延长线交AC边于点F，若AE：ED＝1：3，

【变式7-2】（2023·安徽宿州·校考一模）如图，在△ABC中，CG平分∠ACB，过点A作AH⊥CG交BC于点H，且H是BC的中点．若AH=4，CG

【变式7-3】（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市第六十九中学校校考三模）如图，在△ABC中，AB=9，∠B=2∠C，AD⊥BC，AE

【题型8平行线分线段成比例的常用辅助线之垂线】【例8】（2023·浙江·一模）如图，菱形ABCD中，点E是CD的中点，EF垂直AB交AB延长线于点F，若BGCG=13，EF=2

A．35 B．1455 C．5【变式8-1】（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市第四十九中学校校考一模）在△ABC中，∠ABC=45°，AK⊥BC于点K，点M在AK上，CK=KM，tan∠KAC=34，N【变式8-2】（2023·河南商丘·校考二模）如图，Rt△ABC中，∠A=90°，AC=5，AB=12，将△ABC绕点C逆时针旋转α°0°<α°<90°，得到△DEC，点A，B的对应点分别为D，E，射线ED分别交【变式8-3】（2023·黑龙江绥化·校考模拟预测）如图，点P是△ABC内部一点，且PA=PB=PC，∠ABC=45°，点D在AC上，连接DP并延长交BC于点E，若CD=3

【题型9相似多边形的性质】【例9】（2023·上海虹口·统考一模）如图，四边形的顶点在方格纸的格点上，下列方格纸中的四边形与已知四边形相似的是（

）A． B． C．D．【变式9-1】（2023·浙江宁波·校联考三模）如图，▱ABCD∽▱EFGH，AB∥EF，记四边形ABFE、四边形BCGF、四边形CDHG、四边形DAEH的面积分别S1，S2，S3，S4，若已知▱ABCD和▱EFGH的面积，则不用测量就可知的区域的面积为（）A．S1﹣S2 B．S1+S3 C．S4﹣S2 D．S3+S4【变式9-2】（2023·河北衡水·统考一模）在研究相似问题时，甲、乙两同学的观点如下：甲：将边长为4的菱形按图1的方式向外扩张，得到新菱形，它们的对应边间距为1，则新菱形与原菱形相似．乙：将边长为4的菱形按图2方式向外扩张，得到新菱形，每条对角线向其延长线两个方向各延伸1，则新菱形与原菱形相似；对于两人的观点，下列说法正确的是（

）．A．两人都对 B．两人都不对 C．甲对，乙不对 D．甲不对，乙对【变式9-3】（2023·河北石家庄·统考三模）对于题目：“在长为6，宽为2的矩形内，分别剪下两个小矩形，使得剪下的两个矩形均与原矩形相似，请设计剪下的两个矩形周长和为最大值时的方案，并求出这个最大值．”甲、乙两个同学设计了自认为满足条件的方案，并求出了周长和的最大值．甲方案：如图1所示，最大值为16；乙方案：如图2所示，最大值为16．下列选项中说法正确的是（

）A．甲方案正确，周长和的最大值错误B．乙方案错误，周长和的最大值正确C．甲、乙方案均正确，周长和的最大值正确D．甲、乙方案均错误，周长和的最大值错误【题型10画已知图形放大或缩小n倍后的位似图形】【例10】（2023·安徽芜湖·统考一模）如图，△ABC的顶点都在网格点上，点B的坐标(-2

(1)以点O为位似中心，把△ABC按2:1放大在y轴的左侧，画出放大后的△(2)点A的对应点D的坐标是；(3)S△ABO:【变式10-1】（2023·广西防城港·统考三模）如图，在平面直角坐标系中，每个小正方格的边长都是1个单位长度，已知\△ABC的顶点坐标为A

(1)画出△ABC沿着x轴向右平移5个单位长度得到的△(2)以原点O为位似中心，将△ABC缩小为原来的12，请在位似中心同侧画出缩小后的(3)直接写出线段C1【变式10-2】（2023·安徽合肥·统考二模）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为-4,3，-3,-1(1)以点O为对称中心，画出△ABC关于原点O成中心对称的图形△A1B1C1（其中A与A1，(2)以点D-2,1为位似中心，将△ABC放大2倍得到△A2B2C2（其中A与A2，【变式10-3】（2023·广西桂林·统考一模）如图，△ABC在平面直角坐标系内三顶点的坐标分别为A-1,2，B(1)画出△ABC关于y轴对称的△(2)以点B为位似中心，在点B的下方画出△A2B2C2，使(3)直接写出点A1，C【题型11求位似图形的坐标】【例11】（2023·山东日照·校考三模）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A在第二象限，点B坐标为-2，0，点C坐标为-1，0，以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形△A'B'C．若点A的对应点A

A．3,-2 B．-2,32 C．-【变式11-1】（2023·浙江嘉兴·统考中考真题）如图，在直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别为A1,2,B2,1,C3,2，现以原点O为位似中心，在第一象限内作与

A．2,4 B．4,2 C．6,4 D．5,4【变式11-2】（2023·辽宁盘锦·统考中考真题）如图，△ABO的顶点坐标是A2,6，B3,1，O0,0，以点O为位似中心，将△ABO缩小为原来的13，得到

【变式11-3】（2023·江苏盐城·统考二模）如图，以点C(0,1)为位似中心，将△ABC按相似比1:2缩小，得到△DEC，则点A(2,-1)的对应点

【题型12求位似图形的线段长度】【例12】（2023·广东湛江·岭师附中校联考三模）如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△DEF是以坐标原点O为位似中心的位似图形，若A-2，0，D3A．22 B．32 C．42【变式12-1】（2023·河南周口·校联考二模）如图，在Rt△ABO中，∠B=90°，AB=2，BO=23，以点O为位似中心，将△AOB缩小为原图形的

A．2 B．3 C．2.5 D．3.5【变式12-2】（2023·江苏南京·统考二模）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别是A2,2，B4,2，C4,4，以原点为位似中心，在原点的异侧画△DEF，使△DEF与△ABCA．2 B．2 C．22 D．【变式12-3】（2023上·吉林长春·九年级校考期末）如图，在平面直角坐标系中，△OAB的顶点为O0，0，A4，3，B3，【题型13求位似图形的周长】【例13】（2023·山东菏泽·统考三模）如图，△ABC和△DEF是以点O为位似中心的位似图