2023一轮数学讲义+题型细分与精练 95个专题 524个题型专题90 离散型随机变量的数字特征（原卷版）-2023一轮数学讲义+题型细分与精练

专题90离散型随机变量的数字特征题型一利用定义求离散型随机变量的均值例1．（2022·辽宁·瓦房店市高级中学高二期末）已知离散型随机变量X的分布列如下：X123P则数学期望（

）A． B． C．1 D．2规律方法求随机变量的均值关键是写出分布列，一般分为四步：(1)确定X的可能取值；(2)计算出P(X＝k)；(3)写出分布列；(4)利用E(X)的计算公式计算E(X)．例2．（2022·浙江·高三专题练习）已知甲盒子中有3个红球，1个白球，乙盒子中有2个红球，2个白球，同时从甲，乙两个盒子中取出i个球进行交换，交换后，分别记甲、乙两个盒中红球个数，则（

）A． B．C． D．例3．（2022·全国·高二单元测试）体育课的排球发球项目考试的规则是：每位学生最多可发球3次，一旦发球成功，则停止发球，否则一直发到3次为止.设学生一次发球成功的概率为p（p≠0），发球次数为X，若X的数学期望E（X）＞1.75，则p的取值范围是（

）A． B． C． D．题型二离散型随机变量均值的性质例4．（2022·全国·高三专题练习）甲乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止．设甲在每局中获胜的概率为，乙在每局中获胜的概率为，且各局胜负相互独立，则比赛停止时已打局数的期望为（

）A． B． C． D．规律方法离散型随机变量性质有关问题的解题思路若给出的随机变量Y与X的关系为Y＝aX＋b，a，b为常数，一般思路是先求出E(X)，再利用公式E(aX＋b)＝aE(X)＋b求E(Y)．也可以利用X的分布列得到Y的分布列，关键是由X的取值计算Y的取值，对应的概率相等，再由定义法求得E(Y)．例5．（2022·全国·高三专题练习）已知随机变量的分布列为：X124P0.40.30.3则等于（

）A．15 B．11C．2.2 D．2.3例6．（2022·全国·高三专题练习）林老师等概率地从1~3中抽取一个数字，记为X，叶老师等概率地从1~5中抽取一个数字，记为Y，已知，其中是的概率，其中，则E（XY）=（

）A．3 B．5 C．6 D．8例7．（2022·全国·高二课时练习）若，是离散型随机变量，且，其中，为常数，则有.利用这个公式计算（

）A． B． C． D．不确定题型三离散型随机变量均值的应用例8．（2022·广东·佛山一中高三阶段练习）某学校的自主招生考试中有一种多项选择题，每题设置了四个选项ABCD，其中至少两项、至多三项是符合题目要求的．在每题中，如果考生全部选对得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．小明同学参加考试时遇到一道这样的多选题，他没有能力判断每个选项正确与否，只能瞎猜．假设对于每个选项，正确或者错误的概率均为．(1)写出正确选项的所有可能情况；如果小明随便选2个或3个选项，求出小明这道题能得5分的概率；(2)从这道题得分的数学期望来看，小明应该只选一个选项？还是两个选项？还是三个选项？规律方法解答实际问题时，(1)把实际问题概率模型化；(2)利用有关概率的知识去分析相应各事件可能性的大小，并列出分布列；(3)利用公式求出相应均值．例9．（2022·山东·日照青山学校高二期末）2020年12月4日，“直播带货”入选《咬文嚼字》2020年度十大流行语，与电商直播相关的职业成了年轻人就业新选择.有甲、乙两家农副产品直播间，直播主持人的日工资方案如下：甲直播间底薪100元，直播主持人每箱抽成3元；乙直播间无底薪，80箱以内（含80箱）的部分直播主持人每箱抽成4元，超过80箱的部分直播主持人每箱抽成6元.现从这两家直播间各随机选取一名直播主持人，分别记录其50天的售货箱数，得到如下频数分布表：售货箱数60708090100甲直播间天数51510155乙直播间天数51015128(1)①从记录甲直播间售货的50天中随机抽取3天，求这3天的售货箱数都不小于80箱的概率；②以样本估计总体，视样本频率为概率，估计甲直播间主持人3天中至少有2天售货箱数不小于80箱的概率.(2)假设同一个直播间的主持人一天的售货箱数相同，将频率视为概率，小张打算到甲、乙两家直播间中的一家应聘主持人，如果从日工资的角度考虑，小张应选择哪家直播间应聘？说明你的理由.例10．（2022·全国·模拟预测）为了解决家长接送孩子放学的问题，教育部提出推行课后服务“”模式，即学校每周5天都要开展课后服务，每天至少开展2h，结束时间要与当地正常下班时间相衔接，且不得利用课后服务时间讲新课.为了课后服务的有序开展，某教育局就课后服务的时长在网络上进行意见征集，并从中随机抽取了100份调查表，以此为样本绘制了如图所示的频率分布直方图：(1)从样本中随机抽取2份调查表，若其中一份调查表所建议的课后服务时长超过200min，求另一份调查表所建议的课后服务时长也超过200min的概率；(2)为了进一步了解课后服务时长的需求情况，从样本中建议课后服务时长超过180min的人中分层抽取10人，再从这10人中任取3人，记建议课后服务时长在的人数为X，求X的分布列与数学期望.题型四求离散型随机变量的方差例11．（2022·浙江·镇海中学高三开学考试）盒中有个球，其中个红球，个黄球，个蓝球，从盒中随机取球，每次取个，取后不放回，直到蓝球全部被取出为止，在这一过程中取球次数为，则的方差___________．规律方法求离散型随机变量的方差的类型及解决方法(1)已知分布列型(非两点分布)：直接利用定义求解，先求均值，再求方差．(2)已知分布列是两点分布：直接套用公式D(X)＝p(1－p)求解．(3)未知分布列型：求解时可先借助已知条件及概率知识求得分布列，然后转化成(1)中的情况．例12．（2022·北京八中高二期末）随机变量X的取值为0，1，2，若，，则_________．例13．（2022·全国·高二课时练习）随机变量的可能值，且，则D的最大值为___________.题型五方差的性质的应用例14．（2022·辽宁·高一期末）已知样本，，…，的平均数为5，方差为3，则样本，，…，的平均数与方差的和是_____．规律方法求随机变量Y＝aX＋b方差的方法求随机变量Y＝aX＋b的方差，一种方法是先求Y的分布列，再求其均值，最后求方差；另一种方法是应用公式D(aX＋b)＝a2D(X)求解．例15．（2022·全国·高三专题练习）已知，且，则的方差为________．例16．（2022·重庆市蜀都中学校高三阶段练习）已知随机变量的分布列如下表，表示的方差，则___________.012题型六均值与方差的综合应用例17．（2022·广东·佛山一中高三阶段练习）某学校的自主招生考试中有一种多项选择题，每题设置了四个选项ABCD，其中至少两项、至多三项是符合题目要求的．在每题中，如果考生全部选对得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．小明同学参加考试时遇到一道这样的多选题，他没有能力判断每个选项正确与否，只能瞎猜．假设对于每个选项，正确或者错误的概率均为．(1)写出正确选项的所有可能情况；如果小明随便选2个或3个选项，求出小明这道题能得5分的概率；(2)从这道题得分的数学期望来看，小明应该只选一个选项？还是两个选项？还是三个选项？规律方法(1)均值体现了随机变量取值的平均大小，在两种产品相比较时，只比较均值往往是不恰当的，还需比较它们的取值的离散程度，即通过比较方差，才能准确地得出更恰当的判断．(2)离散型随机变量的分布列、均值、方差之间存在着紧密的联系，利用题目中所给出的条件，合理地列出方程或方程组求解，同时也应注意合理选择公式，简化问题的解答过程．例18．（2022·山东·日照青山学校高二期末）2020年12月4日，“直播带货”入选《咬文嚼字》2020年度十大流行语，与电商直播相关的职业成了年轻人就业新选择.有甲、乙两家农副产品直播间，直播主持人的日工资方案如下：甲直播间底薪100元，直播主持人每箱抽成3元；乙直播间无底薪，80箱以内（含80箱）的部分直播主持人每箱抽成4元，超过80箱的部分直播主持人每箱抽成6元.现从这两家直播间各随机选取一名直播主持人，分别记录其50天的售货箱数，得到如下频数分布表：售货箱数60708090100甲直播间天数51510155乙直播间天数51015128(1)①从记录甲直播间售货的50天中随机抽取3天，求这3天的售货箱数都不小于80箱的概率；②以样本估计总体，视样本频率为概率，估计甲直播间主持人3天中至少有2天售货箱数不小于80箱的概率.(2)假设同一个直播间的主持人一天的售货箱数相同，将频率视为概率，小张打算到甲、乙两家直播间中的一家应聘主持人，如果从日工资的角度考虑，小张应选择哪家直播间应聘？说明你的理由.例19．（2022·全国·模拟预测）为了解决家长接送孩子放学的问题，教育部提出推行课后服务“”模式，即学校每周5天都要开展课后服务，每天至少开展2h，结束时间要与当地正常下班时间相衔接，且不得利用课后服务时间讲新课.为了课后服务的有序开展，某教育局就课后服务的时长在网络上进行意见征集，并从中随机抽取了100份调查表，以此为样本绘制了如图所示的频率分布直方图：(1)从样本中随机抽取2份调查表，若其中一份调查表所建议的课后服务时长超过200min，求另一份调查表所建议的课后服务时长也超过200min的概率；(2)为了进一步了解课后服务时长的需求情况，从样本中建议课后服务时长超过180min的人中分层抽取10人，再从这10人中任取3人，记建议课后服务时长在的人数为X，求X的分布列与数学期望.例20．（2022·山东·青岛二中高三开学考试）某公司全年圆满完成预定的生产任务，为答谢各位员工一年来的锐意进取和辛勤努力，公司决定在联欢晚会后，拟通过摸球兑奖的方式对500位员工进行奖励，规定：每位员工从一个装有4种面值的奖券的箱子中，一次随机摸出2张奖券，奖券上所标的面值之和就是该员工所获得的奖励额．(1)若箱子中所装的4种面值的奖券中有1张面值为80元，其余3张均为40元，试比较员工获得80元奖励额与获得120元奖励额的概率的大小；(2)公司对奖励总额的预算是6万元，预定箱子中所装的4种面值的奖券有两种方案：第一方案是2张面值20元和2张面值100元；第二方案是2张面值40元和2张面值80元．为了使员工得到的奖励总额尽可能地符合公司的预算且每位员工所获得的奖励额相对均衡，请问选择哪一种方案比较好？并说明理由．例21．（2022·全国·高三专题练习）2020年9月22日，中国政府在第七十五届联合国大会上提出：“中国将提高国家自主贡献力度，采取更加有力的政策和措施，二氧化碳排放力争于2030年前达到峰值，努力争取2060年前实现碳中和.”做好垃圾分类和回收工作可以有效地减少处理废弃物造成的二氧化碳、甲烷等温室气体的排放，助力碳中和.某校环保社团为了解本校学生是否清楚垃圾分类后的处理方式，随机抽取了200名学生进行调查，样本调查结果如下表：假设每位学生是否清楚垃圾分类后的处理方式相互独立.高中部初中部男生女生男生女生清楚1282424不清楚28323834(1)从该校学生中随机抽取一人，估计该学生清楚垃圾分类后处理方式的概率；(2)从样本高中部和初中部的学生中各随机抽取一名学生，以表示这人中清楚垃圾分类后处理方式的人数，求的分布列和数学期望；(3)从样本中随机抽取一名男生和一名女生，用“”表示该男生清楚垃圾分类后的处理方式，用“”表示该男生不清楚垃圾分类后的处理方式，用“”表示该女生清楚垃圾分类后的处理方式，用“”表示该女生不清楚垃圾分类后的处理方式.直接写出方差和的大小关系.（结论不要求证明）例22．（2022·全国·模拟预测）某财经杂志发起一项调查，旨在预测中国经济前景，随机访问了位业内人士，根据被访问者的问卷得分（满分分）将经济前景预期划分为三个等级（悲观､尚可､乐观）.分级标准及这位被访问者得分频数分布情况如下：经济前景等级悲观尚可乐观问卷得分12345678910频数23510192417974假设被访问的每个人独立完成问卷（互不影响），根据经验，这位人士的意见即可代表业内人士意见，且他们预测各等级的频率可估计未来经济各等级发生的可能性.(1)该杂志记者又随机访问了两名业内人士，试估计至少有一人预测中国经济前景为“乐观”的概率；(2)某人有一笔资金，现有两个备选的投资意向：物联网项目或人工智能项目，两种投资项目的年回报率都与中国经济前景等级有关，根据经验，大致关系如下（正数表示赢利，负数表示亏损）：经济前景等级乐观尚可悲观物联网项目年回报率（%）124人工智能项目年回报率（%）75根据以上信息，请分别计算这两种投资项目的年回报率的期望与方差，并用统计学知识给出投资建议.【同步练习】一、单选题1．（2022·全国·高二单元测试）已知随机变量X的分布列为X012P设，则等于（

）A． B． C． D．2．（2022·全国·高三专题练习）已知随机变量的分布列如下，则的最大值为（

）X123Pab2b—aA． B．3C．6 D．53．（2022·浙江温州·高三开学考试）已知随机变量X的分布列是：若，则（

）A． B． C． D．4．（2022·山东·广饶一中高一阶段练习）如果数据x1，x2，…，xn的平均值为，方差为s2，则3x1+2、3x2+2、…、3xn+2的平均值和方差分别是（

）A．和s2 B．3+2和9s2C．3+2和3s2 D．3+2和9s2+25．（2022·重庆·一模）通过核酸检测可以初步判定被检测者是否感染新冠病毒，检测方式分为单检和混检.单检，是将一个人的采集拭子放入一个采样管中单独检测；混检，是将多个人的采集拭子放入一个采样管中合为一个样本进行检测，若检测结果呈阳性，再对这多个人重新采集单管拭子，逐一进行检测，以确定当中的阳性样本.混检按一个采样管中放入的采集拭子个数可具体分为“3合1”混检，“5合1”混检，“10合1”混检等.调查研究显示，在群体总阳性率较低（低于0.1%）时，混检能较大幅度地提高检测效力、降低检测成本.根据流行病学调查结果显示，某城市居民感染新冠病毒的概率为0.0005.若对该城市全体居民进行核酸检测，记采用“10合1”混检方式共需检测X次，采用“5合1”混检方式共需检测Y次，已知当时，，据此计算的近似值为（

）A． B． C． D．6．（2022·浙江·高三专题练习）将3只小球放入3个盒子中，盒子的容量不限，且每个小球落入盒子的概率相等．记为分配后所剩空盒的个数，为分配后不空盒子的个数，则（

）A． B．C． D．7．（2022·浙江省义乌中学高三期末）随机变量ξ的分布列如下表：ξ1a9Pbb其中，，则下列说法正确的是（

）A．若，则当时，随b的增大而增大B．若，则当时，随b的增大而减小C．若，则当时，有最小值D．若，则当时，有最大值8．（2022·河北·高三阶段练习）小明参加某项测试，该测试一共3道试题，每道试题做对得5分，做错得0分，没有中间分，小明答对第1，2题的概率都是，答对第3题的概率是，则小明答完这3道题的得分期望为（

）A． B． C． D．二、多选题9．（2022·山东·模拟预测）已知m，n均为正数，随机变量X的分布列如下表：X012Pmnm则下列结论一定成立的是（

）A． B．C． D．10．（2022·广东·梅州市梅县区南口中学高三阶段练习）设离散型随机变量X的分布列为X01234Pq0.40.10.20.2若离散型随机变量Y满足，则下列结果正确的有（

）A． B．C． D．11．（2022·广东肇庆·二模）已知甲盒中有1个白球和2个黑球，乙盒中有2个白球和3个黑球，从乙盒中随机抽取个球放入甲盒中．放入i个球后，甲盒中含有黑球的个数记为，现从甲盒中取1个球是黑球的概率记为，则（

）A． B．C． D．12．（2022·江苏海安·高三期末）一次抛掷两颗质地均匀的正方体骰子，若出现的点数是2倍关系，则称这次抛掷“漂亮”．规定一次抛掷“漂亮”得分为3，否则得分为－1．若抛掷30次，记累计得分为，则（

）A．抛掷一次，“漂亮”的概率为B．＝2时，“漂亮”的次数必为8C．E()＝－10D．三、填空题13．（2022·吉林·东北师大附中高二期末）不透明袋中装有完全相同，标号分别为1，2，3，…，8的八张卡片．从中随机取出3张．设X为这3张卡片的标号相邻的组数（例如：若取出卡片的标号为3，4，5，则有两组相邻的标号3、4和4、5，此时X的值是2）．则随机变量X的数学期望______．14．（2022·全国·高二课时练习）一袋中装有分别标记着，，数字的个小球，每次从袋中取出一个球（每只小球被取到的可能性相同），现连续取次球，若每次取出一个球后放回袋中，记次取出的球中标号最小的数字与最大的数字分别为，，设，则______.15．（2022·全国·高三专题练习）甲、乙两名运动员在羽毛球场进行羽毛球比赛，已知每局比赛甲胜的概率为P，乙胜的概率为1-p，且各局比赛结果相互独立.当比赛采取5局3胜制时，甲用4局赢得比赛的概率为.现甲、乙进行7局比赛，采取7局4胜制，则甲获胜时比赛局数X的数学期望为_____________16．（2022·全国·高二课时练习）根据以往的经验，某工程施工期间的降水量X（单位：mm）对工期的影响如下表：降水量X工期延误天数Y02610历年气象资料表明，该工程施工期间降水量X小于300，700，900的概率分别为0.3，0.7，0.9，则工期延误天数Y的方差为______．四、解答题17．（2022·全国·高二单元测试）为响应绿色出行，某市推出新能源租赁汽车.每次租车的收费由两部分组成：①里程计费：1元/公里；②时间计费：0.12元/分.已知陈先生的家距离公司12公里，每天上下班租用该款汽车各一次.一次路上开车所用的时间记为t（分），现统计了50次路上开车所用时间，在各时间段内频数分布情况如下表所示.时间t（分）次数122882将各时间段发生的频率视为概率，一次路上开车所用的时间视为用车时间，范围为.(1)估计陈先生一次租用新能源汽车所用的时间不低于30分钟的概率；(2)求陈先生一次路上开车所用的时间t（分）的分布列和数学期望（同一区间内的值都看作该区间的中点值）；(3)若公司每月发放800元的交通补助，请估计是否足够陈先生一个月上下班租用新能源汽车（每月按22天计算），并说明理由.18．（2022·四川·高三阶段练习（理））云南是我国野生菌菇资源丰富的省份，共有250多种可食用菌．每年雨季，许多云南的当地居民便进山采菇拿到菌菇市场售卖．若某市场调研员跟踪调查某居民每天的采菇数量（单位：千克）及当天所采菌菇平均售价（元/千克），得到如下概率分布表：采菇数量（千克）56菌菇平均售价（元/千克）150180概率0.60.4概率0.80.2假设该居民每天的采菇数量与每天的菌菇平均售价相互独立．(1)记该居民采菇一天所获得的收入为X元，求X的分布列及数学期望；(2)求该居民连续采菇三天所获得的总收入不少于2500元的概率（小数点后保留一位有效数字）．参考数据：，.19．（2022·全国·模拟预测）2022年7月，中共中央办公厅､国务院办公厅印发了《关于进一步减轻义务教育阶段学生作业负担和校外培训负担的意见》（简称“双减”政策）.某校为了落实“双减”政策，安排了25名教师参与课后服务工作，在某个星期内，他们参与课后服务的次数统计如图所示.(1)求这25名教师在该星期参与课后服务的平均次数；(2)从这25名教师中任选2人，设这2人在该星期参与课后服务的次数之差的绝对值为X，求X的分布列与数学期望.20．（2022·全国·模拟预测）某商店计划七月份订购某种饮品，进货成本为每瓶元，未售出的饮品降价处理，以